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  • 假设实验重复了n次,每一次事件A发生概率为p,则称随机变量X服从参数n,p二项分布,记为X~B(n,p) 方差E(X)为np,数学期望D(X)为np(1-p) 泊松分布: 如果X概率分布为 取值范围为x&g..

    0-1分布

    结果只能取0和1,只进行一次实验。

    假设取1的概率为p,则数学期望E(X)为p,方差D(X)为p(1-p)

    伯努利分布、二项分布

    结果只能取A和A反,进行多次实验,每次实验中,取0和取1的概率一致,X表示事件A发生的次数

    假设实验重复了n次,每一次事件A发生的概率为p,则称随机变量X服从参数n,p的二项分布,记为X~B(n,p)

    方差E(X)为np,数学期望D(X)为np(1-p)

    泊松分布

    如果X的概率分布为

    取值范围为x>=0

    则称X服从参数为λ的泊松分布,记为X~π(λ)X~P(k),数学期望和方差均为λ

     

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  • 离散型随机变量和连续型随机变量及其常见分布

    万次阅读 多人点赞 2018-09-24 15:11:04
    离散型随机变量及其分布率 若随机变量XXX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1​,x2​,...,xn​或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...x1​,x2​,...,xn​,...,则称XXX为离散型随机变量...

    离散型随机变量及其分布率

    若随机变量XX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...,则称XX离散型随机变量

    要掌握一个离散型随机变量XX的统计规律,必须知道XX所有可能取的值以及每一个可能值的概率

    定义:设离散型随机变量XX所有可能的取值为xi(i=1,2,...)x_i(i=1,2,...)XX取各个可能值的概率,即事件{X=xi}\{X=x_i\}的概率为P{X=xi}=pii=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,...则称该式子为离散型随机变量XX的分布律。分布律也常用表格形式表示:

    X x1x_1 x2x_2 ...... xix_i ......
    pip_i p1p_1 p2p_2 ...... pip_i ......

    由于随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,因此,由离散型随机变量的分布律可以推出分布函数,反之亦然。

    F(x)F(x)是离散型随机变量XX的分布函数,则XX的分布律P{X=xi}=pi0i=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i \geq 0,i=1,2,...易得F(x)=P{Xx}=xixP{X=xi}=xixpiF(x)=P\{X \leq x\}=\sum_{x_i \leq x}P\{X=x_i\}=\sum_{x_i \leq x}p_i

    常见的离散型随机变量的概率分布

    1、两点分布 B(1,p)B(1, p)

    若随机变量的XX只能取x1x_1x2x_2,且它的分布律为P{X=x1}=p(0<p<1)P\{X=x_1\}=p,(0 < p < 1)P{X=x2}=1pP\{X=x_2\}=1-pP{X=xi}=(1p)1xipxii=1,2P\{X=x_i\}=(1-p)^{1-x_i}p^{x_i},i=1,2则称XX服从参数为pp的两点分布

    特别地,当x1=1x2=0x_1=1,x_2=0时两点分布也叫(01)(0-1)分布,记为X(0,1)X \thicksim (0,1)分布或XB(1,p)X \thicksim B(1,p)

    2、二项分布 B(n,p)B(n, p)

    若随机变量的XX分布律为P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n则称XX服从参数为np(0<p<1)n,p(0 < p < 1)的二项分布,记为B(n,p)B(n,p)

    这与nn重伯努利试验中事件AA发生kk次的概率计算公式一致Pn(k)=P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP_n(k)=P\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n可知,若XB(n,p)X \thicksim B(n, p)X=kX=k就可以用来表示nn重伯努利试验中事件AA恰好发生kk

    二项分布的近似计算

    ①泊松近似:
    泊松近似即泊松定理
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn很大(n40n\geqslant 40)且pp很小(p0.1p\leqslant 0.1)时,可以用泊松分布来近似拟合二项分布,有XP(k,np)X\sim P(k,np)Cnkpk(1p)nkλkk!eλC_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}其中λ=np\lambda=np

    ②标准正太近似:
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn充分大时,可以用标准正太分布来近似拟合二项分布,有XN(np,np(1p))X\sim N(np,np(1-p))P(a<X<b)Φ(bnpnp(1p))Φ(anpnp(1p))P(a < X < b)\approx \Phi(\frac{b-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}})

    拓展
    多项式展开定理:(a+b)n=k=0nCnkakbnk(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k}

    幂级数展开定理:ex=n=0xnn!e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

    3、泊松分布 P(k,λ)P(k,\lambda)

    泊松定理:设λ>0\lambda > 0是一常数,nn是正整数。若npn=λnp_n=\lambda,则对任一固定的非负整数kk有:limnCnk(1pn)nkpn=λkk!eλ\lim_{n \to \infty}C_n^k(1-p_n)^{n-k}p_n=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

    若随机变量XX的分布律为P{X=k}=λkk!eλP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}则称XX服从参数为λ\lambda的泊松分布,记为XP(λ)X \thicksim P(\lambda)XP(k;λ)X \thicksim P(k;\lambda)

    泊松分布的概率值为:P(k;λ)=P{X=k}=λkk!eλk=0,1,2,...P(k;\lambda) = P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,...

    连续型随机变量及其概率密度函数

    定义:设XX是随机变量,F(X)F(X)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数f(x)f(x),使得对任意的xRx \in R,有:F(x)=P{X}F(x)=P\{X \}则称XX为连续型随机变量,其中f(x)f(x)称为XX的概率密度函数,简称概率密度或密度函数

    概率密度函数的性质

    1. 非负性:f(x)0,xRf(x) \geq 0,x \in R
    2. 规范性:+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1
    3. p{a<Xb}=F(b)F(a)=abf(x)dx,(ab)p\{a < X \leq b\} = F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx,(a \leq b)
    4. f(x)f(x)xx处是连续的,则分布函数的导数等于概率密度函数,即:F(x)=f(x)F'(x)=f(x)
    5. XX是连续型随机变量,对aR\forall a \in R,有P{X=a}=0P\{X=a\}=0,即对于连续型随机变量,取得某一点的概率为0(注意这里的概率为0不代表不可能事件)

    常见的连续型随机变量的概率分布

    1、均匀分布 U[a,b]U[a,b]

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={1ba,axb0,otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b\\ 0, & otherwise \end{cases}则称XX在区间[a,b][a,b]上服从均匀分布,记为XU[a,b]X\sim U[a,b]

    易知f(x)0f(x) \geqslant 0,并且+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1

    均匀分布中XX的分布函数为F(x)={0,x<axaba,ax<b1,xbF(x) = \begin{cases} 0, & x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x < b \\ 1, & x \geqslant b \end{cases}

    2、指数分布 E(λ)E(\lambda)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={λeλx,x>00,x0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}其中λ>0\lambda > 0为常数

    则称随机变量XX服从参数为λ\lambda(失效率)的指数分布,记为XE(λ)X \sim E(\lambda)

    显然f(x)0f(x) \geqslant 0,且:+f(x)dx=0+λeλxdx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{0}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx = 1指数分布中XX的分布函数为:F(x)={1eλx,x>00,x0F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}

    3、正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)=12πσe(xμ2)2σ2,<x<+f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}},-\infty < x < +\infty其中μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma > 0)为常数,则称XX服从参数为μ,σ\mu,\sigma的正态分布或高斯分布,记为XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)

    显然 f(x)0f(x) \geqslant 0,且+f(x)dx=+12πσe(xμ2)2σ2dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}}dx = 1

    标准正态分布 N(0,1)N\sim (0,1):
    XN(μ,σ2),X\sim N(\mu,\sigma^2),则Y=Xμσ2N(0,1)Y=\frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}} \sim N(0, 1)标准正态分布的分布函数:Φ(x)=P(Xx)=12πxeu22du\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^2}{2}}du标准正态分布的概率密度函数:ϕ(x)=12πex22\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}标准正态分布的具体值可以通过查表得知:标准正态分布表

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  • 一维随机变量及其分布问题引入离散型随机变量与非离散型随机变量离散型随机变量0-1分布贝努力概型二项分布例3泊松分布问题引入定义泊松分布与二项分布保险问题工人配备与维修实验4,二项分布与泊松分布二项分布泊松...

    问题引入

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    离散型随机变量与非离散型随机变量

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    离散型随机变量

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    例1

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    例2

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    0-1分布 (离散分布)

    随机变量只可能取0和1两个值。
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    贝努力概型

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    二项分布 (离散分布)

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    例3

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    几何分布

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    泊松分布 (离散分布)

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    定义

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    泊松分布与二项分布

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    保险问题

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    工人配备与维修

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    实验4,二项分布与泊松分布

    二项分布

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    泊松分布

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    试验5

    试验5

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  • 2 离散型随机变量的概率分布 2.1二项分布 2.2超几何分布 2.2.1 概念 2.2.2 举例 2.3泊松分布 3 连续型随机变量概率分布 3.1均匀分布 3.1.1 概念 3.2 正态分布 3.2.1 概念 3.3指数分布 3.3.1 概念 ...

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    1 基本概念

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    2.2.2 举例

    2.3 泊松分布 

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    3.3.2 举例

    4 参考文献


    1 基本概念

    在之前的博文中,已经明白了概率分布函数和概率密度函数。下面来讲解一下常见的离散型和连续型随机变量概率分布。

    在此之前,介绍几个基本概念:

    • 均值(期望值expected value):\mu=E(x)=\sum xp(x)
    • 方差(variance): \sigma^2=E[(x-\mu)^2]=\sum (x-\mu)^2p(x)
    • 标准差(standard deviation):\sigma =\sqrt {\sigma^2}

    其中,可以证明E[(x-\mu^2)]=E(x^2)-\mu^2

    2 离散型随机变量的概率分布

    2.1 二项分布

    如果进行n次不同的实验,每次试验完全相同并且只有两种可能的结果,这样的实验结果分布情况就是二项分布。最简单的比如投掷一枚硬币,不管进行多少次实验,实验结果都只有正面朝上或者反面朝上,这就是一个简单的二项分布。 

    二项分布概率分布:

    p(x)=C_{n}^{x} p^xq^{n-x} \space (x=0,1,2,3···,n)

    其中:n代表n次实验,x表示实验结果为T的次数,q是实验结果为T的概率,q=1-p,表示实验结果为F的概率。

    二项分布的 
    均值:\mu=np
    方差:\sigma^2=npq
    标准差:\sigma=\sqrt {npq}
    二项分布对于结果只有两种情况的随机事件有非常好的描述,属于日常生活中最常见、最简单的随机变量概率分布,在知道某种实验结果概率的情况下,能够很好推断实验次数后发生其中某一结果次数的概率。

    2.2 超几何分布 

    2.2.1 概念

    超几何分布和二项分布比较相似,二项分布每次实验完全一样,而超几何分布前一次的实验结果会影响后面的实验结果。简单地讲,二项分布抽取之后放回元素,而超几何分布是无放回的抽取。 
    超几何分布的概率分布,均值和方差

    p(x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    \mu=\frac{nr}{N}

    \sigma^2=\frac{r(N-r)n(N-n)}{N^2(N-1)}

    2.2.2 举例

    在一个口袋中装有30个球,其中有10个红球,其余为白球,这些球除颜色外完全相同。游戏者一次从中摸出5个球。摸到至少4个红球就中一等奖,那么获一等奖的概率是多少?

    解:由题意可见此问题归结为超几何分布模型。

    其中N = 30. r = 10. n = 5.

    P(一等奖)= P(X=4)+ P(X=5)

    由公式

     p(X=x)=\frac{C_{r}^{x}C_{N-r}^{n-x}}{C_{N}^{n}}

    ,x=0,1,2,...得:

     

     

    P(一等奖) = 106/3393

    2.3 泊松分布 

    2.3.1 概念

    泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。泊松分布适合于描述单位时间(或空间)内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数,电话交换机接到呼叫的次数,汽车站台的候客人数,机器出现的故障数,自然灾害发生的次数,一块产品上的缺陷数,显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

    泊松分布的概率分布,均值和方差: 

    p(x)=\frac{\lambda^xe^{-\lambda}}{x!}\space (x=0,1,2,···)

    泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

    \mu=\lambda

    \sigma^2=\lambda

    2.3.2 举例

    采用0.05J/㎡紫外线照射大肠杆菌时,每个基因组平均产生3个嘧啶二体。实际上每个基因组二体的分布是服从泊松分布的,将取如下形式: 

     

     

     

    ……

    3 连续型随机变量的概率分布

    3.1 均匀分布 

    3.1.1 概念

    均匀概率分布(uniform probability distribution)是指连续随机变量所有可能出现值出现概率都相同。 
    均匀分布 
    均匀分布的概率分布,均值,方差和标准差: 

    f(x)=\frac{1}{b-a}(a\leq x\leq b)

    均值:\mu=\frac{a+b}{2}

    方差:\sigma=\frac{(b-a)^2}{12}
    标准差:\sigma=\frac{b-a}{\sqrt {12}}

    如何求解均值和标准差:

    3.2 正态分布

    3.2.1 概念

    正态分布是统计学中常见的一种分布,表现为两边对称,是一种钟型的概率分布(bell curve),其概率密度图为:

    æ­£æåå¸

    概率密度函数为:

     

    其中,\mu是正态随机变量的均值; \sigma是标准差; \pi是圆周率,约等于3.1416··· ;e=2.71828⋅⋅⋅

    特别的,当\mu=0\sigma=1的正态分布,被称为标准正态分布(standard distribution),此时有:

     

    正态分布转化为标准正态分布: 
    正态分布x,均值是μ,标准差是σ,z定义为z=\frac{x-\mu }{\sigma}

    正态分布来近似二项分布 :
    当n足够大的时候,正态分布对于离散型二项分布能够很好地近似。 
    二项分布

    评价正态分布 :
    如何来确定数据是否正态分布,主要有以下几种方法: 
    1. 图形感受法:建立直方图或者枝干图,看图像的形状是否类似正态曲线,既土墩形或者钟形,并且两端对称。 
    2. 计算区间\bar x\pm s,\bar x\pm 2s,\bar x\pm 3s,看落在区间的百分比是否近似于68%,95%,100%。(切比雪夫法则和经验法则) 
    3. 求IQR和标准差s,计算IQR/s,如若是正态分布,则IQR/s≈1.3.
    4. 建立正态概率图,如果近似正态分布,点会落在一条直线上。 

    æ­£ææ¦çå¾

    3.3  指数分布 

    3.3.1 概念

    指数分布是描述泊松分布中事件发生时间间隔的概率分布。除了用于泊松过程的分析,还有许多其他应用,如以下场景:

    • 世界杯比赛中进球之间的时间间隔
    • 超市客户中心接到顾客来电之间的时间间隔
    • 流星雨发生的时间间隔
    • 机器发生故障之间的时间间隔
    • 癌症病人从确诊到死亡的时间间隔

    指数分布有如下的适用条件: 
    1. x是两个事件发生之间的时间间隔,并且x>0; 
    2. 事件之间是相互独立的; 
    3. 事件发生的频率是稳定的; 
    4. 两个事件不能发生在同一瞬间。

    这几个条件实质上也是使用泊松分布的前提条件。如果满足上述条件,则x是一个指数随机变量,x的分布是一个指数分布。如果不满足上述条件,那么需要使用Weibull分布或者gamma分布。

    指数分布只有一个参数,“λ”,λ是事件发生的频率,在不同的应用场景中可能有不同名称:

    • 事件频率
    • 到达频率
    • 死亡率
    • 故障率
    • 转变率
    • …………

    λ是单元时间内事件发生的次数,这里需要注意的是,单元时间可以是秒,分,小时等不同的单位,同时λ根据单元时间度量的不同,其数值也不一样。如单元时间为1小时,λ为6,则单元时间1分钟,λ为6/60=0.1

    指数分布的概率密度函数(probability density func,PDF)由λ和x(时间)构成:

    f(x)=\lambda e^{-\lambda x}

    均值:\mu=\frac{1}{\lambda}

    方差:\sigma^2=\frac{1}{\lambda}

    3.3.2 举例

    一个设备出现多次故障的时间间隔记录如下:

    23, 261, 87, 7, 120, 14, 62, 47, 225, 71, 246, 21, 42, 20, 5, 12, 120, 11, 3, 14, 71, 11, 14, 11, 16, 90, 1, 16, 52, 95

    根据上面数据,我们可以计算得到该设备发生故障的平均时间是59.6小时,即单位小时时间内发生故障事件的次数为λ=1/59.6=0.0168。 
    那么该设备在3天(72小时)内出现故障的概率是多大呢?即求P(x<72),这就需要计算指数分布的累积分布函数: 

    P(X<72)=\int_{0}^{72}\lambda e^{-\lambda x}dx=1-e^{-\lambda(72)}=1-e^{-0.0168*72}=0.7017
    也即该设备3天内出现故障的概率大于70%。


    4 参考文献

    【1】统计学:离散型和连续型随机变量的概率分布

    【2】指数分布

     

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  • 文章目录2.2 离散型随机变量及其概率分布一:离散型随机变量的分布律二:常见离散型随机变量的概率分布:两点分布二项分布泊松分布几何分布 一:离散型随机变量的分布律 特点: 这个我们并不陌生,高中时候那道...
  • 离散型随机变量及其常见分布

    千次阅读 2020-06-20 13:59:52
    1. 介绍离散型随机变量的定义,性质和分布律 2. 介绍0-1分布,二项分布,泊松分布,几何分布,超几何分布的性质以及必要性证明
  • 离散型随机变量的常见概率分布

    千次阅读 2018-01-07 21:48:37
    事件A在某次试验中发生概率稳定计为pp,但A要么发生要么不发生,随机变量XX,单次试验中A发生记为1,没有发生记为0,则P(X=1)=p,P(X=0)=1−pP(X=1)=p,P(X=0)=1-p,也可以统一成这个公式: f(x|p)=px(1−p)1−x,x=...
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  • 随机变量

    千次阅读 2019-09-18 17:05:26
    一、中心问题:将实验结果数量化 二、随机变量 ...2.1、常见的两类随机变量(离散型...2.1.1、离散型随机变量的定义: 若随机变量X的取值为有限个或可数 离散, 则称X为离散型随机变量。 2.2、0-1分布 ...
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空空如也

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常见的离散型随机变量分布