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  • 常见的线性相关函数
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    2021-10-05 20:16:00

    分类目录:《机器学习中的数学》总目录
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    线性整流函数,又称修正线性单元ReLU,是一种人工神经网络中常用的激活函数,通常指代以斜坡函数及其变种为代表的非线性函数。
    R e L U ( x ) = max ⁡ ( 0 , x ) ReLU(x)=\max{(0, x)} ReLU(x)=max(0,x)

    线性整流函数(ReLU函数)的特点:

    • 当输入为正时,不存在梯度饱和问题。
    • 计算速度快得多。ReLU 函数中只存在线性关系,因此它的计算速度比Sigmoid函数和tanh函数更快。
    • Dead ReLU问题。当输入为负时,ReLU完全失效,在正向传播过程中,这不是问题。有些区域很敏感,有些则不敏感。但是在反向传播过程中,如果输入负数,则梯度将完全为零,Sigmoid函数和tanh函数也具有相同的问题
    • ReLU函数的输出为0或正数,这意味着ReLU函数不是以0为中心的函数。

    线性整流函数(ReLU函数)的图像:
    在线性整流函数(ReLU函数)的图像

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  • MATLAB线性规划相关函数用法

    万次阅读 多人点赞 2020-02-11 20:30:11
    一.线性规划的Matlab标准形式及软件求解 1. MATLAB中规定线性规划的标准形式为 其中c和 x为n 维列向量, A、 Aeq 为适当维数的矩阵...2. MATLAB函数用法——linprog [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,OPTIONS...

    一.线性规划的Matlab标准形式及软件求解

    1. MATLAB中规定线性规划的标准形式为
    在这里插入图片描述
    其中c和 x为n 维列向量, A、 Aeq 为适当维数的矩阵,b 、beq为适当维数的列向量。 (Aeq 对应约束条件中等式约束的系数矩阵,A为约不等式约束的系数矩阵)
    在这里插入图片描述
    2. MATLAB函数用法——linprog

    [x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB,UB,OPTIONS) 
    

    这里 x返回最优值对应自变量大多数是一个向量,fval 返回目标函数的最优值,A是不等式矩阵,b不等式右边的列向量,Aeq等式约束矩阵,beq等式右边的列向量,LB 和 UB 分别是变量 x的下界和上界, OPTIONS 是控制参数。(b,beq,LB,UB均为列向量)

    3.例题
    在这里插入图片描述

    clc;clear;
    c=[2;3;-5];
    A=[-2,5,-1;1,3,1]; 
    b=[-10;12]; 
    Aeq=[1,1,1]; 
    beq=7; 
    [x,fval]=linprog(-c,A,b,Aeq,beq,zeros(3,1)); %MATLAB中所给函数求的是最小值因为题目中求最大值所以-c
    fval=-fval;
    

    4.可以转化为线性规划的问题
    ①对绝对值的处理
    在这里插入图片描述
    对于“x=u-v”和“|x|=u+v”,任何一个数都可以被两个非负数表示如果这个数为正数+,那么x=u,v=0;如果这个数为负数-,那么x=v,u=0.
    ②例题
    在这里插入图片描述

    clc;clear;
    c=1:4;
    c=[c,c]';
    A=[1 -1 -1 1;1 -1 1 -3;1 -1 -2 3];
    A=[A,-A];                               %构造变换矩阵
    b=[-2 -1 -0.5]';
    [y,fval]=linprog(c,A,b,[],[],zeros(8,1));%没有等式约束,对应空矩阵[]
    x=y(1:4)-y(5:end);                      %变回到原问题x=u-v,对于y前四个为u,后四个为v
    

    对于这个方法我看到只能用一个字形容——妙啊

    二.整数线性规划的Matlab求解

    1. 线性规划中实际情况中,很多情况要求自变量为整数

    在这里插入图片描述

    2. 整数线性规划函数——intlinprog*

    [x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS) 
    

    这里intcon为代表了整数决策变量所在的位置,x0为初始变量(在求之前对所求变量做一个预估)。其它和linprog函数中的含义一样。

    3. 例题
    在这里插入图片描述

    clc;clear;
    c=[-3 -2 -1]';
    intcon=3;        %整数变量的位置为3 如果有3个都是整数则intcon=[1,2,3]
    A=ones(1,3);
    b=7;
    Aeq=[4,2,1];
    beq=12;
    LB=zeros(3,1);
    UB=[Inf;Inf;1];%对于x1,x2都是非负数,而x3为0-1之间的整数即x3=0或者1
    [x,fval]=intlinprog(c,intcon,A,b,Aeq,beq,LB,UB);
    

    3.非线性规划的Matlab标准形式及软件求解

    1.MATLAB中规定非线性规划的标准形式为
    在这里插入图片描述
    这里c(x)和ceq(x)为非线性向量函数

    2. 非线性规划函数——fmincon

    [x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,LB,UB,nonlcon,OPTIONS)
    

    这里fun是用M文件定义的函数f(x),x0是x的初始值,nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数c(x)和ceq(x)。
    其它和linprog函数中的含义一样。

    3. 例题
    在这里插入图片描述

    %% 编写函数fun
    function f=fun1(x)
    f=sum(x.^2)+8;
    end	
    %% 编写函数nonlcon
    function [g,h]=fun2(x)
    g=[-x(1)^2+x(2)-x(3)^2,x(1)+x(2)^2+x(3)^2-20];%非线性不等式约束
    h=[-x(1)-x(2)^2+2,x(2)+2*x(3)^2-3];%非线性等式约束
    end
    %% 主文件程序
    clc;clear;
    [x,fval]=fmincon(@fun1,rand(3,1),[],[],[],[],zeros(3,1),[],@fun2);
    

    4.二次规划的Matlab标准形式及软件求解

    1. MATLAB中规定二次规划的标准形式为
    在这里插入图片描述
    若某非线性规划的目标函数为自变量x的二次函数,约束条件又全是线性的,就称这种规划为二次规划

    2. 二次规划函数——quadprog

    [x,fval]=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,LB,UB,x0,OPTIONS)
    

    这里H为实对称矩阵,f相当于除去二次的线性规划系数

    3. 例题
    在这里插入图片描述

    clc;clear;
    H=[4,-4;-4,8];
    f=[-6,-3]';
    A=[1 1;4 1];
    b=[3 9]';
    [x,fval]=quadprog(H,f,A,b,[],[],zeros(2,1));%没有等式约束
    

    5.无约束极值问题的数值解

    1. fminunc和fminsearch

    [x,fval] = fminunc(fun,x0,OPTIONS)
    
    [x,fval] = fminsearch(fun,x0,OPTIONS)
    

    使用optimset可以设置OPTIONS
    fminsearch只能求出给定初值附近的一个极小值点(如果要求极大值求相反数)
    2. 例题
    在这里插入图片描述

    clc;clear;
    f=@(x)x(1)^3-x(2)^3+3*x(1)^2+3*x(2)^2-9*x(1);
    g=@(x)-f(x);
    [x1,fval1]=fminunc(f,rand(2,1));   %求极小值
    [x2,fval2]=fminsearch(g,rand(2,1));%求极大值
    fval2=-fval2;
    

    6.约束极值问题的数值解

    1. 单变量非线性函数极小值——fminbnd

    在这里插入图片描述

    [x,fval]=fminbnd(fun,x1,x2,OPTIONS)
    

    fun是用M文件定义的函数、匿名函数(@)或者Matlab中单变量数学函数。x∈[x1,x2]
    在这里插入图片描述

    clc;clear;
    f=@(x)(x-3)^2-1;
    [f,fval]=fminbnd(f,0,5);
    

    2.fseminf函数
    在这里插入图片描述
    这里c(x),ceq(x)为向量函数,Ki(x,wi)为标量函数,w1,w2,…,wn为附加变量。

    [x,fval]=fseminf(fun,x0,ntheta,seminfcon,A,b,Aeq,beq,LB,UB,OPTIONS)
    

    这里ntheta为半无穷约束Ki(x,wi)的个数,seminfcon用于定义非线性不等式约束c(x)、非线性等式约束ceq(x)和半无穷约束Ki(x,wi)的函数,seminfcon有两个输入参数x和s,s是推荐步长,也可以不使用。
    在这里插入图片描述

    %% 编写fun函数文件
    function f=fun1(x)
    f=sum((x-0.5).^2);
    end
    %% 编写seminfcon函数文件
    function [c,ceq,k1,k2,s]=fun2(x,s)
    c=[];ceq=[];%这里没有非线性等式和不等式约束
    if isnan(s(1,1))%如果s是NaN
    s=[0.2,0;0.2,0];
    end
    %取样值
    w1=1:s(1,1):100;
    w2=1:s(2,1):100;
    %半无穷约束
    k1=sin(w1*x(1)).*cos(w1*x(2))-1/1000*(w1-50).^2-sin(w1*x(3))-x(3)-1;
    k2=sin(w2*x(2)).*cos(w2*x(1))-1/1000*(w2-50).^2-sin(w2*x(3))-x(3)-1;
    %画图
    plot(w1,k1,'-',w2,k2,'+');
    end
    %% 编写主程序
    clc;clear;
    x0=[0.5;0.2;0.3];%如果初值不合适可能得不到可行解
    [x,feval]=fseminf(@fun1,x0,2,@fun2);
    

    3. fminimax函数
    在这里插入图片描述

    [x,fval]=fminimax(fun,x0,A,b,Aeq,beq,LB,UB,nonlcon,OPTIONS)
    

    这里nonlcon是用M文件定义的非线性向量函数c(x)和ceq(x)。
    在这里插入图片描述

    %% 编写函数文件
    function f=fun(x)
    f=[2*x(1)^2+x(2)^2-48*x(1)-40*x(2)+304,-x(1)^2-3*x(2)^2,x(1)+3*x(2)-18,-x(1)-x(2),x(1)+x(2)-8];
    end
    %% 编写主程序调用函数文件
    clc;clear;
    [x,fval]=fminimax(@fun,rand(2,1));
    

    2020/2/11今天看了数学建模线性相关的知识,感觉有很多不知道的函数用法,所以自己总结一下,以上全部来自于《数学建模算法与应用》。第一次写CSDN,可能写的有点乱。这些函数如果不经常用很可能忘所以记下来方便以后复习,重要的是大家一起分享吧!!!

    展开全文
  • 模式识别 线性判别函数 分类器 机器学习 课件
  • 常用的非线性激励函数

    千次阅读 2019-10-08 12:00:55
    在神经网络中为什么要引入非线性激励函数 Sigmoid tahn ReLU Leaky ReLU Parametric ReLU Swish 参考 在神经网络中为什么要引入非线性激励函数 为了回答上述这个问题,我们先抛出一个与之相关的问题: 什么叫...

    在神经网络中为什么要引入非线性激励函数


    为了回答上述这个问题,我们先抛出一个与之相关的问题:什么叫线性?

    线性就是利用形如: f ( x ) = w x + b f(x) = wx + b f(x)=wx+b 的表达式来表示输入与输出的关系。假如输入 x x x 与输出 f ( x ) f(x) f(x) 存在线性的关系,我们用表达式 f ( x ) = w x + b f(x) = wx + b f(x)=wx+b 可以很好的表征出这种关系。但是,一旦这种客观的、我们要求解的关系中本就含有非线性关系的话,还用线性表达式去拟合(你可以理解为去表征输入与输出的关系)的话,就会出现非常严重欠拟合现象(无法表示或者表示存在严重误差)。
    因为神经网络,存在大量的非线性关系的数据,所以需要引入非线程激励函数


    Sigmoid


    • 优点:映射数据在[0, 1]之间;梯度下降明显;
    • 缺点:容易引起梯度消失;输出不是以0为中心; e x p ( ) exp() exp() 计算成本高

    公 式 : σ ( x ) = 1 1 + e − x 公式:\sigma(x) = \frac{1}{1+e^{-x}} σ(x)=1+ex1
    导 数 : σ ( x ) ′ = σ ( x ) ( 1 − σ ( x ) ) 导数:\sigma(x)'=\sigma(x)(1-\sigma(x)) σ(x)=σ(x)(1σ(x))

    激活函数
    在这里插入图片描述
    导数
    在这里插入图片描述

    注意: Sigmoid 函数趋近 0 和 1 的时候变化率会变得平坦,也就是说,Sigmoid 的梯度趋近于 0。神经网络使用 Sigmoid 激活函数进行反向传播时,输出接近 0 或 1 的神经元其梯度趋近于 0。这些神经元叫作饱和神经元。因此,这些神经元的权重不会更新。此外,与此类神经元相连的神经元的权重也更新得很慢。该问题叫作梯度消失。因此,想象一下,如果一个大型神经网络包含 Sigmoid 神经元,而其中很多个都处于饱和状态,那么该网络无法执行反向传播。


    tahn


    • 优点:映射到[-1, 1]之间,收敛快速;
    • 缺点:容易引起梯度消失;

    公 式 : f ( x ) = t a n h ( x ) = 2 1 + e − 2 x − 1 公式:f(x) = tanh(x) = \frac{2}{1+e^{-2x}} - 1 f(x)=tanh(x)=1+e2x21
    导 数 : f ( x ) ′ = 1 − f ( x ) 2 导数:f(x)'=1-f(x)^2 f(x)=1f(x)2

    激活函数
    在这里插入图片描述
    导数
    在这里插入图片描述

    Tanh 激活函数又叫作双曲正切激活函数(hyperbolic tangent activation function)。与 Sigmoid 函数类似,Tanh 函数也使用真值,但 Tanh 函数将其压缩至-1 到 1 的区间内。与 Sigmoid 不同,Tanh 函数的输出以零为中心,因为区间在-1 到 1 之间。你可以将 Tanh 函数想象成两个 Sigmoid 函数放在一起。在实践中,Tanh 函数的使用优先性高于 Sigmoid 函数。负数输入被当作负值,零输入值的映射接近零,正数输入被当作正值


    ReLU


    • 优点:能快速收敛;能缓解梯度消失问题;提供神经网络稀疏表达能力;计算效率高;
    • 缺点:随着训练的进行,可能回出现神经元死亡,权重无法更新;不以0为中心;如果 x < 0 x < 0 x<0,形成死区;

    公 式 : f ( x ) = m a x ( 0 , x ) 公式:f(x) = max(0, x) f(x)=max(0,x)
    导 数 : f ( x ) ′ = { 0 f o r x < 0 1 f o r x ≥ 0 导数:f(x)' = \left\{\begin{matrix} 0& for& x < 0\\ 1& for& x \geq 0 \end{matrix}\right. f(x)={01forforx<0x0

    激活函数
    在这里插入图片描述
    导数

    在这里插入图片描述

    当输入 x<0 时,输出为 0,当 x> 0 时,输出为 x。该激活函数使网络更快速地收敛。它不会饱和,即它可以对抗梯度消失问题,至少在正区域(x> 0 时)可以这样,因此神经元至少在一半区域中不会把所有零进行反向传播。由于使用了简单的阈值化(thresholding),ReLU 计算效率很高


    Leaky ReLU


    • 优点:高效、快速收敛、正区域不饱和;对 ReLU的扩展;

    公 式 : f ( x ) = m a x ( 0.1 x , x ) 公式:f(x) = max(0.1x, x) f(x)=max(0.1x,x)

    激活函数
    在这里插入图片描述

    Leaky ReLU 的概念是:当 x < 0 时,它得到 0.1 的正梯度。该函数一定程度上缓解了 dead ReLU 问题,但是使用该函数的结果并不连贯。尽管它具备 ReLU 激活函数的所有特征,如计算高效、快速收敛、在正区域内不会饱和。
    Leaky ReLU 可以得到更多扩展。不让 x 乘常数项,而是让 x 乘超参数,这看起来比 Leaky ReLU 效果要好。该扩展就是 Parametric ReLU.


    Parametric ReLU


    公 式 : f ( x ) = m a x ( α x , x ) 公式:f(x) = max(\alpha x, x) f(x)=max(αx,x)

    导数
    在这里插入图片描述

    其中是超参数。这里引入了一个随机的超参数,它可以被学习,因为你可以对它进行反向传播。这使神经元能够选择负区域最好的梯度,有了这种能力,它们可以变成 ReLU 或 Leaky ReLU。

    总之,最好使用 ReLU,但是你可以使用 Leaky ReLU 或 Parametric ReLU 实验一下,看看它们是否更适合你的问题


    Swish


    公 式 : σ ( x ) = x 1 + e − x 公式:\sigma(x) = \frac{x}{1+e^{-x}} σ(x)=1+exx

    激活函数
    在这里插入图片描述

    根据论文(https://arxiv.org/abs/1710.05941v1),Swish 激活函数的性能优于 ReLU 函数

    根据上图,我们可以观察到在 x 轴的负区域曲线的形状与 ReLU 激活函数不同,因此,Swish 激活函数的输出可能下降,即使在输入值增大的情况下。大多数激活函数是单调的,即输入值增大的情况下,输出值不可能下降。而 Swish 函数为 0 时具备单侧有界(one-sided boundedness)的特性,它是平滑、非单调的。


    参考

    1. 参考多处网络资源,由于笔记记录较久,现已经不可察,感谢童鞋们的无私分享;
    展开全文
  • ReLU激活函数线性整流函数

    千次阅读 2020-01-22 23:34:22
    在深度神经网络中,通常使用一种叫修正线性单元(Rectified linear unit,ReLU)作为神经元的激活函数。ReLU起源于神经科学的研究:2001年,Dayan、Abott从生物学角度模拟出了脑神经元接受信号更精确的激活模型,如下...

    起源

    在深度神经网络中,通常使用一种叫修正线性单元(Rectified linear unit,ReLU)作为神经元的激活函数。ReLU起源于神经科学的研究:2001年,Dayan、Abott从生物学角度模拟出了脑神经元接受信号更精确的激活模型,如下图:

    fig1

    其中横轴是时间(ms),纵轴是神经元的放电速率(Firing Rate)。同年,Attwell等神经科学家通过研究大脑的能量消耗过程,推测神经元的工作方式具有稀疏性和分布性;2003年Lennie等神经科学家估测大脑同时被激活的神经元只有1~4%,这进一步表明了神经元的工作稀疏性。而对于ReLU函数而言,类似表现是如何体现的?其相比于其他线性函数(如purlin)和非线性函数(如sigmoid、双曲正切)又有何优势?下面请各位看官容我慢慢道来。
     

    激活函数形式:

    ReLU激活函数的形式,如下图:

    这里写图片描述

    从上图不难看出,ReLU函数其实是分段线性函数,把所有的负值都变为0,而正值不变,这种操作被成为单侧抑制。可别小看这个简单的操作,正因为有了这单侧抑制,才使得神经网络中的神经元也具有了稀疏激活性。尤其体现在深度神经网络模型(如CNN)中,当模型增加N层之后,理论上ReLU神经元的激活率将降低2的N次方倍。这里或许有童鞋会问:ReLU的函数图像为什么一定要长这样?反过来,或者朝下延伸行不行?其实还不一定要长这样。只要能起到单侧抑制的作用,无论是镜面翻转还是180度翻转,最终神经元的输出也只是相当于加上了一个常数项系数,并不影响模型的训练结果。之所以这样定,或许是为了契合生物学角度,便于我们理解吧。
    那么问题来了:这种稀疏性有何作用?换句话说,我们为什么需要让神经元稀疏?不妨举栗子来说明。当看名侦探柯南的时候,我们可以根据故事情节进行思考和推理,这时用到的是我们的大脑左半球;而当看蒙面唱将时,我们可以跟着歌手一起哼唱,这时用到的则是我们的右半球。左半球侧重理性思维,而右半球侧重感性思维。也就是说,当我们在进行运算或者欣赏时,都会有一部分神经元处于激活或是抑制状态,可以说是各司其职。再比如,生病了去医院看病,检查报告里面上百项指标,但跟病情相关的通常只有那么几个。与之类似,当训练一个深度分类模型的时候,和目标相关的特征往往也就那么几个,因此通过ReLU实现稀疏后的模型能够更好地挖掘相关特征,拟合训练数据。

    此外,相比于其它激活函数来说,ReLU有以下优势:对于线性函数而言,ReLU的表达能力更强,尤其体现在深度网络中;而对于非线性函数而言,ReLU由于非负区间的梯度为常数,因此不存在梯度消失问题(Vanishing Gradient Problem),使得模型的收敛速度维持在一个稳定状态。这里稍微描述一下什么是梯度消失问题:当梯度小于1时,预测值与真实值之间的误差每传播一层会衰减一次,如果在深层模型中使用sigmoid作为激活函数,这种现象尤为明显,将导致模型收敛停滞不前。
     

    展开全文
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  • 线性相关

    千次阅读 2019-05-12 10:25:56
    作为一名不是很优秀的... 其中我想到,在信号与线性系统分析中也有涉及到信号的自相关函数,它的形式是对应时间点的信号值相乘后积分再取平均。 得到网上某位大佬的指点,我知道这不就和空间几何向量中或者线性代数...
  • 几种常见的激活函数

    万次阅读 多人点赞 2016-09-30 13:16:21
    注意非线性函数部分(也称为激活函数),是神经网络中很重要的一个部分,但是即使我们把非线性函数部分去掉,把W1x直接和W2相乘我们也可以得到10个类别得分,但是这样就少了一些扰动(wiggle),影响泛化性能等。...
  • 本篇主要整理下激活函数相关内容。 首先讲下激活函数需要满足的条件: 计算简单 非线性 为什么需要满足非线性呢?我们来看下面这个例子。 如图单隐层神经网络,我们在计算的时候有如下公式: z1(2)=w[1]x+b[1]...
  • 深度学习中常见的损失函数

    千次阅读 2020-04-28 11:00:00
    文章来源于AI的那些事儿,作者黄鸿波2018年我出版了《TensorFlow进阶指南 基础、算法与应用》这本书,今天我把这本书中关于常见的损失函数这一节的内容公开出来,希望能对大家有所帮...
  • 常见函数泰勒公式展开(清晰)

    万次阅读 多人点赞 2021-02-17 00:12:04
    B2n​(−4)n(1−4n)​x2n−1=x+31​x3+152​x5+31517​x7+283562​x9+1559251382​x11+608107521844​x13+638512875929569​x15+⋯,x∈(−2π​,2π​)​ 相关链接 微积分常用导数总结 常用等价无穷小的整理 其中 { ...

空空如也

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