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  • 常见的线性空间的例子
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    2019-11-25 14:29:13

    设R+为所有正实数组成的数集,其加法及数乘运算定义为(奇怪的加法与数乘)
    a⊕b=ab, a,b∈R+
    k•a=ak, k∈R, a∈R+

    证明R+是R上的线性空间
    证明:
    实际上验证10条
    对加法封闭:设a,b∈R+,则a⊕b=ab∈R+
    a、b都是正实数,那么ab乘积也是正实数是显然的。
    对数乘封闭:设k∈R ,k•a=ak∈R+
    正实数a的指数次方肯定是正实数
    1.a⊕b=ab=ba= b⊕a 加法交换律
    2. (a⊕b)⊕c=(ab) ⊕c=(ab)c=a(bc)=a⊕(b⊕c) 加法结合律
    3. a⊕b=a•1=a,故1是0元素
    4. a⊕1/a=a•1/a=1,故 1/a是负元素
    5.k•(a⊕b)= k•(ab)=(ab)k= akbk= (k•a)⊕(k•b) 数因子分配律
    6.(λ+μ) •a=aλ+μ= aλ⊕aμ=(λ•a)⊕(μ•b) 分配律
    7. λ•(μ•a)= λ•aμ= (aμ)λ=aλμ=(λμ) •a 数因子结合律
    8.1•a=a*1=a

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    线性空间

    本篇主要内容:

    1.线性空间及子空间

    2.向量的线性关系

    3.基、维数、坐标

    4.子空间的交与和

    5.子空间的直和

    6.线性空间的同构

    线性空间的定义与性质

    1.线性空间的定义

    设V是一个非空集合,F是一个数域,称V为F上的一个线性空间,如果满足以下运算规则:

    加法 :V \times V \rightarrow V

                 \left ( \alpha ,\beta \right )\rightarrow \gamma := \alpha +\beta

    • \alpha +\beta =\beta +\alpha                                        
    • \left ( \alpha +\beta \right )+\gamma =\alpha +\left ( \beta +\gamma \right )                  
    • \alpha +0=\alpha       
    • \alpha +\beta =0

    数乘 :F \times V \rightarrow V

                 \left ( k,\alpha \right )\rightarrow \beta := k\alpha

    • \left ( k+l \right )\alpha = k\alpha +l\alpha
    • k\left ( \alpha +\beta \right )= k\alpha +k\beta
    • \left ( kl \right )\alpha =k\left ( l\alpha \right )
    • 1\cdot \alpha = \alpha

    其中 \alpha ,\beta ,\gamma 为V的任意元素,k , l为F中的任意数。

    举例几个常见的线性空间:

    \left ( i\right ) F^{m\times n} : 数域F上的全体m✖️n矩阵关于矩阵的加法与数乘运算构成F上的线性空间。特别地,F^{m}表示F上的m维列空间或行空间

    \left ( ii \right )F\left [ x \right ] : 数域F上的一元多项式环 F\left [ x \right ] 关于多项式的加法及数与多项式的乘法作成的线性空间

    \left ( iii \right )F_{n}\left [ x \right ] : 数域F上的一切次数 \leq n 的多项式加上零多项式组成的线性空间

    2.线性空间的简单性质

    1. 零元,负元唯一
    2. k\alpha = 0\Leftrightarrow k= 0 \; or \; \alpha =0
    3. -\left ( -\alpha \right )= \alpha
    4. -\left ( k\alpha \right )=\left ( -k \right )\alpha =k\left ( -\alpha \right )
    5. k\left ( \alpha -\beta \right )= k\alpha -k\beta
    6. \alpha +\beta = \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma -\beta

    向量的线性关系

    V_{F}——F上的线性空间,F为基域

    线性组合与线性表示

    1. \alpha _{i}\in V_{F}, i= 1,2,...,s  称  k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}\left ( k_{i}\in F \right )  为 \alpha _{1},...,\alpha_{s} 的一个线性组合
    2. \alpha \in V_{F},\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )\alpha 可由 \left ( I \right ) 线性表示,如果 \alpha _{}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}
    3. 如果向量 \alpha 可由 \beta _{1},...,\beta _{n} 线性表示,而每个 \beta _{i} 又可由 \alpha _{1},...,\alpha _{n} 线性表示,则 \alpha 可由 \alpha _{1},...,\alpha _{n} 线性表示

    线性相关与线性无关

    1. \alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right ) 若向量方程 k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}= 0\left ( \ast \right ) 只有零解,则称向量组 \left ( I \right ) 是线性无关的,否则则称 \left ( I \right ) 是线性相关的
    2. F^{n} 的m个向量 \alpha _{i}= \left ( \alpha _{1i},\alpha _{2i},...,\alpha _{ni} \right )^{'}\left ( i= 1,...,m \right ) 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 AX= 0 有非零解,其中 A= \left ( a_{ij} \right )_{n\times m} ,即 r\left ( A \right )< M .特别地,当 m= n 时,\alpha _{1},...,\alpha _{n} 线性相关当且仅当 \begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0
    3. 将一个线性相关(无关)当向量组任意添加(减少)若干个非零向量所得的新向量组任线性相关(无关)
    4. \alpha _{1},...,\alpha _{r} 线性无关,则 \beta 不能由 \alpha _{1},...,\alpha _{r} 线性表示的充要条件是 \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta 线性无关
    5. \beta 可由 \alpha _{1},...,\alpha _{r} 线性表示,则表示法唯一的充要条件是 \alpha _{1},...,\alpha _{r} 线性无关
    6. A\in F^{m\times n},则对A 施行初等行变换不改变A 的列向量的线性关系(求极大线性无关组)

     向量组的等价

    1. \alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )\beta _{1},...,\beta _{s}\left ( 2 \right ) 等价,若 \left ( 1 \right ) 与 \left ( 2 \right ) 相互线性表示
    2. 等价具有对称、传递、反身性
    3. 替换定理:设向量组 \left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r} 线性无关,并且可由向量组 \left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s} 线性表示,则 \left ( i \right )r\leq s  \left ( ii \right )\left ( 1 \right ) 去替换 \left ( 2 \right ) 中的r个向量,必要时重新排序得 \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{s}\left ( 3 \right )  与 \left (2 \right ) 等价
    4. 逆否命题:设\left ( 1 \right ):\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{r} 可由向量组 \left ( 2 \right ):\beta _{1},...,\beta _{s} 线性表示且 r\geq s ,则 \left ( 1 \right ) 线性相关

    替换定理证明:

    当 r = 1 时,\alpha _{1}=k_{1}\beta _{1}+...+k_{s}\beta _{s}

    不妨设 k_{1}\neq 0\beta _{1}= \frac{1}{k_{1}}\alpha _{1}-\frac{k_{2}}{k_{1}}\beta _{2}-...-\frac{k_{s}}{k_{1}}\beta _{s}

    \left ( i \right )1\leq s

    \left ( ii \right )\alpha _{1},\beta _{2},...,\beta _{s}\Leftrightarrow \left ( 2 \right )

    令 r-1 时定理得证

    即有 \left ( i \right )r-1\leq s \left ( ii \right )\alpha _{1},..,\alpha _{r-1},\beta _{r},...,\beta _{s}\left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )

    \left ( 1 \right ) 可由 \left ( 4 \right ) 线性表示得 \alpha _{r}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r-1}\alpha _{r-1}+k_{r}\beta _{r}+...+k_{s}\beta _{s}(k_{r},...,k_{s}\; not\; all \; zero)

    s\neq r-1\Rightarrow r\leq s

    不妨设 k_{r}\neq 0\beta _{r} 可由 \alpha _{1},..,\alpha _{r},\beta _{r+1},..,\beta _{s} \left ( 3 \right ) 线性表示

     故 \left ( 3 \right )\Leftrightarrow \left ( 4 \right )\Leftrightarrow \left ( 2 \right )

    推论 1 : 向量个数多的向量组可由向量个数少的向量组线性表示,则前者必线性相关

            2 : n+1个n元向量组必线性相关

    极大线性无关组

    1. 向量组 \alpha _{1},...,\alpha _{r} 中的部分向量组 \beta _{1},...,\beta _{s} 称为一个极大线性无关组,如果 \left ( i \right )\beta _{1},...,\beta _{s} 线性无关 \left ( ii \right )\alpha _{1},...,\alpha _{r} 中的任一向量都可由 \beta _{1},...,\beta _{s} 线性表示
    2. 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为该向量组的秩
    3. 等价的向量组必等秩;反之不真
    4. 设两个向量组 \alpha _{1},...,\alpha _{s}\beta _{1},...,\beta _{t} 的秩都为r,并且\alpha _{1},...,\alpha _{s} 可由 \beta _{1},...,\beta _{t} 线性表示,则这两个向量组等价

     如何求极大线性无关组

    例:在 F^{4} 中,求向量组 \alpha _{1}= \left ( 1,0,-1,1 \right ),\alpha _{2}= \left ( 2,1,-2,0 \right ), \alpha _{3}= \left ( -2,-1,0,1 \right ),\alpha _{4}= \left ( 0,-1,2,1 \right ) 的一个极大线性无关组,并用之表示其余向量

    解:以 \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4} 为列作矩阵

            A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 &0 \\ 0&1 &-1 &-1 \\ -1&-2 &0 &2 \\ 1&0 &1 &1 \end{pmatrix}

    对A施行初等行变换

    A\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2&0 \\ 0& 1& -1 & -1\\ 0& 0 & -2&2 \\ 0& -2 & 3 & 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0 & 1 & -1& -1\\ 0& 0& -2 & 2\\ 0& 0& 1& -1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2\\ 0& 1 & 0 & -2\\ 0& 0& 1&-1 \\ 0& 0& 0& 0 \end{pmatrix}

    于是 \alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3} 就是所求的一个极大线性无关组,并且 \alpha _{4}= 2\alpha _{1}-2\alpha _{2}-\alpha _{3}


    基、维数与坐标

    数域 F 上的线性空间 V 中向量组 \alpha _{1},...,\alpha _{n} 称为 V的一个基,如果

     \left ( 1 \right )\alpha _{1},...,\alpha _{n} 线性无关

    \left ( 2 \right )\forall \alpha \in V,\alpha 可由 \alpha _{1},...,\alpha _{n}线性表示

    注:线性空间 V的一个基实际上就是 V中全体向量的一个极大线性无关组

           基向量是有序的

           基不唯一,基所含向量个数唯一

    扩充基定理: \alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )V^{F}的一组线性无关的向量,\beta _{1},...,\beta _{n}\left ( 2 \right )V^{F}的一个基,

     则 \left ( 1 \right ) 可扩充为 V^{F}的一个基 \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{r+1},...,\beta _{n}\left ( 3 \right )

    V是数域F上的n维线性空间,\alpha _{1},...,\alpha _{n}V的一个基,对\forall \alpha \in V\alpha = k_{1}\alpha _{1}+k_{2}\alpha _{2}+...+k_{n}\alpha _{n},称 \left ( k_{1},k_{2},...,k_{n} \right )\alpha\alpha _{1},...,\alpha _{n}下的坐标,其中 k_{i}\in F,\; i= 1,...,n

    求向量关于基的坐标:设\alpha _{1},...,\alpha _{n}F^{n}的一个基,\beta \in F^{n}A= \left ( \alpha_{1},...,\alpha _{n},\beta \right )\rightarrow \left ( I_{n},\alpha \right ),则 \alpha 是 \beta 关于\alpha _{1},...,\alpha _{n} 的坐标

    基变换与坐标变换

    \alpha _{1},...,\alpha _{n}\beta _{1},...,\beta _{n} 是n维线性空间V的两个基,并且有

    \left\{\begin{matrix} \beta _{1}= & a_{11}\alpha _{1}+ a_{21}\alpha _{2} +...+a_{n1}\alpha _{n} & \\ \beta _{2}= & a_{12}\alpha _{1}+ a_{22}\alpha _{2} +...+a_{n2}\alpha _{n} & \\ ......\\ \beta _{n}= & a_{1n}\alpha _{1}+ a_{2n}\alpha _{2} +...+a_{nn}\alpha _{n} & \end{matrix}\right.

    形式上记为 \left ( \beta _{1},\beta _{2},...,\beta _{n} \right )= \left ( \alpha_{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n} \right )A

    则称A为由\alpha _{1},...,\alpha _{n}到基\beta _{1},...,\beta _{n}的过渡矩阵

    基到基的过渡矩阵可逆

    过渡矩阵求法 A= \left ( \alpha _{1},...,\alpha _{n},\beta _{1},...,\beta _{n} \right )\rightarrow \left ( I_{n},T \right )T即为所求


    子空间及其交与和

    子空间

    W是数域F上线性空间V的一个非空子集,如果W对于V的加法与数乘也构成F上的线性空间,则称WV的一个子空间

    V,\left \{ 0 \right \} 称为V的平凡子空间,其余子空间称为真子空间

    VF上的一个线性空间,\varnothing \neq W\subseteq V

    WV的子空间\Leftrightarrow \forall \alpha,\beta \in W,k,l\in F,k\alpha +l\beta\in W

    定理 W\subseteq V^{F},dimW= dimV^{F}\Rightarrow W= V^{F}

    生成子空间

    L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= \left \{ k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}\mid k_{i}\in F \right \}

    每个 \alpha _{i} 称为生成元

    L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )V^{F}中包含 \alpha _{1} ,...,\alpha _{r} 的最小的子空间(线性包)

    dimL\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )\alpha _{1} ,...,\alpha _{r} 的秩 \mid \alpha _{1},...,\alpha _{r} 的一个极大线性无关组是  L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right ) 的一个基

    L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )= L\left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )\Leftrightarrow \alpha _{1},...,\alpha _{r}\beta _{1},...,\beta _{t} 等价

    子空间的交与和

    子空间的交:设V_{1},V_{2}V^{F} 的子空间

    \left ( 1 \right )V_{1}\cap V_{2}V^{F} 的子空间

    \left ( 2 \right )V_{1}\cup V_{2}  V^{F} 的子空间  \Leftrightarrow V_{1}\subseteq V_{2}\; or\; V_{2}\subseteq V_{1}

     证明:\Rightarrow :V_{1}\cup V_{2} 是 V 的子空间,对\forall \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2},有\alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}

                     则 \exists \alpha \in V_{1}\; s.t. \; \alpha _{1}+\alpha _{2}= \alpha

                     \alpha _{2}= \alpha -\alpha _{1}\in V_{1}V_{2}\subseteq V_{1}

                \Leftarrow :V_{1}\subseteq V_{2} ,对 \forall \alpha _{1},\alpha _{2}\in V_{1}\cup V_{2}\subset V_{2}

                     \alpha _{1}+\alpha _{2}\in V_{2}\subset V_{1}\cup V_{2}

                     所以V_{1}\cup V_{2}V的子空间

    子空间的和:V_{1}+V_{2}=\left \{ \alpha _{1}+\alpha _{2}\mid \alpha _{1}\in V_{1},\alpha _{2}\in V_{2} \right \} 是 V^{F} 的子空间

    证明:\forall \alpha ,\beta \in V_{1}+V_{2} \; \; \alpha = \alpha _{1}+\alpha _{2}, \beta = \beta _{1}+\beta _{2} \; \: where\; \alpha _{1},\beta _{1}\in V_{1}\; \alpha _{2},\beta _{2}\in V_{2}

               k\alpha +\beta = \left ( k\alpha _{1}+\beta _{1} \right )+\left ( k\alpha _{2}+\beta _{2} \right )\in V_{1}+V_{2}

    性质1:V_{1}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r} \right )\; \; V_{2}= \left ( \beta _{1},...,\beta _{t} \right )

                 则 V_{1}+V_{2}= L\left ( \alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t} \right )

    性质2:V^{F}中包含V_{1}V_{2} 的最小子空间是 V_{1}+V_{2}

     子空间的和是子空间,但子空间的并未必是子空间。

    XOY平面——二维线性空间,V_{1} 是x轴,V_{2} 是y轴

    子空间的和——XOY平面    子空间的并——x轴与y轴两条直线

    子空间的维数公式:dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}-dim\left ( V_{1}\cap V_{2} \right )

    证明:V_{1}\cap V_{2}:\alpha _{1},...,\alpha _{r}\left ( 1 \right )

               V_{1}:\alpha _{1},...,\alpha _{r},\beta _{1},...,\beta _{t}\left ( 2 \right )

               V_{2}: \alpha _{1},...,\alpha _{r},\gamma _{1},...,\gamma _{s}\left ( 3 \right )

    k_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}+p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}= 0

    V_{1}\nik_{1}\alpha _{1}+...+k_{r}\alpha _{r}+l_{1}\beta _{1}+...+l_{t}\beta _{t}= -p_{1}\gamma _{1}-...-p_{s}\gamma _{s}\left ( \ast \right )\in V_{2}

    p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}P

    P\in V_{1}\cap V_{2}    P= m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}

    p_{1}\gamma _{1}+...+p_{s}\gamma _{s}+m_{1}\alpha _{1}+...+m_{r}\alpha _{r}= 0 

    p_{1},...,p_{s} 全为0,代入\left ( \ast \right )k_{1},...,k_{r},l_{1},...,l_{t} 全为0

    子空间的直和:W= V_{1}+V_{2}V^{F}的和,若W的每一个向量的表示唯一,则称WV_{1}V_{2} 的直和,记为V^{F}= V_{1}\oplus V_{2}

    定理:(如下图)

    V_{1},V_{2}V^{F}的子空间,则以下几条等价V_{i}V^{F}的子空间\left ( i= 1,2,...,s \right ),则以下几条等价
    零向量表示唯一零向量表示唯一
    V_{1}\cap V_{2}= \left \{ 0 \right \}V_{i}\cap \left ( \sum_{i\neq j}^{} V_{j}\right )= \left \{ 0 \right \}
    dim\left ( V_{1}+V_{2} \right )= dimV_{1}+dimV_{2}dim(V_{1}+...+V_{s})= dimV_{1}+...+dimV_{s}
    V_{1}+V_{2} 是直和V_{1}+...+V_{s} 是直和

     余子空间:V= V_{1}\oplus V_{2}  称V_{2}V_{1} 的余子空间

     余子空间存在但不唯一


    线性空间的同构

    V^{F}\cong W^{F}\Leftrightarrow\left ( 1 \right )\sigmaV^{F}\rightarrow W^{F} 的双射

                              \left ( 2 \right )\sigma \left ( k\alpha +\beta \right )= k\sigma\left ( \alpha \right )+\sigma \left ( \beta \right )

    性质:

    1. \sigma \left ( 0 \right )= 0
    2. \sigma \left ( k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s} \right )= 0\Leftrightarrow k_{1}\sigma \left ( \alpha _{1} \right )+...+k_{s}\sigma \left ( \alpha _{s} \right )= 0
    3. \alpha _{1},...,\alpha _{n}V^{F}的一个基 \Leftrightarrow \sigma \left ( \alpha _{1} \right ),...,\sigma \left ( \alpha _{n} \right )V^{F}的一个基
    4.  \sigma \left ( V^{F} \right )= \left \{ \sigma \left ( \alpha \right ) \mid \alpha \in V^{F}\right \}V^{F}的子空间
    5. dimV^{F}= n,V^{F}\cong F^{n},\varphi :\alpha \overset{\alpha _{1},...,\alpha _{n}}{\rightarrow}\left ( x_{1},...,x_{n} \right )^{'}                                                                                                                       F上任意两个n维线性空间都同构                                                                                                                                                             进一步:两个有限维线性空间同构 \Leftrightarrow 维数相等

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  • 【矩阵论】线性空间与线性变换(1)

    千次阅读 多人点赞 2020-09-30 16:53:31
    《矩阵论》东南大学公开课随课笔记-线性空间与变换(1)

    线性空间与线性变换


    #1 线性空间的定义

    目录

    • 线性空间的形式化定义
    • 常见的线性空间举例
    • 非线性空间反例举例
    • 线性空间的性质汇总
    • 线性相关性及其结论

    在数学中,尤其是代数中,人们常常喜欢把“运算规律相同”的物体归为一类进行讨论,从而就提出了各种各样的【代数系统】的概念。

    比较常见的代数系统:群、环、域
    线性空间也是其中一个较为常见的代数系统。

    1. 线性空间的形式化定义
      ①首先先定义一个集合(代数系统)
      需要一个非空集合和一个数域
      在这里插入图片描述

    对于上面定义的集合,在集合上又定义了两个运算(加法和数乘),注意上面的表达还需要满足“封闭性”。也即:集合内的两个元素进行加法和数乘运算的结果也需要在集合中才行。

    ②再关于上述两种运算定义一些性质

    满足下述运算性质的集合就可以成为线性空间,线性空间这个集合内的元素就可以称为向量。
    在这里插入图片描述
    性质1——加法满足交换律
    性质2——加法满足结合律
    性质3——需要存在零元素
    性质4——需要存在负元素
    【以上四条性质均为针对加法运算而言】
    p.s. 上述的零元素和负元素,均是针对某一集合定义的某一运算而言的,符合相应的定义即可,并不意味着零元素的数值一定是实数0.
    性质5——元素1和任意元素的乘积都等于元素本身
    性质6——数乘系数的结合性
    性质7——数乘运算对系数和具有分配律
    性质8——数乘运算对元素和具有分配律
    【后四条性质是针对数乘运算而言的】

    1. 常见的线性空间举例
      ①数域空间上的n维向量集合——V = Fn

    对于这样一个n维向量,既可以理解为行向量,又可以理解为列向量。

    ②数域空间上的n维方阵集合——V = Fnxn

    ③系数在数域F中关于x的多项式的全体——V = F[x]

    ④系数在数域F中关于x的多项式的部分集合——V = Fn[x]

    也就是,系数在数域F中关于x的多项式集合中,只有那些次数小于n或者全零多项式才能包含在该集合中。
    在这里插入图片描述
    讲到这个集合的时候可以自己在心里验证一下,在这个系统上定义的数乘和加法运算是否具有封闭性。

    ⑤V = C,F = R

    按照前文中关于线性空间的定义,集合V直接取的就是全体复数,复数的加法一定是满足性质的,而复数也可以和实数进行数乘运算,且运算的结果也具有封闭性、结合性和分配律。

    ⑥V = C,F = C

    同理,复数的加法,复数和复数的乘法同样可以构成一个线性空间。

    ⑦再来看一个非典型的线性空间例子

    指定了相应的元素集合V和数域F,同时为了使这个集合具有线性空间的性质,自己对加法和数乘运算进行了重新定义。
    在这里插入图片描述
    以下会对线性空间的性质进行验证,读者可以体会一下所谓“零元素”和“负元素”为什么是针对具体的集合和运算而言的。

    【验证】

    性质1和2:数乘的交换律和结合律↔加法的交换律和结合律

    性质3:零元素——存在一个θ元素,该元素和任意元素的加法运算得到的为原元素本身
    性质4:负元素——存在一个β元素,任意元素和该元素的加法
    在这里插入图片描述
    根据上图的推导,对于我们自己定义的数乘和加法运算而言,零元素是数字1,负元素是某一元素的倒数。

    性质7:数乘运算对系数的分配律。
    如下图的推导过程,有一个点要记住【自我提醒!!】系数的加法是通常意义上的加法,但是分配之后的加法是定义的加法。
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    1. 非线性空间反例举例

    通常对于非线性空间进行判定时,只需要找到一个反例即可。
    而找反例的突破口就是从线性空间的定义和性质两个方面来入手——其一就是要验证加法和数乘运算的封闭性;其二就是要验证线性空间的运算性质是否都满足。

    ①V = R,F = C

    不满足数乘封闭性

    ②V = R+,F = R,通常运算

    说明:注明的【通常运算】意味着在该集合上定义的数乘和加法运算就是我们通常意义上所见到的数乘和加法运算。

    同样不满足数乘封闭性

    1. 线性空间的性质汇总

    假设V是数域F上的线性空间,则

    ①V中的零向量是唯一的

    证明思路:在数学中碰到“唯一性”证明都会想到使用反证法,假设存在两个元素θ1和θ2均是零向量,那么最后需要能够推出该两个元素是相等的。
    证明的依据就是选用线性空间定义中的几条公理和性质。
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    利用零元素的性质(任何元素加上零元素都等于它自身),当θ2是零元素的时候,θ1 = θ1+θ2;当θ1是零元素的时候,也有θ2=θ1+θ2,根据等式传递性从而得证θ1 = θ2.

    ②对于V中的任意一个元素α,α的负元素是唯一的,记为-α

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    思路讲解(从左到右,从上到下共有7个等号)按照等号的顺序和意义进行说明
    等号1:零元素的定义
    等号2:负元素的定义(某个元素和其负元素的和等于零元素)
    等号3:加法的结合性
    等号4:加法的交换性
    等号5:负元素的定义(题目假设了β1和β2都是α的负元素)
    等号6:加法的交换律
    等号7:零元素的定义
    最终根据等式可得到β1 = β2

    ③加法消去律
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    注意在证明的时候,要始终记得我们所处的背景是线性空间,只定义了两类运算,而且也只有有限的定理可以使用。

    证明:等式两边同时加上α的负元素即可。

    ④向量方程的解
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    虽然在我们常用的代数系统中解上述方程,只要移项就可以得到相应的解。但是在向量空间这样一个新定义出来的线性系统,我们只定义了数乘和加法运算,不能想当然去解,只能用已知的性质来理解。

    理解:两边同时加上α的负元素,就可以得到向量方程的解x = β - α

    ⑤数乘运算和负运算的可交换性(自己起的名字,非官方)
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    ⑥零元素相关的性质
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    回想一下我们在线性代数这门课程中学习到的有关向量的一些概念,比如线性相/无关,线性组合,无关向量组等等,这些概念的提出本质上就是基于数乘和加法运算。
    现在类比我们在实数域范围定义的线性空间,在给定的数乘和加法运算下,我们同样也可以得到相关的概念。

    1. 线性相关/无关及其性质

    (1)线性相关/线性无关的定义
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    (2)线性相关性的相关性质

    ①【一组线性相关的向量,存在某一个向量,可以由其余的向量线性表示出来】
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    证明与理解
    上述结论是一个充要条件,在证明时需要分别从充分性和必要性分别去证明。
    <必要性>
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    因为存在某一个不为零的系数,可以利用前面讨论的线性空间的运算性质,将某个向量对应地进行求解表示。
    <充分性>
    充分性,就是已知某一个向量可以由其他向量线性表示,那么必然存在一个为1(或者是-1)的系数,就满足“不全部为0的系数”这一条件,故必然是线性相关的。

    ②线性相关与线性表示的关系
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    ③向量组的极大线性无关性
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    通过该定理可以说明,任意一个向量组的两个极大线性无关组中应该含有相同个数的向量,向量的个数就被称为向量组的秩

    【推论】-反映两个向量组之间的线性关系与向量组的向量个数之间的关系
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    (3)例题

    ①证明向量组的线性无关(相关)性

    注意,这之后我们讨论的线性空间都是广义的线性空间,比如这一道题中,每一个向量是一个2维方阵

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    • 对于线性相关性的有关证明,方法论就是先假设存在一系列系数,对向量组中的各个向量进行线性组合结果为0,然后去推导是否所有系数均为0.即,都是根据线性相关和线性无关的定义去判定。
    • 上述E11 E12 E21 E22 这四个向量组成的向量组是线性无关的,所以这四个向量均被称作是矩阵单位。

    ②证明向量组的线性相关性
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    思路上同,按照定义进行列写再展开,从而将验证多项式向量组是否线性相关的问题 转换成 验证下面这个三阶三次的齐次方程组是否具有非零解。
    有非零解,则线性相关。

    ③不同F和V的取值对于向量组线性相关性的影响
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    在题3中,因为F = R,所以系数要从F,也即R集合中取,故α1和α2都是线性无关的。

    在题4中,因为F = C,所以系数要从C中取,当a = i,b = -1时,aα1+bα2 = 0就成立了,且此时a和b并不是全0,所以此时两个向量是线性相关的。

    ④数乘和加法的不同定义对于向量组线性相关性的影响
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    【直接截取的老师的板书,有点凌乱,请见谅】
    回顾一下上文中我们自己定义的一个特殊的线性空间,数乘表示乘幂,加法表示乘法的一个线性空间。

    当我们按照线性相关的定义书写k1α1+k2α2+…+knαn = 0这样的式子,不仅要注意系数从哪个集合中取,还要注意其中的加法和数乘运算都可能是自己定义出来的。
    按照上述的运算,列写的两个向量2和3是线性相关的。

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    一.域F上线性空间的同构(8.3)
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    1.线性空间同构
    (1)定义:
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    (2)同构映射的性质:

    性质1: σ ( 0 ) σ(0) σ(0) V ′ V' V的零元 0 ′ 0' 0
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    性质2:对于∀ α ∈ V α∈V αV,有 σ ( − α ) = − σ ( α ) σ(-α)=-σ(α) σ(α)=σ(α)
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    性质3:对V中任一向量组 α 1 . . . α s α_1...α_s α1...αs,F中任意1组元素 k 1 . . . k s k_1...k_s k1...ks,有 σ ( k 1 α 1 + . . . + k s α s ) = k 1 σ ( α 1 ) + . . . + k s σ ( α s ) σ(k_1α_1+...+k_sα_s)=k_1σ(α_1)+...+k_sσ(α_s) σ(k1α1+...+ksαs)=k1σ(α1)+...+ksσ(αs)
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    性质4:V中的向量组 α 1 . . . α s α_1...α_s α1...αs线性相关当且仅当 σ ( α 1 ) . . . σ ( α s ) σ(α_1)...σ(α_s) σ(α1)...σ(αs)是V’中线性相关的向量组
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    性质5:如果 α 1 . . . α n α_1...α_n α1...αn是V的1个基,则 σ ( α 1 ) . . . σ ( α n ) σ(α_1)...σ(α_n) σ(α1)...σ(αn)是V’的1个基
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    性质6:若 σ σ σ V V V V ′ V' V的1个同构映射,则 σ σ σ V V V V ′ V' V的1个可逆的线性映射

    (3)同构的判定:

    定理1:域F上2个有限维线性空间同构的充要条件是:这2个线性空间的维数相等
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    推论1:若 σ σ σ是V到V’的1个同构映射,则V中向量 α α α在基 α 1 . . . α n α_1...α_n α1...αn下的坐标 ( a 1 . . . a n ) ′ (a_1...a_n)' (a1...an)也是V’中向量 σ ( α ) σ(α) σ(α)在基 σ ( α 1 ) . . . σ ( α n ) σ(α_1)...σ(α_n) σ(α1)...σ(αn)下的坐标
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    (4)子空间的同构:

    命题1:设 σ σ σ是域F上线性空间V到V’的1个同构映射,如果U是V的1个子空间,则 σ ( U ) σ(U) σ(U)是V’的1个子空间;如果U是有限维的,则 σ ( U ) σ(U) σ(U)也是有限维的,且 d i m   σ ( U ) = d i m   U dim\,σ(U)=dim\,U dimσ(U)=dimU
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    (5)同构类:

    所有同构类组成的集合是数域 K K K上所有线性空间组成的集合 Ω Ω Ω的1个划分

    限制到所有有限维线性空间组成的集合S上,所有同构类组成的集合也是 S S S的1个划分
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    2.有限域的元素个数:

    定理2:设 F F F是任一有限域,则 F F F的元素个数是1个素数 p p p的方幂,其中 p p p F F F的特征
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    3.线性空间的外直和
    (1)概念:
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    (2)维数:

    定理3:设 U , W U,W U,W是域 F F F上的2个线性空间,则 U + ˙ W U\dot{+}W U+˙W是其2个子空间 U + ˙ 0 , 0 + ˙ W U\dot{+}0,0\dot{+}W U+˙0,0+˙W的直和,其中 U + ˙ 0 ≅ U , 0 + ˙ W ≅ W U\dot{+}0\cong U,0\dot{+}W\cong W U+˙0U,0+˙WW.如果 U , W U,W U,W都是域 F F F上的有限维线性空间,则 dim ⁡ ( U + ˙ W ) = dim ⁡ U + dim ⁡ W \dim(U\dot{+}W)=\dim{U}+\dim{W} dim(U+˙W)=dimU+dimW
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    (3)多个线性空间的外直和:
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    二.商空间(8.4)
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    集合 V V V对于等价关系 R R R的划分也称为 V V V对于 R R R的商集,记为 V / R V/R V/R V R V_R VR

    1.商空间
    (1)商空间的概念:
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    注意:商空间 V / W V/W V/W的1个元素是 V V V的1个等价类,而不是 V V V中的1个向量

    (2)商空间的维数:

    定理4:设 V V V是域 F F F上的1个有限维线性空间, W W W V V V的1个子空间,则 d i m ( V / W ) = d i m   V − d i m   W ( 8 ) dim(V/W)=dim\,V-dim\,W\qquad(8) dim(V/W)=dimVdimW(8)
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    (3)商空间与补空间:

    定理5:如果商空间 V / W V/W V/W的1个基为 β 1 + W , β 2 + W , . . . , β t + W β_1+W,β_2+W,...,β_t+W β1+W,β2+W,...,βt+W,令 U = < β 1 , β 2 . . . β t > U=<β_1,β_2...β_t> U=<β1,β2...βt>,则 V = W ⊕ U V=W\oplus U V=WU,即 U U U W W W的补空间,且 β 1 , β 2 . . . β t β_1,β_2...β_t β1,β2...βt U U U的1个基
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    注意:这里的 V V V W W W都可以是无限维的,但要求 V / W V/W V/W U U U是有限维的
    因此,无限维的子空间 W W W也具有补空间,从而域 F F F上线性空间 V V V的任一子空间都有补空间
    这是对 线性空间.线性空间与子空间.二.3.(3) 部分命题3的推广
    更进一步的推广见 二.3.(3) 部分命题2

    2.余维数:
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    3.标准映射
    (1)概念:
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    (2)标准映射与补空间:

    这也就是 线性空间.线性空间与子空间.二.3.(3) 部分命题3’的证明
    命题2:域 F F F上线性空间 V V V的任一子空间 W W W都有补空间 U U U
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    该命题表明,如果知道了商空间 V / W V/W V/W的1个基,那么 V = W ⊕ U V=W\oplus U V=WU,这样 V V V就有了1个直和式分解;这是可以利用商空间研究线性空间的结构的道理之三

    附录.集合的划分,等价关系,等价类
    1.集合的划分:
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    2.等价关系与等价类
    (1)二元关系:

    二元关系:设 S S S是1个非空集合, S × S S×S S×S( S S S S S S的笛卡儿积)的1个子集 W W W称为 S S S上的1个二元关系
    ( a , b ) ∈ W (a,b)∈W (a,b)W,则称 a a a b b b具有 W W W关系,记作 a ∼ W b a\sim_Wb aWb a ∼ b a\sim b ab
    ( a , b ) ∉ W (a,b)\notin W (a,b)/W,则称 a a a b b b没有 W W W关系

    (2)等价关系

    等价关系:满足反身性(或称自反性),对称性,传递性的二元关系称为等价关系

    (3)等价类:

    等价类:设R是定义在集合S中的等价关系,a为S中的某个元素,则S中和a具有关系R的所有元素的集合称为关于R的等价类,记作 [ a ] R , a [a]_R,a [a]R,a称为该等价类的1个代表;当只考虑1个关系时,可以省去下标R,简记作[a]
    注意:①也可以称为S的1个等价类
    ②1个等价类的代表不唯一,其中的任何1个元素都可以作为代表;
    ③当选定某等价类的代表为 a 0 a_0 a0时,可以称该等价类为a0的(关于R的)等价类,记作 a 0 ˉ : = { x ∈ S   ∣   x ∼ a 0 } \bar{a_0}:=\{x∈S\,|\,x\sim a_0\} a0ˉ:={xSxa0}

    (4)等价类的性质:

    性质1: a ˉ = b ˉ \bar a=\bar b aˉ=bˉ的充要条件是: a ∼ b a\sim b ab
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    性质2:若 a ˉ ≠ b ˉ \bar a≠\bar b aˉ=bˉ,则 a ˉ ∩ b ˉ = Φ \bar a∩\bar b=Φ aˉbˉ=Φ
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    (5)所有等价类构成集合的1个划分:

    定理2:如果集合 S S S上有1个等价关系 R R R,那么所有关于 R R R的等价类组成的集合就是 S S S的1个划分
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    反之,如果集合 S S S有1个划分,那么一定可以在 S S S上建立1个等价关系R,使得这个划分是由关于 R R R的所有等价类组成的

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