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  • 为了预测基于独立变量X的响应变量Y,PLS试图通过将X和Y分别投影到新的子空间上来找到一组常见的正交潜在变量。 随着人们对多方向分析的兴趣日益浓厚,还开发了扩展到多元线性回归模型的方法,旨在分析二维张量数据...
  • “子空间”为包含向量空间内的一个向量空间,它是原向量空间的一个子集,而且本身也满足向量空间的要求。 但是“子空间”和“子集”的概念有区别,所有元素都在原空间之内就可以称之为子集,但是要满足对

    零空间、行空间都属于子空间,所以需要理解子空间,要理解子空间,自然需要知道“空间”的意思。

    “空间”,这里特指向量空间,是对于线性运算封闭的向量集合,即对于空间中的任意向量\overrightarrow{\mathbf{v}}\overrightarrow{\mathbf{w}},对于任何实数cd,线性组合c\overrightarrow{\mathbf{v}}+d\overrightarrow{\mathbf{w}}必属于该空间。简单的例子如其和\overrightarrow{\mathbf{v}}+\overrightarrow{\mathbf{w}}和数乘c\overrightarrow{\mathbf{v}}也必属于该空间。

    常见的如实数空间,\bold{R}^1,\bold{R}^2,\bold{R}^3,……都是重要的向量空间,\mathbf{R}^{n}表示n维空间。

    “子空间”为包含向量空间内的一个向量空间,它是原向量空间的一个子集,而且本身也满足向量空间的要求。

    但是“子空间”和“子集”的概念有区别,所有元素都在原空间之内就可以称之为子集,但是要满足对线性运算封闭的子集才能称为子空间。

    可以环顾下自己身处的房间,我们都处于三维空间中。细讲的话,地面是二维子空间,房门所在墙也是一个二维子空间,窗户所在墙同样也是一个二维子空间,房顶也是一个二维子空间(如果你家房子是常规房子)。但是,你应该要认识到地面和房顶所在的二维子空间是同一个子空间(或平面),只是它们所处物理高度不同。不要去考虑“高度”,因为在二维世界里没有“高度”(只有长宽),在二维世界的视角,地面和房顶是一个平面空间);以上是常规的二维空间,你也可以把倾斜地显示器屏幕想象成它处于一个二维空间,没错,“空间”很自由,你任意旋转屏幕就能得到任意一个二维空间(平面)。说完二维空间,三维空间应该更好理解了。例如,任一墙面与地面的垂线(例如两个墙面的相交的线)和地面就构成了“正交”空间。这里要注意,构成空间的子空间可以不正交,正交只是笛卡尔坐标系的特点。当然,正交的子空间有特别优异的特性,在实际数据处理过程中,大家都努力把子空间经过变换称为正交子空间,从而在不同子空间中的数据互不影响。为什么互不影响呢?因为正交,正交表明两个子空间的数据“独立不相关”。所以任意子空间如果相互正交,那么其中一个子空间与另一个子空间互成“零空间”(NullSpace)。

    列空间 Column space(行空间在零空间里讲解)

    矩阵\mathbf{A}的列空间C(\mathbf{A})是其列向量的所有线性组合所构成的空间。

    \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 &3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}

    求解\mathbf{A}x=\mathbf{b}的问题,对于给定的矩阵\mathbf{A},对于任意的\mathbf{b}都能得到解么?显然并不是所有的\mathbf{b}都能保证\mathbf{A}x=\mathbf{b}有解,因为它有4个线性方程而只有3个未知数,矩阵\mathbf{A}列向量的线性组合无法充满\mathbf{R}^{4},因此如果\mathbf{b}不能被表示为\mathbf{A}列向量的线性组合时,方程式无解的。只有当\mathbf{b}在矩阵\mathbf{A}的列空间C(\mathbf{A})时,x才有解。

    对于我们所给定的矩阵\mathbf{A},由于列向量不是线性无关的,第三个列向量为前两个列向量之和,所以尽管有3个列向量,但是只有2个对张成向量空间有贡献。矩阵\mathbf{A}的列空间为\mathbf{R}^{4}内的一个二维子空间。

     

    零空间(或称化零空间)Nullspace

    矩阵\mathbf{A}的零空间N(\mathbf{A})是指满足\mathbf{A}x=\mathbf{0}的所有解的集合。对于所给定的这个矩阵\mathbf{A},其列向量含有4个分量,因此列空间是\mathbf{R}^{4}的子空间,x为含有3个分量的向量,故矩阵\mathbf{A}的零空间是\mathbf{R}^{3}的子空间。对于m\times n矩阵,列空间为\mathbf{R}^{m}的子空间,零空间为\mathbf{R}^{n}的子空间。零空间的维数是m-rr就不展开了,线性代数的基础知识。

    本例中矩阵\mathbf{A}的零空间N(\mathbf{A})为包含\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ -1 \end{bmatrix}的任何倍数的集合,因为很容易看到第一列向量和第二列向量相加除以2减去第三列向量为零,所以此零空间为\mathbf{R}^{3}中的一条直线。

    为了验证\mathbf{A}x=\mathbf{0}的解释一个向量空间,可以验证它是否对线性运算封闭:

    \overrightarrow{\mathbf{v}}\overrightarrow{\mathbf{w}}为解集中的元素,则有:

    \mathbf{A}(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w})=\mathbf{A}\overrightarrow{v}+\mathbf{A}\overrightarrow{w}=\mathbf{0}+\mathbf{0}=\mathbf{0},

    \mathbf{A}(c\overrightarrow{v})=c\mathbf{A}\overrightarrow{v}=\mathbf{0}

    因此得证。

    \mathbf{b}值的影响

    若方程变为\begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 2 & 1 &3 \\ 3 & 1 & 4 \\ 4 & 1 & 5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 \\2 \\ 3\\4 \end{bmatrix},则其解集不能构成一个子空间。零空间并不在这个集合内,解集是空间\mathbf{R}^{3}内过\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0\\ -1\\ 1 \end{bmatrix}的一个平面,但是并不穿过原点\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}

     

    小结:对于列空间,它是由列向量进行线性组合张成的空间;而零空间是从方程组出发,通过让x满足特定条件而得到的子空间。

    接下来等我有空了,就继续更新Nullspace在neural computation中的经典应用,即在动作没产生前,大量神经元的活动就是在Nullspace中,所以对肌肉没有产生实质输出:Cortical activity in the null space: permitting preparation without movement

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  • 线性基浅谈

    2019-03-23 11:11:17
    二维向量空间的基:最常见的是(1, 0) (0, 1) ;这样所有向量都可以用这两个向量表示!!当然还有其他的基,比如说:(2, 0),(0, 1);(2, 1),(0,2) 等…… 举个例子:向量(3, 5) 1.以 a =...

    知识串联:

    1.     基:域内的其他值可以用 “基” 线性表示
    2.     线性基:以 异或(xor) 为基础的运算
    3.     二维向量空间的基:最常见的是(1, 0) (0, 1) ;这样所有向量都可以用这两个向量表示!!当然还有其他的基,比如说:(2, 0),(0, 1);(2, 1),(0,2) 等……
    •    举个例子:向量(3, 5)
    •       1.以 a =(1,0)b =(0,1) 为基; (3,5)=3*(1,0)+5*(0,1)=3*a+5*b;
    •       2.以 a =(2,1)b =(0,2)为基;(3,5)=(3/2)*(2,1) + (7/4) * (0,2) = (3/2) * a + (7/4) * b;

    步如正题——线性基构造

         问题:怎样构造基,能使其他数仅通过异或(xor)就能构造出来?

         解决方法:类似于二维线性空间,第i位放1,其余放0

            举个例子:4位二进制的基:1000 0100 0010 0001,这样无论什么数都可以被异或出来,比如0101 = (0100) xor (0001)…方法就是第几位有1,就异或(xor)第几个基!

    BUT!!!这样做没有必要

        类似于二维向量的基(2, 1)(0,2)一样,我们只需要保证第 i 位不为 0 ,高位都为0,低位无所谓

            举个例子:4位二进制的基:1010 0110 0011 0001,这样无论什么数也可以被异或出来,比如说0101 = (0110) xor (0011)

                方法:就是当前第几位有1,就异或(xor)第几个基,然后用结果继续运算直到为0000。

                举个例子:(0100) xor  (0110) = (0010)

                                  (0010) xor (0011) = (0001)

                                  (0001) xor(0001) = (0000)

    BUT!!!这样做还有个问题 ——如果基是随意构造的话,那就没有了意义

        那么我们在给线性基提一个要求,要求所有的基都是由给定的数构造而来。

        举个例子:由给定的1010 1111 1001 1100 构造线性基

        方法:用第i个数构造基的时候,从前向后扫描,如果这一位有1就异或xor掉,没有就放入 线性基 中,如果异或成0000就不用加入,因为他可以用其他基表示。

        第一个数1010, 直接放入基中(基:1010)

        第二个数1111,与基中的数异或 (1111 xor 1010 = 0101) ,基中没有第2位为1的数,所以将0101放入基中(基:1010 0101)

        第三个数1001,与基中的数异或(1001 xor 1010 = 0011),基中没有第3位为1的数,所以将0011放入基中(基:1010 0101 0011)

        第四个数1100,与基中的数异或(1100 xor 1010 = 0110),但是基中存在第二位为1的数,所以将第二位异或了 (0110 xor 0101 =0011),但是基中也存在,第3位为1的数,所以将第3位异或了(0011 xor 0011 =0000),当结果为0000说明这个数可以由之前的数线性表示(1100 = 1010 xor 0101 xor 0011),如果加入基,不满足基线性无关的原则。

       这样 线性基 中的基就是给定元素或者给定元素异或xor出的值,并且线性无关

    代码实现

    void Guass() {
        for (int i=1;i<=sz;i++) {
            for (int j=62;j>=0;j--) {
                if ((A[i]>>j)&1) {
                    if (!P[j]) {P[j]=A[i]; break;}
                    else A[i]^=P[j];
                }
            }
        }
        for (int j=0;j<=62;j++) if (P[j]) r++;
    }

    应用

    应用一:给出一个数组,询问一个数能否表示为数组中的某些数的异或和。

    解法: 先求出线性基, 从二进制高位往低位判断,假设当前x的这一位是1,如果线性基中存在某个向量最高位的1在这一位,那么这个向量肯定要取,把x异或这个向量,否则没法组合出来。

    理由:基中的元素也是由给定的数异或出来的,尽管不知道是由哪些数异或出来,但是这不重要

    BZOJ2460 BZOJ2115

    struct Base{
    	
    	int x[31];
    	
    	void Insert(int v){
    		if (!v) return; 
    		for (int i = 30; i>= 0; i--){
    			if ((1 << i) & v){
    				if (x[i]) v ^= x[i];
    				else {
    					x[i] = v;
    					break;
    				}
    			}
    		}
    	}
    	
    	int Query(int v) {//求给定数与基中数异或的最小值
    		for (int i = 30; i >= 0; i--){
    			if ((v ^ x[i]) < v) v ^= x[i];
    		}
    		return v;
    	}
    	
    }base;
    

     

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  • Android笔记---LinearLayout线性布局

    千次阅读 2016-02-20 16:07:25
    之前有讲完Android UI设计中用到常用空间,现在再一起学习下Android UI设计中的常见布局之LinearLayout线性布局。LinearLayout这个布局会将它所包含控件在线性方向上依次排列, 有两种排列方式,分别是垂直排列...

    之前有讲完Android UI设计中用到的常用控件,现在再一起学习下Android UI设计中的常见布局之LinearLayout线性布局。

    LinearLayout这个布局会将它所包含的控件在线性方向上依次排列, 有两种排列方式,分别是垂直排列vertical和水平排列horizontal,而这个只是通过android:orientation属性设定的, 默认是水平布局。

    其布局例子可以参考:

    <LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
        xmlns:tools="http://schemas.android.com/tools"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="match_parent"
        android:orientation="horizontal">
    
        <Button
            android:id="@+id/button1"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:text="Button1" />
    
        <Button
            android:id="@+id/button2"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:text="Button2" />
    
        <Button
            android:id="@+id/button3"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:text="Button3" />
    </LinearLayout>

    运行程序的截图是下面这样的。
    这里写图片描述

    上面的例子简单的讲了下LinearLayout的用法,但是我们肯定还是有很多疑问的,上面的截图中3个按钮后面其实是有一点空白的,如果我想让3个按钮完全能够充满这一行而不流空白该怎么办,或者我再加一个同样的按钮能够平均充满这一行该怎么办呢,带着这些问题我们一起来看下LinearLayout的一些技巧以及需要注意的地方。

    1.如果 LinearLayout 的排列方向是 horizontal,内部的控件就绝对不能将 宽度指定为match_parent,因为这样的话单独一个控件就会将整个水平方向占满,其他的控件就没有可放置的位置了。同样的道理,如果 LinearLayout 的排列方向是 vertical,内部的控 件就不能将高度指定为match_parent。

    2.介绍一个LinearLayout的关键属性android:layout_gravity,用于指定控件在布局中的对齐方式,可选的值有top、bottom、left、right、center_vertical、fill_vertical、center_horizontal、fill_horizontal、center、fill、clip_vertical,具体解释如下:
    这里写图片描述

    但是需要注意的是:
    (1)当 android:orientation=”vertical” 时, android:layout_gravity只有水平方向的设置才起作用,垂直方向的设置不起作用。即:left,right,center_horizontal 是生效的。
    (2)当 android:orientation=”horizontal”时, android:layout_gravity只有垂直方向的设置才起作用,水平方向的设置不起作用。即:top,bottom,center_vertical 是生效的。

    3.介绍另外一个LinearLayout的关键属性android:layout_weight,这个属性允许我们使用比例的方式来指定控件的大小,它在手机屏幕的适配性方面可以起到非常重要的作用,还记得我们上面遇到的问题吗,3个按钮后面有一大处空白,而利用android:layout_weight属性就可以轻松解决这个问题。
    修改的代码如下:

    <LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
        xmlns:tools="http://schemas.android.com/tools"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="match_parent"
        android:orientation="horizontal">
    
        <Button
            android:id="@+id/button1"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_weight="1"
            android:text="Button1" />
    
        <Button
            android:id="@+id/button2"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_weight="1"
            android:text="Button2" />
    
        <Button
            android:id="@+id/button3"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_weight="1"
            android:text="Button3" />
    </LinearLayout>

    运行的效果图如下:
    这里写图片描述

    系统会先把 LinearLayout 下所有控件指定的 layout_weight 值相加,得到一个总值, 然后每个控件所占大小的比例就是用该控件的 layout_weight 值除以刚才算出的总值,所以如果想要Button1的宽度是Button2和Button3的两倍,而Button2和Button3显示的宽度一样,只需要将Button1中的该属性这样修改下就可以了android:layout_weight="2"

    4.有的时候我们的控件需要组合成需要显示的UI设计功能,比如我们需要实现如下的显示功能,这个时候我们可以通过两个LinearLayout组合布局来实现,当然使用相对布局不需要组合的方式也是可以实现的,具体可以参考关于相对布局写的blog。
    这里写图片描述
    这里直接给出xml里面的代码:

    //主LinearLayout布局里面设置控件垂直显示
    <LinearLayout xmlns:android="http://schemas.android.com/apk/res/android"
        xmlns:tools="http://schemas.android.com/tools"
        android:layout_width="match_parent"
        android:layout_height="match_parent"
        android:orientation="vertical">
    
        //子LinearLayout布局1,里面的控件需要水平显示,且android:layout_width属性一定要match_parent充满屏幕宽度才行,不然达不到上面的效果
        <LinearLayout
            android:id="@+id/ll1"
            android:layout_width="match_parent"
            //必须是wrap_content
            android:layout_height="wrap_content"
            android:orientation="horizontal">
    
            <Button
            android:id="@+id/button1"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:text="Button1" />
    
            <EditText
            android:id="@+id/tv"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_weight="1"
            android:hint="TextView1" 
            android:singleLine="true"/>
        </LinearLayout>
    
        //子LinearLayout布局2,里面的控件需要水平显示,且android:layout_width属性一定要match_parent充满屏幕宽度才行,不然达不到上面的效果
        <LinearLayout
            android:id="@+id/ll2"
            android:layout_width="match_parent"
            //必须是wrap_content
            android:layout_height="wrap_content"
            android:orientation="horizontal">
    
           <Button
            android:id="@+id/button2"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:text="Button2" />
    
            <EditText
            android:id="@+id/tv2"
            android:layout_width="wrap_content"
            android:layout_height="wrap_content"
            android:layout_weight="1"
            android:hint="TextView2" 
            android:singleLine="true"/>
        </LinearLayout>
    </LinearLayout>
    
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  • 向量空间 定义 集和 - 具备某种特定性质的事物的总体,可有限,可无限, 可以理解为某种相似数据的集成 ( 如, ...较为常见的是 n 维空间, n 表示空间的维度, 当 n = 3 的时候, 可以理解为一个被取定了坐标系的三维空...

    向量空间

    定义

    集和   - 具备某种特定性质的事物的总体,可有限,可无限, 可以理解为某种相似数据的集成 (  如, 整数集, 实数集 )

    空间   - 满足一定条件的集和 

    向量   - 具备大小和方向的量

    向量空间   - 满足了加乘运算的集和

    例子

    较为常见的是 n 维空间 , n 表示空间的维度, 当 n = 3 的时候, 可以理解为一个被取定了坐标系的三维空间

    空间内的每一个组都可以被一组实数列表来进行表示, 列表中的每个点为该坐标轴上的投影

    向量的定义与运算

    定义

    向量   - 向量空间的元素为向量

    运算 

    加法

    代数角度  -  同位置相加, 

    几何角度  -  按照某一个向量平移后首位相连,  计算新向量

     

    乘法

    代数角度  -  变量于实数相乘, 变量中的所有数字于实数相乘即可

    几何角度  -  变量在空间中的伸缩

    向量组的线性组合

    定义

    向量组   若干个 同维度 的列向量( 或 行向量 ) 所组成的 集和

    线性组合   -  ↓

     

    意义

    帮助理解 基 的概念

    向量空间中的任何一个变量. 都可以看做是对基向量的缩放和相加操作

    都可以写成两个向量的线性组合, 如图的 

    帮助理解 span(张成空间) 的概念

    不断的调整  和  可以得到无数的新向量, 而这些新向量的组成的集和, 就叫做张成空间

     

    向量组的线性相关性

    定义

     

    内积和范数

    定义

    内积

    从代数的角度来说 , 内积是两个向量之间的一种运算, 结果为一个实数

    范数

    范数定义了向量空间里面的距离, 最终结果依旧是个实数, 它的出现使得向量之间的比较成为了可能

    一维空间中, 4, 5 两个实数的比较很容易, 但是多维度空间中的 [2,2] 和 [2,1] 如何比较? 

    转化为范数后即可, 范数本质上是个 函数,

    常用的范数有

      L1 曼哈顿距离 , 函数运算为 绝对值计算

      L2 欧几里得范式, 函数的运算为 平方再开方 

     

    内积的几何解释

    在了解了范数的原理之后, 就可以在几何角度上解释内积

    内积定义了向量空间里的角度

    u 和 v 的内积结果就是他们的 长度 * 角度

    矩阵和线性变换

    矩阵定义

    特殊矩阵

    线性变换定义

    线性空间中的运动, 被称为线性变换

    线性空间中的一个向量变成两一个向量, 都可以通过一个线性变换完成

    向量的的线性变换必须保证原点不变 ( 基于原点旋转 ),  以及形状不变 ( 箭头不能弯曲等 )

    线性变换也可以对空间中的所有变量进行,比如把二维空间中的所有向量想象成充满空间的点

     那么空间里面的线性变换, 其实相当于对空间这个平面的啦拉扯

     如图原始空间如下

     下面4个中只有 第四个满足空间的线性变换, 1 发送了扭曲, 2 移动了原点, 3发生了扭曲

    线性变换数值描述 - 矩阵

    在一个线性空间中, 选定一组基向量, 将变换后的基向量的数值列表放在一个矩阵里

    这个矩阵就代表了这个线性变换

    原始的空间向量 

    拉伸后

     

     计算结果

    对向量施加变换的过程, 也可以用 Ax=y 来表示

    矩阵运算

    加法

    两个行数、列数分别相等的矩阵(同型矩阵),加法运算才有意义。

    交换律:

    结合律:

    乘法

    于数的乘法

      数与矩阵中的每一个元素分别相乘所得的矩阵

     与矩阵的乘法

    A为  的矩阵,B为  的矩阵,那么称  的矩阵C为矩阵AB的乘积

    记作  ,其中矩阵C中的第  行第   列元素可以表示为 

     

    如下所示, 其实就是 A 的行向量 每个 乘上 B 的列向量 

    A 有两个行向量, B 有两个列向量. 最后结果为一个 4x4 的新矩阵

     

     

     多个的也是一样的推导

          

     

    注意事项

    1、当矩阵A的列数(column)等于矩阵B的行数(row)时,A与B可以相乘。
    2、矩阵C的行数等于矩阵A的行数,C的列数等于B的列数。
    3、乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。

    几何意义的矩阵运算

    矩阵和和向量的乘法, 本质上是向量在空间上进行线性变换

    矩阵的相乘是空间上的两种线性变换的叠加

     

     

    矩阵的转置

    矩阵的行列式

    定义

    行列式是数学中的一个函数, 将一个 n * n 的矩阵 A 映射到一个纯量

    记作 det(A) 或者 |A|

    注意

    矩阵的行列式只针对方阵 (行数和列数相等) 有效 

    计算

    对角线上的元素相乘后减法累积

     

     

    几何意义

    在二维空间中, 行列式表示矩阵对应的线性变化前后的面积比

    在高维空间

     

    转载于:https://www.cnblogs.com/shijieli/p/11589688.html

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