1、线性系统的时域特性

  我们知道信号既可以在频域也可以在时域上表示。线性系统也是这样。下面我们来看看线性系统的时域描述方法。
  对于线性时不变系统，它的输出$y(t)$为输入$x(t)$与系统冲激响应$h(t)$的卷积，即
$$h(t)=x(t)\ast h(t),\text{\hspace{1em}(1.1)}$$
其中$\ast$为卷积运算，它定义为
$$h(t)\ast x(t)={\int }_{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau .\text{\hspace{1em}(1.2)}$$如果$x(t)$为因果信号，也就是说它只在$t>0$时才不为零，(2)可以重新写为
$$h(t)\ast x(t)={\int }_{-\infty }^{t}h(\tau )x(t-\tau )d\tau .\text{\hspace{1em}(1.3)}$$由于卷积满足交换律，所以我们也可以把(1)写为
$$y(t)=x(t)\ast h(t).\text{\hspace{1em}(1.4)}$$

2、线性系统的频域特性

  在介绍线性系统的频域描述之前，我们先来回顾时域卷积定理。
$$y(t)=x_1(t)\ast x_2(t)\leftrightarrow Y(f)=X_1(f)X_2(f)\text{\hspace{1em}(2.1)}$$我们来看看时域卷积定理有什么物理意义？
  时域卷积定理是说，假定我们有两个信号，它们的波形分别是$x_1(t)$和$x_2(t)$，如果这两个波形卷积，得到的一个新的信号波形$y(t)$。我们现在关注的问题是，$y(t)$的傅立叶变换（频谱密度）是什么呢？
  时域卷积定理告诉我们了上面这个问题的答案。$y(t)$的傅立叶变换（频谱密度）等于$x_1(t)$和$x_2(t)$的傅立叶变换（频谱密度）$X_1(f)$和$X_2(f)$的乘积。
  时域卷积定理对于我们建立线性系统的频域描述具有非常重要的作用。我们回忆下线性系统的时域表达：
$$y(t)=x(t)\ast h(t),\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
其中$x(t)$是线性系统的输入信号，$h(t)$是冲激响应。注意$h(t)$其实就是信号波形。这很容易理解，如果系统的输入为冲激信号$\delta (t)$，系统的输出信号就是$h(t)$【注：因为$\delta (t)\ast h(t)=h(t)$】。这样我们就可以得到系统输出波形$y(t)$的傅里叶变换（频谱密度）为
$$Y(f)=X(f)H(f)\text{\hspace{1em}(2.3)}$$即系统输出信号的频谱密度$Y(f)$等于输入信号的频谱$X(f)$与冲激响应频谱$H(f)的乘积$。值得注意的是系统冲激响应$h(t)$的傅里叶变换（频谱密度）$H(f)$，我们把它称为系统的频域传递函数。
这样我们就知道，对于线性系统，我们分别用$h(t)$和$H(f)$表示时域与频域特性，且
$$h(t)\leftrightarrow H(f).\text{\hspace{1em}(2.4)}$$

今天我们说一说系统的分类

线性系统

顾名思义，满足线性性质的系统
它有三个特性：

1. 齐次性
2. 可加性
3. 线性性
   这里常见在选择题里让你判断
   
   $f_1(.)$代表的是激励，系统的响应不仅和它当前的状态相关，还和以前的状态相关的系统被称为记忆系统，电路与系统就是一家，这类电路通常包含电感与电容，反之则称为即时系统或无记忆系统
   

全响应：由储能元件的初始储能和独立电源共同引起的响应，称为完全响应，简称全响应。
零输入响应：在没有外加激励时，仅由t = 0时刻的非零初始状态引起的响应。取决于初始状态和电路特性，这种响应随时间按指数规律衰减。
零状态响应：就是电路在零初始状态下（动态元件初始储能为零）由外施激励引起的响应

这三个响应后面会出答题，掌握规律，其实并不难

那么如何才能判断一个系统是不是线性的呢？
这就要用到刚才列举的三个响应的式子了

全响应=零输入+零状态

$y(t)=y_x(t)+y_f(t)$
拿到一个式子，首先看能不能把它分解为这两个子式，举个例子：

显而易见，$x(0)f(t)$是分不开的，只要分不开，就不满足分解性，它就不是线性的，我们再来看下面几个线性判别依据：

再看一题：

这个我们要用到零状态线性来判断，就是$f(t)$前面有一个系数$a(a\ne 0)$但是这里的$f(t)$带了一个绝对值，所以你把a提到外面之后是不能保证a在绝对值符号里面时$f(t)$的值与原来相等，也可以理解看到$|f(t)|$这种带了个绝对值它十有八九不满足线性（当然，遇到复杂情况自己演算一下）

最后一题：

判断一个系统是不是线性系统分三步走：
1.是否满足可分解性？可以看到0输入与0状态响应是分开的，故满足
2.是否满足0状态线性？
看是否满足这个条件：

就把前面的$a{f}_1(t)+b{f}_2(t)$带入$f(x)$
得到

满足了输入的线性组合等于输出的线性组合这一条件，即为满足了0状态线性

3.零输入线性
$e^{-t}x(0)$这一项代表的是0输入响应，因为它有$x(0)$，自变量是t，和判断0状态线性一样的道理，把$[a{f}_1(x)+b{f}_2(x)]$代入，得到：

也满足了输入线性组合等于输出线性组合这一条件。综上，这个系统是线性系统

1.线性系统理论是控制理论中的基础内容，主要是研究线性系统状态的运动规律和改变这种运动规律的可能性和方法，以建立和揭示系统结构、参数、行为和性能间的确定的和定量的关系。
2.基本的研究方法和步骤：
①建立描述物理系统状态的数学模型：通过实验、物理定律和数学方程等来得到模型。一般由微分方程、差分方程、偏分方程或代数方程等构成。
②基于模型的系统分析：定性、定量的分析可控可观、稳定性等。
③系统设计：通过设计控制器或改变控制律来改善系统的性能指标。
④系统运行：→（3/2/1）
3.控制系统的数学描述：
输入/输出描述：描述的是系统的外部特性。
状态空间描述：系统内外部特性，是一种全面的描述方法。由于获得了系统的全面信息，故可设计出性能更好的系统。但在许多情况下，实现系统的状态空间描述是困难的。

一、系统输入-输出描述

1.输入/输出描述

不知道系统内部结构信息，唯一可测量的量是系统的输入输出信号，通过各类输入，获取输出，获得特性。当系统输入输出都只有一个时，为单变量系统；输入或输出多于一个时，为多变量系统。

2.初始松弛

如果一个只有输入和输出可测量的系统，即输入—输出系统，对相同的输入有不同的输出，那么对其描述就没有意义。初始松弛实际上就是，在经典控制中，初始条件为零这样一个假设。
例如简单的二阶系统：
$${\ddot{y}}_c+2{\dot{y}}_c+y_c=u\begin{array}{cc}& \end{array}\left(t\ge t_0=0\right)$$
从微分方程的解可知，其定解条件是有确定的初始条件，如果初始条件不能确定，那么输出就不能由输入$u$唯一确定，
$${\dot{y}}_c\left(0\right),y_c\left(0\right)$$
如若假定系统的初始条件为零，从能量角度看，表示系统从$-\infty$到0时间段内储能为零。
$$\begin{gathered} y_c\left(t\right)={\int }_0^{t}h\left(t-\tau \right)u\left(\tau \right)d\tau \\ {y}_c=Hu=h\ast u \end{gathered}$$

对于一个任意的物理系统，假定其在$-\infty$处的储能为零，或者说，在$-\infty$处于松弛状态或静止状态总是合理的。定义：$-\infty$时松弛或静止的系统为初始松弛系统，简称松弛系统。
上式中$H$是一个算子，在复数域上，传递函数就是将输入映射为输出的算子，在实施域上，是卷积运算$h\left(t\right)$是脉冲响应函数。

3.线性系统

1）线性系统定义：对于一个松弛系统为线性系统，当且仅当对于任何输入$u_1$和$u_2$，以及任意实数或复数${\alpha }_1$和${\alpha }_1$，有
$$H({\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2)={\alpha }_{1}H{u}_1+{\alpha }_{2}H{u}_2$$
实际上就是叠加原理=齐次性和可加性，满足叠加原理是线性系统的唯一判据。对于拉普拉斯算子就是线性系统。
2）线性松弛系统的脉冲响应：
①首先引入$\delta$函数或脉冲函数的概念：
对于一段脉冲：
$${\delta }_{\Delta }(t-t_1)=\{\begin{array}{cc}0& t<t_1\\ \frac{1}{\Delta }& t_1\le t<t_1+\Delta \\ 0& t\ge t_1+\Delta \end{array}$$
其极限形式就是脉冲函数，简称$\delta$函数：
$$\delta \left(t-t_1\right)=\underset{\Delta \to 0}{\lim }{\delta }_{\Delta }\left(t-t_1\right)$$
②$\delta$函数的采样性：对于在$t_1$连续的任意函数
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f\left(t\right)\delta \left(t-t_1\right)dt=f\left(t_1\right)$$
故可以用${\delta }_{\Delta }\left(t-t_1\right)$近似表示信号：
$$u\left(t\right)\approx \sum _n{\delta }_{\Delta }\left(t-t_n\right)\left[u\left(t_n\right)\Delta \right]$$
③进一步的线性系统的脉冲响应函数就可以表示为：
$$\begin{array}{rl}& y=Hu\approx Hu\left(t\right)\\ & =\sum _n\left[H{\delta }_{\Delta }\left(t-t_n\right)\right]\left[u\left(t_n\right)\Delta \right]\end{array}$$
取极限，就可以表示成积分的形式，
$$y={\int }_{-\infty }^{+\infty }H\delta \left(t-\tau \right)u\left(\tau \right)d\tau$$
其中$H\delta \left(t-\tau \right)$就是脉冲响应函数，其意义是在$\tau$时刻，对线性系统施加一个脉冲响应函数，从而得到系统输出，所有也可以表示为双变量的形式：
$$H\delta \left(t-\tau \right)=g\left(\xi ,\tau \right)$$

4.因果性

1）定义：
若系统在时刻t 的输出只取决于时刻 t 和 在 t 之前的输入，而不取决于 t 之后的输入则称系统具因果性。
任何实际的物理系统都是具有因果性的。通俗地说，任何实际物理过程，结果总不会在引起这种结果的原因发生之前产生，即未来的输入（原因）对过去和现在的输出（结果）无影响。
2）截断算子表示系统的因果性：
$$\forall T\begin{array}{cc}& \end{array}{P}_T\left(Hu\right)=P_T\left(H{P}_{T}u\right)$$

左边输入比右边多了的T之后的一段，而输出在两边是一样的，这说明的T之后的输入对输出无影响。

5.$t_0$时刻的松弛性

1）定义：系统在时刻$t_0$称为松弛的，当且仅当$t\ge t_0$时的输出y仅唯一地由$t\ge t_0$时的输入u所决定，即$y_{\left[t_0,+\infty \right)}$仅唯一地由$u_{\left[t_0,+\infty \right)}$决定。
若已知系统在 t0时松弛，则输入/输出关系可以写成
$$y_{\left[t_0,+\infty \right)}=H{u}_{\left[t_0,+\infty \right)}$$
2)充分条件：若一个线性系统满足$u_{\left(-\infty ,t_0\right)}$，则系统必定在t0时刻松弛。
3）充要条件：

6.时不变性

1）定义：一个松弛的时不变线性系统的特性：输入信号延迟$\alpha$ 秒，其响应也恰好延迟$\alpha$秒，且波形不变，即系统特性不随时间而变化。
位移算子：经$Q_{\alpha }$作用后的输出等于延迟了$\alpha$秒的输入。
定义：松弛系统为时不变系统，当且仅当对于任何输入u和任何实数$\alpha$，有
$$Q_{\alpha }y=Q_{\alpha }Hu=H{Q}_{\alpha }u$$
2）时不变系统的脉冲响应函数
根据时不变的特性可以推导：
$$\begin{array}{rl}& g\left(t,\tau \right)=g\left(t-\tau ,0\right)\\ & =g\left(t+\alpha ,\tau +\alpha \right)\\ & =g\left(t-\tau \right)\end{array}$$
对时不变系统来说，脉冲响应仅取决于观测时刻 t 与脉冲作用时刻$\tau$的差。

7.传递函数阵和极点多项式

1）已知系统脉冲响应矩阵，对个元素直接进行Laplace变换得到传递函数阵。
2）正则性定义：$G\left(\infty \right)$是一个非零的常量矩阵，有理传递矩阵G(s)称为是正则的；$G\left(\infty \right)=0$，G(s)称为是严格正则的。
3）传递函数阵的极点：G(s)所有不恒为零的各阶子式的首一最小公分母称为G(s)的极点多项式。极点多项式的根称为G(s)的极点。
4）传递函数阵的零点：G(s)的所有r 阶子式，在其分母取G(s)的极点多项式时，其分子多项式的首一最大公因式称为G(s)的零点多项式。零点多项式的根称为G(s)的零点。

二、系统的状态变量描述

1.什么是状态变量

1）能和$u_{\left[t_0,+\infty \right)}$一起唯一地确定系统在所有$t\ge t_0$时的行为的系统t0时刻的信息量,称为系统在t0时刻的状态。行为包括输出和信息量本身的更新，随时间$t\ge t_0$不断更新的信息量称为状态变量，以状态变量构成的向量称为状态向量。
2）特点：
第一，状态变量的不唯一性，一般取有物理意义的量；
第二，状态变量的数目等于且仅仅等于系统中包含独立贮能元件的数目；
第三，状态变量的数目的可以是有限个，也可以是无限多个；（例如延迟系统无限个值作为初始状态）
第四，状态向量取值的实向量空间，称为状态空间。

2.线性时不变动态方程

动态方程：系统的动态方程是由状态方程和输出方程组成的，n维线性时不变动态方程一般形式为：
$$\begin{array}{rl}& \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{A}\mathbf{x}+\mathbf{B}\mathbf{u}\\ & \mathbf{y}=\mathbf{C}\mathbf{x}+\mathbf{D}\mathbf{u}\end{array}$$

3.时不变系统的传递函数矩阵

动态方程进行Laplace变换可得，
$$\begin{array}{rl}& y\left(s\right)=\left[\mathbf{C}{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}\right]u\left(s\right)=\mathbf{G}\left(s\right)u\left(s\right)\\ & \mathbf{G}\left(s\right)=\mathbf{C}{(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}\end{array}$$

4.预解矩阵${(s\mathbf{I}-\mathbf{A})}^{-1}$