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  • 让幼儿能用较连贯语言表述自己发现,乐于观察,发现身边常见树木在夏季和冬季里不同变化,关注自然界中树木落叶与不落叶(常绿)的现象,并产生好奇感,快来看看幼儿园中班优秀科学《冬天能看到哪些树叶》含...

    中班优秀科学教案《冬天能看到哪些树叶》含反思适用于中班的科学主题教学活动当中,让幼儿能用较连贯的语言表述自己的发现,乐于观察,发现身边常见树木在夏季和冬季里的不同变化,关注自然界中树木的落叶与不落叶(常绿)的现象,并产生好奇感,快来看看幼儿园中班优秀科学《冬天能看到哪些树叶》含反思教案吧。

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    幼儿园中班优秀科学教案《冬天能看到哪些树叶》含反思

      【活动目标】

      1、乐于观察,发现身边常见树木在夏季和冬季里的不同变化。

      2、能用较连贯的语言表述自己的发现。

      3、关注自然界中树木的落叶与不落叶(常绿)的现象,并产生好奇感。

      4、探索、发现生活中的多样性及特征。

      5、培养幼儿思考问题、解决问题的能力及快速应答能力。

      【活动准备】

      1、在夏秋季节里经常带领幼儿观察身边常见树木的生长情况,并留有照片或录像资料。

      2、教学挂图《多彩的树叶》。

      【活动过程】

      一、利用录像或图片帮助幼儿回忆身边常见的树木在四季中的生长情况。

      引起幼儿观看兴趣。

      师:今天我们带来了一段好看的录像,看看是什么时候拍的?这里面有谁呢?他们在哪里?又在干什么?

      引导幼儿边看边说说录像中的内容。

      师:你们都认识这里面的树吗?这些树上的叶子时候什么样子的?我们可以用什么词来描述这么多的树叶?

      二、引发幼儿再次寻找、观察树叶的兴趣。

      师:猜猜看在冬天里我们身边的树木会变成什么样子呢?树上的叶子还像我们夏天看见的那么多吗?你还能看见哪些树的叶子?让我们再去仔细找找、看看。

      三、带领幼儿实地观察各种树木在冬天里的变化。

      师:好朋友一起去院子里找一找,冬天里,你看到的树木是什么样子的?

      幼儿自由结伴寻找并观察树木的变化,教师进行个别指导。

      师:你们发现什么了?树上还有叶子吗?你能看见哪些树上还有树叶,叶子是什么样的?哪些树上已经没有叶子了,变得怎样?

      四、带领幼儿返园,借助录像进行集体交流。

      师:刚才我们出去做什么了?你和朋友发现了什么?

      帮助幼儿回忆与讨论。

      五、教师与幼儿共同小结活动中的发现。

      师:夏天,许多树的叶子都长得非常茂盛。冬天到了,树木的生长发生变化了,有的树叶落光了,变得光秃秃的;有的树上还有许多树叶,这些树木可真有趣。

      师:各种树木的叶子有什么不同?

      引导幼儿欣赏教学挂图《多彩的树叶》,进一步感受树叶的种类和变化。

      活动反思

      本活动的不足之处是在讲解树木过冬的方法时,由于知识点比较多,加上问题过于琐碎,个别幼儿注意力便于分散,参与性不高,这是值得我深思的。希望自己以后在设计提问时,注意问题的层次性,同时要注意面向全体,注意个体差异,使每个孩子在不同的发展上得到不同程度的发展。

    小百科:树叶是树进行光合作用的部位。叶子可以有各种不同的形状、大小、颜色和质感。叶子可以聚成一簇,也可以遍地散落。叶子的边缘可以是光滑的,也可以是锯齿状。

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  • 本文通过案例介绍了正态分布和贝塔分布概念。...正态分布是自然科学与行为科学中定量现象的一个方便模型。各种各样心理学测试结果和物理现象的观测值,比如光子计数等都被发现近似地服从正态分布。甚至生...

    本文通过案例介绍了正态分布和贝塔分布的概念。

    正态分布

    正态分布,是一种非常常见的连续概率分布,其也叫做常态分布(normaldistribution),或者根据其前期的研究贡献者之一高斯的名字来称呼,高斯分布(Gaussiandistribution)。正态分布是自然科学与行为科学中的定量现象的一个方便模型。

    各种各样的心理学测试结果和物理现象的观测值,比如光子计数等都被发现近似地服从正态分布。甚至生活中很多现象的表征结果也符合正态分布的分布规律。尽管这些现象的根本原因经常是未知的,甚至被采样的样本的原始群体分布并不服从正态分布,但这个变量的采样分布均值仍会近似服从正态分布。

    正态分布的概率密度函数呈左右对称的钟形,其具体表达式为:

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    因为正态分布是如此的常见而这个式子是如此的奇怪,我们打算重温高斯当年的推导过程,但部分细节不会那么严谨的证明,只是带领大家看看高斯当年的思路是如何的。

    首先,高斯事先假定了如下条件,才得到了正态分布的连续密度函数。

    即:误差分布导出的极大似然估计=算术平均值

    这里我们把全部过程用直白的语言复述一遍。

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    贝塔分布

    贝塔分布,beta分布,简单来说,就是一个事件出现的概率的概率密度分布。

    举个例子,篮球比赛的三分命中率是衡量篮球后卫运动员很重要的一个指标。通过过去的历史经验,我们知道运动员的三分命中率很难超过40%。假如老张是一个优秀老练的篮球后卫,其过去历史的三分命中率是35%,总投数为10000次,命中次为3500次。请问他在新赛季刚开始的时候,得到了一次三分投球机会,请问他这次投中的概率服从什么分布呢?

    我们必须清楚,这个概率一定不是确定的,而是服从某种分布。这个概率密度分布函数应该在0.35处最大,沿两边逐渐递减。

    这个概率就服从beta分布。确切的说,是服从

    还有个运动员小张,而小张很年轻也很优秀,他的历史三分命中率也是35%,但是总投数为1000次,命中次数为350次。请问他在新赛季首投三分,命中概率的分布和老张一样吗?

    明显不一样!虽然他们的历史投球命中率都是35%,但是我们直觉认为老张比小张更靠谱,老张首投命中的概率密度分布应该在0.35附近高于小张的。事实上,我们可以迅速借助python的scipy库中内置的beta统计方法。

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    我们来看一下图像。

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    的确如此。那么beta分布的具体表达式是什么呢?

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    关于伽马函数和贝塔函数,这里我们不做赘述。

    需要指出的是,看起来beta分布的概率密度函数和高斯分布的曲线很像,实则不然。

    再举个例子,假如老张的孙子也想做做运动员,老张煞有介事的统计了小小张的历史三分投数,为5投1中。问他下一次投球,也就是第六次投球,命中的概率的分布是怎样的?如果过去是5投2中,5投3中,和5投4中呢?

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    可以看到,beta分布的PDF和高斯分布的曲线形状差别可大了。

    编辑:hfy

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  • 自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定规律。这些规律定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数方程,称之为偏微分方程。求解偏微分...
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    自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程,称之为偏微分方程。

    求解偏微分方程我们常用到差分解法,常见的偏微分方程问题有椭圆型方程第一边值问题、 抛物型方程以及双曲型方程等。 今天我们学习如何用MATLAB求解偏微分方程。

      一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    工具箱命令介绍

    MATLAB 提供了一个指令 pdepe,用以解以下的 PDE 方程式。

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    其中时间介于 t0  ≤ t ≤ t f 之间,而位置 x 则介于[a,b]有限区域之间。m 值表示问题的对称性,其可为 0,1 或 2,分别表示平板(slab),圆柱(cylindrical)或球体(spherical)的情形。因而,如果 m > 0 ,则 a 必等于 b ,也就是说其具有圆柱或球体的对称关系。同时,式中 f (x,t,u, ∂u/∂x) 一项为流通量 (flux) ,而 s(x,t,u, ∂u/∂x) 为来源 (source) 项 。c(x,t,u, ∂u/∂x) 为偏微分方程的对角线系数矩阵。若某一对角线元素为 0,则表示该偏微分方程为椭圆型偏微分方程,若为正值(不为 0),则为拋物型偏微分方程。请注意 c 的对角线元素一定不全为 0。偏微分方程初始值可表示为

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    而边界条件为

    de4757d0abed12b226d4ac6ebf8e5a3b.png

    其中 x 为两端点位置,即 a 或 b

    用以解含上述初始值及边界值条件的偏微分方程的 MATLAB 命令 pdepe 的用法如下:

    8e506bbdf61409842e68515a0eb8e5cc.png
    • m 为问题之对称参数;

    • xmesh 为空间变量 x 的网格点(mesh)位置向量,即 xmesh = [x0 , x1,L, xN ] ,其中 x0 = a (起点), xN = b (终点)。

    • tspan 为时间变量 t 的向量,即 tspan = [t0 ,t1,L,tM ] ,其中 t0 为起始时间,tM 为终点时间。

    • pdefun 为使用者提供的 pde 函数文件。其函数格式如下:

    565006020183eac15e99d7c672886506.png

    亦即,使用者仅需提供偏微分方程中的系数向量。c , f 和 s 均为行(column)向量,而向量 c 即为矩阵 c 的对角线元素。

    icfun 提供解 u 的起始值,其格式为 u = icfun(x) 值得注意的是 u 为行向量。

    bcfun 使用者提供的边界条件函数,格式如下:

    7eb89336961b122e3947e4570f35d9cf.png

    其中 ul 和 ur 分别表示左边界 (xl = b) 和右边界 (xr = a) u 的近似解。输出变量中, pl和 ql 分别表示左边界 p 和 q 的行向量,而 pr 和 qr 则为右边界 p 和 q 的行向量。

    sol 为解答输出。sol 为多维的输出向量, sol(:,: i) 为 ui 的输出,即 ui  = sol(:,:,i) 。

    元素 ui ( j, k) = sol( j, k,i) 表示在 t = tspan( j) 和 x = xmesh(k) 时 ui 之答案。

    options 为求解器的相关解法参数。详细说明参见 odeset 的使用方法。

    注:

    1. MATLAB PDE 求解器 pdepe 的算法,主要是将原来的椭圆型和拋物线型偏微分方程转化为一组常微分方程。此转换的过程是基于使用者所指定的 mesh 点,以二阶空间离散化(spatial discretization)技术为之(Keel and Berzins,1990),然后以 ode15s 的指令求解。采用 ode15s 的 ode 解法,主要是因为在离散化的过程中,椭圆型偏微分方程被转化为一组代数方程,而拋物线型的偏微分方程则被转化为一组联立的微分方程。因而,原偏微分方程被离散化后,变成一组同时伴有微分方程与代数方程的微分代数方程组,故以 ode15s 便可顺利求解。

    2. x 的取点(mesh)位置对解的精确度影响很大,若 pdepe 求解器给出“…has difficulty finding consistent initial considition”的讯息时,使用者可进一步将 mesh 点取密一点,即增加 mesh 点数。另外,若状态 u 在某些特定点上有较快速的变动时,亦需将此处的点取密集些,以增加精确度。值得注意的是 pdepe 并不会自动做 xmesh 的自动取点,使用者必须观察解的特性,自行作取点的操作。一般而言,所取的点数至少需大于 3 以上。

    3. tspan 的选取主要是基于使用者对那些特定时间的状态有兴趣而选定。而间距(step size)的控制由程序自动完成。

    4. 若要获得特定位置及时间下的解,可配合以 pdeval 命令。使用格式如下:

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    • m 代表问题的对称性。m =0 表示平板;m =1 表示圆柱体;m =2 表示球体。其意义同 pdepe 中的自变量 m 。

    • xmesh 为使用者在 pdepe 中所指定的输出点位置向量。xmesh = [ x0 , x1 , L, xN ] 。

    • ui 即 sol( j,:,i) 。也就是说其为 pdepe 输出中第 i 个输出 ui 在各点位置 xmesh 处,时间固定为 t j = tspan( j) 下的解。

    • xout 为所欲内插输出点位置向量。此为使用者重新指定的位置向量。

    • uout 为基于所指定位置 xout ,固定时间 t f 下的相对应输出。

    • duoutdx 为相对应的 dudx 输出值。

    以下将以几个例子,详细说明 pdepe 的用法。

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     求解一维偏微分方程

    例 1

    试解以下之偏微分方程式

    096f74b3c18821189c7f4eda559fa51d.png

    其中 0 ≤ x ≤ 1 ,且满足以下之条件限制式

    (i)起始值条件

    087bc848f4a9f05e108729d2e8096f5d.png

    注:本问题的解析解为

    e1d63f74533c352b0adce06e771ac7d0.png

    解 

    下面将叙述求解的步骤与过程。当完成以下各步骤后,可进一步将其汇总为一主程序M文件,然后求解。

    步骤 1 

    将欲求解的偏微分方程改写成如式的标准式。

    ea54e785723c2b2a068167d6b0942d03.png80415040e720a5c353d3a832a5e0ab9c.png

    步骤 2

    编写偏微分方程的系数向量函数。

    f18c9f0a30b12dc745861cac792adf8d.pnge2091aee6f073551e4fc25588f1a44c5.png

    步骤 3 

    编写起始值条件。

    f13f1d3d0e0b329e9c0e3c626a469938.png

    步骤 4 

    编写边界条件。在编写之前,先将边界条件改写成标准形式,如式(1), 找出相对应的 p(⋅) 和 q(⋅) 函数,然后写出 MATLAB 的边界条件函数,例如,原边界条件可写成

    fcfc434528f291d372f7cd9762f38c4a.png

    因而,边界条件函数可编写成

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)

    pl=ul;

    ql=0;

    pr=pi*exp(-t);

    qr=1;

    步骤 5

    取点。例如

    x=linspace(0,1,20); %x 取 20 点

    t=linspace(0,2,5); %时间取 5 点输出

    步骤 6

    利用 pdepe 求解。

    m=0; %依步骤 1 之结果

    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);

    步骤 7 

    显示结果。

    u=sol(:,:,1);

    surf(x,t,u)

    title('pde 数值解')

    xlabel('位置')

    ylabel('时间' )

    zlabel('u')

    若要显示特定点上的解,可进一步指定 x 或 t 的位置,以便绘图。例如,欲了解时间为 2(终点)时,各位置下的解,可输入以下指令(利用 pdeval 指令):

    figure(2); %绘成图 2

    M=length(t); %取终点时间的下标

    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置

    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);

    plot(xout,uout); %绘图

    title('时间为 2 时,各位置下的解')

    xlabel('x')

    ylabel('u')

    综合以上各步骤,可写成一个程序求解例 1。其参考程序如下:

    向上滑动阅览

    function ex1

    %求解一维热传导偏微分方程的一个综合函数程序

    m=0;

    x=linspace(0,1,20); %xmesh

    t=linspace(0,2,20); %tspan

    %以 pde 求解

    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);

    u=sol(:,:,1); %取出答案

    %绘图输出

    figure(1)

    surf(x,t,u)

    title('pde 数值解')

    xlabel('位置 x')

    ylabel('时间 t' )

    zlabel('数值解 u')

    %与解析解做比较

    figure(2)

    surf(x,t,exp(-t)'*sin(pi*x));

    title('解析解')

    xlabel('位置 x')

    ylabel('时间 t' )

    zlabel('数值解 u')

    %t=tf=2 时各位置之解

    figure(3)

    M=length(t); %取终点时间的下表

    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置

    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);

    plot(xout,uout); %绘图

    title('时间为 2 时,各位置下的解')

    xlabel('x')

    ylabel('u')

    %pde 函数

    function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx)

    c=pi^2;

    f=dudx;

    s=0;

    %初始条件函数

    function u0=ex20_1ic(x)

    u0=sin(pi*x);

    %边界条件函数

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)

    pl=ul;

    ql=0;

    pr=pi*exp(-t);

    qr=1;

    例2

    扩散系统之浓度分布参考如图 1 的装置。管中储放静止液体 B,高度为 L=10 ㎝,放置于充满 A 气体的环境中。假设与B 液体接触面之浓度为 CA0 = 0.01molm3 ,且此浓度不随时间改变而改变,即在操作时间内( h = 10 天)维持定值。气体 A 在液体 B 中之扩散系数为 

    9c42eedf85c7159b68cbeaddded14cff.png

    试决定以下两种情况下,气体 A 溶于液体 B 中之流通量(flux)。

    (a) A 与 B 不发生反应;

    (b) A 与 B 发生以下之反应

    e88d0fef7cf3323c35de56d6f186ef74.png

    其反应速率常数

    62da6b5b57083d0a6b4b772e0bec92ff.png8e62be65aee2668877851abd99603b5c.png

    图1 气体 A 在液体 B 中的扩散

    题意解析:

    (a) 因气体 A 与液体 B 不发生反应,故其扩散现象的质量平衡方程如下:

    575cd4069979f1adb1cbfae80132f33a.png

    依题意,其初始及边界条件为

    4f29f2e21dd473826fe433dbe267d4eb.png

    (b) 在气体 A 与液体 B 会发生一次反应的情况下,其质量平衡方程需改写为

    3f476466a7b2e3bd6988f07681873e21.png

    而起始及边界条件同上。

    在获得浓度分布后,即可以 Fick’s law

    669d889d6d3261e9dee595b11b2f1dec.png

    计算流通量。

    MATLAB 程序设计:

    此问题依旧可以利用 pdepe 迅速求解。现就各状况的处理过程简述如下。

    (a)与标准式96adf00f9f28d0c2caa3ac00f3ea47cc.png比较,可得 C = 1 , f = DAB ∂CA/∂z , s = 0 ,和 m = 0 。

    另外,经与式de4757d0abed12b226d4ac6ebf8e5a3b.png比较后得知,左边界及右边界条件之系数分别为

    左边界( z = 0 ):pl = CA (0,t) − CA0 , ql = 0 。

    右边界( z = L ):pr = 0 , qr =1/DAB

    (b)与标准式96adf00f9f28d0c2caa3ac00f3ea47cc.png比较,可得 m = 0 , C = 1 , f = DAB ∂CA/∂z ,和 s = kCA 。而边界条件之系数同(a)之结果。

    利用以上的处理结果,可编写 MATLAB 参考程序如下:

    向上滑动阅览

    function ex20_3_2

    %扩散系统之浓度分布

    clear

    clc

    global DAB k CA0 

    %给定数据

    CA0=0.01;

    L=0.1; DAB=2e-9; k=2e-7; h=10*24*3600; 

    %取点

    t=linspace(0,h,100);

    z=linspace(0,L,10);

    %case (a) 

    m=0;

    sol=pdepe(m,@ex20_3_2pdefuna,@ex20_3_2ic,@ex20_3_2bc,z,t); CA=sol(:,:,1);

    for i=1:length(t) [CA_i,dCAdz_i]=pdeval(m,z,CA(i,:),0); NAz(i)=-dCAdz_i*DAB;

    end 

    figure(1) 

    subplot(211) 

    surf(z,t/(24*3600),CA) 

    title('case (a)')

    xlabel('length (m)')

    ylabel('time (day)')

    zlabel('conc. (mol/m^3)')

    subplot(212)

    plot(t/(24*3600),NAz'*24*3600)

    xlabel('time (day)')

    ylabel('flux (mol/m^2.day)')

    %case (b) m=0; sol=pdepe(m,@ex20_3_2pdefunb,@ex20_3_2ic,@ex20_3_2bc,z,t); 

    CA=sol(:,:,1);

    for i=1:length(t) [CA_i,dCAdz_i]=pdeval(m,z,CA(i,:),0); 

    NAz(i)=-dCAdz_i*DAB;

    end

    %

    figure(2)

    subplot(211)

    surf(z,t/(24*3600),CA) title('case (b)') xlabel('length (m)') ylabel('time (day)') zlabel('conc. (mol/m^3)') subplot(212) plot(t/(24*3600),NAz'*24*3600) xlabel('time (day)') ylabel('flux (mol/m^2.day)') 

    %PDE 函数

    %case (a) 

    function [c,f,s]=ex20_3_2pdefuna(z,t,CA,dCAdz) 

    global DAB k CA0

    c=1;

    f=DAB*dCAdz;

    s=0;

    %case (a) function [c,f,s]=ex20_3_2pdefunb(z,t,CA,dCAdz) global DAB k CA0

    c=1;

    f=DAB*dCAdz;

    s=k*CA;

    %初始条件函数

    function CA_i=ex20_3_2ic(z)

    CA_i=0; 

    %边界条件函数

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_3_2bc(zl,CAl,zr,CAr,t) 

    global DAB k CA0

    pl=CAl-CA0; 

    ql=0; 

    pr=0; 

    qr=1/DAB;

    今天的学习就到这里,下次我们讲讲二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法。

      END 

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    bc527590442ea092995a4eb0a329c857.gif

    自然科学与工程技术中种种运动发展过程与平衡现象各自遵守一定的规律。这些规律的定量表述一般地呈现为关于含有未知函数及其导数的方程。我们将只含有未知多元函数及其偏导数的方程,称之为偏微分方程。

    求解偏微分方程我们常用到差分解法,常见的偏微分方程问题有椭圆型方程第一边值问题、 抛物型方程以及双曲型方程等。 今天我们学习如何用MATLAB求解偏微分方程。

      一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    工具箱命令介绍

    MATLAB 提供了一个指令 pdepe,用以解以下的 PDE 方程式。

    95c3f710eb74bcb23de3022fcac3ab7d.png

    其中时间介于 t0  ≤ t ≤ t f 之间,而位置 x 则介于[a,b]有限区域之间。m 值表示问题的对称性,其可为 0,1 或 2,分别表示平板(slab),圆柱(cylindrical)或球体(spherical)的情形。因而,如果 m > 0 ,则 a 必等于 b ,也就是说其具有圆柱或球体的对称关系。同时,式中 f (x,t,u, ∂u/∂x) 一项为流通量 (flux) ,而 s(x,t,u, ∂u/∂x) 为来源 (source) 项 。c(x,t,u, ∂u/∂x) 为偏微分方程的对角线系数矩阵。若某一对角线元素为 0,则表示该偏微分方程为椭圆型偏微分方程,若为正值(不为 0),则为拋物型偏微分方程。请注意 c 的对角线元素一定不全为 0。偏微分方程初始值可表示为

    80f6f320dcfdb4bcd97195733691ec9b.png

    而边界条件为

    fcb81fc4d15635d76a712cd1c0246a79.png

    其中 x 为两端点位置,即 a 或 b

    用以解含上述初始值及边界值条件的偏微分方程的 MATLAB 命令 pdepe 的用法如下:

    97ba47ac9963c652c8fce054c76fc67e.png
    • m 为问题之对称参数;

    • xmesh 为空间变量 x 的网格点(mesh)位置向量,即 xmesh = [x0 , x1,L, xN ] ,其中 x0 = a (起点), xN = b (终点)。

    • tspan 为时间变量 t 的向量,即 tspan = [t0 ,t1,L,tM ] ,其中 t0 为起始时间,tM 为终点时间。

    • pdefun 为使用者提供的 pde 函数文件。其函数格式如下:

    70a9130bc27e27a40b24dc2fb7e45c66.png

    亦即,使用者仅需提供偏微分方程中的系数向量。c , f 和 s 均为行(column)向量,而向量 c 即为矩阵 c 的对角线元素。

    icfun 提供解 u 的起始值,其格式为 u = icfun(x) 值得注意的是 u 为行向量。

    bcfun 使用者提供的边界条件函数,格式如下:

    5aebfe635c413984f3ad44390e708476.png

    其中 ul 和 ur 分别表示左边界 (xl = b) 和右边界 (xr = a) u 的近似解。输出变量中, pl和 ql 分别表示左边界 p 和 q 的行向量,而 pr 和 qr 则为右边界 p 和 q 的行向量。

    sol 为解答输出。sol 为多维的输出向量, sol(:,: i) 为 ui 的输出,即 ui  = sol(:,:,i) 。

    元素 ui ( j, k) = sol( j, k,i) 表示在 t = tspan( j) 和 x = xmesh(k) 时 ui 之答案。

    options 为求解器的相关解法参数。详细说明参见 odeset 的使用方法。

    注:

    1. MATLAB PDE 求解器 pdepe 的算法,主要是将原来的椭圆型和拋物线型偏微分方程转化为一组常微分方程。此转换的过程是基于使用者所指定的 mesh 点,以二阶空间离散化(spatial discretization)技术为之(Keel and Berzins,1990),然后以 ode15s 的指令求解。采用 ode15s 的 ode 解法,主要是因为在离散化的过程中,椭圆型偏微分方程被转化为一组代数方程,而拋物线型的偏微分方程则被转化为一组联立的微分方程。因而,原偏微分方程被离散化后,变成一组同时伴有微分方程与代数方程的微分代数方程组,故以 ode15s 便可顺利求解。

    2. x 的取点(mesh)位置对解的精确度影响很大,若 pdepe 求解器给出“…has difficulty finding consistent initial considition”的讯息时,使用者可进一步将 mesh 点取密一点,即增加 mesh 点数。另外,若状态 u 在某些特定点上有较快速的变动时,亦需将此处的点取密集些,以增加精确度。值得注意的是 pdepe 并不会自动做 xmesh 的自动取点,使用者必须观察解的特性,自行作取点的操作。一般而言,所取的点数至少需大于 3 以上。

    3. tspan 的选取主要是基于使用者对那些特定时间的状态有兴趣而选定。而间距(step size)的控制由程序自动完成。

    4. 若要获得特定位置及时间下的解,可配合以 pdeval 命令。使用格式如下:

    b3fd5b3c6fd2ec12424faca251f1433d.png
    • m 代表问题的对称性。m =0 表示平板;m =1 表示圆柱体;m =2 表示球体。其意义同 pdepe 中的自变量 m 。

    • xmesh 为使用者在 pdepe 中所指定的输出点位置向量。xmesh = [ x0 , x1 , L, xN ] 。

    • ui 即 sol( j,:,i) 。也就是说其为 pdepe 输出中第 i 个输出 ui 在各点位置 xmesh 处,时间固定为 t j = tspan( j) 下的解。

    • xout 为所欲内插输出点位置向量。此为使用者重新指定的位置向量。

    • uout 为基于所指定位置 xout ,固定时间 t f 下的相对应输出。

    • duoutdx 为相对应的 dudx 输出值。

    以下将以几个例子,详细说明 pdepe 的用法。

    ca7ffcf3e72480b2a87ccd174c75b3e2.png

     求解一维偏微分方程

    例 1

    试解以下之偏微分方程式

    ca257addae8bcb48d1a83d406211bc64.png

    其中 0 ≤ x ≤ 1 ,且满足以下之条件限制式

    (i)起始值条件

    c45bce8eb0d5cfccfe869ee71100d920.png

    注:本问题的解析解为

    899356c0956f6a36bdf94c3e291b68bf.png

    解 

    下面将叙述求解的步骤与过程。当完成以下各步骤后,可进一步将其汇总为一主程序M文件,然后求解。

    步骤 1 

    将欲求解的偏微分方程改写成如式的标准式。

    c37257f9530a8093b0aca44f37c0dc32.pngefc46151619703e5b933824f9d39a9bd.png

    步骤 2

    编写偏微分方程的系数向量函数。

    cc6e5d845df403d73f1b49910405ec66.png4a1c970753f761cdea473383d9a1271e.png

    步骤 3 

    编写起始值条件。

    feaa2beeced928b11ea878f055353c70.png

    步骤 4 

    编写边界条件。在编写之前,先将边界条件改写成标准形式,如式(1), 找出相对应的 p(⋅) 和 q(⋅) 函数,然后写出 MATLAB 的边界条件函数,例如,原边界条件可写成

    647e19b32845294e2ea717b4b3ed5f4a.png

    因而,边界条件函数可编写成

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)

    pl=ul;

    ql=0;

    pr=pi*exp(-t);

    qr=1;

    步骤 5

    取点。例如

    x=linspace(0,1,20); %x 取 20 点

    t=linspace(0,2,5); %时间取 5 点输出

    步骤 6

    利用 pdepe 求解。

    m=0; %依步骤 1 之结果

    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);

    步骤 7 

    显示结果。

    u=sol(:,:,1);

    surf(x,t,u)

    title('pde 数值解')

    xlabel('位置')

    ylabel('时间' )

    zlabel('u')

    若要显示特定点上的解,可进一步指定 x 或 t 的位置,以便绘图。例如,欲了解时间为 2(终点)时,各位置下的解,可输入以下指令(利用 pdeval 指令):

    figure(2); %绘成图 2

    M=length(t); %取终点时间的下标

    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置

    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);

    plot(xout,uout); %绘图

    title('时间为 2 时,各位置下的解')

    xlabel('x')

    ylabel('u')

    综合以上各步骤,可写成一个程序求解例 1。其参考程序如下:

    向上滑动阅览

    function ex1

    %求解一维热传导偏微分方程的一个综合函数程序

    m=0;

    x=linspace(0,1,20); %xmesh

    t=linspace(0,2,20); %tspan

    %以 pde 求解

    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);

    u=sol(:,:,1); %取出答案

    %绘图输出

    figure(1)

    surf(x,t,u)

    title('pde 数值解')

    xlabel('位置 x')

    ylabel('时间 t' )

    zlabel('数值解 u')

    %与解析解做比较

    figure(2)

    surf(x,t,exp(-t)'*sin(pi*x));

    title('解析解')

    xlabel('位置 x')

    ylabel('时间 t' )

    zlabel('数值解 u')

    %t=tf=2 时各位置之解

    figure(3)

    M=length(t); %取终点时间的下表

    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置

    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);

    plot(xout,uout); %绘图

    title('时间为 2 时,各位置下的解')

    xlabel('x')

    ylabel('u')

    %pde 函数

    function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx)

    c=pi^2;

    f=dudx;

    s=0;

    %初始条件函数

    function u0=ex20_1ic(x)

    u0=sin(pi*x);

    %边界条件函数

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)

    pl=ul;

    ql=0;

    pr=pi*exp(-t);

    qr=1;

    例2

    扩散系统之浓度分布参考如图 1 的装置。管中储放静止液体 B,高度为 L=10 ㎝,放置于充满 A 气体的环境中。假设与B 液体接触面之浓度为 CA0 = 0.01molm3 ,且此浓度不随时间改变而改变,即在操作时间内( h = 10 天)维持定值。气体 A 在液体 B 中之扩散系数为 

    79f4e9ba644e4b613fd91ef32601ab16.png

    试决定以下两种情况下,气体 A 溶于液体 B 中之流通量(flux)。

    (a) A 与 B 不发生反应;

    (b) A 与 B 发生以下之反应

    dd4a3e19e191d37b97997d75b4366b5b.png

    其反应速率常数

    e6e43ad0d4b077866e3f96292e79098f.png538044f6ddd94e0b780252b65b240c09.png

    图1 气体 A 在液体 B 中的扩散

    题意解析:

    (a) 因气体 A 与液体 B 不发生反应,故其扩散现象的质量平衡方程如下:

    711c28edcee23c793b428a5065b907da.png

    依题意,其初始及边界条件为

    34d892f6a525b49d40238e0de2b2572d.png

    (b) 在气体 A 与液体 B 会发生一次反应的情况下,其质量平衡方程需改写为

    190bae5201c3550b958e65e281a6a505.png

    而起始及边界条件同上。

    在获得浓度分布后,即可以 Fick’s law

    81f8922927f9df0953e92debf2bed454.png

    计算流通量。

    MATLAB 程序设计:

    此问题依旧可以利用 pdepe 迅速求解。现就各状况的处理过程简述如下。

    (a)与标准式95c3f710eb74bcb23de3022fcac3ab7d.png比较,可得 C = 1 , f = DAB ∂CA/∂z , s = 0 ,和 m = 0 。

    另外,经与式fcb81fc4d15635d76a712cd1c0246a79.png比较后得知,左边界及右边界条件之系数分别为

    左边界( z = 0 ):pl = CA (0,t) − CA0 , ql = 0 。

    右边界( z = L ):pr = 0 , qr =1/DAB

    (b)与标准式95c3f710eb74bcb23de3022fcac3ab7d.png比较,可得 m = 0 , C = 1 , f = DAB ∂CA/∂z ,和 s = kCA 。而边界条件之系数同(a)之结果。

    利用以上的处理结果,可编写 MATLAB 参考程序如下:

    向上滑动阅览

    function ex20_3_2

    %扩散系统之浓度分布

    clear

    clc

    global DAB k CA0 

    %给定数据

    CA0=0.01;

    L=0.1; DAB=2e-9; k=2e-7; h=10*24*3600; 

    %取点

    t=linspace(0,h,100);

    z=linspace(0,L,10);

    %case (a) 

    m=0;

    sol=pdepe(m,@ex20_3_2pdefuna,@ex20_3_2ic,@ex20_3_2bc,z,t); CA=sol(:,:,1);

    for i=1:length(t) [CA_i,dCAdz_i]=pdeval(m,z,CA(i,:),0); NAz(i)=-dCAdz_i*DAB;

    end 

    figure(1) 

    subplot(211) 

    surf(z,t/(24*3600),CA) 

    title('case (a)')

    xlabel('length (m)')

    ylabel('time (day)')

    zlabel('conc. (mol/m^3)')

    subplot(212)

    plot(t/(24*3600),NAz'*24*3600)

    xlabel('time (day)')

    ylabel('flux (mol/m^2.day)')

    %case (b) m=0; sol=pdepe(m,@ex20_3_2pdefunb,@ex20_3_2ic,@ex20_3_2bc,z,t); 

    CA=sol(:,:,1);

    for i=1:length(t) [CA_i,dCAdz_i]=pdeval(m,z,CA(i,:),0); 

    NAz(i)=-dCAdz_i*DAB;

    end

    %

    figure(2)

    subplot(211)

    surf(z,t/(24*3600),CA) title('case (b)') xlabel('length (m)') ylabel('time (day)') zlabel('conc. (mol/m^3)') subplot(212) plot(t/(24*3600),NAz'*24*3600) xlabel('time (day)') ylabel('flux (mol/m^2.day)') 

    %PDE 函数

    %case (a) 

    function [c,f,s]=ex20_3_2pdefuna(z,t,CA,dCAdz) 

    global DAB k CA0

    c=1;

    f=DAB*dCAdz;

    s=0;

    %case (a) function [c,f,s]=ex20_3_2pdefunb(z,t,CA,dCAdz) global DAB k CA0

    c=1;

    f=DAB*dCAdz;

    s=k*CA;

    %初始条件函数

    function CA_i=ex20_3_2ic(z)

    CA_i=0; 

    %边界条件函数

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_3_2bc(zl,CAl,zr,CAr,t) 

    global DAB k CA0

    pl=CAl-CA0; 

    ql=0; 

    pr=0; 

    qr=1/DAB;

    今天的学习就到这里,下次我们讲讲二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法。

      END 

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