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  • 拉普拉斯变换

    2021-02-06 12:35:34
    拉普拉斯变换拉普拉斯变换与傅里叶变换 大学看了好久的拉普拉斯变化理解都是从枯燥的课本出发的,由于数学推导证明无力,理解也是迷迷糊糊的。B站上有些相关图形化的视频,感觉对拉普拉斯的理解很有帮助在此进行下...


    看了好久的拉普拉斯变化理解都是从枯燥的课本出发的,由于数学推导证明无力,理解也是迷迷糊糊的。B站上有些相关图形化的视频,感觉对拉普拉斯的理解很有帮助在此进行下简单梳理
    视频源:https://www.bilibili.com/video/BV1MJ41147PH
    【中文翻译配音】3D动画详细解释傅里叶与拉普拉斯变换

    常见输出形式

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    (1)正弦振荡
    (2)指数衰减
    (3)正弦振荡+指数衰减
    (4)额外输入

    拉普拉斯变换与傅里叶变

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    (1)傅里叶描述信号的正弦振荡成分
    (2)拉普拉斯描述信号的正弦振荡和指数衰减成分
    (3)傅里叶变换是拉普拉斯变换的一部分

    傅里叶变换

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    正弦函数的傅里叶变换结果,幅值图给出了信号的频率
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    非正弦函数的傅里叶变换,幅值图给出了各正弦信号的成分含量
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    x ( t ) = e − t s i n t x(t)=e^{-t}sin t x(t)=etsint的傅里叶变换
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    傅里叶变换应用的目标:得到傅里叶变换幅值图

    1. 响应函数代入傅里叶积分公式得到 X ( ω ) X(\omega) X(ω)
    2. ω → X ( ω ) → ∣ X ( ω ) ∣ \omega\rightarrow X(\omega)\rightarrow|X(\omega)| ωX(ω)X(ω)
    3. 傅里叶变换幅值图的输入为 ω \omega ω输出为 ∣ X ( ω ) ∣ |X(\omega)| X(ω)

    拉普拉斯变换

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    1. 拉普拉斯变换是 x ( t ) e − α t x(t)e^{-\alpha t} x(t)eαt形式的傅里叶变换
    2. 拉普拉斯变换的形式上比傅里叶变换多乘上了一个 e − α t e^{-\alpha t} eαt,这也是为后来极点可以反应响应函数中的指数衰减成分的原因(响应函数的指数成分与 e − α t e^{-\alpha t} eαt对消)
    3. 拉普拉斯变化幅值图有两个输入( α 、 ω \alpha、\omega αω)/一个输入( s s s),所以傅里叶变化幅值图(二维)可以看成拉普拉斯变换幅值变换图(三维)在 α \alpha α上的切片
    4. 拉普拉斯变换幅值图的切片可以用颜色代表纵高,进而在 α 、 ω \alpha、\omega αω复平面降维表示
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      α = 0 \alpha=0 α=0 α 、 ω \alpha、\omega αω复平面降维表示
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      α = 0.5 \alpha=0.5 α=0.5 α 、 ω \alpha、\omega αω复平面降维表示

    三维展示拉普拉斯变换

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    拉普拉斯变换的极点

    极点与收敛域

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    极点在拉普拉斯三维立体图中表示为无穷高尖峰在 α 、 ω \alpha、\omega αω复平面的坐标
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    • 极点 s = α + i ω s=\alpha+i\omega s=α+iω α \alpha α代表了响应函数中指数函数的衰减系数, ω \omega ω代表了响应函数中正弦函数的振荡频率
    • 极点右侧为响应函数拉普拉斯变换收敛区域
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      三维图像很好地展示了拉普拉斯变换在 α = − 1.42 \alpha=-1.42 α=1.42处不收敛

    用极点概括响应函数特征

    拉普拉斯变换最大的成就便是通过极点便可以反映出响应函数的形状变化
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    极点上升对应着响应函数振荡频率的增加
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    极点左移对应着响应函数衰减速度加快
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    极点在虚轴说明响应函数只含有正弦振荡成分
    极点在虚轴右侧说明响应函数发散(要区分响应函数发散和响应函数拉普拉斯变换的发散)

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  • 常见函数的拉氏变换 】 【 1. 拉氏变换的引入 】 频域分析的局限性: 拉氏变换的引入、定义: 【 2. 收敛域 】 1. 因果信号 2. 反因果信号 3. 双边信号 4. 例题 【 3. 单边拉氏变换 】 【 4...

    【 1. 拉氏变换的引入 】

    • 频域分析的局限性:
      如果被积函数 f(t) e-jwt 为增长型函数(例如:eαtε(t) e-jwt,其中α>0),则其不存在傅里叶变换。:
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    • 拉氏变换的引入、定义:
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    【 2. 收敛域 】

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    1. 因果信号

    e α t ε ( t ) ↔ 1 s − α , σ > α e^{αt}ε(t) ↔\frac{1}{s-α},σ>α eαtε(t)sα1σ>α

    • 收敛域在右边
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    2. 反因果信号

    − e α t ε ( − t ) ↔ 1 s − α , σ < α -e^{αt}ε(-t) ↔\frac{1}{s-α},σ<α eαtε(t)sα1σ<α

    • 收敛域在左边
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    3. 双边信号

    • 相当于因果信号和非因果信号的组合,从而令收敛域为一个区间。
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    4. 例题

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    【 3. 单边拉氏变换 】

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    【 4. 常见函数的拉氏变换 】

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  • 对于有理分式,求解拉氏逆变换最常用的方式是部分分式分解法。一个有理分式可以表示为 H(s)=B(s)A(s)=∑n=0Nbnsn∑m=0Mamsm H(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\displaystyle\sum_{n=0}^{N} b_n s^n}{\displaystyle\...

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    对于有理分式,求解拉氏逆变换最常用的方式是部分分式分解法。一个有理分式可以表示为
    H ( s ) = B ( s ) A ( s ) = ∑ n = 0 N b n s n ∑ m = 0 M a m s m H(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\displaystyle\sum_{n=0}^{N} b_n s^n}{\displaystyle\sum_{m=0}^{M} a_m s^m} H(s)=A(s)B(s)=m=0Mamsmn=0Nbnsn

    部分分式分解建立在极点分解的基础。极点即是分母 A ( s ) A(s) A(s) 的根,它有三中类型,即单根极点、共轭复根极点和重根极点,根据三种极点类型,该分式可以分解为

    H ( s ) = ∑ i A i s − p i + ∑ j B j s + C j ( s + α j ) 2 + β j 2 + ∑ m ∑ r = 1 k D r ( s − p m ) r H(s) = \sum_{i} \frac{A_i}{s-p_i} + \sum_{j} \frac{B_j s + C_j}{(s+\alpha_j)^2 + \beta_j^2} + \sum_{m} \sum_{r=1}^{k} \frac{D_r}{(s-p_m)^r} H(s)=ispiAi+j(s+αj)2+βj2Bjs+Cj+mr=1k(spm)rDr

    其中,

    • p i p_i pi 是单根极点,对应的是阶跃信号、指数信号的变换式;
    • α j ± j β j \alpha_j \pm j \beta_j αj±jβj 是共轭复根极点,对应的是正弦信号和正弦衰减信号的变换式;
    • p m p_m pm k k k 阶重根极点,对应的是斜变信号以及和斜变信号相乘的信号的变换式;
    • 若有理分式为假分式,则可能存在直流项或正幂次项,对应的是冲激信号或高阶冲激信号。

    点击查看 拉普拉斯变换的性质 - 对查表

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  • 常用的拉普拉斯变换

    2021-03-24 09:37:54
    常用的拉普拉斯变换

    常用的拉普拉斯变换

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    展开全文
  • 信号与系统考研常见傅立叶变换性质_拉普拉斯变换_Z变换汇总表
  • 拉普拉斯变换学习笔记

    千次阅读 多人点赞 2019-05-06 09:40:44
    1.为什么引入拉普拉斯变换? 2.双边拉普拉斯的定义 3.双边拉普拉斯变换的收敛域 4.单边拉普拉斯变换的定义 5.单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系 6.常见信号的拉式变换 7.拉普拉斯变换的性质 7.1.线性、...
  • 三、拉普拉斯变换(原来就是那么回事)拉普拉斯变换可以说是现代工程学使用最广泛的数学工具,它通过数学变换将微积分方程转化成代数方程,为求解连续空间连续时间的方程提供了可能。但是,一般的教材一上来就是...
  • 常见时域函数的拉普拉斯变换和Z变换对照表,WORD格式,可随意粘贴、编辑!很好克服了相同下载资源内容冗长收费昂贵的缺点。欢迎各位同仁下载!
  • 常用拉普拉斯变换

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    =F1​(s)F2​(s) 尺度定理 L [ f ( a t ) ] = 1 ∣ a ∣ f ( s a ) L[f(at)]=\frac{1}{\vert a\vert}f(\frac{s}{a}) L[f(at)]=∣a∣1​f(as​) 常用函数的变换 时间函数 变换后 时间函数 变换后 δ ( t ) \delta(t) ...
  • 傅立叶变换和拉普拉斯变换都是积分变换,傅立叶变换是拉普拉斯变换的特殊形式,Z变换是拉普拉斯变换的离散形式。
  • 拉普拉斯变换的几何直观理解

    千次阅读 2021-02-22 22:05:03
    傅里叶变换具有非常广泛的应用,但是也有明显的缺点,就是对函数的要求太苛刻,主要便现在: ...拉普拉斯变换是在傅里叶变换的基础上引入的,现在考虑对一个任意函数进行傅里叶变换,为了使之在区间有定义,给它乘以单位
  • 信号公式汇总之拉普拉斯变换

    千次阅读 2019-04-03 23:27:17
    拉普拉斯变换
  • 二、傅里叶变换(轻量版拉普拉斯变换) 三、拉普拉斯变换(原来就是那么回事) 拉普拉斯变换可以说是现代工程学使用最广泛的数学工具,它通过数学变换将微积分方程转化成代数方程,为求解连续空间连续时间的方程...
  • 拉普拉斯变换的本质意义(好文!通俗易懂)

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    本文将从通俗的角度看待拉普拉斯变换。 发明者 奥列弗.赫维赛德,维多利亚时期英国人,全靠自学,听力残疾。很多人熟悉赫维赛德是因为MATLAB有一个赫维赛德(Heaviside)函数。 赫维赛德简化了麦克斯韦方程...
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  • 拉普拉斯变换的本质意义

    千次阅读 多人点赞 2019-08-17 16:28:06
    转载 ... ... 拉普拉斯变换可以说是现代工程学使用最广泛的数学工具,它通过数学变换将微积分方程转化成代数方程,为求解连续空间连续时间的方程提供了可能。但是,一般的教材一上来就是拉普拉...
  • 自动控制原理基础——拉普拉斯变换

    千次阅读 多人点赞 2020-05-17 21:31:43
    通过拉普拉斯变换可以将微分方程转换为代数方程
  • 一些常用函数的拉普拉斯变换

    千次阅读 2020-05-12 16:41:00
    一. 冲激δ(t)δ(t)δ(t) ...单位冲激信号的傅里叶变换和拉普拉斯变换均为1 二. 冲激序列 三. 阶跃信号 、 四. 单边指数衰减信号 五. tnt^ntn 六. sin(t)和cos(t)sin(t)和cos(t)sin(t)和cos(t)
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  • 拉普拉斯变换公式,一共20个公式,对应时域到频域,频域到时域的一般变换。作用很大,喜欢的同学们可以拿走,实用性非常强。
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空空如也

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