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  • 拉普拉斯变换(拉氏变换)是一种解线性微分方程的简便运算方法,是分析研究线性动态系统的有力数学工具。简单点说,我们可以使用它去解线性微分方程,而...0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:其中,f(t)称为原函数,F(s)...

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    拉普拉斯变换(拉氏变换)是一种解线性微分方程的简便运算方法,是分析研究线性动态系统的有力数学工具。简单点说,我们可以使用它去解线性微分方程,而控制工程中的大多数动态系统可由线性微分方程去描述,因此拉氏变换是控制工程领域必不可少的基础。什么是拉氏变换呢?首先,我们来看一下拉氏变换的定义——设时间函数为f(t),t>0,则f(t)的拉普拉斯变换定义为:c95991d3beba9f94d6869b4012f8b09f.png其中,f(t)称为原函数,F(s)称为象函数。一个函数可以进行拉氏变换的充要条件为:
    (1)在t<0时,f(t)=0;(2)在t≥0的任一有限区间内,f(t)是分段连续的;(3)当t→﹢∞时,f(t)的增长速度不超过某一指数函数,即:
    0bb8f2ad14d1ed3087122363ff461b04.png接下来为大家介绍几种常见的时间常数拉氏变换,大家在看下面几种时间常数拉氏变换的时候可将几个时间常数与这三个条件一一对应,有助于理解记忆。1、单位脉冲函数单位脉冲函数数学表达式为:feee2bd31a48ebd832d8dc4545f08089.png其对应的图像为:62e7eb0a13a96264623a7f474abceb7d.png 我们来看一个脉冲信号:8d3a268a3d8feba8b9163247c858c54c.gif从图中可看出,脉冲函数就像脉冲信号一样,在时间的一个微段dt内,信号强度快速增长,可达到无穷大,而单位脉冲函数指的是其微段dt与增长的高度的乘积为1,即h(dt)=1。其拉氏变换为:5cde50305eaff242bab78fb5b0929d5d.png该函数有一个重要性质:a3deca1354cb04f0ed876ca7f6404cdc.pngf(t)为任意连续函数,当f(t)=e^(-st)时,该性质即可看为单位脉冲函数的拉氏变换。2、单位阶跃函数单位阶跃函数的数学表达式为:c47bacab0f005913989d86bda6b4fcde.png其函数图像为:a55997b8a97418a240d55dde1f9e2497.png其拉氏变换为:74bbbf2792137c9fb6228c1a6402b55b.png3、单位斜坡函数单位斜坡函数的数学表达式为:3ec7f734df46348323b30e3382d87e31.png函数图像为:e0b5c4901cba68e620369b2652ede35f.png其拉氏变换为:775c58e53442299d7efcee57dc146dff.png其被积函数为幂函数与指数函数乘积,使用分部积分法求解(反对幂三指),这只是推到过程,我们使用的时候只需记住t的拉氏变换为1/s^2即可。4、单位加速度函数单位加速度函数的数学表达式为:31d3b0cbc18d5d5825641e949779cb2b.png其函数图像为:81fd737cf89eb6cd3e123424cb793c51.png其拉氏变换为:

    179a7be997adefc737b981db8cd6c1d7.png

    求解过程与单位斜坡函数的拉氏变换求解过程相同,这里只需记住1/2T^2的拉氏变换为1/s^3。

    5、指数函数指数函数的数学表达式为:8e006affee9ce2081249f76cf94e840c.png其函数图像为:e1d85984fff4a1e38da00efeb5dfca89.png其拉氏变换为:4b5c84ab0e131abcd3d8cf28722cec5d.png求解过程为凑微分法。6、正弦函数正弦函数的数学表达式为:c43ac31f4eb929830c07f0aaa196a60b.png其拉氏变换为:0a13f6af272e3ddf2b36e7d150ce2105.png求解时先使用欧拉公式将正弦函数变为指数函数,再凑微分,欧拉公式为:0939f83117776e9bef2488c6139529dd.png7、余弦函数余弦函数的数学表达式为:ba9e899ddae9a5b907ba31a7e267d4e4.png其拉氏变换为:19ebb530bff50f40d27c2f4cabded948.png8、幂函数幂函数的数学表达式为:9922f45b10f86a0d098c9d2ff457c93b.png其拉氏变换为:f0f9e686108e2bb15da63a3b7038ad06.png求解时使用换元法,令u=st。将n=0,1,2带入即为单位阶跃函数、单位斜坡函数与单位加速度函数的拉氏变换公式。由于求解过程过长,使用公式编辑器时过于繁琐,所以只写了求解的大概思路,如需详细求解过程,可私信小编,发送手写求解过程。
    ☞ 本文作者:知识旅途☞ 责任编辑:Chico (微信18221669001)92e8939de1704204beb2edf668de306b.png
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  • 常见函数拉氏变换 】 【 1. 拉氏变换的引入 】 频域分析局限性: 拉氏变换的引入、定义: 【 2. 收敛域 】 1. 因果信号 2. 反因果信号 3. 双边信号 4. 例题 【 3. 单边拉氏变换 】 【 4...

    【 1. 拉氏变换的引入 】

    • 频域分析的局限性:
      如果被积函数 f(t) e-jwt 为增长型函数(例如:eαtε(t) e-jwt,其中α>0),则其不存在傅里叶变换。:
      在这里插入图片描述
    • 拉氏变换的引入、定义:
      在这里插入图片描述
      在这里插入图片描述

    【 2. 收敛域 】

    在这里插入图片描述

    1. 因果信号

    eαtε(t)1sασ>αe^{αt}ε(t) ↔\frac{1}{s-α},σ>α

    • 收敛域在右边
      在这里插入图片描述

    2. 反因果信号

    eαtε(t)1sασ<α-e^{αt}ε(-t) ↔\frac{1}{s-α},σ<α

    • 收敛域在左边
      在这里插入图片描述

    3. 双边信号

    • 相当于因果信号和非因果信号的组合,从而令收敛域为一个区间。
      在这里插入图片描述

    4. 例题

    在这里插入图片描述在这里插入图片描述

    【 3. 单边拉氏变换 】

    在这里插入图片描述

    【 4. 常见函数的拉氏变换 】

    在这里插入图片描述

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  • 拉普拉斯变换

    2014-12-16 16:59:00
    拉氏变换在大部份的应用中都是对射的,最常见的f(t)和F(s)组合常印制成表,方便查阅。拉普拉斯变换得名自皮埃尔-西蒙·拉普拉斯,他在机率论的研究中首先引入了拉氏变换。 拉氏变换和傅里叶变换有关,不过傅里叶...

    拉普拉斯变换应用数学中常用的一种积分变换,又名拉氏转换,其符号为\displaystyle\mathcal{L} \left\{f(t)\right\}。拉氏变换是一个线性变换,可将一个有引数实数tt ≥ 0)的函数转换为一个引数为复数s的函数:

    F(s) = \int_0^\infty f(t) e^{-st}\,dt.

    拉氏变换在大部份的应用中都是对射的,最常见的f(t)和F(s)组合常印制成表,方便查阅。拉普拉斯变换得名自皮埃尔-西蒙·拉普拉斯,他在机率论的研究中首先引入了拉氏变换。

    拉氏变换和傅里叶变换有关,不过傅里叶变换将一个函数或是信号表示为许多弦波的叠加,而拉氏变换则是将一个函数表示为许多的叠加。拉氏变换常用来求解微分方程及积分方程。在物理及工程上常用来分析线性非时变系统,可用来分析电子电路谐振子光学仪器及机械设备。在这些分析中,拉氏变换可以作时域频域之间的转换,在时域中输入和输出都是时间的函数,在频域中输入和输出则是复变角频率的函数,单位是弧度每秒。

    对于一个简单的系统,拉氏变换提供另一种系统的描述方程,可以简化分析系统行为的时间[1]。像时域下的线性非时变系统,在频域下会转换为代数方程,在时域下的卷积会变成频域下的乘法。

     

     

    正式定义[编辑]

    对于所有实数t ≥ 0,函数f(t)的拉普拉斯变换是函数F(s),定义为:

    F(s) =\int_0^{\infty} e^{-st} f(t) \,dt

    参数s是一个复数

    s = \sigma + i \omega, \,σ和ω为实数。

    拉普拉斯变换的其他表示法中使用\displaystyle\mathcal{L}f\displaystyle\mathcal{L}_t\left\{f(t)\right\}而非F\mathcal{L} 是一个运算符号,它代表对其对象进行拉普拉斯积分\int_0^\infty e^{-st}\,dtF(s)\,f(t)\,的拉普拉斯变换结果。

    拉普拉斯逆变换[编辑]

    拉普拉斯逆变换有许多不同的名称,如维奇积分傅立叶-梅林积分梅林逆公式,是一个积分:

    f(t) = \mathcal{L}^{-1} \{F\} = \mathcal{L}^{-1}_s \{F(s)\} \equiv \frac{1}{2 \pi i} \lim_{T\to\infty}\int_{\gamma - i T}^{\gamma + i T} e^{st} F(s)\,ds,

    其中γ是一个使F(s)的积分路径在收敛域内的实数。

    拉普拉斯变换的存在性[编辑]

    关于一个函数f(t)\,的拉普拉斯变换,只有在拉普拉斯积分是收敛的情况下才存在。也就是说,f(t)\,必须是在对于t>0\,的每一个有限区间内都是间断性连续的,且当t\,趋于无穷大的时候,f(t)\,是指数阶地变化。

    拉普拉斯变换的基本性质[编辑]

    函数f(t)和g(t)的拉普拉斯变换分别为F(s)和G(s):

    \begin{align}   f(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  F(s) \} \\   g(t) &= \mathcal{L}^{-1} \{  G(s) \}  \end{align}

    下面的表格是一系列单边拉普拉斯变换的性质:[2]

    单边拉普拉斯变换的性质
     时域s域注释
    线性叠加 a f(t) + b g(t) \ a F(s) + b G(s) \ 可以用积分的基本规则证明。
    时域微分 t f(t) \ -F'(s) \ F′是F的一阶导数
    频域微分 t^{n} f(t) \ (-1)^{n} F^{(n)}(s) \ 更一般的形式是F(s)的n阶导数。
    微分 f'(t) \ s F(s) - f(0) \ f是一个可微函数,并且其导数为指数类型。这条性质可以通过分部积分得到。
    二阶微分 f''(t) \ s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ f为二阶可微且二阶导数是指数型的。通过对f′(t)应用微分性质可得。
    一般微分 f^{(n)}(t)  \ s^n F(s) - \sum_{k=1}^{n} s^{k-1} f^{(n - k)}(0) \ fn阶可微,其n阶导数是指数型的。通过数学归纳法证明。
    频率积分 \frac{1}{t}f(t)  \ \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma \ 这是由频率微分和条件收敛推导出来的。
    积分 \int_0^t f(\tau)\, d\tau  =  (u * f)(t) {1 \over s} F(s) u(t)是阶跃函数,注意到 (u ∗ f)(t) 是u(t)和f(t)的卷积
    时间标度 f(at) \frac{1}{a} F \left ( {s \over a} \right ) a > 0 \
    频率平移 e^{at} f(t)  \ F(s - a) \  
    时域平移 f(t - a) u(t - a) \ e^{-as} F(s) \ u(t)表示阶跃函数
    乘法 f(t)g(t) \frac{1}{2\pi i}\lim_{T\to\infty}\int_{c - iT}^{c + iT}F(\sigma)G(s - \sigma)\,d\sigma \ 积分沿完全处在F收敛域内的竖直线Re(σ) = c[3]
    卷积 (f * g)(t) = \int_{0}^{t} f(\tau)g(t - \tau)\,d\tau F(s) \cdot G(s) \  
    复共轭 f^*(t) F^*(s^*)  
    互相关 f(t)\star g(t) F^*(-s^*)\cdot G(s)  
    周期函数 f(t) {1 \over 1 - e^{-Ts}} \int_0^T e^{-st} f(t)\,dt f(t)是一个周期T的周期函数,于是对所有t ≥ 0,有'f(t) = f(+ T)。这条性质是时域平移和几何级数的结果。
    f(0^+)=\lim_{s\to \infty}{sF(s)}.,要求{F(s)}为真分式,即分子的最高次小于分母的最高次,否则使用多项式除法{F(s)}分解
    f(\infty)=\lim_{s\to 0}{sF(s)},要求sF(s)的所有极点都在左半复平面或原点为单极点。

    变换简表[编辑]

    原函数
    f(t) = \mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s) \right\}
    转换后函数
    F(s) = \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\}
    收敛区域
    \delta(t) \ 1 \ \mathrm{all} \  s \,
    \delta(t-\tau) \ e^{-\tau s} \  
    u(t) \ { 1 \over s } s > 0 \,
    u(t-\tau) \ { e^{-\tau s} \over s } s > 0 \,
    t \cdot u(t)\ \frac{1}{s^2} s > 0 \,
    e^{-\alpha t} \cdot u(t)  \ { 1 \over s+\alpha } s > - \alpha \
    ( 1-e^{-\alpha t})  \cdot u(t)  \ \frac{\alpha}{s(s+\alpha)} s > 0\
    \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over s^2 + \omega^2  } s > 0  \
    \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 + \omega^2  } s > 0 \
    \sinh(\alpha t) \cdot u(t) \ { \alpha \over s^2 - \alpha^2 } s > | \alpha | \
    \cosh(\alpha t) \cdot u(t) \ { s \over s^2 - \alpha^2  } s > | \alpha | \
    e^{-\alpha t}  \sin(\omega t) \cdot u(t) \ { \omega \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } s > -\alpha \
    e^{-\alpha t}  \cos(\omega t) \cdot u(t) \ { s+\alpha \over (s+\alpha )^2 + \omega^2  } s > -\alpha \
    {  t^n \over n! } \cdot u(t) { 1 \over s^{n+1} } s > 0 \,
    \frac{t^{n}}{n!}e^{-\alpha t} \cdot u(t) \frac{1}{(s+\alpha)^{n+1}} s > - \alpha \,
    \sqrt[n]{t} \cdot u(t) s^{-(n+1)/n} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right) s > 0 \,
    \ln \left (  { t \over t_0 } \right ) \cdot u(t) - { t_0 \over s} \  [ \  \ln(t_0 s)+\gamma \ ] s > 0 \,
    J_n( \omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2+ \omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2 + \omega^2}} s > 0 \,
    (n > -1) \,
    I_n(\omega t) \cdot u(t) \frac{ \omega^n \left(s+\sqrt{s^2-\omega^2}\right)^{-n}}{\sqrt{s^2-\omega^2}} s > | \omega | \,
    Y_0(\alpha t) \cdot u(t) -{2 \sinh^{-1}(s/\alpha) \over \pi \sqrt{s^2+\alpha^2}} s > 0 \,
    K_0(\alpha t) \cdot u(t)    
    \mathrm{erf}(t) \cdot u(t) {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s} s > 0 \,

    与其他变换的联系[编辑]

    • 与傅里叶变换关系

    s = iω或s = 2πfi,有:

    \begin{align} \hat{f}(\omega) & = \mathcal{F}\left\{f(t)\right\} \\[1em] & = \mathcal{L}\left\{f(t)\right\}|_{s =  i\omega}  =  F(s)|_{s = i \omega}\\[1em] & = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\imath \omega t} f(t)\,\mathrm{d}t.\\ \end{align}
    • 与z变换的联系

    z 变换表达式为:

    X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

    其中z \leftarrow e^{s T} \. 比较两者表达式有:

    X_q(s) =  X(z) \Big|_{z=e^{sT}}.

    例子:如何应用此变换及其性质[编辑]

    拉普拉斯变换在物理学和工程中是常用的;线性时不变系统的输出可以通过卷积单位脉冲响应与输入信号来计算,而在拉氏空间中执行此计算将卷积通过转换成乘法来计算。后者是更容易解决,由于它的代数形式。

    拉普拉斯变换也可以用来解决微分方程,这被广泛应用于电气工程。拉普拉斯变换把线性差分方程化简为代数方程,这样就可以通过代数规则来解决。原来的微分方程可以通过施加逆拉普拉斯变换得到其解。英国电气工程师奥利弗·黑维塞第一次提出了一个类似的计划,虽然没有使用拉普拉斯变换;以及由此产生的演算被誉为黑维塞演算。

    在工程学上的应用[编辑]

    应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程,可以将微分方程化为代数方程,使问题得以解决。在工程学上,拉普拉斯变换的重大意义在于:将一个信号从时域上,转换为复频域(s域)上来表示,对于分析系统特性系统稳定有着重大意义;在线性系统控制自动化上都有广泛的应用

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  • 拉普拉斯变换学习笔记

    千次阅读 2019-05-06 09:40:44
    3.双边拉普拉斯变换的收敛域 4.单边拉普拉斯变换的定义 5.单边拉普拉斯变换和傅立叶变换关系 6.常见信号拉式变换 7.拉普拉斯变换的性质 7.1.线性、尺度变换性质 7.2.时移、复频移特性 7.3.时域、复频域...

    目录

    1.为什么引入拉普拉斯变换?

    2.双边拉普拉斯的定义

    3.双边拉普拉斯变换的收敛域

    4.单边拉普拉斯变换的定义

             5.单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系

    6.常见信号的拉式变换

    7.拉普拉斯变换的性质

    7.1.线性、尺度变换性质

    7.2.时移、复频移特性

    7.3.时域、复频域的微积分 

    7.4.卷积定理

    7.5.初值、终值定理 


     1.为什么引入拉普拉斯变换?

    1.有些函数 f(t) 的傅立叶变换不存在

    2. f(t) 在 -∞ 远处 不为0.

    这些都是傅立叶(FT)所不能解决的问题,故将扩展到复数域,引出拉普拉斯变化。


    2.双边拉普拉斯的定义

    为了方便公式的书写和记忆,因此把复数域的表达形式进行简化如下:


    3.双边拉普拉斯变换的收敛域

     

     

    对于因果信号:

    对于反因果信号

    对于双边信号:

    小结:


    4.单边拉普拉斯变换的定义


    5.单边拉普拉斯变换和傅立叶变换的关系

    从上面可得知,拉普拉斯变换来自于傅立叶变换,引出拉普拉斯变换正是因为有些函数的傅立叶变换不存在,那么拉普拉斯变换和傅立叶变换之间肯定是可以进行转换的,条件是什么呢?

    单边拉式变换和傅立叶变换公式如下:

    注意:要讨论其关系, f(t)必须为因果信号

    根据收敛坐标的值可分为以下三种情况:

    只有第一种情况,f(t)傅立叶比变换存在:

    注意:因为因果信号,收敛域都是大于某一值的,因果信号收敛域如下所示


    6.常见信号的拉式变换


    7.拉普拉斯变换的性质

    7.1.线性(FT也具备)、尺度变换性质

    • 线性

    • 尺度

    例子:

    7.2.时移、复频移特性

    • 时移

    尺度变化+时移

    例:

    例2:

     

    • 复频移特性

    7.3.时域、复频域的微积分

    • 时域微分特性

     

    例子:

    • 时域积分特性

     

    例子1:

    例子2:

    • s域微分和积分

    例子:

    7.4.卷积定理

    7.5.初值、终值定理

    定义:

    例子:

     


     

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  • 1. 拉普拉斯变换   在前面学习非周期信号的傅里叶变换的时候,对一些常见的信号进行了傅里叶变换。其实,不是任何信号都能使用傅里叶变换进行展开,能够使用傅里叶变换的信号需要满足一定的条件才可以。   信号...
  • 第二章 拉普拉斯变换

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空空如也

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常见的拉普拉斯变换