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  • 常见的数学迭代方法
    2022-01-12 18:55:22

    如果系数矩阵 A 很大并且是稀疏矩阵,分解方法一般情况下将不会有效。迭代方法可生成一系列近似解。

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    昨天菜鸟自己为自己放了一天假,所以没有更新,也没有看学习内容(QωQ),望大家理解!

    今天心情大好,因为菜鸟的博客总算3级了,以前写博客没等级限制就可以自定义标签的,结果不知道什么时候搞了一个要到3级才能自定义了,搞得菜鸟先前的文章都是有什么标签就用什么,难受(QwQ),不过现在到了3级,也就是表示菜鸟也算是正式获得了一些认可,我还会努力的o<(★v★)>o

    话不多说,冲冲冲!!!

    程序员的数学基础课

    基础思想篇三知识点:

    首先,讲知识点之前,先讲一个故事

    古印度国王舍罕酷爱下棋,他打算重赏国际象棋的发明人宰相西萨·班·达依尔。这位聪明的大臣指着象棋盘对国王说:“陛下,我不要别的赏赐,请您在这张棋盘的第一个小格内放入一粒麦子,在第二个小格内放入两粒,第三小格内放入给四粒,以此类推,每一小格内都比前一小格加一倍的麦子,直至放满 64 个格子,然后将棋盘上所有的麦粒都赏给您的仆人我吧!”


    国王自以为小事一桩,痛快地答应了。可是,当开始放麦粒之后,国王发现,还没放到第二十格,一袋麦子已经空了。随着,一袋又一袋的麦子被放入棋盘的格子里,国王很快看出来,即便拿来全印度的粮食,也兑现不了对达依尔的诺言。

    相信这个故事,大家都不陌生,而这里也正是用到了我们今天要讲的迭代法

    1、到底什么是迭代法?

    迭代法,简单来说,其实就是不断地用旧的变量值,递推计算新的变量值。

    可能这样还是有点难以理解,所以借用上面的故事。故事里的大臣要求每一个格子的麦子数都是上一个格子的两倍,而这里上一个格子里的麦子数相当于就是旧的变量 Xn-1 ,而该格子的麦子数量就是新的变量值 Xn 。这里可以用公式表示:
    在这里插入图片描述
    大家很容易就可以看出来,迭代法的思想可以很容易的用循环语句或者递归语句表示出来。

    2、迭代法有什么具体应用?

    大体上,迭代法可以运用在以下几个方面:

    1. 求数值的精确或者近似解。典型的方法包括二分法(Bisection method)和牛顿迭代法(Newton’s method)

    2. 在一定范围内查找目标值。典型的方法包括二分查找

    3. 机器学习算法中的迭代。相关的算法或者模型有很多,比如 K- 均值算法(K-means clustering)、PageRank 的马尔科夫链(Markov chain)、梯度下降法(Gradient descent)等等。迭代法之所以在机器学习中有广泛的应用,是因为很多时候机器学习的过程,就是根据已知的数据和一定的假设,求一个局部最优解。而迭代法可以帮助学习算法逐步搜索,直至发现这种解。

    相信大家有点不解,为什么二分法是迭代法?

    这就要从代码入手了,二分法的每个新值(二分点)都必须由旧的值(两端点)推导而出。

    而且希望大家不要忘了迭代法的另一个必要条件,即:不断地,所以只要是循环语句或递归语句,其中新值的推导用到了旧值,那么就是迭代法。

    1. 求方程的精确或者近似解

    迭代可以帮我们无穷次的逼近,求得方程的精确或者近似解。

    假设有正整数 n,这个平方根一定小于 n 本身,并且大于 1。那么这个问题就转换成,在 1到 n 之间,找一个数字等于 n 的平方根。

    我这里采用迭代中常见的二分法:每次查看区间内的中间值,检验它是否符合标准

    举个例子,假如我们要找到 10 的平方根。我们需要先看 1 到 10 的中间数值,也就是11/2=5.5。5.5 的平方是大于 10 的,所以我们要一个更小的数值,就看 5.5 和 1 之间的3.25。由于 3.25 的平方也是大于 10 的,继续查看 3.25 和 1 之间的数值,也就是2.125。这时,2.125 的平方小于 10 了,所以看 2.125 和 3.25 之间的值,一直继续下去,直到发现某个数的平方正好是 10。

    这里有一个图解:
    在这里插入图片描述

    2. 查找匹配记录

    二分法中的迭代式逼近,不仅可以帮我们求得近似解,还可以帮助我们查找匹配的记录。(二分查找)

    这个过程就像我们差英语字典一样

    第一步,将整个字典先进行排序(假设从小到大,我们查的字典就是这样,从字母a一直到字母z)。二分法中很关键的前提条件是,所查找的区间是有序的。这样才能在每次折半的时候,确定被查找的对象属于左半边还是右半边。

    第二步,使用二分法逐步定位到被查找的单词。每次迭代的候,都找到被搜索区间的中间点,看看这个点上的字母,是否和待查单词一致。如果一致就继续比较第二个字母(第二个字母自然也是排好序的);如果不一致,要看被查字母比中间点上的字母是小还是大。如果小,那说明被查的单词如果存在字典中,那一定在左半边;否则就在右半边。

    第三步,根据第二步的判断,选择左半边或者后半边,继续迭代式地查找,直到范围缩小到单个的词。如果到最终仍然无法找到,则返回不存在。

    在 a 到 g 的 7 个字符中查找 f 的过程,画成了一张图:
    在这里插入图片描述
    说的这两个例子,都属于迭代法中的二分法,二分法其实也体现了二进制的思想(这个菜鸟不是很清楚,为什么能体现,搜索‘一下,发现二分法又叫二进制搜索法,希望有理解的读者,积极留言!!!)。

    小结

    到这里,我想你对迭代的核心思路有了比较深入的理解。

    实际上,人类并不擅长重复性的劳动,而计算机却很适合做这种事。这也是为什么,以重复为特点的迭代法在编程中有着广泛的应用。不过,日常的实际项目可能并没有体现出明显的重复性,以至于让我们很容易就忽视了迭代法的使用。所以,你要多观察问题的现象,思考其本质,看看不断更新变量值或者缩小搜索的区间范围,是否可以获得最终的解(或近似解、局部最优解),如果是,那么你就可以尝试迭代法。

    菜鸟自己总结其实就一句话:迭代法,对应的就是循环语句递归语句,记住不断的新的变量由旧的推出就行了。

    其实该讲里面还有代码,不过都是java写的,考虑到读者可能没学过java,所以菜鸟没有将其列出。[ 其实就是菜鸟想自己写,因为java忘记了(XωX) ]

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    1、简单迭代法:

    参考代码:

    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    #define x0 3//初值
    #define MAXREPT 1000//迭代次数
    #define EPS 0.5E-6//精度
    #define G(x) pow(sin(x)+12*x-1,1.0/3)//你的迭代函数;将原方程化为x=G(x)。
    int main()
    {
    	int i;
    	double x_k=x0,x_k1=x0;
    	printf("	k	xk\n");
    	for(i=0;i<MAXREPT;i++)
    	{
    		printf("	%d	%g\n",i,x_k1);
    		x_k1=G(x_k);
    		if(fabs(x_k1-x_k)<EPS)
    		{
    			printf("The Root is x=%g,k=%d\n",x_k1,i);
    			return 0;
    		}
    		x_k=x_k1;
    	}
    	printf("After %d repeate,no solved.\n",MAXREPT);
    	return 0;
    }
    

    样例: f ( x ) = x 3 − s i n x − 12 x + 1 f(x)=x^3-sinx-12x+1 f(x)=x3sinx12x+1

    样例结果:
    简单迭代法结果
    2、牛顿迭代法:

    参考代码:

    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    #define G(x) x-(x*x*x-sin(x)-12*x+1)/(3*x*x-cos(x)-12) // 迭代函数,G(x)=x-f(x)/f'(x)
    #define MAXREPT 1000// 迭代次数
    #define EPS 0.5E-6// 精度
    #define x0 3// 初值
    int main()
    {
    	int i;
    	double x_k=x0,x_k1=x0;
    	printf("	k	xk\n");
    	for(int i=0;i<MAXREPT;i++)
    	{
    		printf("	%d	%g\n",i,x_k1);
    		x_k1=G(x_k);
    		if(fabs(x_k1-x_k)<EPS)
    		{
    			printf("The Root is x=%g,k=%d\n",x_k1,i);
    			double ans=f(x_k1);
    			printf("%g\n",ans);
    			return 0;
    		}
    		x_k=x_k1;
    	}
    	printf("After %d repeate,no solved.\n",MAXREPT);
    	
    	return 0;
    }
    

    样例: f ( x ) = x 3 − s i n x − 12 x + 1 f(x)=x^3-sinx-12x+1 f(x)=x3sinx12x+1

    样例结果:
    牛顿迭代法结果
    3、Aitken加速迭代法

    参考代码:

    #include<stdio.h>
    #include<math.h>
    #define x0 3// 初值
    #define MAXREPT 1000// 迭代次数
    #define EPS 0.5E-6// 精度
    #define G(x) pow(sin(x)+12*x-1,1.0/3)// 迭代函数,将原方程化为x=G(x)
    int main()
    {
    	int i;
    	double x1=x0,x2=x0;
    	double y,z;
    	printf("	k	xk\n");
    	for(i=0;i<MAXREPT;i++)
    	{
    		printf("	%d	%g\n",i,x2);
    		y=G(x1);
    		z=G(y);
    		x2=z-((z-y)*(z-y))/(z-2*y+x1);
    		if(fabs(x2-x1)<EPS)
    		{
    			printf("The Root is x=%g,k=%d\n",x2,i);
    			return 0;
    		}
    		x1=x2;
    	}
    	printf("After %d repeate,no solved.\n",MAXREPT);
    	return 0;
    }
    

    样例: f ( x ) = x 3 − s i n x − 12 x + 1 f(x)=x^3-sinx-12x+1 f(x)=x3sinx12x+1

    样例结果:
    Aitken迭代法结果

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  • 牛顿迭代法(Newton’s Method)又称为牛顿-拉夫逊(拉弗森)方法(Newton-Raphson Method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。 考虑无约束最优化问题: min⁡x∈Rnf(x)\min_{x\in...

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    牛顿迭代法(Newton’s Method)又称为牛顿-拉夫逊(拉弗森)方法(Newton-Raphson Method),它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。与一阶方法相比,二阶方法使用二阶导数改进了优化,其中最广泛使用的二阶方法是牛顿法。

    考虑无约束最优化问题:
    min ⁡ θ ∈ R n f ( θ ) \min_{\theta\in R^n}f(\theta) θRnminf(θ)

    其中 θ ∗ \theta^* θ为目标函数的极小点,假设 f ( θ ) f(\theta) f(θ)具有二阶连续偏导数,若第 k k k次迭代值为 θ ( k ) \theta^{(k)} θ(k),则可将 f ( θ ) f(\theta) f(θ) θ ( k ) \theta^{(k)} θ(k)附近进行二阶泰勒展开:
    f ( θ ) = f ( θ ( k ) ) + g k T ( θ − θ ( k ) ) + 1 2 ( θ − θ ( k ) ) T H ( θ ( k ) ) ( θ − θ ( k ) ) f(\theta)=f(\theta^{(k)})+g_k^T(\theta-\theta^{(k)})+\frac{1}{2}(\theta-\theta^{(k)})^TH(\theta^{(k)})(\theta-\theta^{(k)}) f(θ)=f(θ(k))+gkT(θθ(k))+21(θθ(k))TH(θ(k))(θθ(k))

    这里, g k = g ( θ ( k ) ) = ∇ f ( θ ( k ) ) g_k=g(\theta^{(k)})=\nabla f(\theta^{(k)}) gk=g(θ(k))=f(θ(k)) f ( θ ) f(\theta) f(θ)的梯度向量在点 θ ( k ) \theta^{(k)} θ(k)的值, H ( θ ( k ) ) H(\theta^{(k)}) H(θ(k)) f ( θ ) f(\theta) f(θ)的Hessian矩阵:
    H ( θ ) = [ ∂ 2 f ∂ θ i ∂ θ j ] m × n H(\theta)=[\frac{\partial^2f}{\partial \theta_i\partial \theta_j}]_{m\times n} H(θ)=[θiθj2f]m×n

    在点 θ ( k ) \theta^{(k)} θ(k)的值。函数 f ( θ ) f(\theta) f(θ)有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0,即梯度向量为0,特别是当 H ( θ ) H(\theta) H(θ)是正定矩阵时,函数 f ( θ ) f(\theta) f(θ)的极值为极小值。牛顿法利用极小点的必要条件:
    ∇ f ( θ ) = 0 \nabla f(\theta)=0 f(θ)=0

    每次迭代中从点 θ ( k ) \theta^{(k)} θ(k)开始,求目标函数的极小点,作为第 k + 1 k+1 k+1次迭代值 θ ( k + 1 ) \theta^{(k+1)} θ(k+1)。具体地,假设 θ ( k + 1 ) \theta^{(k+1)} θ(k+1)满足:
    ∇ f ( θ ( k + 1 ) ) = 0 \nabla f(\theta^{(k+1)})=0 f(θ(k+1))=0

    则有:
    ∇ f ( θ ) = g k + H k ( θ − θ ( k ) ) \nabla f(\theta)=g_k+H_k(\theta-\theta^{(k)}) f(θ)=gk+Hk(θθ(k))

    其中 H k = H ( θ ( k ) ) H_k=H(\theta^{(k)}) Hk=H(θ(k))。这样,我们可以得:
    g k + H k ( θ ( k + 1 ) − θ ( k ) ) = 0 g_k+H_k(\theta^{(k+1)}-\theta^{(k)})=0 gk+Hk(θ(k+1)θ(k))=0

    则:
    θ ( k + 1 ) = θ ( k ) − H k − 1 g k = θ ( k ) + p k \theta^{(k+1)}=\theta^{(k)}-H_k^{-1}g_k=\theta^{(k)}+p_k θ(k+1)=θ(k)Hk1gk=θ(k)+pk

    这就是牛顿迭代法。

    牛顿迭代法
    输入:目标函数 f ( θ ) f(\theta) f(θ);Hessian矩阵 H ( θ ) H(\theta) H(θ);精度要求 ϵ \epsilon ϵ
    输出: f ( θ ) f(\theta) f(θ)的极小值点 θ ∗ \theta^* θ
    (1) 取初始点 θ ( 0 ) \theta^{(0)} θ(0)并置 k = 0 k=0 k=0
    (2) 计算 g k = g ( θ ( 0 ) ) = ∇ f ( θ ( 0 ) ) g_k=g(\theta^{(0)})=\nabla f(\theta^{(0)}) gk=g(θ(0))=f(θ(0))
    (3) while ∣ ∣ g k ∣ ∣ > ϵ \quad||g_k||>\epsilon gk>ϵ
    (4) H k = H ( θ ( k ) ) \quad H_k=H(\theta^{(k)}) Hk=H(θ(k))
    (5) θ ( k + 1 ) = θ ( k ) − H k − 1 g k \quad \theta^{(k+1)}=\theta^{(k)}-H_k^{-1}g_k θ(k+1)=θ(k)Hk1gk
    (6) g k = g ( θ ( 0 ) ) = ∇ f ( θ ( 0 ) ) \quad g_k=g(\theta^{(0)})=\nabla f(\theta^{(0)}) gk=g(θ(0))=f(θ(0))
    (7) k = k + 1 \quad k=k+1 k=k+1
    (8) return θ ∗ = θ ( k ) \quad \theta^*=\theta^{(k)} θ=θ(k)

    迭代过程可参考下图:
    在这里插入图片描述
    在《优化技术:深度学习优化的挑战-[高原、鞍点和其他平坦区域]》我们讨论了牛顿法只适用于Hessian矩阵是正定的情况。在深度学习中,目标函数的表面通常非凸(有很多特征),如鞍点。因此使用牛顿法是有问题的。如果Hessian矩阵的特征值并不都是正的,例如,靠近鞍点处,牛顿法实际上会导致更新朝错误的方向移动。这种情况可以通过正则化Hessian矩阵来避免。常用的正则化策略包括在Hessian矩阵对角线上增加常数 α \alpha α。正则化更新变为:
    θ ∗ = θ 0 − [ H ( f ( θ 0 ) ) + α I ] − 1 ∇ θ f ( θ 0 ) \theta^*=\theta_0-[H(f(\theta_0))+\alpha I]^{-1}\nabla_\theta f(\theta_0) θ=θ0[H(f(θ0))+αI]1θf(θ0)

    这个正则化策略用于牛顿法的近似,例如Levenberg-Marquardt算,只要Hessian矩阵的负特征值仍然相对接近零,效果就会很好。在曲率方向更极端的情况下, α \alpha α的值必须足够大,以抵消负特征值。然而,如果 α \alpha α持续增加,Hessian矩阵会变得由对角矩阵 α I \alpha I αI主导,通过牛顿法所选择的方向会收敛到普通梯度除以 α \alpha α。当很强的负曲率存在时,α可能需要特别大,以至于牛顿法比选择合适学习率的梯度下降的步长更小。

    除了目标函数的某些特征带来的挑战,如鞍点,牛顿法用于训练大型神经网络还受限于其显著的计算负担。Hessian矩阵中元素数目是参数数量的平方,因此,如果参数数目为 k k k(甚至是在非常小的神经网络中 k k k也可能是百万级别),牛顿法需要计算 k × k k\times k k×k矩阵的逆,计算复杂度为 O ( k 3 ) O(k^3) O(k3)。另外,由于参数将每次更新都会改变,每次训练迭代都需要计算Hessian矩阵的逆。其结果是,只有参数很少的网络才能在实际中用牛顿法训练。在本节的剩余部分,我们将讨论一些试图保持牛顿法优点,同时避免计算障碍的替代算法。

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