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首先必须明白是什么样的反函数。

我们一般设一个62616964757a686964616fe78988e69d8331333366306439原来的函数y=f(x)。

那么反函数就设为y=f^-1(x)，这两个图像关于y=x这条直线对称。

但是这样的原来函数和反函数之间的导数，谈不上什么关系。

必须是写成x=f^-1(y)形式的反函数，其导数才是和原来函数的导数成倒数关系。

我们知道，在同一个x-y坐标系内，原函数y=f(x)和反函数x=f^-1(y)是同一个图像，那么对于函数上同一个点(x0，y0)点处的切线，当然就是同一条切线。

在原函数y=f(x)中，我们求的导数，从几何意义上说，就是x轴正半轴转到切线的角度的正切。

而反函数x=f^-1(y)中，我们求的导数，从几何意义上说，就是y轴正半轴转到切线的角度的正切。

而这两个函数在同一个x-y坐标系内是同一条曲线，在同一个点(x0，y0)处是同一条切线。这同一条切线的“x轴正半轴转到切线的角度”和“y轴正半轴转到切线的角度”相加，当然就是90°，那么这两个角的正切当然就互为倒数。

所以才会有“原函数的导数和反函数的导数成倒数关系”的性质。

扩展资料：

一般来说，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，若找得到一个函数g(y)在每一处g(y)都等于x，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^(-1)(x) 。反函数y=f ^(-1)(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。最具有代表性的反函数就是对数函数与指数函数。

一般地，如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应，y=f(x)，则y=f(x)的反函数为x=f (y)或者y=f﹣¹(x)。存在反函数(默认为单值函数)的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)。注意：上标"−1"指的并不是幂。

在证明这个定理之前先介绍函数的严格单调性。

设y=f(x)的定义域为D，值域为f(D)。如果对D中任意两点x1和x2，当x1y2，则称y=f(x)在D上严格单调递减。

证明：设f在D上严格单增，对任一y∈f(D)，有x∈D使f(x)=y。

而由于f的严格单增性，对D中任一x'x，都有y''>y。总之能使f(x)=y的x只有一个，根据反函数的定义，f存在反函数f-1。

任取f(D)中的两点y1和y2，设y1

若此时x1≥x2，根据f的严格单增性，有y1≥y2，这和我们假设的y1

因此x1

如果f在D上严格单减，证明类似。

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合(即①式)。

2、两个函数的乘积的导函数：一导乘二+一乘二导(即②式)。

3、两个函数的商的导函数也是一个分式：(子导乘母-子乘母导)除以母平方(即③式)。

4、如果有复合函数，则用链式法则求导。

建立符号变量命令sym和syms调用格式:

x=sym('x')， 建立符号变量x；

syms x y z ， 建立多个符号变量x，y，z；

matlab求导命令diff调用格式:

diff(函数) ， 求的一阶导数；

diff(函数， n) ， 求的n阶导数(n是具体整数)；

diff(函数，变量名)， 求对的偏导数；

diff(函数， 变量名，n) ，求对的n阶偏导数；

matlab求雅可比矩阵命令jacobian，调用格式:

jacobian([函数；函数； 函数]， [])给出矩阵:

２．导数概念.

导数是函数的变化率，几何意义是曲线在一点处的切线斜率.

(１)点导数是一个极限值.

例1.设，用定义计算.

解:在某一点的导数定义为极限:

我们记，输入命令:

syms h；limit((exp(0+h)-exp(0))/h，h，0)

得结果:ans=１．可知

(２)导数的几何意义是曲线的切线斜率.

例2.画出在处()的切线及若干条割线，观察割线的变化趋势.

解:在曲线上另取一点，则的方程是:

.即

取，分别作出几条割线.

h=[3，2，1，0.1，0.01]；a=(exp(h)-1)./h；x=-1:0.1:3；

plot(x，exp(x)，’r’)；hold on

for i=1:5；

plot(h(i)，exp(h(i))，’r.’)

plot(x，a(i)*x+1)

end

axis square

作出在处的切线

plot(x，x+1，’r’)

从图上看，随着与越来越接近，割线越来越接近曲线的割线．

３．求一元函数的导数.

(１)的一阶导数.

例3.求的导数.

解:打开matlab指令窗，输入指令:

dy_dx=diff(sin(x)/x).

得结果:

dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x^2.

matlab的函数名允许使用字母、空格、下划线及数字，不允许使用其他字符，在这里我们用dy_dx表示

例4.求的导数.

解: 输入命令:

dy_dx=diff(log(sin(x))).

得结果:

dy_dx=cos(x)/sin(x).

在matlab中，函数用log(x)表示，而log10(x)表示

例5.求的导数.

解: 输入命令:dy_dx=diff((x^2+2*x)^20).

得结果:

dy_dx=20*(x^2+2*x)^19*(2*x+2).

注意输入时应为2*x.

例6.求的导数.

解: 输入命令:

dy_dx=diff(x^x).

得结果:

dy_dx =x^x*(log(x)+1).

利用matlab 命令diff一次可以求出若干个函数的导数.

例7.求下列函数的导数:

1.

2.

3.

4.

解: 输入命令:

a=diff([sqrt(x^2- 2*x+5)，cos(x^2)+2*cos(2*x)，4^(sin(x))，

log(log(x))]).

得结果:

a=

[1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2)，-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x)，

4^sin(x)*cos(x)*log(4)， 1/x/log(x)].

dy1_dx=a(1)

dy1_dx=1/2/(x^2-2*x+5)^(1/2)*(2*x-2).

dy2_dx=a(2)

dy2_dx=-2*sin(x^2)*x-4*sin(2*x).

dy3_dx=a(3)

dy3_dx=4^sin(x)*cos(x)*log(4).

dy4_dx=a(4)

dy4_dx=1/x/log(x).

由本例可以看出

，matlab函数是对矩阵或向量进行操作的，a(i)表示向量a的第i个分量. (２)参数方程所确定的函数的导数.

设参数方程确定函数，则的导数

例8.设，求

解: 输入命令:

dx_dt=diff(a*(t-sin(t)))；dy_dt=diff(a*(1-cos(t)))；

dy_dx=dy_dt/dx_dt.

得结果:

dy_dx=sin(t)/(1-cos(t)).

其中分号的作用是不显示结果.

４．求多元函数的偏导数.

例9.设 求 u的一阶偏导数.

解: 输入命令:

diff((x^2+y^2+z^2)^(1/2)， x).

得结果:

ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x.

在命令中将末尾的x换成y将给出y的偏导数:

ans=1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y.

也可以输入命令:

jacobian((x^2+y^2+z^2)^(1/2)，[x y]).

得结果:

ans=[1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*x， 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)*y]

给出矩阵

例10.求下列函数的偏导数:

1.

2.

解: 输入命令:

diff(atan(y/x).

得结果:

ans=-y/x^2/(1+y^2/x^2).

输入命令:

diff(atan(y/x)， y).

得结果:

ans=1/x/(1+y^2/x^2).

输入命令:

diff(x^y， x).

得结果:

ans=x^y*y/x.

输入命令:

diff(x^y， y).

得结果:

ans=x^y*log(x).

使用jacobian命令求偏导数更为方便.

输入命令:

jacobian([atan(y/x)，x^y]，[x，y]).

得结果:

ans=[ -y/x^2/(1+y^2/x^2)， 1/x/(1+y^2/x^2)]

[ x^y*y/x， x^y*log(x)].

５．求高阶导数或高阶偏导数.

例11.设 ，求.

解:输入指令:

diff(x^2*exp(2*x)，x，20).

得结果:

ans =

99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x^2*exp(2*x)

例3.12.设，求,,

解:输入命令:

diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，2)

可得到:

ans=30*x^4+4*y^2.

将命令中最后一个x换为y得:

ans=-36*y^2+4*x^2.

输入命令:

diff(diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x)，y)

可得:

ans=8*x*y

同学们可自己计算比较它们的结果.

注意命令:diff(x^6-3*y^4+2*x^2*y^2，x，y)，是对y求偏导数，不是求