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    2022-03-24 23:13:43

     

     

     

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  • 马尔可夫链的常返态和非常态-零常返

    万次阅读 多人点赞 2020-09-13 16:10:07
    但由状态3出发经两步必定返回到3,而状态2则不然,当状态2转移到状态3后,便不可以返回到状态2,因此为了区分着两种状态,引入了常返性概念。 记 (1) 显然由马氏链性质于齐次性上式右方与m无关。它表示质点...

    目录

     

    一 非常返状态的定义

    二 常返性的判别及其性质

    三 零常返态的例子


    一 非常返状态的定义

    设I={1、2、3、4},转移概率如图1所示,可以计算出状态2和状态3有相同的周期d=2。但由状态3出发经两步必定返回到3,而状态2则不然,当状态2转移到状态3后,便不可以返回到状态2,因此为了区分着两种状态,引入了常返性概念。

       (1)

    f_{ii}=0

     

    显然由马氏链性质于齐次性上式右方与m无关。它表示质点由状态i出发,经n步首次到达状态j的概率,也称为首中概率(或首达概率)。记

       (2)

    它表示指点由状态i出发,经有限步终于到达状态j的概率。

    图1 马尔可夫链

    上图1中的状态3经有限步可以返回到状态3,因此该状态3称为常返状态;而状态2在有限步中,如果转移到了状态3,则便无法返回到自身的状态,因此状态2成为非常返状态。

     

    定义:如果f_{ii}=1,则称状态i为常返的;如果f_{ii}<1 ,则称状态i为非常返的。

    因此,若状态 i 为非常返态,则由i出发将以正概率永远不再返回到 i ;若 i 为常返时,不会出现上述情况。对于常返态 i ,由定义知构成一概率分布,此分布的期望值为:

       \mu _{_{i}} = \sum_{n=1}^{\infty}nf_{ii}^{(n)}(3)

    表示由状态i出发再返回到i的平均返回时间。

     

    二 常返性的判别及其性质

    该小节中讨论如何用(表示质点从状态i经过n步转移后到达状态j的概率)判别常返状态及其性质。这里先引入母函数。设为实数列,考虑其母函数

     (4)

    显然,如\left \{ {a_{n}}\right \}有界,则A(s)对一切|s|<1收敛。进而,若与的母函数分别为A(s)和B(s),且对一切|s|<1收敛,则\left \{ {a_{n}}\right \}\left \{ {b_{n}}\right \}的卷积 (5)

    的母函数为

     

    定理:状态i常返的充要条件为 (6)

    如i 非常返,则 (7)

     

    证明:规定。由定理4.4(下面给出该定理)知,

      (8)

    两边乘以s^{n},并对n\geqslant 1求和,若记的母函数分别为P(s)与F(s),与(5)式比较得

            (9)

    注意到当时,,因此

     (10)

    显然对任意正整数N都有

      (11)

    且当时,P(s)不减,故在上式中如先令,再令,我们有 

        (12)

    同理可得

       (13)

    令(10)式两边中的,由(11),(12)式立得定理。

    定理:当i常返时,返回i的此次数是无限多次;当i为非常返时,返回i的次数只能又有限多次。

     

    三 零常返态的例子

    因为零常返态中,\lim_{n\rightarrow \infty } p_{ij}^{(n)} = 0,且\mu _{i} = \sum_{n=1}^{\infty }nf_{ij}^{(n)}=\infty。所以可以用发散级数来寻找零常返态的例子:如

    \sum_{n=1}^{\infty }(\frac{3}{2})^{n} = 3^{n} \cdot (\frac{1}{2})^{n}为发散级数。可以令一个马尔可夫链的周期d = 3^n,该状态转移图如下图所示:

    图2 零常返的状态转移图

    可以观察到,状态1中:f_{ij}^{(1)}=0f_{ij}^{(2)}=0f_{ij}^{(3)}=\frac{1}{2}f_{ij}^{(4)}=0,... ,f_{ij}^{(8)}=0f_{ij}^{(9)}=(\frac{1}{2})^{2}f_{ij}^{(10)}=0,...

    因此状态1的首达概率为:f_{ij} = \sum_{n=1}^{\infty }f_{ij}^{(n)}=(\frac{1}{2})+(\frac{1}{2})^{2}+(\frac{1}{2})^{3}+... = 1,故状态1为常返态。

    可知 \mu _{1} = \sum_{n=1}^{\infty }nf_{ij}^{(n)}=3*(\frac{1}{2})+3^{2}*(\frac{1}{2})^{2}+3^{3}*(\frac{1}{2})^{3}+... = \sum_{n=1}^{\infty }(\frac{3}{2})^{n}为发散级数,故状态1为零常返态。

     

    定理4.4  对任意状态i,j及1\leqslant n\leq < \infty

    p_{i,j}^{n} = \sum_{k=1}^{n} f_{i,j}^{k} p_{j,j}^{n-k} = \sum_{k=1}^{n} f_{i,j}^{n-k} p_{j,j}^{k}

    参考文献:刘次华, 随机过程(第五版),华中科技大学出版社, 中国武汉, 2014

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  • 马尔可夫链-常返与暂留 周期

    千次阅读 2020-08-08 17:37:10
    大纲: 对周期的理解 用例子说明: 非周期才可以遍历,遍历是个好东西。

    大纲:

    对周期的理解

    用例子说明:

    非周期才可以遍历,遍历是个好东西。

    展开全文
  • 情况二: 这种情况下,状态0一旦转入状态1,状态就会一直保持1,就无法返回0,那么表示返回0这个事件不是一定发生的,因为状态0一旦转入状态1就不会返回0,那么状态0就是非常态,状态1就是常返态。

    往期基础知识回顾:马尔可夫过程Ⅰ:马尔可夫链、齐次马尔可夫链、CK方程

    0、符号规定

    p_{ij}^{(n)}:转移概率,从状态i到状态j,n步转移概率,不关心是否重复经过状态j。

    f_{ij}^{(n)}:首达概率,经过n步第一次从i达到j的概率,规定途中不能经过状态j。

    f_{ij}=\sum_{1\leq n< \infty}f_{ij}^{(n)}:迟早到达的概率,为首达概率的和。

    \mu _{ij}=\sum_{1\leq n< \infty}nf_{ij}^{(n)}:平均转移步数,为到达状态j的期望。

    \mu_i=\mu_{ii}:从状态i首次返回状态i的平均步数

    1、状态分类

    注解:

    所谓某个事件(状态)是常返态,就表示该事件一定会发生。

    某个事件是非常返态,就表示该事件有几率不发生。

    有限状态马氏链不存在零常返状态。

    2、示例:

    下面介绍两个简单的有限马氏链示例,来直观的介绍常返与非常返。

    若某有限马氏链只存在两个状态0,1,其一步转移矩阵如下所示:

    情况一:

    \begin{bmatrix} 0.2 & 0.8\\ 0.4&0.6 \end{bmatrix}

    可见,状态0有概率保持状态或者进入状态1,状态1同样也有概率保持或者转入状态0。

    那么对于状态0,它有概率保持0,表示它返回了0;也有概率转入1,但是由于1也能转入0,所以即使从0转入1,也一定会返回0,只是需要一定步数。即状态0常返,或者说返回0这个事件一定发生,对于状态1也是同理。

    情况二:

    \begin{bmatrix} 0.2 & 0.8\\ 0&1 \end{bmatrix}

    这种情况下,状态0一旦转入状态1,状态就会一直保持1,就无法返回0,那么表示返回0这个事件不是一定发生的,因为状态0一旦转入状态1就不会返回0,那么状态0就是非常返态,状态1就是常返态。

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