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  • 分数级数展开

    2011-05-31 09:06:00
    分数级数展开 求2*x/(1-2x+x^2) 相关的系数的差分方程x^2-2*x+1=0 所以设置a(n)=A*n+B,特解有: a(0)=B=0 a(1)=A+B=2 Go A=2 B=0 Go a(n)=2*n 所以S=2*x/(1-2x+x^2)=2*x+(2*2)*x^2+(2*3)*x^3+......

    真分数的幂级数展开

    求2*x/(1-2x+x^2)

    相关的系数的差分方程为x^2-2*x+1=0

    所以设置a(n)=A*n+B,特解有:

    a(0)=B=0

    a(1)=A+B=2

    Go

    A=2

    B=0

    Go

    a(n)=2*n

    所以S=2*x/(1-2x+x^2)=2*x+(2*2)*x^2+(2*3)*x^3+...+(2*n)*x^n

    S*x=2*x^2+(2*2)*x^3+(2*3)*x^4+...+(2*n)*x^(n+1)

    Go

    S-S*x=2*x+2*(x^2+x^3+...+x^n)-(2*n)*x^(n+1)

    Go

    S*(1-x)=2*x+2*{x^2-x^(n+1)}/(1-x) -(2*n)*x^(n+1)

    Go

    S*(1-x)=2*x+2*{x^2-x^(n+1)}/(1-x) -(2*n)*x^(n+1)

    当x<1,而n比较大的时候,x^(n+1)=0,

    GO

    S*(1-x)=2*x+2*{x^2}/(1-x) 

    Go

    S=2*x/(1-x)^2得到证明。

    从上面也可以看出这种推导方法也是母函数的来历。

    下面写程序来证明:

    (defun pow (num count)

    (if (or (> count 1) (eq  count  1) )

          (* num 

             (pow num 

                  (- count 1) ) )

          1))

     

    (defun slayer ( count)

    (if (or (> count 1) (eq  count  1) )

          (* count 

             (slayer  

                  (- count 1) ) )

          1))

     

     

    (defun  expr  (n x)

    (if  (=   n  0)

          0

         (+  (expr  (1-  n)

                    x)

             (*  (*  2.0  

                     n)

                 (pow  x

                       n)))))  

     

     

    (defun  formula ( x)

    (/  (*  2.0  

            x)

        (pow  (-  1  x)

              2)))

     

    (defun  test (n)

    (if (> n 0)

      (progn 

           (print (expr   n  0.9))

           (print  'compare)

           (print (formula  0.9))       

           (test (- n 1)))

      (print 'over)))

     

    (test  50) 

    x的值越小,n的值越大,两者的值越吻合。

     

     

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  • 最近在调代码,碰到幂函数、指数函数,总是提示 ValueError: math domain error ...b为分数,a为负数:当幂运算符的底数为负数、幂为分数时,Python会抛出ValueError: negative number cannot be raised to a fr
  • sum of powers 题目:已知并且 ...注意最大公约数负数的情况,强制转化正数,用分子保存整个分数的正负性,因为题目要求最小的正数M #include #include #include #include #include #include

    sum of powers

    题目:已知并且

    求最小的正数M,使得ak+1,ak···a0都是整数;

    分母求最小公倍数就可以;

    注意n^k的系数是C(k+1,1)*b1+(k+1);

    注意最大公约数为负数的情况,强制转化为正数,用分子保存整个分数的正负性,因为题目要求最小的正数M

    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<string>
    #include<iomanip>
    #include<vector>
    #include<map>
    #include<algorithm>
    #include<cmath>
    using namespace std;
    typedef long long ll;
    const int maxn=25;
    ll c[maxn][maxn];
    struct PP
    {
        ll a,b;//分子、分母
    };
    PP b[maxn],ans[maxn];
    /*ll gcd(ll a,ll b)
    {
        if(b==0)
            return a;
        return gcd(b,a%b);
    }*/
    ll gcd(ll a,ll b)
    {
        if(a%b==0)
        {
            if(b>0)
            return b;
            return -b;
        }
        return gcd(b,a%b);
    }
    PP add(PP a,PP b)//模拟两个分数的加法
    {
        if(!a.a)//如果有一个为零
            return b;
        if(!b.a)
            return a;
        ll temp=a.b/gcd(a.b,b.b)*b.b;//求出分母的最小公倍数
        PP res;
        res.a=temp/a.b*a.a+temp/b.b*b.a;//分子相加
        res.b=temp;
        if(res.a)//约掉最大公约数
        {
            ll tt=gcd(res.a,res.b);
            res.b/=tt;
            res.a/=tt;
        }
        return res;
    }
    void init()
    {
        memset(c,0,sizeof(c));
        for(int i=0;i<maxn;i++)//预处理组合数
        {
            c[i][0]=c[i][i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)
                c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1];
        }
        b[0].a=1;//求伯努利数
        b[0].b=1;
        for(int i=1;i<=20;i++)//用递推关系求
        {
            PP temp;
            temp.a=0;
            temp.b=0;
            for(int j=0;j<i;j++)
            {
                PP tt=b[j];
                tt.a=tt.a*c[i+1][j];
                if(tt.a)
                {
                    ll te=gcd(tt.a,tt.b);
                    tt.a/=te;
                    tt.b/=te;
                }
                temp=add(temp,tt);
            }
            temp.a=-temp.a;
            temp.b*=c[i+1][i];
            if(temp.a)
            {
                ll te=gcd(temp.a,temp.b);
                temp.a/=te;
                temp.b/=te;
            }
            else
                temp.b=0;
            b[i]=temp;
        }
    }
    int main()
    {
        init();
        int k;
        while(~scanf("%d",&k))
        {
            ll cur=1;
            for(int i=0;i<=k;i++)
            {
                if(i==1)
                {
                    ans[i].a=k+1;//b[1]要加上后面多出来的n^k
                    ans[i].b=2;
                }
                else
                {
                    ans[i]=b[i];
                    ans[i].a*=c[k+1][i];
                }
                if(ans[i].a)//约分
                {
                    ll temp=gcd(ans[i].a,ans[i].b);
                    ans[i].a/=temp;
                    ans[i].b/=temp;
                }
                else
                    ans[i].b=0;
                if(ans[i].b)//求分母的最小公倍数
                    cur=cur/gcd(cur,ans[i].b)*ans[i].b;
            }
            printf("%lld ",cur*(k+1));
            for(int i=0;i<=k;i++)//求出通分后每一项的系数
            {
                if(ans[i].b)
                    ans[i].a=cur/ans[i].b*ans[i].a;
            }
            for(int i=0;i<=k;i++)
                printf("%lld ",ans[i].a);
            printf("0\n");//最后一个一定为零
        }
    }

    
    


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  • 若T′T'可以开方,则它的每一个循环都可以开方,而由于2是质数,如果,循环节是奇数,那么它是一定可以开方的,如果循环节是偶数,由于T2T^2,一定会分裂成两个相等的循环,因此,这个偶数的相等的循环一定是偶数...

    Problem Link

    Leonardo’s Notebook
    大意:水题判断是否存在一个置换T, s.t  T2=T.

    Analysis

    由置换的性质,若T可以开方,则它的每一个循环都可以开方,而由于2是质数,如果,循环节是奇数,那么它是一定可以开方的,如果循环节是偶数,由于T2,一定会分裂成两个相等的循环,因此,这个为偶数的相等的循环一定是偶数个。

    AC code

    Source Code
    
    Problem: 3128       User: taotao
    Memory: 704K        Time: 0MS
    Language: G++       Result: Accepted
    Source Code
    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cstring>
    
    using namespace std;
    const int maxn = 1111;
    int n  = 26;
    int a[26];
    
    char s[30];
    
    int num[30];
    bool vis[30];
    
    bool  solve()
    {
        memset(num,0,sizeof(num));
        memset(vis,false,sizeof(vis));
        int cnt =0;
        for(int i=0 ; i<n ; ++i)
        {
            if(!vis[a[i]])
            {
                cnt  =0;
                int tmp =a[i];
                while(!vis[tmp])
                {
                    cnt++;
                    vis[tmp] = true;
                    tmp = a[tmp];
                }
                num[cnt]++;
            }
        }
    
        for(int i =0 ; i<=26 ; i+=2)
            if(num[i]&1)return false;
        return true;
    }
    
    int main()
    {
        //freopen("H:\\c++\\file\\stdin.txt","r",stdin);
        int T;
        scanf("%d",&T);
        while(T--)
        {
            scanf("%s",s);
            for(int i= 0 ; i<n ; ++i)
                a[i] = s[i]-'A';
            if(solve()){
                cout<<"Yes"<<endl;
            }else cout<<"No"<<endl;
        }
        return 0;
        }
    展开全文
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  • 若用VVV表示一个交通网络中结点的数量,用EEE表示边的数量,则贝塔指数的计算方式:β=EV\beta=\frac{E}{V}β=VE​。 “实践是检验真理的唯一标准”。作为一个热爱地理的好筱玛,她马上就把新学的知识应用到实践当

    链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/946/A
    筱玛爱地理
    题目描述

    筱玛是一个热爱地理的好筱玛。最近,在《地理II》作业本上,筱玛学到了“贝塔指数”的概念:

    在经济地理学中,交通的联结度表示交通网络的发达程度,通常用贝塔指数来计算与比较。若用VVV表示一个交通网络中结点的数量,用EEE表示边的数量,则贝塔指数的计算方式为:β=EV\beta=\frac{E}{V}β=VE​。

    “实践是检验真理的唯一标准”。作为一个热爱地理的好筱玛,她马上就把新学的知识应用到实践当中去。筱玛一口气出了nnn张交通网络规划图,其中第iii张交通网络GiG_iGi​有ViV_iVi​个结点和EiE_iEi​条边。筱玛一眼就看出了哪张图好、哪张图坏。但是作为一个负责任的好筱玛,她必须带领同学们一起进步。因此,她需要你将所有的nnn张图按照贝塔指数排序,并求出它们各自的贝塔指数在模109+710^9+7109+7意义下的值。
    输入描述:

    第一行一个整数nnn,表示交通网络规划图的数量。

    接下来nnn行,每行两个整数ViV_iVi​和EiE_iEi​,分别表示图GiG_iGi​中的结点数量和边的数量。

    输出描述:

    输出共nnn行,每行一个数,表示贝塔指数第iii大的交通网络的贝塔指数在模109+710^9+7109+7意义下的值。
    如果不能整除,输出分数取模后的结果。

    示例1
    输入
    复制

    1
    1 3

    输出
    复制

    3

    说明

    显然此时β=EV=3\beta=\frac{E}{V}=3β=VE​=3。

    备注:

    对于100%的数据,保证1≤n≤2×1051\le n\le 2\times10^51≤n≤2×105,1≤Vi,Ei≤1091\le V_i,E_i\le10^91≤Vi​,Ei​≤109。
    必备知识:

    费马小定理:
    若p是质数,且p与a互质,有等式:
    a^(p-1) %p == 1 % p

    那么我们在这上面变一下型:
    俩边同除a
    a^(p-2)%p == a^(-1)%p

    那么我们再在俩边同乘b
    (b / a)%p == b*a^(p-2)%p

    a^-1 mod p = a^p-2 mod p;
    (m/a) mod p = (( m mod p) * ( a^-1 mod p)) mod p
    逆元概念引入
    (a + b) % p = (a%p + b%p) %p (对)
    (a - b) % p = (a%p - b%p) %p (对)
    (a * b) % p = (a%p * b%p) %p (对)
    (a / b) % p = (a%p / b%p) %p (错)

    #include<bits/stdc++.h>
    #define ll long long
    using namespace std;
    
    const ll mod = 1e9 + 7;
    const ll N = 2e5 + 10;
    struct node
    {
        ll x;
        double ra;
        bool operator <(const node &y) const
        {
            return ra > y.ra;
        }
    } a[N];
    int pow_mod(int a,int n,int m)  //幂取模,运用分治方法
    {  //a为底数,n为指数,m为取模数
       if(n==0)  return 1;
       int x=pow_mod(a,n/2,m);
       long long int ans=(long long int)x*x%m;
       if(n%2==1)  ans=ans*a%m;
       return (int)ans;
    }
    
    ll ksm(ll a, ll b)
    {
        ll ans = 1, base = a;
        while(b)
        {
            if(b&1)
                ans = (ans * base) % mod;
            base = (base * base) % mod;
            b >>= 1;
        }
        return ans;
    }
    int main()
    {
        ll n;
        cin >> n;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            int x, y;
            cin >> y >> x;
            a[i].ra = ((x * 1.0) / y);
            if(x % y != 0)
                a[i].x = (x % mod * ksm(y, mod - 2)) % mod;
            else
                a[i].x = int(x / y);
        }
        sort(a, a + n);
        for(int i = 0; i < n; i++) cout << a[i].x << endl;
        return 0;
    }
    
    
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    千次阅读 2015-06-06 19:34:45
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  • 1、运算(整数分数幂): - 维基百科,自由的百科全书 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA注意:b底数,n指数。1.1 分数幂运算:1.2 运算的运算公式和法则1.3 次方根2、对数:2.1 对数的基本...
  • leetcode231. 2的给定一个整数,编写一个函数来判断...输出: false方法一:二分查找思路:分析本题,可知,结果整数,那么它对应的指数的范围只能是[0,∞],不存在分数情况。我们可以想到使用二分查找的方式搜...
  • 快速的应用

    2014-06-04 15:23:13
    快速的原理: 题目:实现函数double Power(double base, int exponent),求base的exponent次方。不需要考虑溢出。 ...分析:在开始写“主要”的功能...负时,要取分数的,别忘了;还有0的情况,当base不0时
  • python中的开放运算

    2017-07-06 09:39:31
    幂为分数,底数为负数:当幂运算符的底数为负数、幂为分数时,Python会抛出ValueError: negative number cannot be raised to a fractional power异常,这时需要采用复数进行运算。因此凡是遇到幂为分数的项...
  • 题目 思路 如果奇数,将底数分出一个。 如果偶数,就降一半的次数,也就是(底数的平方)^...如果数是负数,将底数取分数取反 int最小值取反会超出最大值,因为用long类型代替int类型 代码 ...
  • 数值计算:二进制分数与十进制分数的转化  整数的十进制而二进制的转化比较简单,而且任意一个整数都可以用有限长位数的二进制数来表示,而分数就不一定了。因为整数的最小间隔是1,而...为了将转化为分数,我们将...
  • 前者代表数学式中的 ln,而后者表示数学式中的 lg,至于数学上要求loga(b)(a不e和10),可用换底公式表示log(b)/log(a)。要包含头文件math.h。 2.取整函数: 使用floor函数。floor(x)返回的是小于或等于x的最大...
  • 指数的运算首先将根式、分数指数统一为分数指数,以便利用法则计算,还应注意:①必须同底数相乘,指数才能相加;②运算的先后顺序。2.当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正。3.运算结果不能同时含有...
  • 一、导言——高中我们学过等差数列求和: 当然,这也可以写为: 或者是高中在讲定积分时用到,但没有深入讲解的公式: 这同样可以写为: 当然,幂为分数也是可以的,不过分数/正实数维展开就会像泰勒展开一样有余项...
  • 分数多项式通过使用实数值的预测变量的变换解决非线性问题提供了一种通用方法。 提出了一种自适应的生成分数多项式模型的方法,该方法基于启发式搜索,通过k倍似然交叉验证(LCV)分数指导并通过指示LCV分数...
  • 题意:n个题目,答对m次,答对1次+1分,连续答对k次,则当前分数翻倍,n,m,k 分数最小,则尽量不翻倍令b...若m>y 则分数肯定会翻倍 选分数较小时翻倍 则有x=m-y次翻倍 翻倍的分数为 t=(((k*2+k)*2)+k)*2...  t=2^x*k+2
  • 形如z = a + b*i(b ≠ 0),a= 0时,纯虚数,a≠ 0 ,混虚数 有理数: 有理数:集合符号Q,一般有两种分类方式 正有理数Q+(正整数N+,正分数),0,负有理数(负整数Z-,负分数) 整数,分数 无理数: 也...
  • 题意:给定一个进制base...令dp[i][j]dp[i][j]dp[i][j]表示满足当前分数为iii最后一个数字是jjj的数字的个数。 可以得到状态转移方程:dp[i+dis][j]=∑dp[i][k]dp[i+dis][j]=∑dp[i][k]dp[i+dis][j]=∑dp[i][k],其中d

空空如也

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幂为分数