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求2*x/(1-2x+x^2)
相关的系数的差分方程为x^2-2*x+1=0
所以设置a(n)=A*n+B,特解有:
a(0)=B=0
a(1)=A+B=2
Go
A=2
B=0
Go
a(n)=2*n
所以S=2*x/(1-2x+x^2)=2*x+(2*2)*x^2+(2*3)*x^3+...+(2*n)*x^n
S*x=2*x^2+(2*2)*x^3+(2*3)*x^4+...+(2*n)*x^(n+1)
Go
S-S*x=2*x+2*(x^2+x^3+...+x^n)-(2*n)*x^(n+1)
Go
S*(1-x)=2*x+2*{x^2-x^(n+1)}/(1-x) -(2*n)*x^(n+1)
Go
S*(1-x)=2*x+2*{x^2-x^(n+1)}/(1-x) -(2*n)*x^(n+1)
当x<1,而n比较大的时候,x^(n+1)=0,
GO
S*(1-x)=2*x+2*{x^2}/(1-x)
Go
S=2*x/(1-x)^2得到证明。
从上面也可以看出这种推导方法也是母函数的来历。
下面写程序来证明:
(defun pow (num count)
(if (or (> count 1) (eq count 1) )
(* num
(pow num
(- count 1) ) )
1))
(defun slayer ( count)
(if (or (> count 1) (eq count 1) )
(* count
(slayer
(- count 1) ) )
1))
(defun expr (n x)
(if (= n 0)
0
(+ (expr (1- n)
x)
(* (* 2.0
n)
(pow x
n)))))
(defun formula ( x)
(/ (* 2.0
x)
(pow (- 1 x)
2)))
(defun test (n)
(if (> n 0)
(progn
(print (expr n 0.9))
(print 'compare)
(print (formula 0.9))
(test (- n 1)))
(print 'over)))
(test 50)
x的值越小,n的值越大,两者的值越吻合。
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并且
求最小的正数M,使得ak+1,ak···a0都是整数;
分母求最小公倍数就可以;
注意n^k的系数是C(k+1,1)*b1+(k+1);
注意最大公约数为负数的情况,强制转化为正数,用分子保存整个分数的正负性,因为题目要求最小的正数M
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<string> #include<iomanip> #include<vector> #include<map> #include<algorithm> #include<cmath> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=25; ll c[maxn][maxn]; struct PP { ll a,b;//分子、分母 }; PP b[maxn],ans[maxn]; /*ll gcd(ll a,ll b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b); }*/ ll gcd(ll a,ll b) { if(a%b==0) { if(b>0) return b; return -b; } return gcd(b,a%b); } PP add(PP a,PP b)//模拟两个分数的加法 { if(!a.a)//如果有一个为零 return b; if(!b.a) return a; ll temp=a.b/gcd(a.b,b.b)*b.b;//求出分母的最小公倍数 PP res; res.a=temp/a.b*a.a+temp/b.b*b.a;//分子相加 res.b=temp; if(res.a)//约掉最大公约数 { ll tt=gcd(res.a,res.b); res.b/=tt; res.a/=tt; } return res; } void init() { memset(c,0,sizeof(c)); for(int i=0;i<maxn;i++)//预处理组合数 { c[i][0]=c[i][i]=1; for(int j=1;j<i;j++) c[i][j]=c[i-1][j]+c[i-1][j-1]; } b[0].a=1;//求伯努利数 b[0].b=1; for(int i=1;i<=20;i++)//用递推关系求 { PP temp; temp.a=0; temp.b=0; for(int j=0;j<i;j++) { PP tt=b[j]; tt.a=tt.a*c[i+1][j]; if(tt.a) { ll te=gcd(tt.a,tt.b); tt.a/=te; tt.b/=te; } temp=add(temp,tt); } temp.a=-temp.a; temp.b*=c[i+1][i]; if(temp.a) { ll te=gcd(temp.a,temp.b); temp.a/=te; temp.b/=te; } else temp.b=0; b[i]=temp; } } int main() { init(); int k; while(~scanf("%d",&k)) { ll cur=1; for(int i=0;i<=k;i++) { if(i==1) { ans[i].a=k+1;//b[1]要加上后面多出来的n^k ans[i].b=2; } else { ans[i]=b[i]; ans[i].a*=c[k+1][i]; } if(ans[i].a)//约分 { ll temp=gcd(ans[i].a,ans[i].b); ans[i].a/=temp; ans[i].b/=temp; } else ans[i].b=0; if(ans[i].b)//求分母的最小公倍数 cur=cur/gcd(cur,ans[i].b)*ans[i].b; } printf("%lld ",cur*(k+1)); for(int i=0;i<=k;i++)//求出通分后每一项的系数 { if(ans[i].b) ans[i].a=cur/ans[i].b*ans[i].a; } for(int i=0;i<=k;i++) printf("%lld ",ans[i].a); printf("0\n");//最后一个一定为零 } }
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poj 3128 Leonardo's Notebook(置换群的分数幂运算)
2016-12-06 20:14:57若T′T'可以开方,则它的每一个循环都可以开方,而由于2是质数,如果,循环节是奇数,那么它是一定可以开方的,如果循环节是偶数,由于T2T^2,一定会分裂成两个相等的循环,因此,这个为偶数的相等的循环一定是偶数...Problem Link
Leonardo’s Notebook
大意:水题判断是否存在一个置换T, s.t T2=T′.Analysis
由置换的性质,若T′可以开方,则它的每一个循环都可以开方,而由于2是质数,如果,循环节是奇数,那么它是一定可以开方的,如果循环节是偶数,由于T2,一定会分裂成两个相等的循环,因此,这个为偶数的相等的循环一定是偶数个。
AC code
Source Code Problem: 3128 User: taotao Memory: 704K Time: 0MS Language: G++ Result: Accepted Source Code #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> using namespace std; const int maxn = 1111; int n = 26; int a[26]; char s[30]; int num[30]; bool vis[30]; bool solve() { memset(num,0,sizeof(num)); memset(vis,false,sizeof(vis)); int cnt =0; for(int i=0 ; i<n ; ++i) { if(!vis[a[i]]) { cnt =0; int tmp =a[i]; while(!vis[tmp]) { cnt++; vis[tmp] = true; tmp = a[tmp]; } num[cnt]++; } } for(int i =0 ; i<=26 ; i+=2) if(num[i]&1)return false; return true; } int main() { //freopen("H:\\c++\\file\\stdin.txt","r",stdin); int T; scanf("%d",&T); while(T--) { scanf("%s",s); for(int i= 0 ; i<n ; ++i) a[i] = s[i]-'A'; if(solve()){ cout<<"Yes"<<endl; }else cout<<"No"<<endl; } return 0; }
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论文研究 - 介电弛豫的居里·冯·史威德定律和弛豫率的分布函数推导的Zipf幂定律以及分数阶微分方程的表现
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筱玛爱地理(分数取模,快速幂取模)
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筱玛爱地理
题目描述筱玛是一个热爱地理的好筱玛。最近,在《地理II》作业本上,筱玛学到了“贝塔指数”的概念:
在经济地理学中,交通的联结度表示交通网络的发达程度,通常用贝塔指数来计算与比较。若用VVV表示一个交通网络中结点的数量,用EEE表示边的数量,则贝塔指数的计算方式为:β=EV\beta=\frac{E}{V}β=VE。
“实践是检验真理的唯一标准”。作为一个热爱地理的好筱玛,她马上就把新学的知识应用到实践当中去。筱玛一口气出了nnn张交通网络规划图,其中第iii张交通网络GiG_iGi有ViV_iVi个结点和EiE_iEi条边。筱玛一眼就看出了哪张图好、哪张图坏。但是作为一个负责任的好筱玛,她必须带领同学们一起进步。因此,她需要你将所有的nnn张图按照贝塔指数排序,并求出它们各自的贝塔指数在模109+710^9+7109+7意义下的值。
输入描述:第一行一个整数nnn,表示交通网络规划图的数量。
接下来nnn行,每行两个整数ViV_iVi和EiE_iEi,分别表示图GiG_iGi中的结点数量和边的数量。
输出描述:
输出共nnn行,每行一个数,表示贝塔指数第iii大的交通网络的贝塔指数在模109+710^9+7109+7意义下的值。
如果不能整除,输出分数取模后的结果。示例1
输入
复制1
1 3输出
复制3
说明
显然此时β=EV=3\beta=\frac{E}{V}=3β=VE=3。
备注:
对于100%的数据,保证1≤n≤2×1051\le n\le 2\times10^51≤n≤2×105,1≤Vi,Ei≤1091\le V_i,E_i\le10^91≤Vi,Ei≤109。
必备知识:费马小定理:
若p是质数,且p与a互质,有等式:
a^(p-1) %p == 1 % p那么我们在这上面变一下型:
俩边同除a
a^(p-2)%p == a^(-1)%p那么我们再在俩边同乘b
(b / a)%p == b*a^(p-2)%pa^-1 mod p = a^p-2 mod p;
(m/a) mod p = (( m mod p) * ( a^-1 mod p)) mod p
逆元概念引入
(a + b) % p = (a%p + b%p) %p (对)
(a - b) % p = (a%p - b%p) %p (对)
(a * b) % p = (a%p * b%p) %p (对)
(a / b) % p = (a%p / b%p) %p (错)#include<bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; const ll mod = 1e9 + 7; const ll N = 2e5 + 10; struct node { ll x; double ra; bool operator <(const node &y) const { return ra > y.ra; } } a[N]; int pow_mod(int a,int n,int m) //幂取模,运用分治方法 { //a为底数,n为指数,m为取模数 if(n==0) return 1; int x=pow_mod(a,n/2,m); long long int ans=(long long int)x*x%m; if(n%2==1) ans=ans*a%m; return (int)ans; } ll ksm(ll a, ll b) { ll ans = 1, base = a; while(b) { if(b&1) ans = (ans * base) % mod; base = (base * base) % mod; b >>= 1; } return ans; } int main() { ll n; cin >> n; for(int i = 0; i < n; i++) { int x, y; cin >> y >> x; a[i].ra = ((x * 1.0) / y); if(x % y != 0) a[i].x = (x % mod * ksm(y, mod - 2)) % mod; else a[i].x = int(x / y); } sort(a, a + n); for(int i = 0; i < n; i++) cout << a[i].x << endl; return 0; }
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