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  • y=x^α(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。 例如函数 y=x^0 ,y=x^1, y=x^2, y=x^-1 (注:y=x^-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。 公式: y=x^α 性质: 正值...

    函数

    现实事物的关系用数学表达式描述出来,就是函数。函数是关系的表示。

    幂函数

    y=x^α(α为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。
    例如函数 y=x^0 ,y=x^1, y=x^2, y=x^-1
    (注:y=x^-1=1/x、y=x0时x≠0)等都是幂函数。

    公式:

    y=x^α
    

    性质:

    正值性质:
    当a>0时,幂函数有下列性质:
    a、图像都经过点(1,1)(0,0);
    b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;
    c、在第一象限内,a>1时,导数值逐渐增大;a=1时,导数为常数;0<a<1时,导数值逐渐减小,趋近于0(函数值递增);

    负值性质:
    当a<0时,幂函数有下列性质:
    a、图像都通过点(1,1);
    b、图像在区间(0,+∞)上是减函数;(内容补充:若为X-2,易得到其为偶函数。利用对称性,对称轴是y轴,可得其图像在区间(-∞,0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。
    c、在第一象限内,有两条渐近线(即坐标轴),自变量趋近0,函数值趋近+∞,自变量趋近+∞,函数值趋近0。

    零值性质:
    当a=0时,幂函数有下列性质: a、y=x0的图像是直线y=1去掉一点(0,1)。它的图像不是直线。

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  •  一个表达式,由三角函数(只包含sin(x)和cos(x))和幂函数组成,输出其导数并使得结果的表达式尽可能短。 问题分析  合并同类项是缩短结果的最基本方法之一。但合并同类项之后并非一定能获得最短的表达式,例如...

      说到三角函数的化简,都是高考过的人,有谁畏惧过数学的第一道大题?从笔算到代码实现,是一个从具体到抽象的过程。内心秉持这样一种信念,笔能化简它,为什么代码不行?

    提出问题

      一个表达式,由三角函数(只包含sin(x)和cos(x))和幂函数组成,输出其导数并使得结果的表达式尽可能短。

    问题分析

      合并同类项是缩短结果的最基本方法之一。但合并同类项之后并非一定能获得最短的表达式,例如存在 sin(x)^2+cos(x)^2 这类并非同类项却能合并并化简的式子。

      1.合并同类项

      通过抽象后我们发现每一项都可以用四个数来唯一确定,他们分别是系数n,sin(x)的指数a,cos(x)的指数b,x的指数c。而为了便于查找,我们可以用hashmap这种数据结构来存储这些数据。对于两个不同的项,只要它的三个系数(a、b、c)相同,我们就说他是同类项,所以为了合并同类项,我们可以以指数为键,以系数为值来存放每一项。因为指数有三个,所以我们构造一个HashKey类来存放这三个指数

     1 import java.math.BigInteger;
     2 
     3 public class HashKey {
     4     private BigInteger deInSin;
     5     private BigInteger deInCos;
     6     private BigInteger deInX;
     7     
     8     public HashKey(BigInteger deInSin, BigInteger deInCos, BigInteger deInX) {
     9         this.deInSin = deInSin;
    10         this.deInCos = deInCos;
    11         this.deInX = deInX;
    12     }
    13     
    14     @Override
    15     public boolean equals(Object o) {
    16         if (this == o) {
    17             return true;
    18         }
    19         if (!(o instanceof HashKey)) {
    20             return false;
    21         }
    22         HashKey hashKey = (HashKey)o;
    23         return hashKey.deInSin.equals(deInSin) 
    24             && hashKey.deInCos.equals(deInCos) && hashKey.deInX.equals(deInX);
    25     }
    26     
    27     @Override
    28     public int hashCode() {
    29         int result = 17;
    30         result = 31 * result + deInSin.intValue();
    31         result = 31 * result + deInCos.intValue();
    32         result = 31 * result + deInX.intValue();
    33         return result;
    34     }
    35     
    36     public BigInteger getDeInSin() {
    37         return deInSin;
    38     }
    39     
    40     public BigInteger getDeInCos() {
    41         return deInCos;
    42     }
    43     
    44     public BigInteger getDeInX() {
    45         return deInX;
    46     }
    47 }

       (注意:需要重写equals方法和hashCode方法才能作为key。)

      这样,对于每个需要新添入的项,都可以先查找是否有相同的HashKey。如果有,更新其系数(value);否则插入新的一项。

      2.化简三角函数

      假设有两个表达式分别为s1和s2,其中s1的系数和指数分别为(n1, a1, b1, c1),s2的系数和指数分别为(n2, a2, b2, c2)。通过观察我们发现可以合并同类项的表达式有以下特点:

        1. a1 + b1 + c1 = a2 + b2 +c2

        2. |a1 - a2| = |b1 - b2| = 2

        3. c1 = c2

      因此,我们可以遍历HashMap,对于每个HashKey(ai, bi, ci),我们分别查找是否存在HashKey(ai - 2, bi + 2, ci)和HashKey(ai +2, bi - 2, ci)。不妨设存在HashKey(ai - 2, bi + 2, ci),并设HashKey(ai, bi, ci)的value为n,HashKey(ai - 2, bi + 2, ci)的value为m。合并完生成两项(n, ai-2, bi, ci)和(m-n, ai-2, bi+2, ci),完成一次化简。每执行完一次化简后结束此次遍历并重新开始遍历(防止更改已经遍历过得项导致可以在此化简),直到便利结束前后HashMap没有发生变化停止。(此次作业中由于输入限定在100字符以内,于是没有判断呢是否发生变化,而是强制执行十次后结束)。

      至此,化简大致就完成了,不过还存在一些遗留问题。

        1.对于形如 1-sin(x)^2 的项可以化简为 cos(x)^2

        2.对于形如 sin(x)^4 - cos(x)^4 的项可以化简为 sin(x)^2-cos(x)^2 进而化简为 1-2*cos(x)^2

      对于第一个问题,我的解决方法是模仿前文所述化简,对于每个HashKey(ai, bi, ci),我们查找是否存在HashKey(ai, bi + 2, ci)和HashKey(ai + 2, bi, ci)并且其value与HashKey(ai, bi, ci)的value互为相反数,找到后化简方法类似,不再赘述。

      对于第二个问题,我们可以考虑 sin(x)^4 - cos(x)^4 是如何生成的,即什么表达式的导数是 sin(x)^4 - cos(x)^4。不难发现 sin(x)*cos(x)^3+cos(x)*sin(x)^3 是其原函数之一。我们发现 sin(x)*cos(x)^3+cos(x)*sin(x)^3 可以用上述方法化简后成为 sin(x)*cos(x),再求导就会得到 1-2*cos(x)^2 而不是 sin(x)^4 - cos(x)^4。同样的若待求导表达式是 sin(x)^4 - cos(x)^4,我们发现其导数是 4*sin(x)^3*cos(x)+4*cos(x)^3*sin(x),求导后亦可用上述方法化简。于是我们可以在求导前后对表达式均化简以解决第二个问题。

      至此,此次作业的性能分就基本可以拿满了,不过上述方方仍存在可以优化的地方(强测最后一个测试点最短156个字符而我输出了157个),希望满分的大佬能分享更好的优化方法

    总结

      对于优化输出的问题,相信很多人都能想到优化方法,只是是觉得太麻烦懒于用代码实现,或者没有足够的时间来写完优化。我想说的是其实优化也层层递进的,写代码时不要有畏难畏多情绪,想到一点就写一点,能短一点就多拿一点分,在不断优化和完善中一定能实现想要的结果。

    转载于:https://www.cnblogs.com/hyc2026/p/10547589.html

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  • - 如果是一组合法的输入数据(即符合上述的表达式基本规则),则应当输出一行,表示求出的导函数。格式同样需要满足上述的表达式基本格式规则。 - 如果是一组不合法的输入数据,则应当输出一行`WRONG FORMAT!`
  • - 如果是一组合法的输入数据(即符合上述的表达式基本规则),则应当输出一行,表示求出的导函数。格式同样需要满足上述的表达式基本格式规则。 - 如果是一组不合法的输入数据,则应当输出一行`WRONG FORMAT!`
  • ’**‘: 7**4 >2401 ‘/’:浮点数 10/2 >>5.0 ...字符串不会设计到运算符操作,但是运算符‘+’表示的是字符串首尾相连...表达式包含常量值、变量、函数,通过运算符通过一定连接规则连接起来的式子。 ...

    ’**‘:幂

    7**4
    >2401
    

    ‘/’:浮点数

    10/2
    >>5.0
    
    7/2
     》》3.5
    

    ’ // ':整除
    ‘ % ’:取除法的余数
    字符串不会设计到运算符操作,但是运算符‘+’表示的是字符串首尾相连。

    表达式包含常量值、变量、函数,通过运算符通过一定连接规则连接起来的式子。

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  • 在求函数或某些复杂表达式函数的导数时,将原来的函数转化为对数函数后可方便求导。 隐函数求导 “如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。一般情况下无法写成y=f(x)这种...

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    隐函数求导

    “如果方程F(x,y)=0能确定y是x的函数,那么称这种方式表示的函数是隐函数。一般情况下无法写成y=f(x)这种格式,任何的显函数都可以转化为隐函数,但隐函数不一定能转化为显函数。隐函数求导规则是分别将等式两边对x求导,再解出dy/dx。

    例: x2 + y2 = 1,求dy/dx


    参数方程求导

     


    幂指函数求导

    幂指函数不能直接用初等函数公式求导,一般做法是两边同时取对数,再对x求导。


    某些复杂表达式函数求导

    对于某些复杂表达式函数的求导,同样先取对数后再求导。


    Maple求导

    初等函数求导

                   

                            

    隐函数求导

    参数方程函数求导

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空空如也

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幂函数基本表达式