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  • 于是就让熊孩纸试着通过求一系列矩形的面积和,来估计某个函数曲线下的面积,然后考虑无穷分割的极限,证明如下几个简单初等函数定积分结果:下面我们将逐一给出证明。碎碎念:这个公众号的画风现在是越来越自娱自...

    8d094a9bf5d4b2844ca91259dc7e89eb.png

    去年9月时给申请牛剑数学专业的几个熊孩纸作辅导,发现好些个家伙对于积分计算法则贼麻溜,但是对这些法则的来龙去脉完全不闻不问,我也很是不解这种心态。于是就让熊孩纸试着通过求一系列矩形的面积和,来估计某个函数曲线下的面积,然后考虑无穷分割的极限,证明如下几个简单初等函数的定积分结果:

    下面我们将逐一给出证明。

    碎碎念:这个公众号的画风现在是越来越自娱自乐化了。。。


    定积分的表达式

    设连续函数

    上有定义。若我们将
    分成
    个等间隔的小区间,其中第
    个区间的范围是
    ,则在这个区间内曲线
    下的面积就近似等于矩形面积
    。对所有
    个矩形求和,我们就可以得到在
    区间内曲线
    下的面积的近似值。

    fb42a50dddbb88b5ed1cf7e9c41b1d4c.png

    当我们分割得越来越细,即取

    的极限,则可以获得这块面积的准确值,即:

    (4)式将作为我们推导积分公式的核心公式。


    的推导

    代入(4)式中,我们需要处理形如
    的计算。

    为此我们先来考察前

    个自然数的
    次方和。

    利用二项式展开,注意到:

    ,其中
    表示低于或等于
    的项。所以有:

    我们把

    的情况通通排列出来:

    将上述等式全部相加,左边逐项相消,很容易发现幸存的只剩下两项。右边则是前

    个自然数一系列的幂次求和:

    由此我们可以对数列

    的最高次项作出估计:

    上述证明中,仍需要证明余项的和确实不会超过

    。我们可以先将(5)式的结论作为假定,然后用数学归纳法完成证明,证明过程的细节留给读者。

    现在我们一切准备就绪,可以着手计算积分了。

    结果现在就变得一目了然:

    这正是为大家所熟知的结论。


    的推导

    对于

    ,利用(4)式,我们有:

    方括号中为一个公比为

    的等比数列,我们可以很容易地求出它的和:

    于是(7)式的积分可以进一步写成:

    可以作代换,令

    ,则有
    。注意到
    时,有
    ,于是
    。因此上式中的极限变成

    代回上面的积分结果中,我们得到:


    的推导(上)

    利用(8)式的结论,我们可以很快地得到这两个三角函数定积分的结果。

    注意到

    ,所以我们可以考察积分
    ,得到结果后,分别取其实部和虚部,就可以得到

    提取实部和虚部,我们立刻得到

    在上述三角函数的定积分计算中,我们利用了指数函数定积分的结果,并把实数域上的指数函数的积分不作讨论地直接沿用到了复数域上的指数函数。虽然这结果是正确的,但其实这中间的逻辑并不严密。有兴趣的读者可以查阅复变函数中指数函数

    的定义和它的性质。

    另一方面,我们计算三角函数的积分时,其实可以继续直接用(4)式,即用无限分割的方法暴力求和,然后取极限获得正确的结果。我们接下来给出相关的推导过程。


    的推导(下)

    预备定理

    我们先试着来考察

    的和。

    对每一项乘上

    ,再运用三角函数的积化和差公式
    ,我们有:

    再利用和差化积公式:

    ,进一步化简:

    由此我们得到:

    我们可以利用类似的技巧去获得正弦函数级数和的一个表达式。证明过程留给读者作为练习,我们在此仅列出结果:

    其实上面两式的证明还有另一种思路。注意到

    ,即
    分别是复数
    的实部和虚部。由此,我们可以将上述求和式,转化为一个等比级数的和。

    提取实部和虚部,立刻可以得出(9)式和(10)式的结果

    定积分

    的推导

    在(9)式中,令

    ,我们就有

    右边表达式中,第一个极限很容易求出

    利用

    时,
    的结论,第二个极限也可以求出

    把这些结果代回(11)式中

    最终得到结果:

    定积分

    的推导

    的结果完全可以用类似的无限分割求和方法来证明。

    具体细节留给读者作为练习。

    展开全文
  • 15个基本不定积分公式和分类基本积分表

    万次阅读 多人点赞 2018-10-09 12:05:07
    幂函数 x=-1 的幂函数,也就是倒数 指数函数 特殊的指数函数e, 对数函数 特殊的对数函数 基本的三角函数:无理数的积分,单位根和反正弦,反正切 含有 的积分,平方和->...

    1 原函数定义

    1.  常数

       

    2. 幂函数

       

    3.  x=-1 的幂函数,也就是倒数

       

    4. 指数函数

       

    5. 特殊的指数函数e,

       

    6.  对数函数

       

    7. 特殊的对数函数 

    8. 基本的三角函数:

      无理数的积分,单位根和反正弦,反正切


    9. 含有

        

      的积分,平方和->反正切函数


    10.  

    11. 反三角函数->对数

      双曲余弦和正弦


    12. 2 其他分类积分表:

    • (1)含有

        

      的积分:


    •  

       

       

       

      (2)含有

       

    • 的积分:


    (3)含有

    的积分


    (4)含有

    的积分


    (5)含有

    的积分


    (6)含有

    的 积分


    (7)含有

    的积分


     (8)含有

     

    的积分


    (9)含有

    的积分


    (10)含有三角函数的积分  :


    (11)含有反三角函数的积分 :


    (12)含有指数函数的积分 :


    (13)含有对数函数的积分  :


    14)含有双曲函数的积分  :

     

     

     

     

     

     


    展开全文
  • 幂函数公式如下: y = x^a a是实数,函数的定义域要看a的取值而。当a取任何实数时,函数在(0,+∞)区间内总有定义;当a>0时,函数在[0,+∞)区间内总有定义。 y = x,y=x^2,y=x^3,y=x^1/2,y=x^-1是最常见...

    幂函数的公式如下:

    y = x^a

    a是实数,函数的定义域要看a的取值而定。当a取任何实数时,函数在(0,+∞)区间内总有定义;当a>0时,函数在[0,+∞)区间内总有定义。

    y = x,y=x^2,y=x^3,y=x^1/2,y=x^-1是最常见的幂函数,下面分别探讨它们的图像和性质。

    绘制函数图像要使用sympy库,sympy库是一个计算机代数系统,它支持符号计算、高精度计算、模式匹配、绘图、解方程、微积分、组合数学、离散数学、几何学、概率与统计等方面的功能。

    在使用之前需要安装sympy库,最简单的安装方法就是在shell窗口运行pip3 install sympy命令。

    例1  y = x的图像和性质

    绘制y = x函数图像:

    # 导入sympy库from sympy import symbols,sin,plot# 定义幂函数def func(x,y):   return x**y# 定义数学符号x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成y=x函数公式f1=func(x,1)# 绘制图形plot(f1,(x,-10,10))

    代码解读

    函数公式是由数学符号、运算符和数值构成的,sympy在绘制函数图像时,需要描述函数公式,定义公式中用到的数学符号。sympy库的symbols函数可以定义数学符号,在代码中分别定义了数学符号x和y,x为幂函数的底数,y为幂函数的指数。

    函数func用来描述幂函数公式,直接返回幂函数的公式。

    plot是绘制图形的函数,它可以传入多个函数公式,(x,-10,10)是一个元组,用于定义函数自变量的区间,这里定义了变量x的区间为[10,10]。

    绘制的y=x函数图像如下所示:

    图片

     

    观察y=x函数图像,该图像是一条过原点的直线,函数的定义域和值域均为全体实数,函数关于原点对称,是奇函数,图中直线呈上升趋势,函数单调增加。

    例2  y=x^2的图像和性质

    修改例1的程序代码,将语句:

    f1=func(x,1)

    修改为:

    f1=func(x,2)

    运行程序,可得到y=x^2的函数图像。

    图片

     

    观察y=x^2函数图像,该图像的定义域是全体实数,值域是[0, +∞)。函数关于Y轴对称,是偶函数。函数在第二象限是单调递减(-∞,0],函数在第一象限是单调增加[0, +∞)。

    例3  y=x^3的图像和性质

    修改例1的程序代码,将语句:

    f1=func(x,1)

    修改为:

    f1=func(x,3)

    运行程序,可得到y=x^3的函数图像。

    图片

     

    观察y=x^3函数图像,函数关于原点对称,是奇函数,函数的定义域和值域都是全体实数,函数单调增加。

    例4 y=x^1/2的图像和性质

    修改例1的程序代码,将语句:

    f1=func(x,1)

    修改为:

    f1=func(x,1/2)

    运行程序,可得到y=x^1/2的函数图像。

    图片

     

    观察y=x^1/2函数图像,函数的定义域和值域都为区间[0, +∞),函数没有对称性,是非奇非偶函数,在区间[0, +∞)为单调增加。

     例5 y=x^-1的图像和性质

    绘制y=x^-1的图像,需要稍微修改例1的代码,主要是修改绘图X变量取值区间,因为y=x^-1函数不允许变量X为0。

    # 导入sympy库from sympy import symbols,sin,plot# 定义幂函数def func(x,y):   return x**y# 定义数学符号x,yx=symbols('x')y=symbols('y')# 生成y=x函数公式f1=func(x,-1)# 绘制图形plot((f1,(x,0.1,10)),(f1,(x,-10,-0.1)))

    代码解读

    代码主要修改了plot函数传入的参数,选择变量x的不同区间绘制函数图像,若需要plot绘制不同区间的函数,可以对每个函数公式定义一个区间。

    图片

     

    观察y=x^-1函数图像,函数图像分成两部分,分别在第一象限和第三象限。函数的定义域为不能等于0的实数,值域为不能等于0的实数,函数关于原点对称,是奇函数。函数在(-∞,0)和(0,+∞)上是递减函数。

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  • 某些“积不出”函数定积分近似计算方法及其原函数的近似曲线The Approximate Calculation Method and Curve of Some “Beyond Element” Definite IntegralsDOI:10.12677/PM.2020.107076,PDF, 下载:203浏览:457...

    某些“积不出”函数的定积分近似计算方法及其原函数的近似曲线

    The Approximate Calculation Method and Curve of Some “Beyond Element” Definite Integrals

    DOI: 10.12677/PM.2020.107076,

    PDF, 下载:

    203  浏览:

    457

    作者:

    杨立敏, 王泽军, 马 鹏, 于 静, 陈 文:中国石油大学(北京),克拉玛依校区,文理学院,新疆 克拉玛依

    摘要:

    通常所说的“求不定积分”是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来,如果函数的原函数不是初等函数,则称此函数为“积不出”函数。“积不出”函数的定积分计算时“Newton-Leibniz”公式失效。本文用无穷级数理论和含参变量积分理论给出部分“积不出”函数的定积分近似计算方法,用Matlab编程数值计算部分“积不出”函数的定积分近似值,并与讨论的其广义积分值加以比较,又利用变上限函数绘制了部分“积不出”函数的原函数近似曲线。

    Abstract:

    In general, “Calculating definite integral” is that we show the definite integral using elementary function, whereas, if the primitive function is not elementary function, then definite integral is “Beyond Element”. At this point, the “Newton-Leibniz” formula can not apply to calculate “Beyond Element” definite integral. In this paper, we apply theory of infinite series and integral depending on a parameter to calculate some “Beyond Element” definite integral. We obtain approximate value of definite integral by applying Matlab of mathematical software, and compare with analytical result of generalized integral. Subsequently, we apply variable upper limit function to plot the ap-proximate curve of primitive function.

    文章引用:

    杨立敏, 王泽军, 马鹏, 于静, 陈文. 某些“积不出”函数的定积分近似计算方法及其原函数的近似曲线[J]. 理论数学, 2020, 10(7): 631-637. https://doi.org/10.12677/PM.2020.107076

    1. 引言

    在高等数学教材中,定积分的计算一般要用“Newton-Leibniz”公式,即求出被积函数的原函数,再把上下限的值代入原函数并做减法。同时,大多高等数学教材也指出,有些初等函数的原函数是非初等

    函数,即我们无法用初等函数把这些函数的原函数表示出来,比如函数

    e

    x

    2 、

    s

    i

    n

    x

    x 、

    1

    l

    n

    x 、

    1

    1

    +

    x

    4 等 [1]。

    通常所说的“求不定积分”是指用初等函数的形式把这个不定积分表示出来,在这个意义下,以上函数的不定积分是求不出来的,这种函数也称为“积不出”函数。这是否意味着这些函数的定积分及广义积分我们完全计算不出来呢?否则,这些函数的定积分及广义积分该如何得到其值呢?不少同学有此疑问。本文利用无穷级数和含参变量积分的理论逐一给出以上函数的定积分的近似计算方法,并用Matlab软件计算出部分定积分的近似值,便于学生从数值上把握这些积分,也可以把该方法和程序应用到其他类似

    定积分的计算中。同时,把函数

    s

    i

    n

    x

    x,

    e

    x

    2 等广义积分的精确值与定积分的值放在一起,加以比较。

    2. 正文

    2.1. 基本引理 [2]

    引理2.1:幂级数

    n

    =

    0

    a

    n

    x

    n 的和函数

    s

    (

    x

    ) 在其收敛域上可积,并且逐项可积。

    引理2.2:如果交错级数

    n

    =1

    (

    1

    )

    n

    1

    u

    n 满足条件:

    u

    n

    u

    n

    +

    1 ;

    lim

    n

    u

    n

    =

    0,

    则级数收敛,且其和

    s

    u

    1,其余项

    r

    n 的绝对值

    |

    r

    n

    |

    u

    n

    +

    1。

    引理2.3:若函数

    f

    (

    x

    ,

    μ

    ) 与

    f

    μ

    (

    x

    ,

    μ

    ) 在区域D:

    a

    x

    <

    +

    ,

    α

    μ

    β 上连续且无穷积分

    φ

    (

    μ

    )

    =

    a

    +

    f

    (

    x

    ,

    μ

    )

    d

    x 在区间

    [

    α

    ,

    β

    ] 上收敛,且无穷积分

    a

    +

    f

    μ

    (

    x

    ,

    μ

    )

    d

    x 在区间

    [

    α

    ,

    β

    ] 上一致收敛,则函数

    φ

    (

    μ

    ) 在区间

    [

    α

    ,

    β

    ] 上可导,且

    φ

    (

    μ

    )

    =

    a

    +

    f

    μ

    (

    x

    ,

    μ

    )

    d

    x。

    引理2.4:设函数

    f

    (

    x

    ) 在区间

    (

    a

    ,

    b

    ] 上连续,且

    f

    (

    x

    )

    0

    ,

    x

    =

    a 为

    f

    (

    x

    ) 的瑕点,如果存在常数

    0

    <

    q

    <

    1 使得

    lim

    x

    a

    +

    (

    x

    a

    )

    q

    f

    ( x )

    存在,则反常积分

    a

    b

    f

    (

    x

    )

    d

    x 收敛;

    如果

    lim

    x

    a

    +

    (

    x

    a

    )

    f

    (

    x

    )

    =

    d

    >

    0,(或

    lim

    x

    a

    +

    (

    x

    a

    )

    f

    (

    x

    )

    =

    +

    ∞ ),则反常积分

    a

    b

    f

    (

    x

    )

    d

    x 发散。

    引理2.5:设函数

    f

    (

    x

    ) 在区间

    [

    a

    ,

    +

    )

    (

    a

    >

    0

    ) 上连续,且

    f

    (

    x

    )

    x,如果存在常数

    M

    >

    0 且

    p

    >

    0,使得

    f

    (

    x

    )

    M

    x

    p

    (

    a

    x

    <

    +

    ),则反常积分

    a

    +

    f

    (

    x

    )

    d

    x 收敛;如果存在常数

    N

    >

    0,使得

    f

    (

    x

    )

    N

    x

    (

    a

    x

    <

    +

    ),则反常积分

    a

    +

    f

    (

    x

    )

    d

    x 发散。

    2.2. “积不出”函数的定积分的近似值与广义积分的值

    例2.1:计算定积分

    I

    (

    y

    )

    =

    0

    y

    e

    x

    2

    d

    x

    (

    y

    >

    0

    ) 的近似值。

    解:函数

    e

    x

    2 的幂级数展开式为:

    e

    x

    2

    =

    1

    x

    2

    +

    x

    2

    2

    !

    x

    3

    3

    !

    +

    +

    (

    1

    )

    n

    x

    n

    n

    !

    +

    (

    <

    x

    <

    +

    )

    由引理(2.1)

    I

    (

    y

    )

    =

    y

    y

    3

    3

    1

    !

    +

    y

    5

    5

    2

    !

    y

    7

    7

    3

    !

    +

    +

    (

    1

    )

    n

    y

    2

    n

    +

    1

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    n

    !

    +

    =

    n

    =

    0

    (

    1

    )

    n

    y

    2

    n

    +

    1

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    n

    !

    (

    0

    <

    y

    <

    +

    )

    由引理(2.2),

    I

    (

    y

    ) 的近似值

    I

    *

    (

    y

    )

    =

    n

    =

    0

    k

    (

    1

    )

    n

    y

    2

    n

    +

    1

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    n

    !,误差

    |

    r

    2

    k

    +

    1

    |

    <

    y

    2

    k

    +

    3

    (

    2

    k

    +

    3

    )

    (

    k

    +

    1

    )

    !。

    用Matlab计算得

    I

    *

    (

    2

    2

    )

    =

    0.60501,

    I

    *

    (

    2

    )

    =

    0.84590,

    I

    *

    (

    3

    2

    2

    )

    =

    0.88622,其中

    |

    r

    |

    <

    10

    5。且有函数图像如图1所示:

    a43cc31e03d558bc52731300330c4cfc.png

    Figure 1. The graph of

    I

    *

    ( y )

    图1.

    I

    *

    (

    y

    ) 的函数图像

    因为广义积分

    I

    =

    0

    +

    e

    x

    2

    d

    x

    =

    π

    2,注意到$

    |

    I

    (

    3

    2

    2

    )

    I

    |

    <

    10

    5,我们从数值上验证了正态分布的“

    3

    σ 定律” [3]。

    例2.2:计算定积分

    I

    (

    y

    )

    =

    0

    y

    sin

    x

    x

    d

    x 的近似值,讨论广义积分

    I

    =

    0

    +

    sin

    x

    x

    d

    x 的敛散性并求其值。

    解:1°

    lim

    x

    0

    sin

    x

    x

    =

    1

    I

    (

    y

    ) 不是瑕积。

    s

    i

    n

    x

    x 是偶函数,不妨设

    y

    >

    0,函数

    s

    i

    n

    x

    x 的幂级数展开式为:

    sin

    x

    x

    =

    1

    x

    2

    3

    !

    +

    x

    4

    5

    !

    x

    6

    7

    !

    +

    +

    (

    1

    )

    n

    x

    2

    n

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    +

    (

    <

    x

    <

    +

    )

    由引理(2.1)

    I

    (

    y

    )

    =

    y

    y

    3

    3

    3

    !

    +

    y

    5

    5

    5

    !

    y

    7

    7

    7

    !

    +

    +

    (

    1

    )

    n

    y

    2

    n

    +

    1

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    !

    +

    (

    <

    y

    <

    +

    )

    由引理(2.2),

    I

    (

    y

    ) 的近似值

    I

    *

    (

    y

    )

    =

    n

    =

    0

    k

    (

    1

    )

    n

    y

    2

    n

    +

    1

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    (

    2

    n

    +

    1

    )

    !,误差

    |

    r

    2

    k

    +

    1

    |

    <

    y

    2

    k

    +

    3

    (

    2

    k

    +

    3

    )

    (

    2

    k

    +

    3

    )

    !。

    2°判定广义积分

    I

    =

    0

    +

    sin

    x

    x

    d

    x 的敛散性,并求其值。

    |

    0

    a

    sin

    x

    d

    x

    |

    2,

    1

    x

    0

    (

    x

    +

    ) 且

    1

    x 递减,由Dirichlet判别法 [4] 知I是收敛的,

    由Abel判别法 [4] 知含参量积分

    I

    (

    t

    )

    =

    0

    +

    e

    t

    x

    sin

    x

    x

    d

    x 在

    t

    [

    0,

    +

    ) 上一致收敛。

    I

    =

    I

    (

    0

    )

    =

    lim

    t

    0

    +

    I

    (

    t

    ),由Weierstrass判别法 [4] 知

    0

    +

    e

    t

    x

    s

    i

    n

    x

    x

    d

    x 在

    [

    t

    0

    ,

    +

    ) 上一致收敛

    (

    t

    0

    >

    0

    )。

    根据引理(2.3)利用Dirichlet判别法 [4],考虑

    I

    (

    u

    )

    =

    a

    u

    f

    (

    x

    )

    d

    x 在

    (

    a

    ,

    +

    ) 上有界,

    g

    (

    x

    ) 在

    [

    a

    ,

    +

    ) 上

    x

    +

    ∞ 时单调趋于0,则

    a

    +

    f

    (

    x

    )

    g

    (

    x

    )

    d

    x 收敛。

    I

    (

    t

    )

    =

    0

    +

    e

    t

    x

    sin

    x

    d

    x

    =

    e

    t

    x

    (

    t

    sin

    x

    +

    cos

    x

    )

    1

    +

    t

    2

    |

    0

    +

    =

    1

    1

    +

    t

    2,则

    I

    (

    t

    )

    =

    arctan

    t

    +

    C。

    |

    I

    (

    t

    )

    |

    =

    |

    0

    +

    e

    t

    x

    sin

    x

    x

    d

    x

    |

    0

    +

    e

    t

    x

    d

    x

    =

    1

    t

    0

    (

    t

    +

    ),即

    lim

    t

    +

    I

    (

    t

    )

    =

    0,

    C

    =

    π

    2,

    I

    (

    t

    )

    =

    arctan

    t

    +

    π

    2,

    I

    =

    I

    (

    0

    )

    =

    π

    2。

    用Matlab计算得

    I

    *

    (

    π

    )

    =

    1.85193,

    I

    *

    (

    2

    π

    )

    =

    1.41815,

    I

    *

    (

    3

    π

    )

    =

    1.67476,

    I

    *

    (

    4

    π

    )

    =

    1.49216,这里

    |

    r

    |

    <

    10

    5,并给出了

    I

    *

    (

    y

    ) 的函数图像,如图2所示。

    例2.3:计算定积分

    I

    (

    y

    )

    =

    e

    y

    1

    ln

    x

    d

    x 的近似值

    (

    y

    >

    e

    ),讨论广义积分

    I

    1

    =

    e

    +

    1

    ln

    x

    d

    x,

    I

    2

    =

    0

    1

    1

    ln

    x

    d

    x,

    I

    3

    =

    1

    2

    1

    ln

    x

    d

    x 的敛散性。

    解:1°

    I

    (

    y

    )

    =

    e

    y

    1

    ln

    x

    d

    x

    =

    t

    =

    ln

    x

    1

    ln

    y

    1

    t

    e

    t

    d

    t,

    e

    t

    t 的幂级数展开式为:

    d542838985384181aac8bc96c6b3a016.png

    Figure 2. The Graph of

    I

    *

    ( y )

    图2.

    I

    *

    (

    y

    ) 的函数图像

    e

    t

    t

    =

    1

    t

    +

    1

    +

    t

    2

    +

    t

    2

    3

    !

    +

    +

    t

    n

    1

    n

    !

    +

    ⋯ (

    <

    t

    <

    0 或

    0

    <

    t

    <

    +

    ∞ )。

    由(2.1)

    I

    (

    y

    )

    =

    1

    ln

    y

    (

    1

    t

    +

    1

    +

    t

    2

    !

    +

    t

    2

    3

    !

    +

    +

    t

    n

    1

    n

    !

    +

    )

    d

    t

    =

    ln

    ln

    y

    +

    (

    ln

    y

    1

    )

    +

    n

    =

    2

    (

    ln

    y

    )

    n

    1

    n

    n

    !

    (

    e

    <

    y

    )

    I

    *

    (

    y

    )

    =

    ln

    ln

    y

    +

    (

    ln

    y

    1

    )

    +

    n

    =

    2

    k

    (

    ln

    y

    )

    n

    1

    n

    n

    ! 不能估算误差。

    用Matlab计算得到

    I

    *

    (

    e

    )

    =

    0,

    I

    *

    (

    e

    2

    )

    =

    3.059116,

    I

    *

    (

    e

    3

    )

    =

    8.038714,

    I

    *

    (

    e

    4

    )

    =

    17.735756,从计算结果可以看出

    I

    *

    (

    y

    ) 的值增大速度较快,导致

    e

    +

    1

    l

    n

    x

    d

    x 发散。以下为

    I

    *

    (

    y

    ) 的函数图像,如图3所示。

    2° 讨论

    I

    1

    ,

    I

    2

    ,

    I

    3 的敛散性,

    1

    ln

    x

    >

    1

    x

    (

    e

    x

    <

    +

    ),由引理(2.5)知,

    I

    1 发散。

    lim

    x

    0

    1

    l

    n

    x

    =

    0,

    lim

    x

    1

    1

    ln

    x

    =

    ∞,

    I

    2 中仅

    x

    =

    1 为瑕点。而

    lim

    x

    1

    (

    1

    x

    )

    1

    ln

    x

    =

    1

    >

    0,由引理(2.4)知

    I

    2 发散。类似地,由引理(2.4)知

    I

    3 发散。

    例2.4:计算定积分

    I

    (

    y

    )

    =

    0

    y

    1

    1

    +

    x

    4

    d

    x 的近似值,并讨论广义积分

    I

    =

    0

    +

    1

    1

    +

    x

    4

    d

    x 的敛散性。

    解:1° 函数

    1

    1

    +

    x

    4 的幂级数展开式为:

    331e7dda4bbb4b753bcb62cb589cecca.png

    Figure 3. The Graph of

    I

    *

    ( y )

    图3.

    I

    *

    (

    y

    ) 的函数图像

    1

    1

    +

    x

    4

    =

    1

    1

    2

    x

    4

    +

    1

    3

    2

    4

    x

    8

    1

    3

    5

    2

    4

    6

    x

    12

    +

    1

    3

    5

    7

    2

    4

    6

    8

    x

    16

    +

    +

    (

    1

    )

    n

    (

    2

    n

    1

    )

    !

    !

    (

    2

    n

    )

    !

    !

    x

    4

    n

    +

    (

    x

    [

    0

    ,

    1

    ]

    )

    由引理(2.1)

    I

    (

    y

    )

    =

    y

    +

    n

    =

    1

    (

    1

    )

    n

    (

    2

    n

    1

    )

    !

    !

    (

    4

    n

    +

    1

    )

    (

    2

    n

    )

    !

    1

    y

    4

    n

    +

    1

    (

    0

    y

    1

    ),由引理(2.2)

    I

    (

    y

    ) 的近似值

    I

    *

    (

    y

    )

    =

    y

    +

    n

    =

    1

    k

    (

    1

    )

    n

    (

    2

    n

    1

    )

    !

    !

    (

    4

    n

    +

    1

    )

    (

    2

    n

    )

    !

    1

    y

    4

    n

    +

    1,误差

    |

    r

    4

    k

    +

    1

    |

    (

    2

    k

    +

    1

    )

    !

    !

    (

    4

    k

    +

    5

    )

    (

    2

    k

    +

    2

    )

    !

    !

    y

    4

    k

    +

    5。用Matlab计算得

    I

    *

    (

    1

    2

    )

    =

    0.49695,

    I

    *

    (

    1

    )

    =

    0.92778,这里

    |

    r

    |

    <

    10

    5,且有

    I

    *

    (

    y

    ) 的图像,如图4所示。

    d3444fb0c4593fabc8179642b6ceb1b9.png

    Figure 4. The Graph of

    I

    *

    ( y )

    图4.

    I

    *

    (

    y

    ) 的函数图像

    1

    1

    +

    x

    4

    <

    1

    x

    2

    x

    (

    0,

    +

    )

    由引理(2.4)广义积分

    0

    +

    1

    1

    +

    x

    4

    d

    x 收敛。令

    I

    1

    =

    0

    1

    1

    1

    +

    x

    4

    d

    x,

    I

    2

    =

    1

    +

    1

    1

    +

    x

    4

    d

    x,由定积分估值定理知

    2

    2

    <

    I

    1

    <

    1,由不等式性质得

    1

    +

    2

    2

    1

    x

    2

    d

    x

    <

    I

    2

    <

    1

    +

    1

    x

    2

    d

    x,即

    2

    2

    <

    I

    2

    <

    1。

    2

    <

    I

    =

    I

    1

    +

    I

    2

    <

    2。

    3. 总结

    对于“积不出”函数的定积分和广义积分,可以借助无穷级数和含参量积分以及估值等方法得到其近似值,甚至精确值。利用变上限函数的性质借助MATLAB画出原函数的大致图像,综合数学分析的知识,可用此方法研究这类“积不出”函数的定积分近似值及原函数图像。

    参考文献[1]

    同济大学数学系. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2014.

    [2]

    华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2010.

    [3]

    吴传生. 概率论与数理统计[M]. 北京: 高等教育出版社, 2015.

    [4]

    陈纪修, 等. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.

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空空如也

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