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  • 由于最近高一的小朋友们正在学习指数对数幂函数这一部分内容,再加上有不少小朋友私下和我吐槽这类比较大小的题目非常“打脑壳”。于是!小李老师终于忍受不了重复讲授n...指数对数幂函数比较方法两种比较大小的方法...

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    指数对数幂函数大小比较

    欢迎来到众学小课堂!由于最近高一的小朋友们正在学习指数对数幂函数这一部分内容,再加上有不少小朋友私下和我吐槽这类比较大小的题目非常“打脑壳”。于是!小李老师终于忍受不了重复讲授n次的痛苦,选择将这类比较大小的题目汇总整理并且附上独家秘笈做成一篇小推文。

    基础回顾

    首先,让我们先来整体复习一下指对幂函数的基本知识!

    指数

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    对数

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    幂函数

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    比较方法

    两种比较大小的方法

    在复习完前面的基础知识后,就要进入到本文的重点:指数,对数,幂函数大小比较的常用方法。这一部分题目相信正在深深地折磨了很多小朋友,那么今天,小李老师就为大家讲解一下,解决比较大小问题的两个法宝——媒介法和转化法!

    媒介法

    首先是媒介法,媒介值主要适用于两类题目。

    第一类题目是比较多个底数,指数(真数)都不相同的函数

    第二类题目是一道题目同时出现底数,指数,幂函数进行比较大小

    一般媒介法有两种情况,第一是以0,1作为划分界限,将函数先与0,1进行比较,再利用单调性求解。第二是选择一个或多个函数,以它为媒介对题目中的函数进行研究,一般也要利用函数的单调性。

    经典例题

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    左右滑动查看答案

    转化法

    第二种常用的方法就是转化法,主要思路就是把不同底数,指数(真数)的函数,转化为同一个底数,指数(真数)的函数。

    经典例题

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    规律总结

    解题套路

    其实,指数对数幂函数比较大小并不复杂,解题思路大致是:先粗略判断各项与0,1的关系,接下来可以选取媒介函数利用单调性比较大小,或者转化为同底数,同指数(真数)的函数再利用单调性比较大小。

    变式练习

    最后的最后,再给大家布置一个小练习,答案和解析会公布在下一篇推文哦!

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  • 【问题的提出】 利用指数函数、对数函数、及幂函数的性质比较数与式的大小是高考中的热点,本题对此问题作深入探讨,帮助同学们掌握数与式大小的基本方法。【问题的探源】【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同...
    问题的提出bb36403ea8af11f1e7579ef73a37c175.png   利用指数函数、对数函数、及幂函数的性质比较数与式的大小是高考中的热点,本题对此问题作深入探讨,帮助同学们掌握数与式大小的基本方法。问题的探源6fd7c5d50bb07280bd4c6ae704b02577.png【点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数单调性进行比较,若底数不同,可考虑利用中间量进行比较思路点拨1、比较幂形式的两个数的大小,一般的思路是:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性;(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性;(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小。4f164ae69d3d3ee17e70f0369f6d50eb.png    3、若题中所给的对数式的底数和真数都不相同时,可以找一个中间量作为桥梁,通过比较中间量与这两个对数式的大小来比较对数式的大小,在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较,另外若题中既有对数式又有指数式,也常用中间量比较大小.4、比较复杂的数与式大小的比较有时可通过作差或作商比较大小。技巧和方法1、如何快速判断对数的符号?八字真言“同区间正,异区间负”,容我慢慢道来:aad7f5ccf2b7884472a669eef0a06a20.png2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数(如0,1)的大小关系,一作图,自明了。3、比较大小的两个理念:(1)求同存异:如果两个指数(或对数)的底数相同,则可通过真数的大小与指对数函数的单调性,判断出指数(或对数)的关系,所以要熟练运用公式,尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况。2f9ab15d355e738fc87b5a064b6c5cf1.png【问题的佐证】49fa198787c3452433b139438c53cfc1.pnga8e7c1454367f94bac9fb914eab28f02.png273a9a28dbfded2743a96aace3f49697.png101daf6c41d500b17b4e0080a84cfce8.png数学小故事

    坐公交车

    有一次,我乘公共汽车,看到买票的乘客只占车上人的1/3,而售票员和司机却无动于衷(车上其他的人肯定不是孩子和有月票者),您说这是怎么回事呢?

    齐心抗疫与你同在5be6fe898c7e05203730cca49f31d99c.png
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  • 高中函数复习题集,希望对高中数学有困惑同学提供更优质帮助!...(视频文件请独立观看)指对数比较题目展示高中函数复习题集:第五部分:指对数比较(1)同学们可以慢慢来学习,指对数运算比较的题目最主要要求...
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    高中函数复习题集,希望对高中数学有困惑的同学提供更优质的帮助!

    我们目前已经制作了3套有效的高中数学训练体系:《初中衔接高中知识》、《高中函数题型分析》、《高中三角函数题型分析》,也希望同学们多多捧场订购,私信联系!

    目录:

    1. 指对数比较题目展示;
    2. 指对数比较视频截图分析;(视频文件请独立观看)

    指对数比较题目展示

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    高中函数复习题集:第五部分:指对数比较(1)

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    同学们可以慢慢来学习,指对数运算比较的题目最主要要求我们能在掌握指对数运算的基础上,随题而变,学会分析理解题目的要求,进行解答分析。

    第23题中,a、b、c分别为3个指数形态,这就要求我们能灵活运用指数次幂的概念,把3个数转换为同指数幂的形态,这样数值之间的比较显得异常简单化。

    第24题中,一道最经典的指对数混合出题的类型题目,该种题型可以借助0,1两个为非常特殊的数值进行过渡,利用数轴可以很好区分开来,只要同学们能掌握好指对数运算中的特殊值与基本单调性分析可以,如底数a>1时,指数函数、对数函数都是单调递增的,底数0

    指对数值大小的比较,需要同学们多加训练指对数的基础运算,慢慢训练借助特殊进行过渡分析。

    高中函数复习题集:第五部分:指对数比较(2)

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    第25、26题,都是经典的指数指对数混合出题的类型题目,该种题型可以借助0,1两个为非常特殊的数值进行过渡,利用数轴可以很好区分开来的题型,也是我们平时考试经常出现的。

    对于利用0=a的0次幂,0=以a为底1的对数,1=以a为底a的对数等特殊运算的题目,同学们一定要多加进行训练,因为这样我们平时在考查指对数运算非常重要的点。

    高中函数复习题集:第五部分:指对数比较(3)

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    第27题,明显加大了指对数运算的难度,利用数值0、1,不能运算该题的结果。这样就需要同学们在掌握经典题型的基础上,提高对指对数运算的思考。加入了换底公式的分析,还是1/2这个特殊进行区分比较,像这样的题目须建立在同学们对于指对数基础运算的基础上,更深一层去思考。换底公式作为对数运算中的难点,也是重点,其变换模式虽然固定,但很巧,所以同学们必须通过适当多的换底公式训练,才能掌握准备。

    第28题,纯对算运算的比较,换底公式再次出现,同学们要注意,对于不同底数的对数,换底公式的出现是必然性,所以换底公式必须一定熟悉。

    高中函数复习题集:第五部分:指对数比较(4)

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    第29、30题是两道非常特殊的题目,利用代值排除选项,而且代值情况下是非常具备特殊性的,因为涉及指对数运算中,特殊值是非常好用的。

    以上两道题目,我们同时用了a=4,b=2,c=1/2或c=-2,在某中层次上是非常具备针对性的,也为我们排除选项可以提高准确率。像该种代值排除选项的题目,盲目代值会让题目难度增加,不代值直接让题目难度无限增加,所以代特殊的有关联的值是非常有必要的一个解题手段。

    高中函数复习题集:第五部分:指对数比较(5)

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    第31题,是往年的高考题目,这样一类题目出现,其实也是考查指对数运算,尤其这道题目只考查对数运算,但其“隐性”思维非常强,同学们必须自行掌握数值a、b的大小问题,这样这道题目的入手思路。后续随题而变,借助选项的+号,选用换底公式,可以达到同底数相加的对数运算,也为这道题目的顺利分析找明思路。

    高中函数复习题集:第五部分:指对数比较(6)

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    第32题,也是往年的高考题目,这道题目首先考查了指数与对数的转换思路,而且选项非常特殊,不是单纯的指数幂问题,还是需要同学们发觉赋值技巧。

    而且赋值时,一旦赋值数据不明确,会明显提高题目的难度系数,对该题目同学们一定好好想想我们赋值“2”的原因,同学们可以自行赋其他值,看看解题过程中的区别,也为以后碰到该种题型做好心理准备。

    总结

    1、指数运算、对数运算必须强化基础,尤其对数运算的换底公式必须加强训练;

    2、学会转换数据,纯指数比较,掌握同底数,或同指数进行比较;

    3、指对数运算混合比较,掌握0,1的价值性,借助数轴分析;

    3、难点指对数运算混合,有时得借助换底公式进行分析,还有借助其他特殊值分析,如中点;

    4、纯对数运算比较,对数换底公式的出现几乎是必然的,一定要注意运用到位;

    5、指对数转换时,学会赋值转换,这样可以更有效的分析;

    6、代值性的指对数不等式分析,注意代值要具备整式性,可以很好为指对数服务;

    7、综合运用的题型,切记要注意题目自身的“隐性”条件的分析,这是入手题目非常重要的手段。

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    我们的作品

    联系方式:微信,私信回复。
    名称:高中数学题型分析:三角函数与解三角形。
    页数:236页。
    题量:820道。
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    目录:总共25种题型
    高中数学题型分析:角的定义与弧度制
    高中数学题型分析:同角三角函数值
    高中数学题型分析:诱导公式
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    高中数学题型分析:正弦函数的单调性
    高中数学题型分析:余弦函数的单调性
    高中数学题型分析:正切函数的单调性
    高中数学题型分析:正弦函数的值域
    高中数学题型分析:余弦函数的值域
    高中数学题型分析:正切函数的值域
    高中数学题型分析:三角恒等两角和差公式
    高中数学题型分析:三角恒等二倍角公式
    高中数学题型分析:三角恒等辅助角公式
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    高中数学复习系列:三角函数
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    高中数学复习系列:三角函数与解三角形大题

    展开全文
  • 01利用指数函数单调性比较大小视频讲解1、不同底指数函数图象相对位置在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象相对位置与底数大小有如下关系:(1)在y轴右侧,图象从上到下相应底数由大变小;在y轴左侧,图象...
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    本文适合高一上学期、高三一轮复习的同学阅读。先看视频再看文字,看视频时注意利用暂停,想清楚每一步变形的依据。

    01

    利用指数函数单调性比较大小

    视频讲解

    1、不同底指数函数图象的相对位置

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    在同一坐标系中有多个指数函数图象时,图象的相对位置与底数大小有如下关系:

    (1)在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变

    小;在y轴左侧,图象从下到上相应的底数由大

    变小.即无论在y轴的左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x=1时,y=a去理解,如图.

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    (2)指数函数y=a^x与y=(1/a)^x (a>0且a≠1)的图象关于y轴对称。

    2、比较幂的大小

    (1)对于同底数不同指数的两个幂的大小,利用指数函数的单调性来判断;

    (2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小,利用指数函数的图像的变化规律来判断;

    (3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小,则通过中间值 来判断。

    3、比较大小举例

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    02

    利用指数函数单调性解方程、不等式

    视频讲解

    解指数方程

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    解指数不等式

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    小结:

    解指数方程、不等式的基本方法是先化为同底指数式,再利用指数函数单调性化为常规的方程、不等式来解,注意底数对不等号方向的影响。

    ff6bfd2090e42954c96a4768c01d93c1.pngc4051d9c582232052617833ff6d2a009.png

    03

    类指数函数定义域、值域

    视频讲解

    055e833ca667e7d839a653e83d3503f7.pngffc5f2f5b04d3cb8281713ce7cc84ee0.pngc0aec26e4d5db28dca78a3dc304a8241.pngaa59bcb74d6e406955d4a649c9fd2e36.pngb317e9f6c718d73093ab73becfab4671.png7ab5d4c63c12b4990fea3eab3f73445d.pnga1a10191036a1f69b8170d1ac59d3408.png

    小结:

    解此类题的要点是设a^x=t,利用指数函数的性质求出t的范围.从而把问题转化为y=f(t)的问题。

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    小结:

    y=a^f(x)的定义域即f(x)的定义域,求y=a^f(x)的值域可先求f(x)的值域,再利用y=a^t的单调性结合t=f(x)的范围求y=a^t的范围。

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    1、三个视频搞定:指数函数概念、指数函数图像及图像关系的识别、指数函数图像过定点问题

    2、三个视频搞定:根式性质、根式与指数式互化、有理数指数幂性质扩展至实数指数幂

    (本文部分图片与视频来自于网络,仅供学习交流用,若有不妥,请联系删除。)

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幂函数比较大小的方法