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  • 讨论幂平均不等式我们先了解一个幂函数  性质 \\ 函数 y = f(x) = x^(q/p) (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 值域 (0 , +∞) f(x) > 0 一阶导数 (q/p)*x^( (q-p)/p )  二阶导数 ( (q² - pq)/p² )*x^( ...

     

    讨论幂平均不等式我们先了解一个幂函数

     性质 \\  函数    y = f(x) = x^(q/p)   (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)
    值域 (0 , +∞)   f(x) > 0
    一阶导数 (q/p)*x^( (q-p)/p ) 
    二阶导数 ( (q² - pq)/p² )*x^( (q - 2p)/p )
    p>q>0 图像性质     凸函数
    0>p>q 图像性质     凹函数
    p>0 , q<0 图像性质     凹函数

     

    利用函数  y = f(x) = x^(q/p)   (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0) 的性质结合Jensen不

    等式来证明幂平均不等式。

    回顾Jensen不等式:

    Ai ≥ 0时 且 A1 + A2 + ...... + An = 1

    若函数f(x)是凹函数则有:

    f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≤ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn)   n≥1

    若函数f(x)是凸函数则有:

    f(A1*X1 + A2*X2 + ...... +An*Xn) ≥ A1*f(X1) + A2*f(X2) + ...... + An*f(Xn)   n≥1 

    等号成立条件 X1 = X2 = ...... = Xn

     

    下面根据Jensen不等式分情况讨论 函数y = f(x) = x^(q/p)   (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)

    当  0>p>q 与 p>0 , q<0时  函数y = f(x) = x^(q/p)   (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)为凹函数

    设Xi , Ci > 0  

    即:[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)

    ≤  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)

    不等式两边同时 1/q 次方

    [ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)

    ≥ [  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)

     

    当 p>q>0时 函数y = f(x) = x^(q/p)   (x>0 ; p≠q ; p,q ≠ 0)为凸函数

    即:[ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(q/p)

    ≥  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn)

    两边同时1/q次方

    [ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)

    ≥ [  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)

     

    综上考虑若p>q总有:

    [ (C1*X1^p + C2*X2^p + ...... + Cn*Xn^p) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/p)

    ≥ [  (C1*X1^q + C2*X2^q + ...... + Cn*Xn^q) / (C1 + C2 + ...... + Cn) ]^(1/q)

    等号成立条件X1 = X2 = ...... =Xn     

    幂平均不等式加权形式得证

     

    对于一般形式的证明只需要C1 = C2 = ...... = Cn = 1即可

    既有:

    [ (X1^p + X2^p + ...... + Xn^p) / n]^(1/p)

    ≥ [  (X1^q + X2^q + ...... + Xn^q) / n ]^(1/q)

    以上就是对幂平均不等式一般形式和加权形式的论证

    展开全文
  • 给出了平均不等式及其推广、二维加权平均不等式等的构成函数,并讨论了它们的单调性。
  • 幂函数习题

    2017-10-27 20:53:00
    教材上只要求掌握五种幂函数,其实我们应该利用他们总结出如下的图像的代表: 当\(\alpha<0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递减,凹函数; 当\(\alpha=0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\...

    前言

    图像绘制

    • 教材上只要求掌握五种幂函数,其实我们应该利用他们总结出如下的图像的代表:

    992978-20171027205029476-555045974.png

    \(\alpha<0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递减,凹函数;

    \(\alpha=0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上无单调性,无凹凸性;

    \(0<\alpha<1\),恒过点\((0,0)\)\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,凸函数;

    \(\alpha=1\)时,恒过点\((0,0)\)\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,无凹凸性;

    \(\alpha>1\)时,恒过点\((0,0)\)\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,凹函数;

    • 比如函数\(y=x^{\frac{2}{3}}\),先画出\([0,+\infty)\)上的函数图像,再根据偶函数,画出\((-\infty,0]\)上的图像。

    • 比如函数\(y=x^{\frac{1}{3}}\),先画出\([0,+\infty)\)上的函数图像,再根据奇函数,画出\((-\infty,0]\)上的图像。

    • 比如函数\(y=x^{-\frac{1}{2}}\),先画出\((0,+\infty)\)上的函数图像,无奇偶性,故只有第一象限的图像。

    特别提示

    请注意以下说法的实质内容;

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像不经过原点,则\(\alpha\leq 0\)

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)\(x\)轴、\(y\)轴没有交点,则\(\alpha\leq 0\)

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像关于原点对称,则函数为奇函数;

    幂函数中的奇函数比如,\(y=x\)\(y=x^{-1}\)\(y=x^3\)\(y=x^{\cfrac{1}{3}}\)等等;

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像关于\(y\)轴对称,则函数为偶函数;

    幂函数中的偶函数比如,\(y=x^0\)\(y=x^{-2}\)\(y=x^2\)\(y=x^{\cfrac{2}{3}}\)等等;

    典例剖析

    例1已知幂函数\(f(x)=x^{m^2-2m-3}(m\in N^*)\)的图像关于\(y\)轴对称,且在\((0,+\infty)\)上是减函数,则\(m\)的值是多少?

    分析:由于幂函数\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上是减函数,则\(m^2-2m-3<0\)

    解得\(-1<m<3\),又\(m\in N^*\),所以\(m=1\)\(m=2\)

    又由于图像关于\(y\)轴对称,所以\(m^2-2m-3<0\)为偶数,

    \(m=2\)\(m^2-2m-3\)为奇数,舍去\(m=2\)

    \(m=1\)

    例2【数形结合比较大小】

    幂函数的图像经过点\((\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2})\),若\(0<a<b<1\),试比较\(f(a)、f(b)、f(1)、f(\cfrac{1}{a})、f(\cfrac{1}{b})\)的大小。

    分析:设幂函数解析式为\(y=x^{\alpha}\),由 幂函数的图像经过点\((\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)

    \((\cfrac{1}{2})^{\alpha}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\),即\(2^{-\alpha}=2^{-\frac{1}{2}}\)

    \(\alpha=\cfrac{1}{2}\),故幂函数为\(y=x^{\frac{1}{2}}\)求函数的解析式

    则其在定义域\([0,+\infty)\)上单调递增。

    又由于\(0<a<b<1\),则可知\(\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{b}>1\)

    \(0<a<b<1<\cfrac{1}{b}<\cfrac{1}{a}\)

    故有\(f(a)<f(b)<f(1)<f(\cfrac{1}{b})<f(\cfrac{1}{a})\)

    例3【数形结合比较大小】

    \(a=(\cfrac{3}{5})^{\cfrac{2}{5}}\)\(b=(\cfrac{2}{5})^{\cfrac{3}{5}}\)\(c=(\cfrac{2}{5})^{\cfrac{2}{5}}\)

    试比较\(a、b、c\)的大小。

    分析:比较\(a、c\),利用幂函数\(y=x^{\cfrac{2}{5}}\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,故\(a>c\)

    比较\(b、c\),利用指数函数\(y=(\cfrac{2}{5})^x\),在\((-\infty,+\infty)\)上单调递减,故\(c>b\)

    故有\(a>c>b\)

    例4【题组训练、思维拓展】

    \((2m+1)^{\cfrac{1}{2}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{2}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:由于上述不等式依托的函数是\(y=x^{\frac{1}{2}}\),在定义域\([0,+\infty)\)上单调递增,

    故有\(\left\{\begin{array}{l}{2m+1\ge 0①}\\{m^2+m-1\ge 0②}\\{2m+1>m^2+m-1③}\end{array}\right.\)

    解得\(\left\{\begin{array}{l}{m\ge -\cfrac{1}{2}①}\\{m\ge\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}或m\leq \cfrac{-\sqrt{5}-1}{2}②}\\{-1<m<2③}\end{array}\right.\)

    求交集得到,\(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leq m<2\)。故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例4-1【变式1】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{4}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{4}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例4-2【变式2】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{2n}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{2n}}(n\in N^{*})\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例4-3【变式3】【奇函数】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{3}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{3}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:定义域为\((-\infty,+\infty)\),故只需要利用单调性,故\(-1<m<2\)

    例4-4【变式4】【抽象函数】若函数\(f(x)\)的定义域为\([0,+\infty)\),且满足对任意的\(x_1,x_2\in [0,+\infty)\),都有\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(x_1\neq x_2)\),且满足\(f(2m+1)>f(m^2+m-1)\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例5【数形结合比较大小】若\(f(x)=x^{\cfrac{2}{3}}-x^{\cfrac{1}{2}}\),则满足\(f(x)<0\)\(x\)的取值范围是_________。

    分析:借助两个幂函数的图像,求解不等式。\((0,1)\)

    图像

    例6【求解析式】已知函数\(f(x)=x^{2-m}\)是定义在区间\([-3-m,m^2-m]\)上的奇函数,求\(f(m)\)的值。

    分析:由题目可知,定义域关于原点对称,则\((-3-m)+(m^2-m)=0\)

    解得\(m=-1\)\(m=3\),但接下来必须逐个检验,

    原因:刚才借助的是奇偶函数共有的性质,定义域关于原点对称,不是奇函数特有的,

    \(m=-1\)时,函数\(f(x)=x^3\),奇函数,满足题意;

    \(m=3\)时,函数\(f(x)=x^{-1}\),奇函数,但是其定义域不包含\(0\),不会是区间\([-3-m,m^2-m]\)

    即区间\([-6,6]\),故不符合题意,舍去。

    故函数\(f(x)=x^3\)\(f(m)=f(-1)=(-1)^3=-1\)

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/7745152.html

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  • 高中数学中函数有着重要的的地位前面分享说过函数是高中数学枢纽章节,对于学好高中数学有着至关重要的,那么今天就来分享函数中的二次函数与幂函数的知识点! (一)高考考点: ① 、求二次函数解析式; ② 、求...

    肖博数学
    高中数学中函数有着重要的的地位前面分享说过函数是高中数学枢纽章节,对于学好高中数学有着至关重要的,那么今天就来分享函数中的二次函数与幂函数的知识点!

    (一)高考考点:

    ① 、求二次函数解析式;
    ② 、求二次函数的值域或最值,考查和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用;
    ③ 利用幂函数的图像、性质解决有关问题。

    (二)复习备考

    ① 、理解二次函数三种解析式的特征及应用;
    ② 、分析二次函数要抓住几个关键环节;开口方向、对称轴、顶点、函数的定义域;
    ③ 、充分应用数形结合思想把握二次函数的幂函数性质。

    (三)基础知识

    要点梳理
    二次函数
    幂函数

    基础自测
    幂函数
    幂函数

    (四)题型分类

    二次函数
    二次函数
    二次函数
    二次函数
    二次函数
    二次函数
    幂函数
    幂函数
    今天的高中数学函数的二次函数与幂函数的知识点就分享到这里了,需要高质量的解题技巧视频可以私聊老师,或者评论在下方老师看到会第一时间回复大家!

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  • 评:证明时对求导要求较高,利用这个观点,对平时熟悉的调和平均,几何平均,算术平均,平方平均有了更深 刻的认识. 转载于:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/7379836.html...

    1.19

    评:证明时对求导要求较高,利用这个观点,对平时熟悉的调和平均,几何平均,算术平均,平方平均有了更深

         刻的认识.

    转载于:https://www.cnblogs.com/mathstudy/p/7379836.html

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    证明: 转载于:https://www.cnblogs.com/zhangwenbiao/p/4738881.html
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    千次阅读 2016-03-04 14:19:29
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    千次阅读 2015-05-27 21:37:15
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空空如也

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幂函数的不等式