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  • 幂函数的和函数常用公式
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    2022-03-13 20:16:45

    【常用函数的幂级数展开式】
    e x = ∑ n = 0 ∞ x n n ! \displaystyle e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} ex=n=0n!xn

    s i n x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \displaystyle sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sinx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1

    c o s x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \displaystyle cosx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=n=0(1)n(2n)!x2n

    1 1 + x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n \displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n 1+x1=n=0(1)nxn

    1 1 − x = ∑ n = 0 ∞ x n \displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n 1x1=n=0xn

    l n ( 1 + x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n + 1 n + 1 \displaystyle ln(1+x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1} ln(1+x)=n=0(1)nn+1xn+1

    l n ( 1 − x ) = − ∑ n = 0 ∞ x n + 1 n + 1 \displaystyle ln(1-x)=-\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} ln(1x)=n=0n+1xn+1



    【本文的LaTeX代码】

    【常用函数的幂级数展开式】
    $\displaystyle e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$
    
    $\displaystyle sinx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
    
    $\displaystyle cosx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!}$
    
    $\displaystyle \frac{1}{1+x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^n$
    
    $\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{n=0}^{\infty}x^n$
    
    $\displaystyle ln(1+x)=\sum \limits_{n=0}^{\infty}(-1)^n \frac{x^{n+1}}{n+1}$
    
    $\displaystyle ln(1-x)=-\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$
    
    
    
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    1.sqrt()函数:求给定值的平方根

    【原型】:

    double sqrt (double x);

    【功能】求给定值的平方根。
    【参数】:x为待计算平方根的值。
    【错误异常】:如果x<0会导致错误,出现异常。
    示例:

    //计算100的平方根值
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main()
    {
    	double sqrtValue;
    	sqrtValue = sqrt(100);
    	printf("the square root of 100 is %f\n", sqrtValue);
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    2.excp() 函数:e的次幂函数

    【原型】:

    double exp (double x);

    功能计算以e 为底的x 次方值,即ex 值。
    【参数】:e为底值,x为指数值。
    示例:

    //计算e的2次方值
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main()
    {
    	double result;
    	result = exp(2);
    	printf(" %f\n", result);
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    3.pow()函数:求x的y次方(次幂)

    【原型】:

    double pow (double x, double y);

    【功能】计算以x 为底的 y 次方值 ,并返回结果值。例如,设返回值为z,则z = xy
    【参数】:x为底值,y为指数值。
    【错误异常】

    • 若底数 x 为负数,且指数 y 不是整数,会导致错误。
    • 若底数 x 和指数 y 都是 0,可能会导致错误,与库的实现有关。
    • 若底数 x 是 0,指数 y 是负数,可能会导致 错误,与库的实现有关。
    • 若返回值 z过大或过小,会导致 range error 错误。

    示例:

    //计算x的y次幂值
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main()
    {
    	//幂函数求值
    	printf("%f\n", pow(2.0, 2.0));
    	printf("%f\n", pow(2.1, 2.0));
    	printf("%f\n", pow(2.12, 2.12));
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    4.abs()/fabs()函数:求整数/浮点数的绝对值

    【原型】:

    int abs (int x); //整数
    float fabs (float x); //浮点数

    【功能】求取整数/浮点数的绝对值。
    【参数】:x为一个整数/浮点数。
    示例:

    //计算整数/浮点数的绝对值
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main(void)
    {
    	int integer;
    	float res;
    	integer = abs(-2);
    	res = fabs(-2.2);
    	printf("整数绝对值为:%d\n",integer);
    	printf("浮点数绝对值为:%f\n", res);
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    5.ceil()函数:向上取整

    【原型】:

    double ceil (double x);

    【功能】向上取整,即求不小于某个数的最小整数。
    【参数】:x为要向上取整的参数。
    示例:

    //将参数向上取整
    #include <stdio.h>     
    #include <math.h>     
    int main()
    {
    	printf("参数 1.1 向上取整,结果为: %.1f\n", ceil(1.1));
    	printf("参数 -1.1 向上取整,结果为: %.1f\n", ceil(-1.1));
    	printf("参数 2.9 向上取整,结果为: %.1f\n", ceil(2.9));
    	printf("参数 -2.9 向上取整,结果为: %.1f\n", ceil(-2.9));
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    6.floor()函数:向下取整

    【原型】:

    double floor (double x);

    【功能】向下取整,即求不大于某个数的最大整数。
    【参数】:x为要向下取整的参数。
    示例:

    //将参数向下取整
    #include <stdio.h>     
    #include <math.h>     
    int main()
    {
    	printf("参数 1.123 向下取整,结果为: %.1f\n", floor(1.123 ));
    	printf("参数 -1.123 向下取整,结果为: %.1f\n", floor(-1.123 ));
    	printf("参数 2.987 向下取整,结果为: %.1f\n", floor(2.987 ));
    	printf("参数 -2.987 向下取整,结果为: %.1f\n", floor(-2.987 ));
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    7.modf()函数:将浮点数分解为整数及小数两部分

    【原型】:

    double modf (double x, double* intpart);

    【功能】将浮点数分解为整数和小数两部分。
    【参数】:x为双精度浮点数,而intpart为保存整数部分的指针。
    【返回值】:返回的是浮点数分解后的小数部分。设返回的小数部分值decimals = x (浮点数) - intpart(整数部分)。三个参数值的正负号相同。

    示例:

    //将浮点型参数分解为整数及小数两部分
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main()
    {
    	double x, intpart, decimals;
    
    	x = 1.23456;
    	decimals = modf(x, &intpart);
    	printf("%f = %f - %f \n", decimals, x, intpart);
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    8.hypot()函数:求直角三角形的斜边长

    【原型】:

    double hypot (double x, double y);

    【功能】求直角三角形的斜边长。
    【参数】:x、y分别为直角三角形的两条直角边。
    示例:

    //求直角三角形斜边长
    #include <stdio.h>
    #include <math.h>
    int main()
    {
    	double x, y, result;
    	x = 3;
    	y = 4;
    	result = hypot(x, y);
    	printf("直角三角形直角边长分别为 %f、%f,\n其斜边长为:%f \n", x, y, result);
    	return 0;
    }
    

    输出结果为:
    在这里插入图片描述

    9. 角度、弧度互换公式

            度和弧度都是衡量角的大小的单位。度用 ° 来表示,弧度用 rad 表示。
            度和弧度之间的转换规则为:

    弧度 =180 / π )角度
    角度 = (π / 180 )弧度
    1rad = (180/π)° ≈ 57.3°
    1° = (π/180)rad ≈ 0.01745rad
    
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    例如,求通项公式为x^n的级数的和函数,n=0,1,2...

    首先求出收敛域为(-1,1),所以和函数为

    要注意x=0时,s(x)是否为0,因为这个级数中n从0开始计数,所以式子正确,否则要写成分段的表达式

    2.求导法:

    利用公式:

    求处各项求导后的级数的和后再积分,便得到结果

    3.积分法:

    利用公式:

    求处各项积分后得到的级数后再求导,例:

    求n*x^(n-1)之和的和函数,n=1,2,3...

    易知收敛域为(-1,1)

    对于一些求数列前n项之和的,也可以转化为幂函数求和函数,如求n/3^(n-1),就是把x=1/3代入上式得到结果为9/4

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