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  • 高次幂函数取模算法

    2016-05-05 16:48:00
    在平常的工作学习中,我们经常需要用到求取一个数字或者幂运算的余数,尤其在密码学中最为常用的RSA算法就经常要用到这种运算,我们称之为高次幂函数的取模运算。 在本篇文章中,将会首先介绍运用程序求解高次幂函数...

    高次幂函数取模算法

    在平常的工作学习中,我们经常需要用到求取一个数字或者幂运算的余数,尤其在密码学中最为常用的RSA算法就经常要用到这种运算,我们称之为高次幂函数的取模运算。

    在本篇文章中,将会首先介绍运用程序求解高次幂函数取模的暴力求解方法,然后针对暴力方法算法效率低下的缺点,给出一种快速的取模算法。


    暴力取模算法

    由于我们的高次幂函数往往拥有很高的幂,而我们在计算机中只有intfloatdoublelong long这几种变量类型,远远不能满足我们对于大数字运算的要求,从而导致数据溢出无法完成运算。
    所以这里我们需要在每次迭代取模的过程中进行取模运算,从而保证数据不会溢出。代码如下:

    int get_mod(int a, int b, int c)
    {
        long long result = 1;//声明为long long类型防止溢出
        while(b--)
        {
            result = result * a % c;//这个算法的核心就是在迭代运算过程中进行取模运算
        }
        return static_cast<int> (result);
    }

    这种算法的正确性毋庸置疑,但是如果幂指数太大的话,需要耗费的时间就更非常多,直接导致运算效率低下,所以只适用于指数不大的情况下使用,下面我们要讲解的蒙哥马利算法就很好地解决了这个问题,而且该算法非常简单,效率极高,完全可以手动演算。


    蒙哥马利算法

    蒙哥马利算法是一种快速的大数(通常达到几百个二进制)的模乘算法,由彼得·蒙哥马利在1985年提出。
    下面直接放代码:

    int get_mod(int a, int b, int c)
    {
        long long res = 1;//声明为long long类型防止数据溢出
        int temp = a;
        while(b > 0)
        {
            if( b & 1)//取幂指数二进制最后一位
            {
                res = (res * temp) % c;
            }
            temp = (temp * temp) % c;
            b >>= 1;//幂指数二进制向右移动一位
        }
        return static_cast<int> (res);//以int类型返回最终结果
    }

    使用这个算法,即便是处理很大的数据都可以快速的求得余数,非常好用,这里想说,学好数学才是真的生产力!


    githubGithubhttps://github.com/haoyuanliu
    个人博客个人博客http://haoyuanliu.github.io/

    个人站点,欢迎访问,欢迎评论!
    ---

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  • 幂函数 开方 对数

    千次阅读 2015-06-06 19:34:45
     分数: 以分子为指数,分母为根指数 一个数开根的化简:  √x= √(a*b*c*..=x)=√a*√b*√c*...  √90=√45*√2= √(9*5)*√2=3√5√2  √90 = √9 * √10 = 3√10=3√5√2 对数: 如果a的x次方等于...

    x的1/n次方=x的开n次方。 x的m/n次方=x的m次方 再开 n次方  

    java函数:Math.pow(x, 1/n);   n次根号x

                    Math.sqrt(double d);  对d开平方

      

    分数幂: 以分子为指数,分母为根指数


    一个数开根的化简:

        √x= √(a*b*c*..=x)=√a*√b*√c*...

        √90=√45*√2= √(9*5)*√2=3√5√2

       √90 = √9 * √10 = 3√10=3√5√2


    对数:

    如果a的x次方等于N(a>0,且a不等于1),那么数X叫做以a为底N的对数(logarithm),

         记作x=logaN。其中,a叫做对数的底数,N叫做真数 

    1. 我们称以10为底的对数叫做常用对数(common logarithm),并记为lg。
    2. 称以无理数e(e=2.71828...)为底的对数称为自然对数(natural logarithm),并记为ln。
    3. 零没有对数。[1] 
    4. 在实数范围内,负数无对数。[2] 在复数范围内,负数是有对数的。


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  • 幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形 反三角函数的图形 各三角函数值在各象限的符号 三角函数的性质 反三角函数的性质 三角函数公式 两角和公式 倍角公式 ...

    初等函数的图形

    幂函数的图形

    指数函数的图形

    对数函数的图形

    三角函数的图形

    反三角函数的图形

    各三角函数值在各象限的符号

    三角函数的性质

    反三角函数的性质

    三角函数公式

    两角和公式

    倍角公式

    三倍角公式

     

     

     

     

     

    半角公式

    和差化积

    积化和差

    诱导公式

    万能公式

     

     

     

     

     

     

    其它公式

     

    其他非重点三角函数

    双曲函数

    公式一

    设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:

    sin(2kπ+α)= sinα

    cos(2kπ+α)= cosα

    tan(2kπ+α)= tanα

    cot(2kπ+α)= cotα

    公式二

    设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π+α)= -sinα

    cos(π+α)= -cosα

    tan(π+α)= tanα

    cot(π+α)= cotα

    公式三

    任意角α与 -α的三角函数值之间的关系:

    sin(-α)= -sinα

    cos(-α)= cosα

    tan(-α)= -tanα

    cot(-α)= -cotα

    公式四

    利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(π-α)= sinα

    cos(π-α)= -cosα

    tan(π-α)= -tanα

    cot(π-α)= -cotα

    公式五

    利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系:

    sin(2π-α)= -sinα

    cos(2π-α)= cosα

    tan(2π-α)= -tanα

    cot(2π-α)= -cotα

     

     

     

     

     

     

    公式六

    这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用

    三角函数公式证明(全部)

    公式表达式

    乘法与因式分解

    a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)

    三角不等式

    |a+b|≤|a|+|b|

    |a-b|≤|a|+|b|

    |a|≤b<=>-b≤a≤b

    |a-b|≥|a|-|b|

    -|a|≤a≤|a|

    一元二次方程的解

    -b+√(b2-4ac)/2a -b-b+√(b2-4ac)/2a

    根与系数的关系

    X1+X2=-b/a

    X1*X2=c/a

    注:韦达定理

    判别式 b2-4a=0 注:方程有相等的两实根

    b2-4ac>0 注:方程有一个实根

    b2-4ac<0 注:方程有共轭复数根

    三角函数公式

    两角和公式

    sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA

    cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

    tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)

    ctg(A+B)=(ctgActgB-1)/(ctgB+ctgA) ctg(A-B)=(ctgActgB+1)/(ctgB-ctgA)

    倍角公式

    tan2A=2tanA/(1-tan2A) ctg2A=(ctg2A-1)/2ctga

    cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

    半角公式

    sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)

    cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)

    tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))

    ctg(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) ctg(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))

    和差化积

    2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B) 2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B)

    2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B) -2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)

    sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2 cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

    tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB

    ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB -ctgA+ctgBsin(A+B)/sinAsinB

    某些数列前n项和

    1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2

    1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2

    2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)

    12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6

    13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4

    1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3

    正弦定理

    a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

    注: 其中 R 表示三角形的外接圆半径

    余弦定理

    b2=a2+c2-2accosB

    注:角B是边a和边c的夹角

    正切定理

    [(a+b)/(a-b)]={[Tan(a+b)/2]/[Tan(a-b)/2]}

    圆的标准方程

    (x-a)2+(y-b)2=r2 注:(a,b)是圆心坐标

    圆的一般方程

    x2+y2+Dx+Ey+F=0 注:D2+E2-4F>0

    抛物线标准方程

    y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py

    直棱柱侧面积

    S=c*h

    斜棱柱侧面积

    S=c'*h

    正棱锥侧面积

    S=1/2c*h'

    正棱台侧面积

    S=1/2(c+c')h'

    圆台侧面积

    S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l

    球的表面积

    S=4pi*r2

    圆柱侧面积

    S=c*h=2pi*h

    圆锥侧面积

    S=1/2*c*l=pi*r*l

    弧长公式

    l=a*r

    a是圆心角的弧度数r >0

    扇形面积公式

    s=1/2*l*r

    锥体体积公式

    V=1/3*S*H

    圆锥体体积公式

    V=1/3*pi*r2h

    斜棱柱体积

    V=S'L

    注:其中,S'是直截面面积, L是侧棱长

    柱体体积公式

    V=s*h

    圆柱体

    V=pi*r2h

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  • 高等教育出版社 《计算机应用基础(Windows XP + Office 2007)》电子教案任务6.2 使用函数和公式u 设计思想与教学策略通过已有数学函数公式知识的学习,用对比的方法来使学生学习电子表格的函数公式。学习的时候...

    高等教育出版社 《计算机应用基础(Windows XP + Office 2007)》电子教案

    任务6.2 使用函数和公式

    u 设计思想与教学策略

    通过已有数学函数与公式知识的学习,用对比的方法来使学生学习电子表格的函数与公式。学习的时候应结合不同专业的特点,在日后的工作生活中常用的公式应让学生多练习。体现职校生与普通高中学生不同之处。

    u 教材分析

    本章节是是Excel学习的重点内容,围绕“公式与函数的使用“这个内容,可以开展多种教学活动。一方面,本节内容与上一节内容”电子表格的基本操作“联系密切,是它的延续;另一方面,对于后续课程乃至整个Excel中的计算而言,它又是基础中的基础。

    u 学情分析

    学生对数学公式有基础,但思维习惯是自己心算处理问题,而不是用信息技术高效解决问题。通过教师的演示,学生体会到Excel中复制公式解决问题的快捷与高效,从而乐于用新知解决。对SUM、MAX、AVERAGE函数含义理解较容易,掌握的关键在数据区域的正确选取。而对公式与函数的混合使用以及IF函数较难理解,这部分内容作为提高要求,让能力强的同学先自己去探究,在时间充裕的基础上老师再统一讲解分析。

    u 教学目标

    &知识与技能

    1. 学生学会一般公式的正确输入方法。

    2. 理解绝对引用、相对应用、混合应用。

    3. 学生能理解函数的概念,掌握常见的函数(sum,average,max,min等)。学生能够根据所学函数知识判别计算得 到的数据的正确性。

    4. 学生能够使用函数(sum,average,max,min,counif,sumif等)计算所给数据的和、平均值、最大最小值、条件统 计和条件求和。学生通过自主探究学会新函数的使用。并且能够根据实际工作生活中的需求选择和正确使用函数, 并能够对计算的数据结果合理利用。

    &过程与方法

    1. 学生首先通过对已有数学公式与函数知识的回忆,为学习新的一节作铺垫。

    2. 学生需要带着老师的日常遇到的问题来进行思考、学习。

    3. 先通过老师的课件教授、然后学生通过自习学习包自己学习。

    4. 通过师生之间和生生之间的讨论,理解掌握重难点。

    &情感态度与价值观

    1. 培养学生善于思考的好习惯,而且能够利用信息技术来解决实际生活中的一些问题。

    2. 学生自主学习意识得到提高,在任务的完成过程中体会到成功的喜悦。

    u 重点难点

    & 重点:

    1.公式的应用。

    2.SUM、AVERAGE、MAX、MIN几个常用函数的应用。

    & 难点:

    1.单元格区域的选择。

    2.绝对应用、相对应用、混合应用在计算中的不同之处。

    u 教学准备

    学生在课前到FTP下载学习资源包,新建文件夹,以自己的学号+姓名命名。

    教学环境:计算机网络教室、电子教室、FTP服务器。制作好的助学资源包,为学生提供的制作素材,PPT课件、学习任务单,综合评价表。

    教学过程(第一课时)

    (一)情景导入

    新生基本信息输入计算机后,学习领导想了解各学区的学生基本情况,小丫需要提供各学区人数及各门功课的区平均分、最高分和最低分;当然每位学生的成绩也将做一个统计。由于本次考试的数学卷偏难,偏科学生的总分排名与实际有一定出入,于是学校决定数学成绩在乘上系数后再计入总分。小丫该怎么做呢?

    (二)新课展开

    1.用在引入的公式与函数概念的时候可结合学生已学的数学中的公式与函数联系起来,如二次平方根的公式、三角函数等。让学生通过笔算多个二次平方根方程、三角函数求解,完成以后老师通过在excel上输入参数求解,以此学生便可深入了解公式与函数并体会到excel计算的强大功能。

    具体方法:在ppt上用excel列出题目、人工计算、电子表格函数计算,如:

    1.X2-7X+8=0 求x1,x2;

    2.3X2-9x+6=0 求x1,x2;

    3.sinx=0.5 求x;

    4.cosx=0.8 求x;

    【教师讲解】

    一、Excel中的公式,公式的定义,实例。 公式包含函数、引用、运算符和常量的简单定义。

    公式是对工作表中的数值执行计算的等式,又称为表达式。公式以“=”号开头。例如“=5+23”,结果等于11;

    又如在C1单元格中输入“=sum(A1,B1)+100”,则在C1单元格中显示值是单元格A1和B1数值之和再加上100,并且当A1单元格和B1单元格的值发生变化时,C1单元格的值自动更新。

    公式中可以包括函数、引用、运算符和常量。

    函数是预先编译的公式,可以对一个或多个值执行运算,并返回一个或多个值,函数可以简化和缩短工作表中的公式,尤其在用公式执行很长或很复杂的计算时。

    引用是引用其他单元格的值

    运算符是一个标记或符号,指定表达式内执行的技术的类型,有数学、比较、逻辑和引用运算符等。

    常量是数值不发生变化的固定值,例如数字“210”、文本“优秀生比率”都是常量,表达式以及表达式产生的值都不是常量。

    二、公式的输入(操作示例)

    ①在编辑栏中输入公式:像输入数字、文本一样键入公式后按Enter键或单击“输入”按钮

    ②在单元格中直接输入公式:双击要输入公式的单元格或者先选中单元后再按F2键,在单元格中输入公式,最后按Enter键

    三、公式的编辑

    ①修改公式:如果在公式中输入公式过程中发现有错误,可以选中公式所在的单元格,然后在编辑栏中进行修改。如要修改函数,就打开公式选项板进行修改。修改完后按Enter键。

    任务一:算术运算符

    【任务描述】学生根据运算功能,在键盘上找出相应的运算符号,举例说明,查看运算结果。

    运算符号

    运算功能

    举例

    运算结果

    加法

    减法

    乘法

    除法

    求百分数

    乘方

    【任务一拓展1】:新课引入时的一元二次方程求解。

    任务二:关系运算符

    【任务描述】学生根据运算功能,在键盘上找出相应的运算符号,举例说明,查看运算结果。

    运算符号

    运算功能

    举例

    运算结果

    等于

    大于

    小于

    大于等于

    小于等于

    不等于

    【教师讲解】:连接运算符和引用运算符,并举例。

    1. 连接运算符的定义

    示例:

    2. 引用运算符的定义

    示例:

    3. 运算符的优先顺序

    圆括号 > 函数 > 幂 > 乘除 > 加减 > 连接 > 关系运算

    【教师评价总结】

    教学过程(第二、三课时)

    (一)、情景导入:( 创设情境激发兴趣) 由一个古老的传说(棋盘上的麦粒:有一位宰相发明了国际象棋,国王打算奖赏他。国王问他想要什么,宰相对国王说:“陛下,请您在右边棋盘上的第一小格里,赏给我1粒麦子,第2个小格里给2粒,第3个小格里给4粒,以后每一小格给的麦子都是前一小格的2倍。您像这样把棋盘上的64个小格用麦粒摆满,就把这些麦粒赏给我吧!”)

    引出话题。

    1、提问:国王需要拿出多少麦粒?

    2、分析:1+2+4+8+16+…+262+263=?

    (听故事思考问题学生口算 活跃气氛,激发兴趣。)

    (二)新课展开:函数的基本用法

    【教师讲解】

    1、函数的概念。

    2、函数的基本格式。(教师板书)

    3、函数的用法举例:用求和函数(SUM)计算麦粒的总数。

    (教师演示)学生看投影,听老师讲解。

    从理性上认识第一个函数:求和(SUM)的基本用法格式。

    任务一:统计总分、平均分、最高分、最低分、人数。

    【任务描述】打开“6-2新生名单”,“A区学生”工作表

    (1)计算每个学生的总分。

    (2)在k列中计算各学生的平均分,使用函数AVERAGE。

    (3)在表格底部输入“学生成绩分析表”及相关项目的内容。在表中输入如图6-24所示的内容。

    (4)将表头部分“学生成绩分析表”合并居中。

    (5)利用函数填写填写“学生成绩分析表”的各个项目。

    任务二:超过100分的数学成绩定为100分。

    【教师讲解】引用地址、IF函数

    1. 相对引用地址定义、举例;

    2. 绝对引用地址定义、举例;

    3. 混合引用地址定义、举例。

    4. IF函数的格式、用法举例。

    【任务描述】把数学成绩乘上系数调整后超出100的,通过函数统一定为100。重新计算总分和平均分。完成其他学区学生成绩分析表。

    【任务二拓展1】打开书本素材第6章“6-2“文件夹中”探究与合作1.xlsx“,填写三张工作表的蓝色区域。

    【任务二拓展2】打开书本素材第6章“6-2“文件夹中”探究与合作2.xlsx“,根据要求完成成绩报告单。

    任务三:完成九九乘法表

    【任务描述】灵活运用引用地址,完成乘法口诀表。

    提示:因为两个乘数位置是固定的,故在引用的时候呀固定行标或列标。

    【任务三拓展1】为了使乘法口诀表看其来更加美观,要求其为三角形。

    提示:条件就是要判断行乘数或列乘数的大小,需要用到IF函数。

    【完成自我评价】

    教师评价并总结

    7

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  • 初等函数公式汇总

    千次阅读 2018-09-18 10:27:23
    幂函数 幂函数的一般形式为y=x^a.  如果a取非零的有理数是比较容易理解的,不过初学者对于a取无理数,则不太容易理解,在我们的课程里,不要求掌握如何理解指数为无理数的问题,因为这涉及到实数连续统的极为深刻的知识....
  • [UE4]FMath中的常用数学公式函数

    千次阅读 2016-04-20 07:38:57
    FMath::CeilLogTwo(uint32 value) 含义:返回大于等于value的以2为底数的最大N次的指数N(是指数,不是)。 例子:value=15,返回值为4,因为16是大于...含义:与CeilLogTwo函数相反,返回小于等于value的...
  • C语言常用数学函数及其用法转帖地址:http://old.blog.edu.cn/user5/282721/archives/2008/2098559.shtml三角函数:(所有参数必须为弧度)1.acos函数申明:acos (double x);用途:用来返回给定的 X 的反余弦函数。2....
  • 级数求和函数

    千次阅读 2020-07-03 17:40:13
    例如,求通项公式为x^n的级数的和函数,n=0,1,2... 首先求出收敛域为(-1,1),所以和函数为 要注意x=0时,s(x)是否为0,因为这个级数中n从0开始计数,所以式子正确,否则要写成分段的表达式 2.求导法: ...
  • matlab常用函数常用指令大全

    万次阅读 多人点赞 2016-05-06 14:11:58
    matlab常用函数常用指令大全 matlab常用函数- - 1、特殊变量与常数 ans 计算结果的变量名 computer 确定运行的计算机 eps 浮点相对精度 Inf 无穷大 I 虚数单位 inputname 输入参数名 NaN 非数 ...
  • 公式是指使用运算符和函数,对工作表数据以及普通常量进行运算的方程式 =SUM(A1:B5) 【一个公式的组成】 等号=:表示之后的字符为公式 运算符:+ - 等算数运算符,或: ,等对单元格的引用运算符 函数:一些预定义的...
  • matlab常用函数

    千次阅读 2019-09-07 16:33:57
    一、软件操作函数 1)命令窗口函数: clc:清空命令窗口,使用向上箭头翻看命令。 open:打开文件,文本文件(*.doc),可执行文件(*.exe),图形文件(*.fig),超文本文件(*.html,*.htm),MATLAB数据库文件(*....
  • 常用激活函数

    2019-08-04 20:54:45
    1、sigmoid 优点:能够把输入的连续实值变换为01之间的输出,如果是...(2)公式包含运算,导致方向传播运算速度慢 (3)Sigmoid函数输出不是零中心对称。sigmoid的输出均大于0,这就使得输出不是0均值,称...
  • 函数展开为级数

    千次阅读 2016-11-08 21:19:34
    无穷级数,级数展开
  • Unity Shader 之 Shader 常用函数(CG 标准函数库)整理 ,数学函数、几何函数、纹理映射函数、偏导函数 目录 Unity Shader 之 Shader 常用函数(CG 标准函数库)整理 ,数学函数、几何函数、纹理映射函数、偏导...
  • 级数展开公式

    万次阅读 多人点赞 2018-03-29 14:27:06
    这是从网上搜到的最全的级数展开公式,方便大家查阅使用。
  • 积分公式和常用方法总结

    万次阅读 多人点赞 2018-01-31 23:47:30
    积分公式汇总 不定积分 不定积分的积分公式主要有如下几类:含ax+b的积分、含...0)的积分、含有√(|a|x^2+bx+c) (a≠0)的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的...
  • PB常用函数

    千次阅读 2018-01-09 15:49:02
    参数n:要得到绝对值的数值型变量或表达式返回值返回值的数据类型与n的数据类型相同,函数执行成功时返回n的绝对值。如果参数n的值为NULL,Abs()函数返回NULL。 Ceiling() 功能返回大于n的最小整数。 语法Ceiling...
  • 为适应目前计划为48-64学时的课程安排,《复变函数常用变换/高等学校教材》的编写没有追求理论系统的完备性普适性,而是力求准确讲述后继专业课中最需要的内容,注重揭示数学概念数学方法的思想实质,适当解释...

空空如也

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幂函数的和函数常用公式