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  • 对数函数是指 这里 对数函数的性质主要有定义域是 值域是 当 时单调递增,当 时单调递减。过定点 关于指数和对数的运算,在过去的文章里已经说得很详细。这次我主要想说两个问题,第一个是关于反函数。定义域为 的...

    对数函数是指

    这里

    对数函数的性质主要有

    1. 定义域是
      值域是
    2. 时单调递增,当
      时单调递减。
    3. 过定点

    关于指数和对数的运算,在过去的文章里已经说得很详细。这次我主要想说两个问题,第一个是关于反函数。定义域为

    的函数
    具有反函数的条件是它是单射,也就是

    在这个条件下,定义

    的反函数为

    特别地,连续函数具有反函数的充要条件是单调。这是很直观的结论,首先单调函数肯定是单射,其次如果区间上的连续函数不单调,那么它不是单射。

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    在平面直角坐标系中,若

    有反函数,则图像

    关于直线

    对称。这一点可以理解为,反函数就是把
    交换。

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    在高中我们着重指出的是,指数函数和对数函数

    互为反函数

    第二个问题是关于幂函数、指数函数和对数函数的增长速率。

    充分大时,幂函数
    指数函数和对数函数
    都是充分大的。但是我们可以看出它们的增长速率差别很大。

    这里的增长速率的比较不能通过直接求差的方式观察,而是通过求比值。如果两个函数的比值当

    充分大时接近一个正的常数,就说它们的增长速率是相等的。

    幂函数

    的增长速率随着
    的增大而增大,据此定义幂函数
    的增长速率是
    这样我们就发现所有的多项式函数

    的增长速率是

    另外我们发现指数函数的增长速率非常大,而对数函数的增长速率非常小。

    事实上当

    充分大时

    总是充分大。这是Excel的计算结果

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    可以直观地考虑原因是当

    充分大时,每当
    再增大,指数函数的增量是幂函数的任意多倍,幂函数的增量是对数函数的任意多倍。这就说明

    指数函数

    的增长速率比任何幂函数都大,所以增长速率是

    对数函数

    的增长速率比任何幂函数都小,所以增长速率是无穷小。
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  • 以下证明涉及到的知识点主要是利用函数的单调性,函数值不等式成立...结论:所有的基本初等函数在定义域内的极限都可以直接往里代入。基本初等函数主要包括:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数。...

    以下证明涉及到的知识点主要是利用函数的单调性,函数值不等式成立等价于自变量不等式成立。

    结论:所有的基本初等函数在定义域内的极限都可以直接往里代入。

    基本初等函数主要包括:幂函数,指数函数,对数函数,三角函数,反三角函数。

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  • 对数的定义: 一般地,函数y=log(a>0,且a≠1,x(0, +∞))叫做对数函数,也就是说以幂...幂函数的定义: 一般地,y=(a为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。 对数...

    对数的定义:

    一般地,函数y=loga^{x}(a>0,且a≠1,x\epsilon(0, +∞))叫做对数函数,也就是说以幂(真数)为自变量,指数为因变量,底数为常量的函数,叫对数函数。

    指数的定义:

    一般地,y=a^{x}函数(a为常数且以a>0,a≠1)叫做指数函数,的函数定义域是 R 。

    幂函数的定义:

    一般地,y=x^{a}(a为有理数)的函数,即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常数的函数称为幂函数。

    对数函数和指数函数的关系:

    当a>0且a≠1时,y=loga^{x}  \Leftrightarrow  x=a^{y}

    指数函数和幂函数的关系:

    指数函数以指数为自变量,底数为常数;幂函数以底数为自变量,指数为常数。

    指数运算法则如下:

    a^{0}=1(a属于R,a=0)(a属于R,a不等于0);

    a^{-n}=\frac{1}{a^{n}}(a属于R,a不等于0,n属于N);

    a^{\frac{n}{m}}=\sqrt[m]{a^{n}}(a大于0,m,n属于N,m>1);

    对数运算法则如下:

     

     

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    一、问题的导入——最简单的函数(n次多项式),最简单的函数项级数(无穷次多项式)

     

    二、幂级数的概念

    1. 幂级数的定义(幂级数的系数、一般形式、简化形式)

     

    2. 幂级数收敛域的计算

     

    三、阿贝尔定理

    1.  阿贝尔定理:若级数在某处收敛,则可确定一个区间,在此区间内绝对收敛;若级数在某处发散,则可确定两个区间,在此区间内发散

     

     

    四、收敛半径与收敛域

    1.  若幂级数既有不等于零的收敛点,又有发散点,则可确定收敛半径、收敛区间、收敛域

     

    2. 幂级数收敛半径的计算,一般幂级数的收敛半径 

     

    五、幂级数的运算性质

    1. 幂级数的四则运算

     

    2. 幂级数的解析性质:幂级数与其逐项求导和逐项积分所得到的对应的级数的收敛半径相等

     

    3. 幂级数的和函数在其收敛区间上连续;幂级数可逐项积分

     

    4. 幂级数可逐项求导

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  • 对数函数与幂函数

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空空如也

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