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  • 一·问题简述:在数学中,双曲函数幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一样一类基本初等函数,它包括双曲正弦函数sinhx,双曲余弦函数coshx,双曲正切函数tanhx等。双曲函数一类在工程中应用广泛函数...

    一·问题简述:在数学中,双曲函数是与幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等一样的一类基本初等函数,它包括双曲正弦函数sinhx,双曲余弦函数coshx,双曲正切函数tanhx等。

    双曲函数是一类在工程中应用广泛的函数。双曲函数的定义域时实数,其自变量的值叫做双曲角。双曲函数的反函数称之为反双曲函数。

    双曲函数与三角函数的关系,可以通过复指数进行联系,借助复数的三角形式得到,而指数函数与复数的关系则可以通过欧拉公式给出。

    尽管双曲函数不是高中数学学习和研究的对象,但是双曲函数却时常成为高考数学的命题背景,许多高考试题都能找到双曲函数的影子。因此,了解双曲函数的相关性质,对解答相关试题大有裨益。

    二·双曲函数的定义:

    双曲函数与三角函数有许多类似的地方,双曲函数包括双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、双曲余切、双曲正割、双曲余割等,下面仅就前三者进行阐述。

    三·双曲函数的图象与性质:

    四·双曲函数恒等式:

    五·双曲函数的导数、不定积分与级数:

    六·双曲函数在高考中的应用:

    1·考查函数的图象:

    【评注】

    本题选取双曲正切函数的倒数,即双曲余切函数作为研究对象,借助函数的图象,考查双曲函数的定义域、值域,以及单调性等知识点。

    2·考查函数的奇偶性:

    【评注】

    本题考查函数的奇偶性,借助函数的奇偶性的相关结论来求参数的值,其中对数函数正是双曲正弦的反函数。

    3·考查导数的综合应用:

    【评注】

    本题正是一道全面研究双曲函数的高考试题,涉及双曲正弦函数与双曲余弦函数,考查函数的解析式、奇偶性、单调性、值域等知识点,有一定的难度。

    以上,祝你好运。

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  • HashMap里面散列函数(求在数组中下标)是什么 (length - 1) & hash 首先要知道一点,HashMap容量大小一定是2的幂形式(1,2,4,8…). 原因话可以看一下上一篇文章HashMap源码解析(一) 当执行new HashMap时...

    HashMap里面的散列函数(求在数组中的下标)是什么

    (length - 1) & hash 首先要知道一点,HashMap的容量大小一定是2的幂次形式(1,2,4,8…). 原因的话可以看一下上一篇文章HashMap源码解析(一) 当执行new HashMap时都执行了什么?. 大致就是第一次初始化容量的时候hashmap会初始化为比传入容量大小大的最小的二的次幂,后面扩容的时候每次乘二(实际用的是左移操作).
    知道了这一点之后我们就知道length是二的次幂. 那么对于一个二的次幂减一之后的二进制表示是什么样的呢

    2-1 -> 1
    4-1 -> 11
    8-1 -> 111
    16-1 -> 1111

    看出规律了吧.就是把length的二进制表示去掉了最高位然后把所有的低位都补了1
    然后看一下&也就是 与 操作.每一位&0之后都会是0.如果了解计算机网络的话,应该就很容易看出这个(length-1)&hash的作用了.(length-1)实际上的作用是掩码,把所有的高位全部过滤掉.得到的余下的数一定小于length. 可以直接作为在table数组的下表了. 到这里看来,这个过滤操作本身就可以作为一个散列函数了.
    但是我们最常用的散列函数不是取余数吗?其实这个操作本身得到的结果和hash%length取余的结果是一样的.我们看一下余数的定义:余数指整数除法中被除数未被除尽部分
    再来看一下我们的操作我们把高位都过滤掉了,那些高位代表的数一定是length的倍数,那么余下来的小于length的数不就是余数了.所以HashMap中使用了一个位运算来巧妙且快速的求出了余数.

    HashMap中的Hash函数(求hash值)

    static final int hash(Object key) {
            int h;
            return (key == null) ? 0 : (h = key.hashCode()) ^ (h >>> 16);
    }
    

    最近阅读HashMap源码的时候看到HashMap里的hashcode对Key本身的hashcode进行了额外的操作key.hashCode()) ^ (h >>> 16);
    查了一些资料看了一下这里为什么要进行这样的操作:

    这个操作实际上是进行了一次扰动,可以理解为对原来的hash码又进行了一次随机化的操作来减少碰撞.

    先看一下这个操作做了什么,从源码可以看出来将原来hash码的低十六位和自己的高十六位进行了一次异或操作.也就是为低十六位进行了又一次的随机操作.根据上面的介绍我们很容易想到当我们的数据量不是足够大时,基本上用到的只有hash码的后面几位,前面的都被掩码掩盖掉了(取余取掉了).
    这样做的好处是可以减少碰撞,但是具体怎么减少的就不得而知了,可以参考一下扰动函数. 文章里举了个例子:
    随机选取了352个字符串,在他们散列值完全没有冲突的前提下,对它们做低位掩码,取数组下标。在这里插入图片描述
    做了扰动操作的碰撞数有所改善,碰撞减少了10%左右.也算是很大的提高了.
    顺带提一句,Jdk7中做了四次扰动操作,JDK8只做了一次.

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  • hash, 内部会自动将你初始容量变为最接近(大于等于)他一个2k次幂的数,为什么呢? 原因有二: & 运算作用,保证hash码总是能落在数组允许下标方位内; 如果n等于2k次,那么n-1二进制为 ...

    HashMap计算数据在数组的索引位置为公式 (n - 1) & hash, 内部会自动将外部初始容量变为最接近(大于等于)他的一个2的k次幂的数,为什么呢?

    原因有二:

    1. & 运算的作用是,保证hash码总是能落在数组允许的下标方位内;
    2. 如果n等于2的k次幂,那么n-1的二进制为 1111***111形式,与hash码进行&运算后能保证hash本身的值,从而保证原hash函数散列效果不变,是数据均匀分布,减少hash冲突
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  • 直接想没有什么想法,要想到用简洁的形式将这个数字表示出来,对于每一位都8的数字我们可以用 X=8*(10k-1)/9的形式表示出来,那么题目的意思就是求X使L|X,我们先处理一下8和L,即除去他们的最大公约数,然后就是L...

    题目的意思大概就是问是否存在一串全是8的数字是L的倍数

    直接想没有什么想法,要想到用简洁的形式将这个数字表示出来,对于每一位都是8的数字我们可以用
    X=8*(10k-1)/9的形式表示出来,那么题目的意思就是求X使L|X,我们先处理一下8和L,即除去他们的最大公约数,然后就是L’|(10k-1)/9,即就是10k-1|9L’我们用L’'表示9L’

    问题就转化成了要求10k-1%L’’==0,10k=1(mod L’’)(其实找的是在模L’'剩余系中10的阶)

    如果10和L’'不互质那么10没有阶

    由欧拉定理我们得知,10f(L’’)=1(mod L’’),因此阶一定是f(L’’)的因子,其中f(n)代表的是n的欧拉函数,因此我们从小到大查找欧拉函数值的所有因子直到找到阶

    在这种思路下有如下代码

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cstdlib>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cmath>
    #include<ctime>
    #include<climits>
    #include<queue>
    #include<vector>
    #include<set>
    #include<map>
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    const int INF=0x3f3f3f3f;
    const int MAXN=1e5+5;
    
    ll L;
    
    ll gcd(ll a,ll b)
    {
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
    
    ll phi(ll x)
    {
        ll ret=1;
        for(ll i=2;i*i<=x;i++)
        {
            if(x%i==0)
            {
                ret*=(i-1);
                x/=i;
                while(x%i==0)
                {
                    ret*=i;
                    x/=i;
                }
            }
            if(x==1) break;
        }
        if(x>1) ret*=(x-1);
        return ret;
    }
    
    ll mult(ll a,ll b,ll t)
    {
        a%=t; b%=t;
        ll ret=0;
        while(b)
        {
            if(b&1)
            {
                ret+=a; if(ret>t) ret-=t;
            }
            a<<=1; b>>=1;
            if(a>t) a-=t;
        }
        return ret;
    }
    
    ll quick_pow(ll a,ll b,ll t)
    {
        ll ret=1;
        a%=t;
        while(b)
        {
            if(b&1) ret=mult(ret,a,t);
            a=mult(a,a,t);
            b>>=1;
        }
        return ret;
    }
    
    int main()
    {
        int Case=0;
        while(~scanf("%lld",&L) && L)
        {
            ++Case;
            ll t=gcd(8,L);
            L=L/t*9;
            ll ans;
            if(L%2==0 || L%5==0)
            {
                ans=0;
            }
            else
            {
                t=phi(L);
                ans=-1;
                //printf("t=%lld\n",t);
                ll tt=sqrt(t)+1;
                for(ll i=1;i<=tt;i++)
                {
                    if(t%i==0 && quick_pow(10,i,L)==1)
                    {
                        ans=i;
                        break;
                    }
                }
                if(ans<0)
                for(ll i=tt;i>0;i--)
                {
                    if(t%i==0 && quick_pow(10,t/i,L)==1)
                    {
                        ans=t/i;
                        break;
                    }
                }
            }
            printf("Case %d: %lld\n",Case,ans);
        }
        return 0;
    }
    

    这里求欧拉函数值的用了p为素数,f(pk)=(k-1)*pk-1。然后在遍历欧拉函数因子的时候用到一个技巧:任何一个数的因子都可以和另一个因子相乘得到这个数,这两个因子中一个大一个小,小的一定小于等于sqrt(n),因此我们在查找因子的时候不要遍历1—n,而是先遍历1—sqrt(n)查找较小的因子,如果没有找到, 再从sqrt(n)—1,查找相对应的较大的因子,这样就将原来O(n)的复杂度降低为O(logn)的复杂度,十分巧妙

    这里放一个优化版本的

    #include<cstdio>
    #include<cstring>
    #include<cstdlib>
    #include<algorithm>
    #include<iostream>
    #include<cmath>
    #include<ctime>
    #include<climits>
    #include<queue>
    #include<vector>
    #include<set>
    #include<map>
    using namespace std;
    
    typedef long long ll;
    const int INF=0x3f3f3f3f;
    const int MAXN=1e5+5;
    
    ll L;
    
    ll gcd(ll a,ll b)
    {
        return b==0?a:gcd(b,a%b);
    }
    
    ll phi(ll x)
    {
        ll ret=x;
        for(ll i=2;i*i<=x;i++)
        {
            if(x%i==0)
            {
                ret=ret/i*(i-1);
                x/=i;
                while(x%i==0)
                {
                    x/=i;
                }
            }
            if(x==1) break;
        }
        if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
        return ret;
    }
    
    ll mult(ll x, ll y, ll p) 
    {
        long double d=1;
        d=d*x/p*y;
        return ((x*y-((ll)d)*p)%p+p)%p;
    }
    
    ll quick_pow(ll a,ll b,ll t)
    {
        ll ret=1;
        a%=t;
        while(b)
        {
            if(b&1) ret=mult(ret,a,t);
            a=mult(a,a,t);
            b>>=1;
        }
        return ret;
    }
    
    int main()
    {
        int Case=0;
        while(~scanf("%lld",&L) && L)
        {
            ++Case;
            ll t=gcd(8,L);
            L=L/t*9;
            ll ans;
            if(L%2==0 || L%5==0)
            {
                ans=0;
            }
            else
            {
                t=phi(L);
                ans=-1;
                //printf("t=%lld\n",t);
                ll tt=sqrt(t)+1;
                for(ll i=1;i<=tt;i++)
                {
                    if(t%i==0 && quick_pow(10,i,L)==1)
                    {
                        ans=i;
                        break;
                    }
                }
                if(ans<0)
                for(ll i=tt;i>0;i--)
                {
                    if(t%i==0 && quick_pow(10,t/i,L)==1)
                    {
                        ans=t/i;
                        break;
                    }
                }
            }
            printf("Case %d: %lld\n",Case,ans);
        }
        return 0;
    }
    

    主要优化了快速幂中long long 乘法部分和欧拉函数值的求值.

    这里欧拉函数值的求法用到欧拉函数容斥原理求法.即
    f(n)=n(p11)/p1(p21)/p2.....(pk1)/pkf(n)=n*(p1-1)/p1*(p2-1)/p2*.....*(pk-1)/pk这里pi为n的素因子

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