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  • EXCEL公式获取幂函数系数解析
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    2019-12-12 19:57:49

    创建时间:2019-07-17

    工具:Excel
    乘幂函数:y = a * x^(-b)
    衰减系数 b = -INDEX(LINEST(LN(y_value_array),LN(x_value_array)),1)
    详见:https://blog.csdn.net/u014710355/article/details/81395341

    解析:
    1.函数说明

    1.1 LN(y_value_array)
    Excel中LN函数,返回一个数的自然对数。自然对数以常数项 e (2.71828182845904) 为底

    1.2 LINEST(y_value_array,x_value_array)
    LINEST函数的功能:计算线性回归方程式的参数
    直线的公式为:y = mx + b
    详见:http://www.caohaifeng.com/view/136.html

    1.3 INDEX
    Excel中的INDEX函数是用来“返回表或区域中的值”或“对值的引用”。
    数组形式——INDEX(array,row_num,column_num)
    eg:=INDEX(D2:F11, 3, 3) 表示取出D2:F11范围内第3行第3列的值
    详见:https://jingyan.baidu.com/article/63acb44ae54c2f61fcc17eed.html

    2.公式推导
    在这里插入图片描述
    开放问题:不使用INDEX函数所得结果相同,原因待探讨。

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    幂函数(乘方)|指数(函数)|对数(函数)|及其运算法则

    2018-09-23

    求n个相同因数的积的运算,叫做乘方(power),乘方的结果叫做幂(power),在a^n(n 标在右上角)中,a叫做底数,n叫做指数,当a^n(n标在右上角)看作a的n次方的结果时,也可读作a的n次幂。

    比如:3^2=9(2在右上角)这个运算叫做乘方(像1+1=2这个运算叫加法 )在这个式子中,幂就是9,就是这个运算的结果。在这个式子中,底数是3,指数是2。有的时候把这个 a^n 就看做一个结果,就是一个数,读作a的n次幂。在这个式子中,就读3的2次幂。

    ------------------------------------------------

    乘方是表示几个相同的数成积的形式。它的相同因数叫做底数,乘的次数叫做指数,乘出来的得数(乘方的结果)为幂。

    Ex:2^3=8 2是底数,3是指数,8是幂。9^6=531441,9是底数,6是指数,531441是幂。

    ----------------------------------------------

    (数学中的幂)

    幂指乘方运算的结果。n^m指将n自乘m次。把n^m看作乘方的结果,叫做n的m次幂。

    其中,n称为底,m称为指数(写成上标)。

    当不能用上标时,例如在编程语言或电子邮件中,通常写成n^m或n**m,亦可以用高德纳箭号表示法,写成n↑m,读作“n的m次方”。

    当指数为1时,通常不写出来,因为那和底的数值一样;指数为2、3时,可以读作“n的平方”、“n的立方”。

    n^m的意义亦可视为1×n×n×n...︰起始值1(乘法的单位元)底数相乘指数这麼多次。

    这样定义了后,很易想到如何一般化指数0和负数的情况︰

    除了0之外所有数的零次方都是1,即n^0=1;

    幂的指数是负数时,等于1/n^m。

    分数为指数的幂定义为x^m/n = n√x^m

    幂不符合结合律和交换律。

    因为十的次方很易计算,只需在後加零即可,所以科学记数法借助此简化记录数的方式;二的次方在计算机科学中很有用。

    同底数幂:同底数幂是指底数相同的幂(同底数幂的意义)。

    关于幂(即指数)的运算法则

    幂的运算法则 上海市同洲模范学校/宋立峰

    关于整数指数幂,运算法则要记住。

    指数加减底不变,同底数幂相乘除。

    指数相乘底不变,幂的乘方要清楚。

    积商乘方原指数,换底乘方再乘除。(axb)^n=a^n X b^n

    非零数的零次幂,常值为1不糊涂。

    负整数的指数幂,指数转正求倒数。

    -------------------------------------------------

    有理数的指数幂,运算法则要记住。

    指数加减底不变,同底数幂相乘除。

    指数相乘底不变,幂的乘方要清楚。

    积商乘方原指数,换底乘方再乘除。

    非零数的零次幂,常值为 1不糊涂。

    负整数的指数幂,指数转正求倒数。

    看到分数指数幂,想到底数必非负。

    乘方指数是分子,根指数要当分母。

    1、同底数幂的乘法:底数不变,指数相加 a^m·a^n=a^(m+n) (m,n属于有理数)

    2、同底数幂的除法:底数不变,指数相减 a^m÷a^n=a^(m-n) (a不等于0,m,n属于有理数)

    3、幂的乘方:底数不变,指数相乘 (a^m)^n=a^mn );(m,n属于有理数)

    4、积的乘方:等于各因数分别乘方的积 a^m·b^m=(ab)^m ;(n属于有理数)

    5、商的乘方(分式乘方):分子分母分别乘方,指数不变a^m÷b^m=(a/b)^m

    ----------------------------------------------------------------------

    指数(幂)的计算核心在于两点:一个是指数的基本公式的应用;另一个是转化形式,比如统一底数或指数,然后比较大小。

    例:

    已知3x+3-x=5,求下列各式的值:(1)9x+9-x;(2)27x+27-x;(3)3x-3-x.(精英家教网)

    解析:

    (1)9x+9-x=(3x)2+(3-x)2=(3x+3-x)2-2·3x·3-x=52-2=23;

    (2)27x+27-x=(3x)3+(3-x)3=(3x+3-x)[(3x)2-3x·3-x+(3-x)2]=(3x+3-x)(9x+9-x-1)=5(23-1)=110;

    (3)3x-3-x=±

    106282888_1.gif

    106282888_2.gif

    点评:整体思想是常见的数学思想之一,通过整体代入、整体运算、整体消元、整体合并等方法,可以将运算过程简化,提高解题效率.另外,对于本题,也可以将3x看成整体作为一个未知数,先求出3x的值,然后再代入求解,但这种解法较繁琐,是一种不经济的解法.

    提示:根据已知条件,寻找结论与条件之间的关系,发现可以通过整体变换来解.

    难点:

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    对数:一般地,如果a(a大于0,a不等于1)的b次幂等于N,那么数b叫做以a为底N的对数,记作b=log aN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数。

    知识点:对数的概念及其运算性质

    106282888_4.png

    106282888_5.jpg

    a^logb N=N^logb a

    误区提醒

    106282888_6.png

    ---------------------------------------------

    幂函数:形如Y=x^a(a为常数)的函数(即以底数为自变量,幂为因变量,指数为常量的函数称为幂函数。)

    指数函数:指数函数的一般形式为y=a^x(a大于0,a不等于1)(x属于R),它是初等函数的一种,是定义在实数域上的单调、无上界的正值函数。

    对数函数:一般地,我们把函数y=log a x(a大于0,a不等于1)叫作对数函数,其中x是自变量,函数的定义域为(0,+无穷)。

    数理天地:http://m.anoah.com/app/sltd/?c=main&a=detail&id=18117&knowapplyid=3612********

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    高中数学必修1对数函数的图像性质(北师大版)

    106282888_8.gif

    理解对数函数图象与对数函数性质间的对应关系

    106282888_9.jpg

    要求掌握对数函数的概念

    106282888_10.gif

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    对数函数图像、性质及例题

    1、定义:一般地,函数

    image040.gif叫做对数函数,其中x是自变量。

    2、对数函数的性质:

    image041.jpg

    例1. 求值:(1)

    image042.gif

    (2)

    image043.gif

    (3)

    image044.gif

    解析:(1)

    image045.gif

    (2)

    image046.gif

    (3)

    image047.gif

    点评:

    (1)注意计算公式的灵活运用;

    (2)同学们在学习时由于分不清

    image048.gif导致计算错误的现象很多;

    (3)

    image049.gif在进行对数运算中经常用到。

    例2. 已知

    image050.gif,求

    image051.gif的值。

    解析:

    法1:

    image052.gif

    image053.gif

    所以

    image054.gif

    法2:

    image055.gif从而

    image056.gif

    法3:

    image057.gif

    从而

    image058.gif

    点评:解法1借助指数变形来解;解法2与解法3是利用换底公式来解,显得较简明。应用对数换底公式解这类题的关键是适当选取新的底数,从而把已知对数和所求对数都换成新的对数,再代入求值即可。

    例3. 已知

    image059.gif,则a,b,1的大小关系是________________

    解析:

    法1:由

    image060.gif

    image061.gif是增函数,故b > a > 1.

    法2:设

    image062.gif,则有

    image063.gif,从而

    image064.gif

    由已知,x > y > 0

    image065.gif,考虑到函数

    image066.gif是增函数,所以

    image067.gif,即b > a > 1.

    点评:指数函数和对数函数的单调性在比较大小时用处很大,也很灵活。

    上海高一上数学4.5对数函数的图像与性质

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    http://www.pinlue.com/style/images/nopic.gif

    展开全文
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  • 函数解析式

    2018-04-15 16:42:00
    函数解析式函数的重要性质之一,要研究函数,我们往往需要以函数解析式为依托和切入,如果知道了函数解析式,那么我们也许通过观察就能很快发现函数的一些简单的性质,比如\(f(x)=x+x^3\),看到这个解析式,...

    前言

    函数的解析式是函数的重要性质之一,要研究函数,我们往往需要以函数的解析式为依托和切入,如果知道了函数的解析式,那么我们也许通过观察就能很快发现函数的一些简单的性质,比如\(f(x)=x+x^3\),看到这个解析式,我们就能知道函数的定义域和值域都是\(R\),是奇函数,是单调递增函数,过点\((0,0)\)等。所以我们必须切实掌握求函数的解析式的常用方法。

    基本方法

    • 1、配凑法,

    操作说明:在等号的右端配凑出关于自变量整体的代数式,然后做代换。

    例1已知函数\(f(x)\)满足条件 \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}\),求\(f(x)\),求\(f(x)\)的解析式;

    分析: \(f(\sqrt{x}+1)=x+2\sqrt{x}=(\sqrt{x}+1)^2-1\)

    注意右端需要配凑出以\(\sqrt{x}+1\)为整体变量的代数式,以便于下一步的代换,到此配凑工作结束;

    \(\sqrt{x}+1=t\),则新元\(t\ge 1\)

    故解析式为\(f(t)=t^2-1(t\ge 1)\),再将自变量替换为我们适应的\(x\)

    则所求的解析式为\(f(x)=x^2-1(x\ge 1)\)

    例1-2 已知\(f(x+\cfrac{1}{x})=x^3+\cfrac{1}{x^3}\),求\(f(x)\)的解析式;

    分析:注意到\(x^3+\cfrac{1}{x^3}=(x+\cfrac{1}{x})^3-3(x+\cfrac{1}{x})\)

    \(t=x+\cfrac{1}{x}\),则新元\(t \in(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)\)

    故所求解析式为\(f(x)=x^3-3x(|x|\ge 2)\)

    解后反思:

    1、配凑法是结构化的方法,要注意式子两端的对应性,比如左端的自变量整体是\(\sqrt{x}+1\),那么右端就必须围绕它来做文章;

    2、但凡使用了换元之处,就一定需要注意新元和旧元的取值范围的一致性。

    3、例1-2中的\(t=x+\cfrac{1}{x}\),其实是一个对勾函数,这时高三数学中的一个高频函数,需要特别注意,要对其性质非常清晰才行。

    • 2、换元法

    操作说明:将未知的或无法掌握的解析式问题转化为已知的解析式问题。

    例2【代数换元】求函数\(f(x)=4^x+3\cdot 2^x+1\)的值域。

    分析:注意到函数的结果特点,

    做代数换元令\(2^x=t>0\)

    则原函数就转化为\(f(x)=g(t)=t^2+3t+1,t\in(0,+\infty)\)上的值域

    例2-2【三角换元】求函数\(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\)的值域。

    分析:求定义域得到\(x\in[-1,1]\)

    故做三角换元令\(x=cos\theta,\theta\in[0,\pi]\)

    则函数\(f(x)=x+\sqrt{1-x^2}\)

    \(=cos\theta+\sqrt{1-cos^2\theta}\)

    \(=cos\theta+|sin\theta|\)

    \(=sin\theta+cos\theta\)

    \(=\sqrt{2}sin(\theta+\cfrac{\pi}{4})\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)

    故函数的值域为\([-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)

    例2-3【三角换元】求函数\(f(x)=sinx+cosx+sinxcosx\)的值域。

    分析:令\(t=sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\)

    则可知\(t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)

    又由\((sinx+cosx)^2=t^2\)得到\(sinxcosx=\cfrac{t^2-1}{2}\)

    故此时原函数经过换元就转化为二次函数在闭区间上的值域问题了

    \(f(x)=g(t)=t+\cfrac{t^2-1}{2}=\cfrac{1}{2}t^2+t-\cfrac{1}{2}\)\(t\in[-\sqrt{2},\sqrt{2}]\)

    解后反思:

    1、上述的三个求值域的问题,实际上都先是个求解析式的问题,不过没有人提示我们用换元法,需要我们有一定的数学素养。

    同时还暗含了转化划归的一个策略,即将未知的转化为已知的,将复杂的转化为简单的,将高级的转化为低级的。

    2、换元法首要注意的一点就是,换元前后的变量取值的一致性。

    3、第三个例题的转化非常特殊,注意特别注意。引申比如\(sinx\pm cosx\pm 2sinxcosx\)的转化;

    • 3、待定系数法

    操作说明:适用于已知函数的类型

    例3已知一次函数\(f(x)\)满足条件\(f ( f ( x ))=x+2\),求\(f(x)\)的解析式;

    分析:由于函数\(f(x)\)是一次函数,故我们可以合理的设函数\(f(x)=ax+b\)

    \(f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b=x+2\)

    故有\(a^2=2\)\(ab+b=1\)

    解得\(a=1,b=1\),故所求为\(f(x)=x+1\)

    解后反思:当已知了函数的类型,比如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数,等我们就可以用待定系数法求解析式了。

    例3-1已知二次函数\(f(x)\)满足\(f(2)=-1\)\(f(-1)=-1\),且\(f(x)\)的最大值是\(8\),试确定此二次函数的解析式。

    法1:一般式,设\(f(x)=ax^2+bx+c(a\neq 0)\)

    由题意得\(\begin{cases}4a+2b+c=-1\\a-b+c=-1\\ \cfrac{4ac-b^2}{4a}=8\end{cases}\)

    解得\(\begin{cases}a=-4\\b=4\\c=7\end{cases}\)

    \(f(x)=-4x^2+4x+7\)

    法2:顶点式,设\(f(x)=a(x-m)^2+n\),由题意得\(n=8\),又\(f(2)=f(-1)\)

    故函数的对称轴是\(x=\cfrac{2+(-1)}{2}=\cfrac{1}{2}\),故\(m=\cfrac{1}{2}\)

    \(y=f(x)=a(x-\cfrac{1}{2})^2+8\)

    \(f(2)=-1\)\(a(2-\cfrac{1}{2})^2+8=-1\)

    解得\(a=-4\),故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)

    法3:两根式(零点式),由已知\(f(x)+1=0\)的两根\(x_1=2\)\(x_2=-1\)

    故可设\(f(x)+1=a(x+1)(x-2)\),即\(f(x)=ax^2-ax-2a-1\)

    又函数\(f(x)_{max}=8\),即\(\cfrac{4a(-2a-1)-a^2}{4a}=8\)

    解得\(a=-4\)\(a=0(舍去)\),故\(f(x)=-4x^2+4x+7\)

    • 4、方程组法

    操作说明:适用于两个自变量整体的积或者和为定值的情形

    例4若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(1-x)=x\),则\(f(x)\)的解析式为__________.

    分析:方程组法,用\(1-x\)替换原方程中的\(x\),得到\(f(1-x)+2f(x)=1-x\)

    联立两式,则有\(\begin{cases}f(x)+2f(1-x)=x\\f(1-x)+2f(x)=1-x\end{cases}\)

    解以\(f(x)\)\(f(1-x)\)为元的二元一次方程组,

    解得\(f(x)=\cfrac{2}{3}-x\);

    例4-1若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(2-x)=x\),则\(f(x)\)的解析式为__________.

    分析:方程组法,用\(2-x\)替换原方程中的\(x\),得到\(f(2-x)+2f(x)=2-x\),联立两式,解得\(f(x)=?\);

    例4-2若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(-x)=x+1\),则\(f(x)\)的解析式为__________.

    分析:方程组法,用\(-x\)替换原方程中的\(x\)

    例4-3若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(\cfrac{1}{x})=3x\),则\(f(x)\)的解析式为______.

    分析:方程组法,用\(\cfrac{1}{x}\)替换原方程中的\(x\),

    例4-4若函数\(f(x)\)满足\(f(x)+2f(\cfrac{2}{x})=3x\),则\(f(x)\)的解析式为__________.

    分析:方程组法,用\(\cfrac{2}{x}\)替换原方程中的\(x\),

    解后反思:由于两个自变量整体的和或者积为定值,故一旦替换,原来\(A\)位置上就变成了\(B\),原来\(B\)位置上就变成了\(A\),这样就构成了方程组,解之即得。

    • 5、利用奇偶性求解析式

    备注:近年高考的热点

    例5【2017全国卷2,文科第14题高考真题】已知函数\(f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数,\(x <0\)时,\(f(x)=2x^3+x^2\),求\(f(2)\)的值;

    法1:当\(x >0\)时,\(-x <0\)\(f(-x)=-2x^3+x^2\),又函数是奇函数,

    \(f(x)=-f(-x)=2x^3-x^2\)

    即$ x >0\(时的解析式\)f(x)=2x^3-x^2$;

    \(f(2)=12\)

    法2:求\(f(2)\)的值还可以这样做,不求解析式,利用奇偶性求值。

    \(f(-2)=-12\)\(f(2)=-f(-2)=12\)

    例5-1已知\(f(x)\)\(g(x)\)分别是定义在\(R\)上的奇函数和偶函数,\(f(x)-g(x)=x^3+x^2+1\),求\(f(x)\)\(g(x)\)的解析式。

    分析:由题目可知,奇函数满足\(f(x)+f(-x)=0\),偶函数满足\(g(x)=g(-x)\)

    又题目已知\(f(x)-g(x)=x^3+x^2+1\)①,

    则有\(f(-x)-g(-x)=-x^3+x^2+1\)②,

    两式相加得到,\([f(x)+f(-x)]-[g(x)+g(-x)]=2(x^2+1)\)

    \(-2g(x)=2(x^2+1)\),则\(g(x)=-x^2-1\)

    代入①式得到,\(f(x)=x^3\)

    故所求解析式\(f(x)=x^3\)\(g(x)=-x^2-1\)

    • 6、利用对称性求解析式

    备注:近年高考的热点

    例6【函数中心对称】已知定义在R上的函数\(f(x)\)满足\(f(1-x)+f(1+x)=2\),且当\(x>1\)时,\(f(x)=\cfrac{x}{e^{x-2}}\),则曲线\(y=f(x)\)\(x=0\)处的切线方程是_____。

    法1:利用函数的对称性,先求\(x<1\)时的函数解析式。

    由于\(f(1-x)+f(1+x)=2\),则有\(f(x)+f(2-x)=2\)

    \(f(x)=2-f(2-x)\)

    又当\(x<1\)时,\(2-x>1\)

    \(x<1\)时的解析式为

    \(f(x)=2-f(2-x)=2-\cfrac{2-x}{e^{2-x-2}}=2-\cfrac{2-x}{e^{-x}}\)

    图像演示

    \(f'(x)=-\cfrac{-1\cdot e^{-x}-(2-x)\cdot(-e^{-x})}{(e^{-x})^2}=-\cfrac{1-x}{e^{-x}}\)

    \(f'(0)=-1\),又\(f(0)=0\),即切点为\((0 ,0)\)

    由点斜式可得切线方程为:\(y=-x\)

    法2:由\(f(1-x)+f(1+x)=2\),得到函数\(f(x)\)关于点\((1,1)\)中心对称;

    \(x=1\),得到\(f(0)+f(2)=2\)

    又函数\(f(x)\)关于点\((1,1)\)中心对称;

    \(f'(0)=f'(2)\)

    \(f'(0)=f'(2)=f'(x)_{|x=2}=-1\)

    \(f(0)=2-f(2)=0\),即切点为\((0 ,0)\)

    由点斜式可得切线方程为:\(y=-x\)

    例6-2【函数轴对称】已知定义在R上的函数\(f(x)\)满足\(f(x)=f(2-x)\),且当\(x\ge 1\)时,\(f(x)=(x-1)^2\),求函数\(f(x)\)的解析式;

    分析:当\(x<1\)时,\(2-x>1\),故有\(f(2-x)=(2-x-1)^2=(x-1)^2\)

    \(f(x)=f(2-x)=(x-1)^2\)

    \(x<1\)时,\(f(x)=(x-1)^2\)

    综上,\(f(x)=(x-1)^2(x\in R)\)

    例6-3【两个函数关于某点的对称】已知函数\(f(x)\)的图像与函数\(h(x)=x+\cfrac{1}{x}+2\)的图像关于点\(A(1,0)\)对称,求\(f(x)\)的解析式;

    分析:设\(f(x)\)图像上任一点\(P(x,y)\)

    则点\(P\)关于\((0,1)\)点的对称点\(P'(-x,2-y)\)必在\(h(x)\)的图像上,

    \(2-y=-x-\cfrac{1}{x}+2\)

    即所求解析式为\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}(x\neq 0)\)

    • 7、利用周期性求解析式

    备注:冷门

    例7函数\(f(x)\)的周期为2,\(0< x <2\)时,\(f(x)=x^2\),求\(2< x <4\)时的解析式\(f(x)\).

    分析:当\(2< x <4\)时,\(0< x-2<2\)

    \(f(x-2)=(x-2)^2\)

    又由于\(f(x)=f(x-2)\),则\(f(x)=(x-2)^2\)

    \(2< x <4\)时的解析式\(f(x)=(x-2)^2\)

    • 8、利用赋值法求解析式

    备注:冷门

    例8已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)满足条件\(f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)\),且\(f(0)=1\),求\(f(x)\)的解析式;

    分析:令\(y=x\),代入原式得到\(f(x-x)=f(x)-x(2x-x+1)\)

    \(f(x)-x(x+1)-f(0)=0\)

    \(f(x)=x^2+x+1\)

    例8-1已知函数\(f(x)=1+f(\cfrac{1}{2})\cdot log_2x\),求函数\(f(x)\)的解析式及\(f(2)\)的值。

    分析:令\(x=\cfrac{1}{2}\),则\(f(\cfrac{1}{2})=1+f(\cfrac{1}{2})\cdot log_2\cfrac{1}{2}\)

    \(f(\cfrac{1}{2})=1-f(\cfrac{1}{2})\),解得\(f(\cfrac{1}{2})=\cfrac{1}{2}\)

    故所求解析式为\(f(x)=1+\cfrac{1}{2}log_2x\)

    \(f(2)=1+\cfrac{1}{2}=\cfrac{3}{2}\)

    • 9、定义域优先原则也适用求解析式

    例9已知函数\(f(x)\)满足\(f(\cfrac{2}{x+|x|})=log_2 {\sqrt{x|x|}}\),求函数解析式\(f(x)\)

    分析:本题目主要考察对题目隐含条件的挖掘能力,本题目乍一看似乎很生猛,

    但是如果有定义域优先的意识,注意到右端真数位置的\(\sqrt{x|x|}\)

    应该知道定义域\(x\in(0,+\infty)\),这样所给的解析式就能很快化简了。

    \(f(\cfrac{2}{x+|x|})=f(\cfrac{2}{2x})=f(\cfrac{1}{x})=log_2 {\sqrt{x|x|}}=log_2 x\)

    \(f(\cfrac{1}{x})=log_2 x(x>0)\),做代换令\(\cfrac{1}{x}=t(t>0)\)

    \(f(t)=log_2 \cfrac{1}{t}=-log_2 t(t>0)\)

    故所求的\(f(x)=-log _2 x (x>0)\)

    • 10、实际问题中求解析式(勿忘定义域)

    例10 如图,曲边三角形中,线段\(OP\)是直线\(y=2x\)的一部分,曲线段\(PQ\)是抛物线\(y=-x^2+4\)的一部分.矩形\(ABCD\)的顶点分别在线段\(OP\),曲线段\(PQ\)\(y\)轴上.设点\(A(x,y)\),记矩形\(ABCD\)的面积为\(f(x)\)
    992978-20180715063641538-14382655.png

    (Ⅰ)求函数\(f(x)\)的解析式并指明定义域;

    分析:(Ⅰ)结合两点距离公式和面积公式写出面积解析式;

    解答:(Ⅰ)由题可知,点\(A(x,2x)(x>0)\),点\(B(x,-x^2+4)\)

    \(|AD|=x\)\(|AB|=-x^2-2x+4\)

    则可知矩形\(ABCD\)的面积为\(f(x)=|AD|\cdot |AB|=x\cdot (-x^2-2x+4)=-x^3-2x^2+4x\)

    \(2x=-x^2+4\),解得\(x=\pm\sqrt{5}-1\),舍去负值,即\(x=\sqrt{5}-1\),即定义域为\(0< x <\sqrt{5}-1\)

    故函数\(f(x)\)的解析式为\(f(x)=-x^3-2x^2+4x(0< x <\sqrt{5}-1)\)

    特殊方法

    例1 定义在\((0,+\infty)\)上的单调函数\(f(x)\)\(\forall x\in(0,+\infty)\)\(f[f(x)-2lnx]=1\),则方程\(f(x)-f'(x)=1\)的解所在的区间是()。

    \(A.(0,\cfrac{1}{2})\) \(\hspace{3cm}\) \(B.(\cfrac{1}{2},1)\) \(\hspace{3cm}\) \(C.(1,2)\) \(\hspace{3cm}\) \(D.(2,4)\)

    分析:令内层函数\(f(x)-2lnx=t\),则\(f(t)=1\)\(f(x)=t+2lnx\)

    又由已知得到\(f(t)=t+2lnt\),故有\(t+2lnt=1\)

    观察得到\(t=1\),即得到函数的解析式\(f(x)=2lnx+1\)

    \(f'(x)=\cfrac{2}{x}\),故所求方程为\(2lnx+1-\cfrac{2}{x}=1\)

    \(2lnx-\cfrac{2}{x}=0\); 令\(g(x)=2lnx-\cfrac{2}{x}\)

    \(g(1)=2ln1-2<0,g(2)=2lnx-1>0\),故有解区间为 \(C.(1,2)\) .

    例2已知函数\(f(x)\)的定义域为\(R\),且对于任意实数\(x\),都满足\(f[f(x)-e^x]=e+1\),求\(f(ln2)\)的值。

    分析:本题实质是求抽象复合函数的解析式,令内函数\(f(x)-e^x=t\)

    则有\(f(x)=e^x+t\),又由题目可知,\(f(t)=e+1\),故有\(f(t)=e^t+t\)

    \(e^t+t=e+1\),观察可知\(t=1\),即有\(f(x)-e^x=1\)

    \(f(x)=e^x+1\),所以\(f(ln2)=e^{ln2}+1=3\)

    例3设函数\(f(x)\)\((0,+\infty)\)内可导,且\(f(e^x)=x+e^x\),则\(f'(1)\)=________

    法1:换元法,令\(e^x=t\),则\(x=lnt\),由已知可知\(f(t)=lnt+t\)

    \(f(x)=lnx+x\),故\(f'(x)=\cfrac{1}{x}+1\)

    \(x=1\),得到\(f'(1)=2\).

    法2:复合函数求导法,由\(f(e^x)=x+e^x\)

    两边对\(x\)求导,得到\(f'(e^x)\cdot e^x=1+e^x\)

    \(f'(e^x)=\cfrac{1}{e^x}+1\),令\(e^x=1\)

    \(x=0\),代入得到\(f'(1)=\cfrac{1}{1}+1=2\).

    例4(利用导数求函数的解析式1)
    已知函数\(f(x)=x^2+2f'(2)\cdot x+1\),求函数的解析式\(f(x)\).

    分析:给原式两边同时求导,可得\(f'(x)=2x+2f'(2)\)

    再令\(x=2\)得到\(f'(2)=4+2f'(2)\)

    解得\(f'(2)=-4\),可知\(f(x)=x^2-8x+1\)

    例4-1(利用导数求函数的解析式2)
    设函数\(f(x)=ax-\cfrac{b}{x}\),曲线\(y=f(x)\)在点\((2,f(2))\)处的切线方程为\(7x-4y-12=0\)
    (1)求\(f(x)\)的解析式;
    分析:方程\(7x-4y-12=0\)可化为\(y=\cfrac{7}{4}x-3\)

    \(x=2\)时,\(y=12\).

    \(f′(x)=a+\cfrac{b}{x^2}\),于是\(2a-\cfrac{b}{2}=12\)

    \(a+\cfrac{b}{4}=\cfrac{7}{4}\)

    解得\(a=1,b=3\)

    \(f(x)=x-\cfrac{3}{x}\)

    例5【特殊方法求解析式】【2018宝鸡市三检文科数学第12题】

    已知函数\(f(x)\)在定义域\((0,+\infty)\)上是单调函数,若对于任意\(x\in(0,+\infty)\)都有\(f(f(x)-\cfrac{1}{x})=2\),则函数\(f(x)\)的解析式为【】

    A、\(f(x)=x\;\;\;\;\;\) B、\(f(x)=\cfrac{1}{x}\;\;\;\;\;\) C、\(f(x)=x+1\;\;\;\;\;\) D、\(f(x)=\cfrac{1}{x}\;\;\;\;\;\)

    分析:令自变量位置的整体\(f(x)-\cfrac{1}{x}=t\),则\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\),且有\(f(t)=2\)

    又令\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)中的\(x=t\),得到\(f(t)=t+\cfrac{1}{t}\),结合\(f(t)=2\)

    得到\(t+\cfrac{1}{t}=2\),又定义域是\((0,+\infty)\),解得\(t=1\)

    故代入\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)得到解析式为\(f(x)=\cfrac{1}{x}+1\)

    例6(利用定积分求函数的解析式)(定积分的结果实质上是个实数)(2014江西卷)

    \(f(x)=x^2+2\int_{0}^{1}f(x)dx\),则\(\int_{0}^{1}f(x)dx\)的值为多少?并求\(f(x)\)的解析式。
    分析:注意到表达式\(\int_{0}^{1}f(x)dx\)应该是个实数,故两边同时取定积分得到

    \(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\int_{0}^{1}x^2\;dx+\int_{0}^{1}[2\int_{0}^{1}f(x)dx]dx\)

    即就是\(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\int_{0}^{1}x^2\;dx+[2\int_{0}^{1}f(x)dx]\cdot\int_{0}^{1}1\cdot dx\)

    \(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\cfrac{x^3}{3}|_0^1+[2\int_{0}^{1}f(x)dx]\cdot x|_0^1\)

    \(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=\cfrac{1}{3}+2\int_{0}^{1}f(x)dx\)

    \(\int_{0}^{1}f(x)\;dx=-\cfrac{1}{3}\).

    \(f(x)=x^2-\cfrac{2}{3}\)

    例7【2018豫东豫北十所名校联考】根据如下样本数据:

    \(x\)34567
    \(y\)\(4.0\)\(a-5.4\)\(-0.5\)\(0.5\)\(b-0.6\)

    得到的回归直线方程为\(\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}\),若样本点的中心为\((5,0.9)\),则当\(x\)每增加1个单位,\(y\)就【】

    \(A.\)增加1.4个单位; \(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\) \(B.\)减少1.4个单位;

    \(C\)增加7.9个单位; \(\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\) \(D.\)减少7.9个单位;

    分析:由题意可知,\(\cfrac{a+b-2}{5}=0.9\),即\(a+b=6.5\)①,

    有样本中心点为\((5,0.9)\)在回归直线上,则\(0.9=5b+a\)②,

    联立①②,解得\(b=-1.4\)\(a=7.9\)

    则回归直线方程为\(\hat{y}=-1.4x+7.9\)

    故可知则当\(x\)每增加1个单位,\(y\)就减少1.4个单位;故选\(B\)

    例8-补遗[2018中考数学]已知反比例函数过点\((m,m)\)和点(2m,-1),求其解析式。

    分析:设反比例函数的解析式为\(y=\cfrac{k}{x}(k\neq 0)\),则由反比例函数过点\((m,m)\)和点(2m,-1),可知

    \(k=m^2=-2m\),解得\(m=0(舍去)\)\(m=-2\),即\(k=m^2=4\),故反比例函数解析式为\(y=\cfrac{4}{x}\)

    高阶考查

    例1【利用同一法求得解析式】【2018内蒙古赤峰一模】

    已知定义在\(R\)上的函数\(f(x)\)的导函数为\(f'(x)\),且\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\),若\(f(0)=0\),则函数\(f(x)\)的单调递减区间为【】

    $A(-\infty,\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2},+\infty)$ $B(\cfrac{3-\sqrt{5}}{2},\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})$
    $C(-\infty,3-\sqrt{5})\cup(3+\sqrt{5},+\infty)$ $D(3-\sqrt{5},3+\sqrt{5})$

    分析:由\(f(x)+f'(x)=\cfrac{2x-1}{e^x}\),得到\(e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\)

    \(g(x)=e^x\cdot f(x)\),则\(g'(x)=e^x\cdot f(x)+e^x\cdot f'(x)=2x-1\),则\(g(x)=x^2-x+C\)

    由于\(f(0)=0\),则\(g(0)=e^0\cdot f(0)=0\),则\(g(x)=x^2-x\)

    这样从两个不同的角度得到了同一个函数\(g(x)\),则\(g(x)=x^2-x=e^x\cdot f(x)\),解得\(f(x)=\cfrac{x^2-x}{e^x}\)

    接下来用导数的方法,求函数\(f(x)\)的单调区间即可,\(f'(x)=\cdots=\cfrac{-x^2+3x-1}{e^x}=-\cfrac{(x-\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})(x-\cfrac{3+\sqrt{5}}{2})}{e^x}\)

    故单调递减区间为\((-\infty,\cfrac{3-\sqrt{5}}{2})和(\cfrac{3+\sqrt{5}}{2},+\infty)\),故选\(A\)

    例2【2018届广东东莞模拟】已知函数\(f(x)\),任取两个不相等的正数\(x_1\)\(x_2\),总有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\),对于任意的\(x>0\),总有\(f[f(x)-lnx]=1\)。若\(g(x)=f'(x)+f(x)-m^2+m\)有两个不同的零点,则正实数\(m\)的取值范围是___________。

    分析:本题目的难点之一是利用代换法先求得函数\(f(x)\)的解析式;然后再求正实数\(m\)的取值范围。

    由于任意不等正数\(x_1\)\(x_2\),有\([f(x_1)-f(x_2)](x_1-x_2)>0\),则\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上单调递增,

    \(f(x)-lnx=t\),则\(f(t)=1\)①,又由于\(f(x)-lnx=t\),即\(f(x)=lnx+t\),令\(x=t\),则\(f(t)=lnt+t\)②,

    由①②可知,\(lnt+t=1\),即\(lnt=1-t\),观察可知,\(t=1\),即函数\(f(x)\)的解析式为\(f(x)=lnx+1\)

    接下来,用常规方法求正实数\(m\)的取值范围。

    由题目可知,\(g(x)=lnx+1+\cfrac{1}{x}-m^2+m\)有两个不同的零点,即方程\(lnx+1+\cfrac{1}{x}-m^2+m=0\)有两个不同的根,

    整体分离参数得到,\(m^2-m=lnx+1+\cfrac{1}{x}\),令\(h(x)=lnx+1+\cfrac{1}{x}\)

    \(h'(x)=\cfrac{x-1}{x^2}\),则\(x\in (0,1)\)时,\(h'(x)<0\)\(h(x)\)单调递减,\(x\in (1,+\infty)\)时,\(h'(x)>0\)\(h(x)\)单调递增,

    \(h(x)_{min}=h(1)=2\),要使得方程\(h(x)=m^2-m\)有两个不同的交点,则必须满足\(m^2-m>h(x)_{min}\)

    则题目转化为\(m^2-m>2\),解得\(m<-1\)\(m>2\),又由\(m>0\),可得\(m>2\)

    即正实数\(m\)的取值范围是\((2,+\infty)\).

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/6905157.html

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  • 幂函数习题

    2017-10-27 20:53:00
    教材上只要求掌握五种幂函数,其实我们应该利用他们总结出如下的图像的代表: 当\(\alpha<0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递减,凹函数; 当\(\alpha=0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\...

    前言

    图像绘制

    • 教材上只要求掌握五种幂函数,其实我们应该利用他们总结出如下的图像的代表:

    992978-20171027205029476-555045974.png

    \(\alpha<0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递减,凹函数;

    \(\alpha=0\)时,恒过点\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上无单调性,无凹凸性;

    \(0<\alpha<1\),恒过点\((0,0)\)\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,凸函数;

    \(\alpha=1\)时,恒过点\((0,0)\)\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,无凹凸性;

    \(\alpha>1\)时,恒过点\((0,0)\)\((1,1)\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,凹函数;

    • 比如函数\(y=x^{\frac{2}{3}}\),先画出\([0,+\infty)\)上的函数图像,再根据偶函数,画出\((-\infty,0]\)上的图像。

    • 比如函数\(y=x^{\frac{1}{3}}\),先画出\([0,+\infty)\)上的函数图像,再根据奇函数,画出\((-\infty,0]\)上的图像。

    • 比如函数\(y=x^{-\frac{1}{2}}\),先画出\((0,+\infty)\)上的函数图像,无奇偶性,故只有第一象限的图像。

    特别提示

    请注意以下说法的实质内容;

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像不经过原点,则\(\alpha\leq 0\)

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)\(x\)轴、\(y\)轴没有交点,则\(\alpha\leq 0\)

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像关于原点对称,则函数为奇函数;

    幂函数中的奇函数比如,\(y=x\)\(y=x^{-1}\)\(y=x^3\)\(y=x^{\cfrac{1}{3}}\)等等;

    • 幂函数\(y=x^{\alpha}\)图像关于\(y\)轴对称,则函数为偶函数;

    幂函数中的偶函数比如,\(y=x^0\)\(y=x^{-2}\)\(y=x^2\)\(y=x^{\cfrac{2}{3}}\)等等;

    典例剖析

    例1已知幂函数\(f(x)=x^{m^2-2m-3}(m\in N^*)\)的图像关于\(y\)轴对称,且在\((0,+\infty)\)上是减函数,则\(m\)的值是多少?

    分析:由于幂函数\(f(x)\)\((0,+\infty)\)上是减函数,则\(m^2-2m-3<0\)

    解得\(-1<m<3\),又\(m\in N^*\),所以\(m=1\)\(m=2\)

    又由于图像关于\(y\)轴对称,所以\(m^2-2m-3<0\)为偶数,

    \(m=2\)\(m^2-2m-3\)为奇数,舍去\(m=2\)

    \(m=1\)

    例2【数形结合比较大小】

    幂函数的图像经过点\((\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2})\),若\(0<a<b<1\),试比较\(f(a)、f(b)、f(1)、f(\cfrac{1}{a})、f(\cfrac{1}{b})\)的大小。

    分析:设幂函数解析式为\(y=x^{\alpha}\),由 幂函数的图像经过点\((\cfrac{1}{2},\cfrac{\sqrt{2}}{2})\)

    \((\cfrac{1}{2})^{\alpha}=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\),即\(2^{-\alpha}=2^{-\frac{1}{2}}\)

    \(\alpha=\cfrac{1}{2}\),故幂函数为\(y=x^{\frac{1}{2}}\)求函数的解析式

    则其在定义域\([0,+\infty)\)上单调递增。

    又由于\(0<a<b<1\),则可知\(\cfrac{1}{a}>\cfrac{1}{b}>1\)

    \(0<a<b<1<\cfrac{1}{b}<\cfrac{1}{a}\)

    故有\(f(a)<f(b)<f(1)<f(\cfrac{1}{b})<f(\cfrac{1}{a})\)

    例3【数形结合比较大小】

    \(a=(\cfrac{3}{5})^{\cfrac{2}{5}}\)\(b=(\cfrac{2}{5})^{\cfrac{3}{5}}\)\(c=(\cfrac{2}{5})^{\cfrac{2}{5}}\)

    试比较\(a、b、c\)的大小。

    分析:比较\(a、c\),利用幂函数\(y=x^{\cfrac{2}{5}}\),在\((0,+\infty)\)上单调递增,故\(a>c\)

    比较\(b、c\),利用指数函数\(y=(\cfrac{2}{5})^x\),在\((-\infty,+\infty)\)上单调递减,故\(c>b\)

    故有\(a>c>b\)

    例4【题组训练、思维拓展】

    \((2m+1)^{\cfrac{1}{2}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{2}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:由于上述不等式依托的函数是\(y=x^{\frac{1}{2}}\),在定义域\([0,+\infty)\)上单调递增,

    故有\(\left\{\begin{array}{l}{2m+1\ge 0①}\\{m^2+m-1\ge 0②}\\{2m+1>m^2+m-1③}\end{array}\right.\)

    解得\(\left\{\begin{array}{l}{m\ge -\cfrac{1}{2}①}\\{m\ge\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}或m\leq \cfrac{-\sqrt{5}-1}{2}②}\\{-1<m<2③}\end{array}\right.\)

    求交集得到,\(\cfrac{\sqrt{5}-1}{2}\leq m<2\)。故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例4-1【变式1】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{4}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{4}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例4-2【变式2】【无奇偶性】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{2n}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{2n}}(n\in N^{*})\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例4-3【变式3】【奇函数】若\((2m+1)^{\cfrac{1}{3}}>(m^2+m-1)^{\cfrac{1}{3}}\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:定义域为\((-\infty,+\infty)\),故只需要利用单调性,故\(-1<m<2\)

    例4-4【变式4】【抽象函数】若函数\(f(x)\)的定义域为\([0,+\infty)\),且满足对任意的\(x_1,x_2\in [0,+\infty)\),都有\(\cfrac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0(x_1\neq x_2)\),且满足\(f(2m+1)>f(m^2+m-1)\),求实数\(m\)的取值范围。

    分析:求解过程同上,故\(m\in [\cfrac{\sqrt{5}-1}{2},2)\)

    例5【数形结合比较大小】若\(f(x)=x^{\cfrac{2}{3}}-x^{\cfrac{1}{2}}\),则满足\(f(x)<0\)\(x\)的取值范围是_________。

    分析:借助两个幂函数的图像,求解不等式。\((0,1)\)

    图像

    例6【求解析式】已知函数\(f(x)=x^{2-m}\)是定义在区间\([-3-m,m^2-m]\)上的奇函数,求\(f(m)\)的值。

    分析:由题目可知,定义域关于原点对称,则\((-3-m)+(m^2-m)=0\)

    解得\(m=-1\)\(m=3\),但接下来必须逐个检验,

    原因:刚才借助的是奇偶函数共有的性质,定义域关于原点对称,不是奇函数特有的,

    \(m=-1\)时,函数\(f(x)=x^3\),奇函数,满足题意;

    \(m=3\)时,函数\(f(x)=x^{-1}\),奇函数,但是其定义域不包含\(0\),不会是区间\([-3-m,m^2-m]\)

    即区间\([-6,6]\),故不符合题意,舍去。

    故函数\(f(x)=x^3\)\(f(m)=f(-1)=(-1)^3=-1\)

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