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  • ① 、求二次函数解析式; ② 、求二次函数的值域或最值,考查和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用; ③ 利用幂函数的图像、性质解决有关问题。 (二)复习备考 ① 、理解二次函数三种解析式的特征及应用;...

    肖博数学
    高中数学中函数有着重要的的地位前面分享说过函数是高中数学枢纽章节,对于学好高中数学有着至关重要的,那么今天就来分享函数中的二次函数与幂函数的知识点!

    (一)高考考点:

    ① 、求二次函数解析式;
    ② 、求二次函数的值域或最值,考查和一元二次方程、一元二次不等式的综合应用;
    ③ 利用幂函数的图像、性质解决有关问题。

    (二)复习备考

    ① 、理解二次函数三种解析式的特征及应用;
    ② 、分析二次函数要抓住几个关键环节;开口方向、对称轴、顶点、函数的定义域;
    ③ 、充分应用数形结合思想把握二次函数的幂函数性质。

    (三)基础知识

    要点梳理
    二次函数
    幂函数

    基础自测
    幂函数
    幂函数

    (四)题型分类

    二次函数
    二次函数
    二次函数
    二次函数
    二次函数
    二次函数
    幂函数
    幂函数
    今天的高中数学函数的二次函数与幂函数的知识点就分享到这里了,需要高质量的解题技巧视频可以私聊老师,或者评论在下方老师看到会第一时间回复大家!

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  • 且看搞懂这三者的预备知识:第一、承上1、有理数指数及其运算性质2、二次根式及其性质3、反函数第二、启下 强调:指对的学习,坚持从:定义-解析式-图像-性质,这条主线学习; 首先:定义概念的学习首当其冲,搞...

    幂指对,what?什么鬼?幂函数,指数函数,对数函数是也!

    高中数学函数的基础,三大基本初等函数而已,记住仅是而已!且看搞懂这三者的预备知识:

    第一、承上

    1、有理数指数幂及其运算性质

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    2、二次根式及其性质

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    3、反函数

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    第二、启下

    强调:幂指对的学习,坚持从:定义-解析式-图像-性质,这条主线学习;

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    首先:定义概念的学习首当其冲,搞清楚这三大函数的定义是核心要义。

    如上图所示:知识梳理,学法指导,总结升华一个都不能少。

    知识梳理:

    1、强调定义:弄清楚指数函数和幂函数的形式差异,理清楚指数函数和对数函数的关系;这里面幂函数的形式和指数函数的形式极容易搞混,指数函数和对数函数底数相同的情况下互为反函数,所以学习的时候多加关注。

    2、图像特征:

    (1)幂函数:当幂指数取值不同的的时候,对应函数的定义域,图像,奇偶性,单调性也有所不同,只要掌握五大基础幂函数,就可以对幂函数有一个较为透彻的理解和掌握。

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    201c28470bbd8f3c330c28221ab3f734.png(2)指对数函数:

    指数函数和对数函数的图像相对较为简洁,对底数a进行分类讨论,区分a>1,0

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    3、运算性质:

    (1)指数幂运算性质:

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    (2)对数及对数运算性质:

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    学法指导:

    PS:再次强调:幂指对的学习,坚持从:定义-解析式-图像-性质,这条主线学习;

    1、化简求值:了解定义,明晓解析式,掌握函数图像和性质,能够对指数幂,对数式进行运算化简,能达到真数的积、商、幂、方根和对数的和、差、积、商灵活换算。

    2、归纳转化思想的应用:比较大小、求值、解不等式、求函数定义域、值域、判断幂指对函数复合而成的复合函数、组合函数的单调性,含参数问题的分类讨论等等需要化繁为简,模块化,格式化。

    3、数形结合思想的融入解题过程之中,优化函数问题的解题策略。

    总结升华:

    1、学习误区:

    忽视幂指对函数的底数的取值范围,常把反比例函数误认为单调函数。

    2、抽象函数与幂指对函数的图形性质的抽象融合:

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    根据抽象函数特征性质判断和具体函数的联系,可以使选择填空题大大简化。

    综合以上的分析,就幂指对函数的学习,你做好面对的心理准备了吗?你可能会说,文章读完,基本上算是学完了一遍,还用准备吗?大黄告诉你,依然需要,学习和实战是两个不同的领域,实战中你会领略到幂指对的精彩之处。加油!

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  • (5)若级数由函数解析式给出,利用函数展开为级数和展开式的唯一性求解.典型例题1.求级数的和函数及其极值.「分析」先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1.求出和函数后,再按通常方法求极值...

    1.幂级数和函数的求法

    解题思路如下:

    (1)

    (2)

    (3)由已知幂级数建立关于和函数的微分方程求解;

    (4)利用幂级数下标变换求和函数;

    (5)若幂级数由函数解析式给出,利用函数展开为幂级数和展开式的唯一性求解.

    典型例题

    1.求幂级数的和函数及其极值.

    「分析」先通过逐项求导后求和,再积分即可得和函数,注意当x=0时和为1.求出和函数后,再按通常方法求极值.

    「解析」

    上式两边从0到积分,得

    ,求得唯一驻点.

    由于

    可见处取得极大值,且极大值为

    「注意」求和函数一般都是先通过逐项求导、逐项积分等转化为可直接求和的几何级数情形,然后再通过逐项积分、逐项求导等逆运算最终确定和函数.

    2.设数列满足,,证明在时,级数收敛,并求其和函数.

    「解析」是正项严格单增数列,且有,.

    ,则 .于是

    收敛,由比较法知,即绝对收敛.

    移项得

    2.将函数展开为幂级数

    需要记住常见函数的幂级数展开式:

    典型例题

    1.设

    展开成的幂级数,并求.

    「分析」直接展开有困难,但是很容易展开,可以先展开其导数再逐项积分得到的展开式,然后再约去因子,再乘上化简即可.同时要注意记住常见函数的幂级数展开式.

    「解析」两端取积分得到:

    又此级数在时均收敛,且处连续,所以在终点处均成立,有收敛域

    两边同乘,得又当,上式满足,因此:,则有

    因此

    2.将函数展开成的幂级数.

    「解析」用分解法转化为求的展开式,而这是已知的.

    由于

    因此

    3.将函数展开成的幂级数.

    「解析」对函数做分解,可得

    有收敛域为

    根据的Taylor展开式

    所以有

    往期回顾

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    13. 在家学|幂级数的收敛半径, 收敛区间, 收敛域

    - END -

    资料来源:北洋数学研究社·学研部

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  • 0. 引言 (1) $f$ 在 $|z|<R$ 内解析 $\dps{\ra f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ (Taylor 级数). (2) $f$ 在 $r<|z|<R\ (0\leq r<R\leq\infty)$ 内解析 $\dps{\ra f(z)=?...1. 双边级数 (1) ...

    0.  引言

    (1)  $f$ 在 $|z|<R$ 内解析 $\dps{\ra f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_nz^n}$ (Taylor 级数).

    (2)  $f$ 在 $r<|z|<R\ (0\leq r<R\leq\infty)$ 内解析 $\dps{\ra f(z)=?}$ (Laurent 级数).

     

    1.  双边幂级数

    (1)  定义 $$\bee\label{15_bs} \bea &\quad c_0+c_1z+c_2z^2+\cdots\quad(n\to+\infty)\\ &\quad+\cfrac{c_{-1}}{z}+\cfrac{c_{-2}}{z^2}+\cdots\quad(n\to-\infty)\\ &=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_nz^n \eea \eee$$

    (2)  收敛域 (不包括边界) - 圆环 $H:r<|z|<R$.

    (3)  $\dps{\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_nz^n}$ 在 $H$ 内绝对、内闭一致收敛; 而和函数 $f(z)$ 在 $H$ 内解析, 可逐项求导, 逐项积分.

     

    2.  解析函数的 Laurent 展式

    (1)  Laurent 定理: 设 $f$ 在 $H:\ r<|z-a|<R$ ($0\leq r<R\leq\infty$) 内解析, 则 $$\bee\label{15_Lau} f(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(z-a)^n, \eee$$ 其中 $$\bee\label{15_Lau_Coef} c_n=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{|\zeta-a|=\rho}\cfrac{f(\zeta)}{(\zeta-a)^{n+1}}\rd \zeta\quad(n\in\bbZ,\ r<\rho<R). \eee$$

    a.  \eqref{15_Lau} (右端) 称为 $f$ 在 $a$ 处的 Laurent 展式 (Laurent 级数), \eqref{15_Lau_Coef} 称为其 Laurent 系数.

    b.  证明: $$\beex \bea f(z)&=\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa_2}\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta -\cfrac{1}{2\pi i}\int_{\vGa_1}\cfrac{f(\zeta)}{\zeta-z}\rd \zeta\\ &\quad\sex{\vGa_i:\ |\zeta-a|=\rho_i,\ r<\rho_1<|z-a|<\rho_2<R}\\ &\equiv I_1-I_2;\\ I_1&=\cdots\cdots,\\ I_2&=\cdots\cdots.  \eea \eeex$$

    c.  例: 分别在 (i) $|z|<1$, (ii) $1<|z|<2$, (iii) $|z|>2$; (iv) $0<|z-1|<1$, (v) $1<|z-1|<\infty$; (vi) $0<|z-2|<1$, (vii) $1<|z-2|<\infty$ 内求 $f(z)=\cfrac{1}{(z-1)(z-2)^2}$ 的 Laurent 级数.

     

    3.  解析函数的孤立奇点

    (1)  定义: 设 $f$ 在 $a$ 处不可微, 但在 $a$ 的一个去心邻域内可微, 则称 $a$ 为 $f$ 的孤立奇点.

    (2)  $f$ 在孤立奇点的去心邻域内可展成 Laurent 级数.

    (3)  例: $\dps{\cfrac{\sin z}{z},\ e^z+e^\frac{1}{z},\ \sin\cfrac{z}{z-1}}$.

     

    作业: P 213 T 1 (1) . 

    转载于:https://www.cnblogs.com/zhangzujin/p/3667979.html

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幂函数解析式