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  • 幂函数的位运算解法

    2019-02-22 13:57:07
    以我们常用的2的、3的、4的幂解法作为例子 1. 2的幂解法 问题: 判断一个数是否是2的 解法一: 常规解法 bool isPowerOfTwo(int n) { if (n <= 0) return false; int ans = 0; while (n != 0) { ...

    以我们常用的2的幂、3的幂、4的幂解法作为例子

    1. 2的幂解法

    问题: 判断一个数是否是2的幂

    解法一: 常规解法
    bool isPowerOfTwo(int n) {
    	if (n <= 0) return false;
    	int ans = 0;
    	while (n != 0) {
    	    if (n&1) ans++;
    	    n >>= 1;
    	}
    	if (ans > 1) return false;
    	return true;
    }
    
    优化:
    bool isPowerOfTwo(int n) {
    	if (n <= 0) return false;
    	while (n&1 == 0) {//也可以换成n%2 == 0
    	    n >>= 1;
    	}
    	return n== 1;
    }
    
    
    解法二:利用数的二进制解法 (一般都是用在2的幂)

    如果n为2的幂,那么n一定是10000000 之类的 而n-1 就是 01111111 那么n&(n-1) == 0 一定成立 否者n就不是2的幂

    bool isPowerOfTwo(int n) {
    	if (n <= 0) return false;
    	return n&(n-1) == 0; 
    	//如果n为2的幂,那么n一定是10000000 之类的 而n-1 就是 01111111  那么n&(n-1) == 0 
    	//一定成立  否者n就不是2的幂
    }
    
    解法三:对数函数解法

    如果n是2的幂 那么 log2(n) == (int)log2(n) [或者使用 是绝对值之差小于1e-6] 或者是 2^( log2(n) ) == n 也是一样的
    hint:注意精度

    1. 3的幂解法

    解法一: 常规解法 (省略)
    解法二:利用数的二进制解法 (3就不好用二进制解法了)

    特殊解法:

    3的幂次的质因子只有3,而所给出的n如果也是3的幂次,故而题目中所给整数范围内最大的3的幂次的因子只能是3的幂次,1162261467 (int范围内3的幂最大得数)是3的19次幂,是整数范围内最大的3的幂次

    public boolean isPowerOfThree(int n) {
      return n > 0 && 1162261467%n == 0;
    }
    
    解法三:对数函数解法
    //python写法
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
    	return n>0 and 3**round(math.log(n,3))==n
    }
    

    1. 4的幂解法

    解法一: 常规解法 (省略)
    解法二:利用数的二进制解法

    是4的幂就也一定是2的幂 所以 n&(n-1) == 0 {前提} 【最高位是1其他位置全是0】
    如果是4的幂那个1一定是在二进制的奇位上 0x55555555 就是int32位中奇位上全为1的值 n&0x55555555 != 0 那么n就是4的幂

    public boolean isPowerOfFour(int n) {
    	if (n <= 0 || n&(n-1) ) return false;
    	return n&0x55555555;
    }
    
    解法三:对数函数解法
    //python写法
    public boolean isPowerOfThree(int n) {
    	return n>0 and 4**round(math.log(n,4))==n
    }
    
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  • 实现 pow(x, n) ,即计算 x 的 n 次幂函数。 示例 1: 输入: 2.00000, 10 输出: 1024.00000 示例 2: 输入: 2.10000, 3 输出: 9.26100 示例 3: 输入: 2.00000, -2 输出: 0.25000 解释: 2^-2 = 1/(2^2) = 1/4 = 0.25 ...

    原题链接:https://leetcode-cn.com/problems/powx-n/

    实现 pow(x, n) ,即计算 x 的 n 次幂函数。

    示例 1:

    输入: 2.00000, 10
    输出: 1024.00000
    示例 2:

    输入: 2.10000, 3
    输出: 9.26100

    示例 3:

    输入: 2.00000, -2
    输出: 0.25000
    解释: 2^-2 = 1/(2^2) = 1/4 = 0.25

    说明:

    -100.0 < x < 100.0
    n 是 32 位有符号整数,其数值范围是 [−231, 231 − 1] 。
    

    递归解法

    class Solution {
    public:
        double myPow(double x, int n) {
            if (n == 0) { return 1; }
            if (n == 1) { return x; }
            if (n == -1) { return 1 / x; }
            double half = myPow(x, n / 2);
            double rest = myPow(x, n % 2);
            return rest * half * half;
        }
    };
    

    非递归解法

    class Solution {
    public:
        double myPow(double x, int n) {
            if (x == 0.0f) { return x; }
            long b = n ;
            double res = 1.0;
            if( b < 0 )
            {
                x = 1 / x;
                b = -b;
            }
            while(b > 0)
            {
                if((b & 1) == 1)
                    res *= x;
                x *= x;
    
                b >>= 1;
            }
            return res;
    
        }
    };
    
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  • 级数求和函数的类型与解法京电力高等专科学校学报No. 9.2010 教育研究 D级数求和函数的类型与解法邓俊兰 李 鑫(南阳师范学院数学与统计学院,河南 南阳 473061)要:级数求和函数是级数这一章的重点和难点。...

    幂级数求和函数的类型与解法

    京电力高等专科学校学报

    No. 9.2010 教育研究 D

    幂级数求和函数的类型与解法

    邓俊兰 李 鑫

    (南阳师范学院数学与统计学院,河南 南阳 473061)

    要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。

    关键词:幂级数;和函数;几何级数

    中图分类号:O 1-0 文献标识码:A 文章编号:1009-0 118(20 10)-09-0137-02

    幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的 因②、③可直接利用①的结论求得,下面仅给出①、④的

    和函数是一类难度较 、技巧性较强的问题,对于学生来说 求解过程。

    是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行 解①(法一)收敛域为(-1,1),对级数逐项积分再逐项求

    究探讨。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算 导:

    (恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常

    用级数,特别是几何级数(又叫等比级数) ),求出转化后

    则 (- 1< <1)。

    的幂级数和函数后,再利用上述运算的逆运算,求出待求幂

    (法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:

    级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常

    (- 1< <1)

    见类型,并给出了各种类型下的解法。

    一、类型一:通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 ④(法一)收敛域为(-1,1),在收敛域内对级数先逐项积

    函数 分两次,再逐项求导两次求之:

    计算幂级数的和函数,首先要牢记常用级数的和函数,

    在此基础上,借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换

    等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求

    则 (- 1< <1)

    和函数。其中,常用级数的和函数为: , ,

    , , . 所以 (- 1< <1)

    例 1 求 的和函数 。 (法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导

    解:容易求得收敛域为( ,+ ), 则和函数 定义域 数而求之:

    为( ,+ )。

    (- 1< <1)

    ,

    (三)结论: (-1< <1) (1)

    ( <

    (- 1< <1) (2)

    二、类型二:求 的和函数 ,其中 为 的多

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  • 级数和函数的几种常见解法*方艳1程航2【摘要】[摘要]无穷级数是微积分学的重要组成部分,在数学理论研究和工程实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数——级数问题的研究在大学...

    幂级数和函数的几种常见解法

    *

    1

    2

    【摘

    要】

    [

    摘要

    ]

    无穷级数是微积分学的重要组成部分,在数学理论研究和工程

    实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数—

    —幂级数问题的研究在大学数学教学中显得十分有意义,该文主要通过若干实

    例对幂级数和函数的求解思路进行总结,并给出具体的解题过程。

    【期刊名称】

    海峡科学

    【年

    (

    ),

    期】

    2018(000)002

    【总页数】

    2

    【关键词】

    [

    关键词

    ]

    幂级数

    和函数

    收敛半径

    本文首先给出幂级数与和函数的定义,然后通过列举实例总结其解题思路,并

    相应给出解答过程。需注意的是,本文探讨的解法适合于复数域。

    1

    幂级数的定义

    我们称函数项级数形如

    为幂级数。从定义可以看出,幂级数的和是关于的函数,表示为,若落在幂级

    数收敛域

    D

    内,则称为该幂级数的和函数,记作。如果,

    z

    a

    取实数,则对

    应的级数就是实幂级数,此时收敛域为收敛区间。目前,大部分微积分教材里

    的幂级数默认是实幂级数,而本文讨论的是基于复数的更广泛的幂级数。

    通常,在求解幂级数和函数时需要先求出收敛半径,进而求得收敛域,然后再

    求幂级数在收敛域上的和函数。由于收敛半径

    R

    易通过比值法()和根值法()

    求得,进而求得收敛域,所以以下例题中的幂级数默认为已经在其收敛域上收

    敛,不作具体求解,只针对幂级数和函数求解方法进行讨论。

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