鲁迪·拉克(Rudy Rucker)：数学家，计算机科学家，赛博朋客(cyberpank)先驱，科幻小说家，著有《穿梭于有序与无序的杂乱间》(Surfing the Gnarl)。

我们的世界和社会大部分，都是面向基于所谓的逆幂律而分布的，我对这样的经验事实尤为感兴趣，即许多分布曲线的形状都是曲线从中央峰值俯冲而下，沿着一条长长的尾巴渐渐地抱住水平轴的。

逆幂律至雅至简，深不可测，但离至臻至美还甚远。逆幂律能够自我组织与自我维持。基于尚未探明的原因，逆幂律自发地突现在平行计算的广泛范围中，同时出现在社会科学和自然科学中。

社会科学家中第一个留意到逆幂律的是语言学家乔治·金斯利·齐普夫(George King Sley Zipf)，他对如今被称为齐普夫定律的观察结果作出了阐释。他所陈述的事实是，在大多数文件中，一个词的使用频率与它的普及排名名次成反比。所以，出现频率位居第2的单词，其出现频率是频率最高单词的一半，而出现频率第10位的单词则是最高单词的1/10。

在社会中，类似的逆幂律支配了社会的报酬分配。比如，身为作家，我留意到名次为第100位畅销作家的销售书籍，是首位畅销作家的1/100。如果第1名作家出售了100万，像我这样的作者可能就卖一万本。

心怀不满的文人们有时会幻想乌托邦市场，其中自然产生的逆幂律分布会强行用线性分布来取代。也就是其销售明细会是平滑的斜线，而不是如现实中的逆幂律曲线那样，从一个很离谱的高峰俯冲而下，一瞬间就贴着水平轴缓慢而行。

但是没有明显的方式可以改变作家的销售曲线。让某些组织强行介入，使销售曲线产生不同的分布显然是行不通的，毕竟买什么书的选择权在读者手中。社会是一种平行计算的系统，某些方面是我们无法控制的。

逆幂律在收入分配方面特别让人寝食不安。因此社会中第二富有的人可能拥有最富有的人一半的财富，第10富有的人可能只有1/10，然后排在第1 000的人的财产就只有首富的千分之一。

同样的现象可以说得更加赤裸，某家公司的CEO可能年薪为一亿美元，同一家公司的软件工程师的年薪可能只会有十万美元，该公司海外组装工厂的工人年薪为一万美元，仅是最高主管收入的万分之一。

这种幂律分布也可以在周末首映电影票房收入、网页点击量、电视节目收视率中发现。是不是有某种原因，导致了排名靠前的人做得太好，而排名垫底的人似乎被极度不公平地惩罚？答案是否定的，没有任何真正的理由，不存在任何阴谋诡计扭曲了报酬。虽然这让人感到不舒服，但逆幂律的分布是系统行为的基本自然法则。它们无处不在。

逆幂律不仅不会被社会所局限，它还主宰着自然界的统计数据。面积排名第十的湖可能是最大湖面积的1/10；一片森林中体积排名第100的树可能是最大树的1/10，海滩上体积排名在第1 000的石头是最大石头的千分之一大小。

无论我们是否喜欢，逆幂律就如激流、熵或是万有引力定律那样无法规避。话虽如此，但在我们的社会中，我们多少能够缓和逆幂律的影响，如果说我们完全无法控制任何贫富之间的差距，也未免也太过于绝望了。

但逆幂律曲线的基本架构永远不会改变。我们要么接受我们必定会处在对逆幂律加以抱怨的状态下的这个事实；要么接受，或许这是将严苛的定律弯曲为不那么陡峭直冲而下这个现实。

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     作者：青十五

     来源：青十五

1、从LTV预估开始说起

上次职人社的文章，介绍了LTV的预估方法，这是许多业务UE模型和增长模型的起点： 

其中，用户生命周期又可以用累加的留存率来计算： 

不过，这里面使用的留存率却未必是实际发生的历史数据。

因为我们做决策时往往等不了那么长的时间，所以我们一般使用的是根据前面一小段时间的数据拟合出来的留存函数R(t)。

那留存函数应该怎样拟合呢？

2、留存函数拟合

许多文章或资料会推荐这么一个方法：

（1）把过去的次日、3日、7日、14日、30日等留存率记录在Excel中，画出来一个散点图；

（2）然后点击图上的数据点，右键选择“添加趋势线”，这时右方就会出现可以拟合的曲线类型（指数、线性、对数、多项式、乘幂、移动平均）；

（3）打开显示公式和R平方项，在这些曲线类型和公式中，选择R方最接近1的那个（一般是指数或乘幂），即为最终拟合得到的留存函数R(t)。

番茄小说2021.05新用户留存率，QuestMobile

选择R方最接近1，意味着找到了拟合程度最高的函数作为留存函数R(t)，接下来就可以回到LTV预估的主线去了。

不过这里有个小问题，却似乎鲜有人讨论过：

为什么是指数或乘幂这两个函数？如果拟合的结果是这两个函数中的一个，意味着什么？它俩最核心的差异和联系在哪？

3、两个函数的差异

这两个函数有什么差异呢？

如果光从函数本身看，指数函数和幂函数的核心差异在于衰减的速度。

指数函数的表达式为： 

幂函数的表达式为： 

根据表达式我们可以推导出，如果以3天为一个周期，对于指数函数来说，留存率每三天会以同样的速度衰减： 

而对于幂函数来说，留存率衰减的速度会逐渐放缓，下一个同比例衰减周期会拉长到6天，即上一个周期的两倍： 

我们总是希望留存率的衰减能够慢一些，所以相比之下，拟合成幂函数是更希望看到的结果。

4、艾宾浩斯遗忘曲线

那这两个函数有什么联系呢？

1885年，德国心理学家艾宾浩斯(H.Ebbinghaus)首次对人类的记忆进行了定量研究，他用无意义的音节作为记忆的材料，通过记录一段时间后被试人员对这些音节材料的记忆留存率，绘制出了这样一个曲线：

这个曲线也被称为艾宾浩斯遗忘曲线（或记忆曲线），可以看到通过对这个曲线进行拟合，得到的拟合度最高的是一个幂函数。

不过后续人们的研究表明，单一的遗忘曲线实际上应该是更接近指数函数的，结合前面提到的指数函数的性质，说明人类会以一个固定的周期等概率地遗忘大脑中的信息，是一个很符合大自然规律的现象。

而艾宾浩斯之所以拟合得到了幂函数，是由于最初的记忆实验，混杂了不同难度的记忆材料，这种混杂改变了遗忘曲线的指数性质。

下面的这个例子，可以解释这一现象：

图中黄色和紫色曲线，分别代表两种难度记忆材料的遗忘曲线，它们都是指数函数  ，其中k的大小不同，代表难度不同；

而黑色的散点，则为两个函数的平均值（或可泛化为线性组合），通过对这些散点进行拟合，会发现一个有趣的事实：

某些情况下，对两个指数函数线性组合后的曲线，拟合度更高的（即R方更大的），却不再是指数函数了，而是幂函数！

这个有意思的现象，各位有兴趣的话，可以自行验证一下。

5、遗忘曲线与留存曲线

关于遗忘曲线的结论，对我们理解留存曲线有什么帮助吗？

事实上我们早就发现，这两个曲线惊人地一致。

如果把拉新激活的动作视为最初始的记忆训练，那么在后续的时间里，如果没有再次激活，用户就会以一定的概率，自然而然地遗忘我们的App，表现就和遗忘曲线是一样的。

为了让用户回到我们的App，提升用户留存率，我们通过各种push召回它们，这也和关于记忆的研究中，定期复习的方法如出一辙。

同时，和混杂材料带来的遗忘曲线类似，绝大多数功能丰富的成熟应用，留存曲线都应该是衰减程度更慢的幂函数。

事实上也确实如此，包括前面提到的番茄小说例子在内，我从QuestMobile验证了其他一些常见App，以及手头有的一些内部数据，它们的留存曲线的确都是拟合成了幂函数：

番茄小说、知乎与陌陌2021.05新用户留存数据，QuestMobile

6、对数函数与其他LTV预估方法

最后再补充两个点。

在前面的趋势线拟合中，有一个对数函数可能会是迷惑选项。

对数函数的表达式是： 

随着t的增长，对数函数计算得到的结果很可能会小于0，而不是像指数函数和幂函数一样始终保持大于0的结果。

小于0的留存率是没有意义的，因此如果最优拟合的结果是对数函数，更可能的情况是巧合或者样本量太小，对数函数在这个场景下本身没有合理的物理意义。

不妨在指数函数或者幂函数中选择一个，他们的拟合度离最优拟合应该差不了多少。

而对于最开始提到的LTV预估公式： 

需要说明的是，这里面隐藏了一个假设：ARPU值恒定不变，是个常数

但在现实情况下，这样的假设往往会带来一些误差，因为随着留存时间增加，这部分用户的ARPU总是会随之有所变化。

一种调整的方法是对ARPU同样进行预估，将公式改造为： 

不过ARPU的变化规律可能很难找，或者压根就没有像留存曲线这样简单清晰的规律。

因此另一种调整方法是不做拆分，用更多样本数据和特征数据，整体地对用户贡献价值进行函数拟合预估： 

这样的方法需要足够多的样本，本身也更适合需要精细化的运营场景，这里就不再展开了。

参考资料：

[1] https://supermemo.guru/wiki/Exponential_nature_of_forgetting

[2] https://supermemo.guru/wiki/Forgetting_curve

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