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  • 离散型随机变量和连续型随机变量及其常见分布

    万次阅读 多人点赞 2018-09-24 15:11:04
    离散型随机变量及其分布率 若随机变量XXX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_nx1​,x2​,...,xn​或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...x1​,x2​,...,xn​,...,则称XXX为离散型随机变量...

    离散型随机变量及其分布率

    若随机变量XX只能取有限个数值x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n或可列无穷多个数值x1,x2,...,xn,...x_1,x_2,...,x_n,...,则称XX离散型随机变量

    要掌握一个离散型随机变量XX的统计规律,必须知道XX所有可能取的值以及每一个可能值的概率

    定义:设离散型随机变量XX所有可能的取值为xi(i=1,2,...)x_i(i=1,2,...)XX取各个可能值的概率,即事件{X=xi}\{X=x_i\}的概率为P{X=xi}=pii=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,...则称该式子为离散型随机变量XX的分布律。分布律也常用表格形式表示:

    X x1x_1 x2x_2 ...... xix_i ......
    pip_i p1p_1 p2p_2 ...... pip_i ......

    由于随机变量的分布函数可以完整地描述随机变量的统计规律,因此,由离散型随机变量的分布律可以推出分布函数,反之亦然。

    F(x)F(x)是离散型随机变量XX的分布函数,则XX的分布律P{X=xi}=pi0i=1,2,...P\{X=x_i\}=p_i \geq 0,i=1,2,...易得F(x)=P{Xx}=xixP{X=xi}=xixpiF(x)=P\{X \leq x\}=\sum_{x_i \leq x}P\{X=x_i\}=\sum_{x_i \leq x}p_i

    常见的离散型随机变量的概率分布

    1、两点分布 B(1,p)B(1, p)

    若随机变量的XX只能取x1x_1x2x_2,且它的分布律为P{X=x1}=p(0<p<1)P\{X=x_1\}=p,(0 < p < 1)P{X=x2}=1pP\{X=x_2\}=1-pP{X=xi}=(1p)1xipxii=1,2P\{X=x_i\}=(1-p)^{1-x_i}p^{x_i},i=1,2则称XX服从参数为pp的两点分布

    特别地,当x1=1x2=0x_1=1,x_2=0时两点分布也叫(01)(0-1)分布,记为X(0,1)X \thicksim (0,1)分布或XB(1,p)X \thicksim B(1,p)

    2、二项分布 B(n,p)B(n, p)

    若随机变量的XX分布律为P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n则称XX服从参数为np(0<p<1)n,p(0 < p < 1)的二项分布,记为B(n,p)B(n,p)

    这与nn重伯努利试验中事件AA发生kk次的概率计算公式一致Pn(k)=P{X=k}=Cnk(1p)nkpkk=0,1,2,...nP_n(k)=P\{X=k\}=C_n^k(1-p)^{n-k}p^k,k=0,1,2,...n可知,若XB(n,p)X \thicksim B(n, p)X=kX=k就可以用来表示nn重伯努利试验中事件AA恰好发生kk

    二项分布的近似计算

    ①泊松近似:
    泊松近似即泊松定理
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn很大(n40n\geqslant 40)且pp很小(p0.1p\leqslant 0.1)时,可以用泊松分布来近似拟合二项分布,有XP(k,np)X\sim P(k,np)Cnkpk(1p)nkλkk!eλC_{n}^{k}p^k(1-p)^{n-k} \approx\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}其中λ=np\lambda=np

    ②标准正太近似:
    XB(n,p)X\sim B(n,p),当nn充分大时,可以用标准正太分布来近似拟合二项分布,有XN(np,np(1p))X\sim N(np,np(1-p))P(a<X<b)Φ(bnpnp(1p))Φ(anpnp(1p))P(a < X < b)\approx \Phi(\frac{b-np}{\sqrt{np(1-p)}})-\Phi(\frac{a-np}{\sqrt{np(1-p)}})

    拓展
    多项式展开定理:(a+b)n=k=0nCnkakbnk(a+b)^n=\sum_{k=0}^n C_n^ka^kb^{n-k}

    幂级数展开定理:ex=n=0xnn!e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}

    3、泊松分布 P(k,λ)P(k,\lambda)

    泊松定理:设λ>0\lambda > 0是一常数,nn是正整数。若npn=λnp_n=\lambda,则对任一固定的非负整数kk有:limnCnk(1pn)nkpn=λkk!eλ\lim_{n \to \infty}C_n^k(1-p_n)^{n-k}p_n=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}

    若随机变量XX的分布律为P{X=k}=λkk!eλP\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}则称XX服从参数为λ\lambda的泊松分布,记为XP(λ)X \thicksim P(\lambda)XP(k;λ)X \thicksim P(k;\lambda)

    泊松分布的概率值为:P(k;λ)=P{X=k}=λkk!eλk=0,1,2,...P(k;\lambda) = P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},k=0,1,2,...

    连续型随机变量及其概率密度函数

    定义:设XX是随机变量,F(X)F(X)是它的分布函数,若存在一个非负可积函数f(x)f(x),使得对任意的xRx \in R,有:F(x)=P{X}F(x)=P\{X \}则称XX为连续型随机变量,其中f(x)f(x)称为XX的概率密度函数,简称概率密度或密度函数

    概率密度函数的性质

    1. 非负性:f(x)0,xRf(x) \geq 0,x \in R
    2. 规范性:+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1
    3. p{a<Xb}=F(b)F(a)=abf(x)dx,(ab)p\{a < X \leq b\} = F(b)-F(a)=\int_{a}^{b}f(x)dx,(a \leq b)
    4. f(x)f(x)xx处是连续的,则分布函数的导数等于概率密度函数,即:F(x)=f(x)F'(x)=f(x)
    5. XX是连续型随机变量,对aR\forall a \in R,有P{X=a}=0P\{X=a\}=0,即对于连续型随机变量,取得某一点的概率为0(注意这里的概率为0不代表不可能事件)

    常见的连续型随机变量的概率分布

    1、均匀分布 U[a,b]U[a,b]

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={1ba,axb0,otherwisef(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leqslant x \leqslant b\\ 0, & otherwise \end{cases}则称XX在区间[a,b][a,b]上服从均匀分布,记为XU[a,b]X\sim U[a,b]

    易知f(x)0f(x) \geqslant 0,并且+f(x)dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1

    均匀分布中XX的分布函数为F(x)={0,x<axaba,ax<b1,xbF(x) = \begin{cases} 0, & x < a\\ \frac{x-a}{b-a}, & a \leqslant x < b \\ 1, & x \geqslant b \end{cases}

    2、指数分布 E(λ)E(\lambda)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)={λeλx,x>00,x0f(x) = \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}其中λ>0\lambda > 0为常数

    则称随机变量XX服从参数为λ\lambda(失效率)的指数分布,记为XE(λ)X \sim E(\lambda)

    显然f(x)0f(x) \geqslant 0,且:+f(x)dx=0+λeλxdx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{0}^{+\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx = 1指数分布中XX的分布函数为:F(x)={1eλx,x>00,x0F(x) = \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x > 0\\ 0, & x \leqslant 0 \end{cases}

    3、正态分布 N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)

    若随机变量XX的概率密度函数为f(x)=12πσe(xμ2)2σ2,<x<+f(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}},-\infty < x < +\infty其中μ,σ(σ>0)\mu,\sigma(\sigma > 0)为常数,则称XX服从参数为μ,σ\mu,\sigma的正态分布或高斯分布,记为XN(μ,σ2)X \sim N(\mu,\sigma^2)

    显然 f(x)0f(x) \geqslant 0,且+f(x)dx=+12πσe(xμ2)2σ2dx=1\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2 \pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu^2)}{2\sigma^2}}dx = 1

    标准正态分布 N(0,1)N\sim (0,1):
    XN(μ,σ2),X\sim N(\mu,\sigma^2),则Y=Xμσ2N(0,1)Y=\frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}} \sim N(0, 1)标准正态分布的分布函数:Φ(x)=P(Xx)=12πxeu22du\Phi(x)=P(X \leqslant x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{u^2}{2}}du标准正态分布的概率密度函数:ϕ(x)=12πex22\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}标准正态分布的具体值可以通过查表得知:标准正态分布表

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  • 离散型随机变量和连续型随机变量

    千次阅读 2018-02-28 14:58:09
    实例 离散性随机变量: ...如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,比如,公共汽车每15分钟一班,某人在站台等车时间x是个随机变量,x的取值范围是
    实例

    离散性随机变量:

    • 比如,一次掷20个硬币,k个硬币正面朝上,
    • k是随机变量,
    • k的取值只能是自然数0,1,2,…,20,而不能取小数3.5、无理数√20,
    • 因而k是离散型随机变量

    连续型随机变量:

    • 如果变量可以在某个区间内取任一实数,即变量的取值可以是连续的,这随机变量就称为连续型随机变量,
    • 比如,公共汽车每15分钟一班,某人在站台等车时间x是个随机变量,
    • x的取值范围是[0,15),它是一个区间,从理论上说在这个区间内可取任一实数3.5、√20等,因而称这随机变量是连续型随机变量。
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  • 连续型随机变量及其概率密度

    千次阅读 2019-05-24 17:11:51
    f(t)为X的概率密度 注: 例题: 常见连续型随机变量的分布

    f(t)为X的概率密度

    注:

    例题:

     

    常见连续型随机变量的分布

     

     

     

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  • 1. 连续型随机变量的性质一——连续型随机变量的分布函数是连续函数 2.连续型随机变量的性质二——连续型随机变量在任意一点上的概率为零 连续型随机变量的性质三——概率为零的事件不一定是不可能事件 3...

     

    1.  连续型随机变量的性质一——连续型随机变量的分布函数是连续函数

     

    2. 连续型随机变量的性质二——连续型随机变量在任意一点上的概率为零

    连续型随机变量的性质三——概率为零的事件不一定是不可能事件

     

    3. 连续型随机变量的性质四——连续型随机变量概率密度函数的性质:非负性和规范性(概率密度曲线下的面积为1)

    连续型随机变量的性质五——计算概率时区间端点可有可无(开区间、闭区间、半开半闭区间均等价),因为连续型随机变量在任意一点上的概率为零

     

    4. 连续型随机变量的性质六——分布函数求导可得概率密度函数

     

    5. 概率密度函数求解示例

     

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    千次阅读 2017-08-29 15:05:52
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    千次阅读 2019-06-05 14:03:00
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