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  • 二、统计量及其分布 1. 统计量的概念 样本中,作为随机变量的每一个个体的,不含参数的,函数式。 eg: ξ1+ξ2 2. 常用统计量 ①. 样本均值: ②. 样本方差: ③. 修正样本方差: ④. 样本k阶原点矩: ⑤. 样本...

    1. 常用统计量

    什么是统计量:不含未知参数的样本的函数T(ξ1ξ2…ξn)。

    (1)样本均值

    在这里插入图片描述
    E(x拔) = E(x)
    D(x拔) = D(x)/n
    E(x拔2) = D(x)/n + E2(x)

    (2)样本方差

    在这里插入图片描述
    E(Sn2) = D(x)
    E(Sn2) = 可根据统计量的分布推导

    (3)修正样本方差

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    (4)样本k阶原点矩

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    (5)样本k阶中心距

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    2. 统计量的常见分布

    (1)卡方分布

    (2)F——分布

    (3)t——分布

    (4)正态总体下的分布

    前提:总体符合正态分布N(μ,σ2)。
    在这里插入图片描述

    注意,这是样本均值服从的正态分布,不是 ξi 服从的分布

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    可推导出D(Sn)

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    还有很多复杂的推论,等到需要时再补充。

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  • 机器学习是实现人工智能的重要技术之一。在学习机器学习的过程中,必须要掌握一些基础的数学与统计知识。在小白初学数理统计的过程中,好多人都对...接着介绍常见统计量及其分布;最后是总结归纳。前言概率论与统...

    机器学习是实现人工智能的重要技术之一。在学习机器学习的过程中,必须要掌握一些基础的数学与统计知识。在小白初学数理统计的过程中,好多人都对统计量及其分布搞不清楚,感觉在云里雾里,今天借此机会将关于统计量的知识做一个梳理,希望可以帮助到大家。本文的结构安排如下:首先是前言,介绍统计学与概率论之间的关系;然后介绍统计量的概念,并与参数进行对比;接着介绍常见的统计量及其分布;最后是总结归纳。

    前言

    概率论与统计学

    要明确概率论,掌握核心的一点即可——概率论研究的是不确定性(务必牢记)。通俗来讲,就是利用相关的信息,来计算相关特定事件发生的概率;而统计学(推断统计学)研究的是利用样本来推断总体,也就是通过局部来反应总体。之前的几篇文章涉及的是概率论相关的知识,这篇文章是关于统计学的,大家不要混淆了。

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    概率与统计

    统计量

    在介绍统计量之前,我们先明确以下总体、样本、变量的含义。

    举个简单的例子,以学校学生为研究对象,学校全体学生的人数就是总体,然后从中抽取100个做研究,那么这就是样本。变量是研究对象的特征,比如学生的年龄、身高。每一个学生的身高年龄是不一样的,所以叫做“变”量。

    那么统计量是什么?统计量就是对样本进行计算,而得出的关于样本的描述值。它可不是统计总体数据得到的量。再次强调,统计量是对样本进行计算的,而不是总体。也就是说,统计量是由样本数据计算出的统计指标,它是样本的函数,也没有参数

    与此同时自然而言地,我们会想,对总体进行计算所得出的描述值,我们叫做啥呢?我们叫做参数。一般来说,我们认为总体是无穷大的,所以参数很难求出来是未知的,但可以确定。但是统计量是已知的变化的。

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    框架图

    常见的统计量及其分布

    常见的统计量有样本均值、样本方差、样本标准差等,对统计量的分布叫做抽样分布。在这里做个说明,统计学中的样本是个随机变量,因为样本是从总体中按照一定规则随机抽取得到的,它具有随机性与独立性。

    样本均值

    样本均值即样本的平均数。

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    样本均值计算公式

    样本方差

    它用来衡量随机变量与期望之间的偏离程度。

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    样本方差计算公式

    样本标准差

    样本标准差就是样本方差的算术平方根。

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    样本标准差计算公式

    三大抽样分布

    统计学中三大重要的抽样分布分别是卡方分布、t分布、F分布。

    卡方分布

    如果随机变量X1.....Xn相互是独立的, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量χ2=X12+......+Xn2服从的分布为自由度为 n 的χ2分布,也叫做卡方分布。

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    卡方分布

    卡方分布的结论是它的均值为n,方差为2n;卡方分布能够帮助我们判别常规事件中的不正常现象。

    t分布

    如果X1服从标准正态分布N(0,1),X2服从自由度为n的χ2分布,且X1、X2相互独立,那么随机变量t=X1/(X2/n)1/2 次方服从的分布为自由度为n的t分布。

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    t分布

    t分布既可以适用于大样本,也可以适用于小样本。

    F分布

    如果X1服从自由度为m的χ2分布,X2服从自由度为n的χ2分布,且X1、X2相互独立,那么随机变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布,其中第一自由度为m,第二自由度为n。

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    F分布

    总结

    统计量是关于样本的统计指标,统计量的分布叫做抽样分布,常见的三大抽样分布有卡方分布、t分布、F分布。这三个分布可以用来做假设检验,详细的过程我们将会在后面进行分享,欢迎大家持续关注作者。

    欢迎大家在评论区交流!#科技新星创造营# #科技新星创作营##机器学习##人工智能##概率与统计#

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  • 常见统计量

    2015-04-08 09:58:30
    最小值. 数值变量的最小值。 最大值....数值变量的最大值。...总数....数值变量的最大值与最小值的差值就是用最大值...取自相同分布中随样本不同而变化的均值的值个数的度量值。 用于粗略将观测到的均值与假设值对比(即,

    最小值. 数值变量的最小值。

    最大值. 数值变量的最大值。

    总数. 所有具有缺失值的测量值的总和或合计。

    范围. 数值变量的最大值与最小值的差值就是用最大值减最小值后得出的值。

    平均值. 集中趋势的测量。 算术平均值,等于总和除以观测值数。

    均值标准误. 取自相同分布中随样本不同而变化的均值的值个数的度量值。 用于粗略将观测到的均值与假设值对比(即,如果差异与标准误的比率小于 -2 或大于 +2,则可以得出此均值与假设值不同的结论)。

    标准差. 均值离差的度量值,等于方差的平方根。 以和原始变量相同的单位度量标准差。

    方差. 平均值离散度的测量值,等于均值的平方差除以观测值数减一的差。 方差按单元计量,即变量自身单元数的平方。

    偏度. 分布的不对称度量值。 正态分布是对称的,且所含偏度值为 0。具有显著正偏态的分布具有向右延伸的长尾。 具有显著负偏态的分布具有向左延伸的长尾。 提示:取大于其标准误差两倍的偏度值指示离开对称的距离。

    偏度标准误. 偏态与其标准误的比率可用作正态检验(即,如果该比率小于 -2 或大于 -2,则可以拒绝正态)。 偏度正值越大表示长尾向右越长;负极值表示向左的长尾。

    峰度. 观测值聚类围绕中心点的程度的一种测度。 对于正态分布,峰度统计量的值为零。 正峰度表示观测值聚类较大并且具有比正态分布更长的尾部,负峰度表示观测值聚类较小并且具有较短的尾部。峰度标准误. 峰度与其标准误的比率可用作正态检验(即如果比率小于 -2 或大于 +2,则可以拒绝正态)。 峰度较大的正值表示该分布的尾部比正态分布的尾部长;峰度的负值表示较短的尾部(与箱形均匀分布的尾部变得相似)。

    唯一. 同步评估所有效应,同时为任意类型的所有其他效应调整每一个效应。

    有效的. 有效观测值既不包含系统缺失值,也不包含定义为用户缺失的值。

    中位数. 大于或小于中位数的观测值各占一半,即 50%。 如果有偶数个观测值,则中位数为它们以升序或降序排列时两个中间观测值的平均值。 中位数是集中趋势的一种测量,对离群值不敏感(与平均值不同,平均值会受部分极高或极低值的影响)。

    众数. 最频繁出现的值。 如果多个值共享最大出现频数,则每个值都是一种众数。

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  • 这个统计量需要与正态分布相比较,峰度为3表示该总体数据分布与正态分布的陡缓程度相同;峰度大于3表示该总体数据分布与正态分布相比较为陡峭,为尖顶峰;峰度小于3表示该总体数据分布与正态分布相比较为平坦,为平...


    2018年存在我手机里的这2张图片
    原文链接

    图片


    一些概念

    偏度

    皮尔逊偏度系数把偏度定义为
    μ~3=E[(Xμσ)3]=μ3σ3=E[(Xμ)3](E[(Xμ)2])3/2=κ3κ23/2 \tilde{\mu}_{3}=\mathrm{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{3}\right]=\frac{\mu_{3}}{\sigma^{3}}=\frac{\mathrm{E}\left[(X-\mu)^{3}\right]}{\left(\mathrm{E}\left[(X-\mu)^{2}\right]\right)^{3 / 2}}=\frac{\kappa_{3}}{\kappa_{2}^{3 / 2}}
    其中κi\kappa_i是累积量
    Skewness indicates the direction and relative magnitude of a distribution’s deviation from the normal distribution.

    中位数

    PDF曲线面积一半对应的位置

    众数

    PDF曲线最大值对应的位置

    峰度

    皮尔逊峰度系数把峰度定义为
    Kurt[X]=E[(Xμσ)4]=E[(Xμ)4](E[(Xμ)2])2=μ4σ4 \operatorname{Kurt}[X]=\mathrm{E}\left[\left(\frac{X-\mu}{\sigma}\right)^{4}\right]=\frac{\mathrm{E}\left[(X-\mu)^{4}\right]}{\left(\mathrm{E}\left[(X-\mu)^{2}\right]\right)^{2}}=\frac{\mu_{4}}{\sigma^{4}}
    峰度是描述总体中所有取值分布形态陡缓程度的统计量。 这个统计量需要与正态分布相比较,峰度为3表示该总体数据分布与正态分布的陡缓程度相同;峰度大于3表示该总体数据分布与正态分布相比较为陡峭,为尖顶峰;峰度小于3表示该总体数据分布与正态分布相比较为平坦,为平顶峰。

    信息熵

    连续分布 (应该叫做差熵)
    h(X)=p(x)log(p(x))dx h(X)=-\int\limits_{-\infty}^{\infty}p(x)\text{log}(p(x))dx
    离散分布
    H(X)=i[pi(x)log(pi(x))] H(X)=-\sum\limits_{i}[p_i(x)\text{log}(p_i(x))]

    展开全文
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  • 一、常见的概率分布表1.1 概率分布分类表连续随机变量分布连续统计量分布离散随机变量分布分布分布二项分布连续均匀分布非中心 分布离散均匀分布(Gamma)分布分布几何分布指数分布非中心 分布超几何分布正态分布分布...
  • 文章目录常见的连续型分布常见的连续型分布定理1.3.1次序统计量 常见的连续型分布 常见的连续型分布 均匀分布X∼U(θ1,θ2)X \sim U(\theta_1, \theta_2)X∼U(θ1​,θ2​) 指数分布X∼E(λ)X \sim E(\...
  • 常见分布:高斯分布 来源:中心极限定理 定义:大量独立的随机变量之和趋向于正态分布(高斯分布) 前提:样本之间相互独立 可以看出期望U代表了正态分布的偏移;方差代表了幅度 当U=1,方差为0就是标准的正态...
  • 本文对抽样分布的概念、无偏差和最小偏差等性质,以及中心极限定理和样本比例的抽样分布进行总结。2 抽样分布基本概念 ...常见的参数和样本统计量如下表所示。 总体参数样本统计量 均值μ\mux¯\bar{x} 中位数η\etam
  • 常见的概率分布(matlab作图)

    千次阅读 2013-04-30 21:09:58
    原文地址:常见的概率分布(matlab作图)作者:吴国强 ...连续统计量分布 离散随机变量分布 分布 分布 二项分布 连续均匀分布 非中心 分布 离散均匀分布
  • 本节书摘来自华章计算机《Excel数据...数理统计中的常见统计量 ● 比平均值更稳定的中位数和众数● 表示数据稳定性的标准差和变异系数● 概率统计中的正态分布和偏态分布● 应用在财务预算中的分析工具 2.1比平...
  • 连续统计量分布 离散随机变量分布 分布 分布 二项分布 连续均匀分布 非中心 分布 离散均匀分布 (Gamma)分布 分布 几何分布 指数分布 ...
  • 常见统计量: 样本均值 X‾=1n∑i=1nXi\overline X=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_iX=n1​∑i=1n​Xi​ 反映了总体均值的信息 对于正态总体X而言,E(X‾)=E(1n∑i=1nXi)=1nE(∑i=1nXi)=1n(∑i=1nEXi)=1n×n×μ=μE(\o...
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  • 文章目录使用plotnine库自带的mtcars汽车数据集plotnine绘图散点图+回归线分组分面(xkcd主题)描述性统计量其他描述性统计量统计学检验正态性检验两独立样本均值t检验两相关样本均值t检验两独立样本分布的秩和检验...
  • 最后应用幂级数分布族性质确定这些离散型分布的完备充分统计量分布形式、参数的一致最小方差无偏估计的方法以及随机变量的取值问题.得出结论:两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布和负二项分布常见离散型随机...
  • 常见分布与假设检验 ###随机变量 离散型随机变量和连续型随机变量 ###常见分布 离散型分布:二项分布、泊松分布、几何分布、负二巷分布、超几何分布 连续型分布:均匀分布、正态分布、指数分布 ...选择合适的统计量
  • 统计学中,需要研究统计量的性质,并评价一个统计推断的优良性,而这些取决于其抽样分布的性质,所以,抽样分布是统计学中的重要内容。统计学中常见的抽样分布有4种:正态分布、卡方分布、t分布、F分布,后面三大...
  • 统计学里面,正态分布(normal distribution)最常见。男女身高、寿命、血压、考试成绩、测量误差等等,都属于正态分布。以前,我认为中间状态是事物的常态,过高和过低都属于少数,这导致了..."多个独立统计量的和的
  • 注:抽样分布就是统计量分布,其特点是不包含未知参数且尽可能多的概括了样本信息。除了常见的正态分布之外,还有卡方分布、t分布和F分布为最常见的描述抽样分布分布函数。这几个分布函数在数理统计中也非常有名...
  • 2、选择检验统计量 3、P<0.05,拒绝原假设,总体均值与检验值之间存在差异 P>0.05,接受原假设,总体均值与检验值之间不存在显著差异 独立样本T检验 目的:利用来自两个总体的独立样本,推测两个总体的...
  • 上一篇文章提到了一大堆的统计量,但是没有说到它们的用处。今天,我们就会接触到部分估计量,进入到数理统计的第一大范畴——参数估计,同时也会开始使用R语言进行模拟。由于本系列为我独自完成的,缺少审阅,如果...
  • 针对遥感图像地物覆盖分类方法对图像空间分布信息利用不足的问题,提出一种基于超像素统计量的随机森林遥感图像分类方法。以北京市海淀区为研究区,选用Landsat-8卫星为主要数据源,通过改进SLIC超像素分割方法,使...
  • 常见商品期货量化交易策略 商品期货套利策略  套利策略一般包括期现套利、跨期套利、...跨期套利的思路一般如下:对某一品种主力合约和次主力合约的价差做统计(一般是厚尾分布),然后选取恰当的分位数设定阈值...

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