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  • 常见统计量分布
    千次阅读
    2020-08-07 14:50:10

    本博文源于《matlab概率论与数理统计》。旨在讲述单个正态总体的统计量的分布和两个正态总体的统计量的分布相关定理

    单个正态总体的统计量分布

    定理1:

    在这里插入图片描述

    定理2:

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    定理3:

    在这里插入图片描述

    定理4:

    在这里插入图片描述

    定理5:

    在这里插入图片描述

    两个正态总体的统计量分布

    定理1:

    在这里插入图片描述

    定理2:

    在这里插入图片描述

    定理3:

    在这里插入图片描述

    定理4:

    在这里插入图片描述

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    1. 常用统计量

    什么是统计量:不含未知参数的样本的函数T(ξ1ξ2…ξn)。

    (1)样本均值

    在这里插入图片描述
    E(x拔) = E(x)
    D(x拔) = D(x)/n
    E(x拔2) = D(x)/n + E2(x)

    (2)样本方差

    在这里插入图片描述
    E(Sn2) = D(x)
    E(Sn2) = 可根据统计量的分布推导

    (3)修正样本方差

    在这里插入图片描述

    (4)样本k阶原点矩

    在这里插入图片描述

    (5)样本k阶中心距

    在这里插入图片描述

    2. 统计量的常见分布

    (1)卡方分布

    (2)F——分布

    (3)t——分布

    (4)正态总体下的分布

    前提:总体符合正态分布N(μ,σ2)。
    在这里插入图片描述

    注意,这是样本均值服从的正态分布,不是 ξi 服从的分布

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    可推导出D(Sn)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    还有很多复杂的推论,等到需要时再补充。

    展开全文
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    sns.despine() plt.show() 参数为 1 的泊松分布,这是一个离散型的分布 plt.figure(figsize=(15, 15)) for i in range(1, 17): plt.subplot(4, 4, i) n = 20 * i rvs = [ (np.random.poisson(size=n).sum() - n) / ...

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    import seaborn as sns
    from scipy import stats
    sns.set()
    sns.set_style('ticks')
    sns.set_context('talk')
    %matplotlib inline
    

    Normal distribution

    x = np.linspace(-5, 5, 40)
    plt.figure(figsize=(14, 5))
    
    # probability density function
    plt.subplot(121)
    for sigma in (0.4, 1, 1.4):
        plt.plot(x, stats.norm.pdf(x, loc=0, scale=sigma), label=f'$\sigma={sigma}$')
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.title('pdf of normal distribution') #fontdict={'fontsize':16}
    
    # cumulative distribution function
    plt.subplot(122)
    for sigma in (0.4, 1, 1.4):
        plt.plot(x, stats.norm.cdf(x, loc=0, scale=sigma), label=f'$\sigma={sigma}$')
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.title('cdf of normal distribution') #fontdict={'fontsize':16})
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    χ 2 \chi^2 χ2 distribution

    f ( x , k ) = 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) x k / 2 − 1 exp ⁡ ( − x / 2 ) f(x, k) = \displaystyle\frac{1}{2^{k/2} \Gamma \left( k/2 \right)}x^{k/2-1} \exp \left( -x/2 \right) f(x,k)=2k/2Γ(k/2)1xk/21exp(x/2)

    plt.figure(figsize=(15, 5.5))
    
    plt.subplot(121)
    x = np.linspace(0.2, 12, 2000)
    for k in range(1, 6, 1):
        plt.plot(x, stats.chi2.pdf(x, df=k), label=f'df={k}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    
    plt.subplot(122)
    x = np.linspace(0, 50, 2000)
    for k in range(5, 30, 5):
        plt.plot(x, stats.chi2.pdf(x, df=k), label=f'df={k}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.suptitle('pdf of chi2-square distribution', fontsize=18)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    plt.figure(figsize=(15, 5.5))
    
    plt.subplot(121)
    x = np.linspace(0.2, 12, 2000)
    for k in range(1, 6, 1):
        plt.plot(x, stats.chi2.cdf(x, df=k), label=f'df={k}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    
    plt.subplot(122)
    x = np.linspace(0, 50, 2000)
    for k in range(5, 30, 5):
        plt.plot(x, stats.chi2.cdf(x, df=k), label=f'df={k}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.suptitle('cdf of chi2-square distribution', fontsize=18)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    t-distribution

    f ( x , ν ) = Γ ( ( ν + 1 ) / 2 ) π ν Γ ( ν ) ( 1 + x 2 / ν ) − ( ν + 1 ) / 2 f(x, \nu) = \displaystyle\frac{\Gamma((\nu+1)/2)} {\sqrt{\pi \nu} \Gamma(\nu)} (1+x^2/\nu)^{-(\nu+1)/2} f(x,ν)=πν Γ(ν)Γ((ν+1)/2)(1+x2/ν)(ν+1)/2

    plt.figure(figsize=(7, 5))
    x = np.linspace(-5, 5)
    for k in range(1, 8, 2):
        plt.plot(x, stats.t.pdf(x, df=k), label=f'df={k}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.title('pdf of t distribution')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    plt.figure(figsize=(7, 5))
    x = np.linspace(-5, 5)
    for k in range(1, 8, 2):
        plt.plot(x, stats.t.cdf(x, df=k), label=f'df={k}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.title('cdf of t distribution')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    F-distribution

    x = np.linspace(0.05, 5, 400)
    plt.figure(figsize=(15, 5.5))
    
    plt.subplot(121)
    for d1, d2 in [(1, 1), (3, 1), (5, 2), (10, 2), (10, 10)]:
        y = stats.f.pdf(x, d1, d2)
        plt.ylim(-0.05, 1.75)
        plt.plot(x, y, label=f'd1={d1}, d2={d2}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    
    plt.subplot(122)
    for d1, d2 in [(1, 1), (1, 2), (2, 5), (1, 10), (30, 10)]:
        y = stats.f.pdf(x, d1, d2)
        plt.plot(x, y, label=f'd1={d1}, d2={d2}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    
    plt.suptitle('pdf of F distribution', fontsize=18)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    x = np.linspace(0.05, 5, 400)
    plt.figure(figsize=(15, 5.5))
    
    plt.subplot(121)
    for d1, d2 in [(1, 1), (3, 1), (5, 2), (10, 2), (10, 10)]:
        y = stats.f.cdf(x, d1, d2)
        plt.plot(x, y, label=f'd1={d1}, d2={d2}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    
    plt.subplot(122)
    for d1, d2 in [(1, 1), (1, 2), (2, 5), (1, 10), (30, 10)]:
        y = stats.f.cdf(x, d1, d2)
        plt.plot(x, y, label=f'd1={d1}, d2={d2}')
    plt.legend()
    sns.despine()
    
    plt.suptitle('cdf of F distribution', fontsize=18)
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    Beta distribution

    x = np.linspace(0.05, 0.95, 400)
    plt.figure(figsize=(15, 6))
    
    plt.subplot(121)
    for alpha, beta in [(0.5, 0.5), (5, 1), (1, 3), (1, 1), (2, 5)]:
        plt.plot(x, stats.beta.pdf(x, alpha, beta), label=r'$\alpha={}, \beta={}$'.format(alpha, beta))
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.title('pdf of Beta distribution')
    
    plt.subplot(122)
    for alpha, beta in [(0.5, 0.5), (5, 1), (1, 3), (2, 2), (2, 5)]:
        plt.plot(x, stats.beta.cdf(x, alpha, beta), label=r'$\alpha={}, \beta={}$'.format(alpha, beta))
    plt.legend()
    sns.despine()
    plt.title('cdf of Beta distribution')
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    对中心极限定理的验证

    ϵ n = S n − n μ n σ 2 → d N ( 0 , 1 ) \epsilon_n=\displaystyle\frac{S_n-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}} \rightarrow_d \mathcal{N}(0, 1) ϵn=nσ2 SnnμdN(0,1)
    目标是考察 ϵ 2 , ϵ 3 , ϵ 4 , ⋯   , ϵ 100 , ϵ . . . \epsilon_2, \epsilon_3, \epsilon_4,\cdots, \epsilon_{100}, \epsilon_... ϵ2,ϵ3,ϵ4,,ϵ100,ϵ... 的分布情况
    以参数为 1 的指数分布为例

    sns.set_context('notebook')
    
    plt.figure(figsize=(15, 15))
    for i in range(1, 17):
        plt.subplot(4, 4, i)
        n = 4 * i
        rvs = [
            (np.random.exponential(size=n).sum() - n) / np.sqrt(n)
            for _ in range(10000)
            ]
        sns.distplot(rvs, kde=False)
        plt.title(f"$n={n}$");sns.despine()
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    参数为 1 的泊松分布,这是一个离散型的分布

    plt.figure(figsize=(15, 15))
    for i in range(1, 17):
        plt.subplot(4, 4, i)
        n = 20 * i
        rvs = [
            (np.random.poisson(size=n).sum() - n) / np.sqrt(n)
            for _ in range(5000)
            ]
        sns.distplot(rvs, kde=False)
        plt.title(f"$n={n}$");sns.despine()
    plt.show()
    

    在这里插入图片描述

    从上面可以看到,对于一个连续型的分布,它的“标准型”能够更快的趋近于正态分布。而对于离散型分布而言,它所需要的 n n n 可能就比较大了。

    展开全文
  • 常见的假设检验中,AB测试是最为出名的假设检验的过程,而需要深刻理解假设检验,先验知识统计量及其抽样分布的理解至关重要,这会为我们学习假设检验打下坚实的基础,本文章便是关于统计量及其抽样分布的讲解。...

    1. 前言

    数据分析行业不可避免会与统计学打交道。常见的分析总体的过程如图所示:

    常见的假设检验中,AB测试是最为出名的假设检验的过程,而需要深刻理解假设检验,先验知识统计量及其抽样分布的理解至关重要,这会为我们学习假设检验打下坚实的基础,本文章便是关于统计量及其抽样分布的讲解。

    2. 统计量

    建议专业讲解和大白话结合一起看,更易理解。

    2.1 专业讲解

    设X1, X2, ..., Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本,如果由此样本构造一个函数T(X1, X2, ..., Xn),不依赖于任何未知参数,则称函数T(X1, X2, ..., Xn)是一个统计量。

    注:

    • 统计量是一个随机变量
    • 当获得特定样本具体观察值x1, x2, ..., xn时,计算出T(x1, x2, ..., xn)的数值,就获得一个具体的统计量的值
    • 以上,X表示多种总体中的组合,x表示确定的观察值

    2.2 大白话

    设X1, X2, ..., Xn是从总体X中抽取的容量为n的一个样本,比如要研究人群总体身高均值,抽样得到一组样本的n各不同身高。根据这些不同的身高,构造统计量T(x1, x2, ..., xn),表示计算这组样本的身高均值。

    样本的身高均值便是我们得到的统计量,但是这个统计量是随机的,因为我们所抽取的样本是随机的n个不同身高。

    2.3 常用统计量

    以下将给出7个统计量的计算公式,但通常我们使用最多的是前三个统计量。

    2.3.1 样本均值

    2.3.2 样本方差

    2.3.3 样本离散系数

    2.3.4 样本原点矩

    2.3.5 样本中心矩

    2.3.6 样本偏度

    2.3.7 样本峰度

    3. 由正态分布导出的几个重要分布

    3.1 抽样分布

    样本统计量的分布即抽样分布。

    3.1.1 专业讲解

    • 当我们要对某一总体的参数进行估计时,就要研究来自该总体的所有可能的样本统计量的分布问题。
    • 其结果来自容量相同的所有可能样本。
    • 抽样分布、参数估计和假设检验是统计推断的三个中心内容。

    3.1.2 大白话

    • 拿身高来举例,要估计总体人群身高均值,要研究来自总体的多组样本的身高均值的分布。
    • 每组样本的数量要一样。
    • 根据得到的分布,进行假设检验,有利于我们进行统计推断。

    3.2 \chi ^{2}分布(卡方分布)

    3.2.1 来源

    设X ~ N(\mu ,\sigma ^{2}),则 z = \frac{X-\mu}{\sigma} ~ N(0, 1)

    令Y = z^{2},则Y服从自由度为1的\chi^{2}分布,即Y ~ \chi^{2}(1)

    当总体X ~ N(\mu,\sigma^{2}),从中抽取容量为n的样本,即

      ~ 

    卡方分布的期望:n,其中,n为自由度

    卡方分布的反差:2n,其中,n为自由度

    3.2.2 可加性

    设U服从自由度为n1的卡方分布,V服从自由度为n2的卡方分布,则U+V服从自由度为n1+n2的卡方分布。

    3.3 t分布

    3.3.1 来源

    服从于自由度为n-1的t分布

    其中,S为样本标准差,S/根号n为样本均值的标准误。

    3.4 F分布

    3.4.1 来源

    设U服从自由度为n1的卡方分布,V服从自由度为n2的卡方分布,则称F为服从自由度n1和n2的F分布,记为:

    4. 样本均值的分布与中心极限定理

    4.1 有放回抽样

    以统计量样本均值为例,中心极限定理的意思是,在大样本且有放回的抽样中,不论总体是什么分布,最终的样本均值服从均值为\mu,方差为\sigma/\sqrt{n}平方的正态分布。

    其中多组样本的均值\bar{X}的无偏估计是\mu\sigma/\sqrt{n}可以理解为多组样本的均值与每组样本的统计量均值的距离,也就是标准误。

    样本均值的抽样分布与总体分布的关系如下图所示:

    4.2 无放回抽样

    无放回抽样与有放回抽样的区别是,最终的样本均值服从均值为\mu,方差为\frac{\sigma^{2}}{n}(\frac{N-n}{N-1})平方的正态分布。

    其中,N为总体个数,n为每组样本个数。

    (N-n) / (N-1)为修正系数

    由此可见,在总体趋近无限的情况下,该修正系数可视为1,可以直接使用有放回抽样。

    5. 样本比例的抽样分布

    5.1 有放回抽样

    样本比例的抽样分布适用于样本容量较大的情况,

    设总体比例为π,样本比例为p。样本期望E(p) = π,样本方差\sigma^{2} = π(1-π) / n

    根据中心极限定理:p ~ N(π,π(1-π) / n)

    5.2 无放回抽样

    无放回抽样中,方差后同样加个修正系数,与之前的修正系数一样。

    6. 样本均值之差和比例之差的抽样分布

    6.1 两个正态总体

    两个总体都为正态分布,即X_{1} ~ N(\mu_{1}, \sigma_{1}^{2}/n_{1})X_{2} ~ N(\mu_{2}, \sigma_{2}^{2}/n_{2}),两个样本均值之差\bar{X_{1}} - \bar{X_{2}}的抽样分布也服从正态分布。

    其分布的数学期望为两个总体均值之差

    E(\bar{X_{1}} - \bar{X_{2}}) = u1 - u2

    方差为各自的方差之和

    \sigma_{\bar{X_{1}} - \bar{X_{2}}}^{2} = \frac{\sigma_{1}^{2}}{n_{1}} + \frac{\sigma_{2}^{2}}{n_{2}}

    图示如下:

    样本比例之差的抽样分布同样可以类推,在这就不详述了。

    7. 样本方差的抽样分布

    7.1 单样本方差

    对于来自正态总体的简单随机样本,则比值\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}的抽样分布服从自由度为n-1的卡方分布

    7.2 两个独立样本方差

    两个总体都为正态分布,即X1, X2, ..., Xn是来自总体X ~ N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})的一个样本,Y1, Y2, ..., Yn是来自总体Y ~ N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})的一个样本。从两个总体中分别抽取容量为n1和n2的独立样本方差比的抽样分布,服从分子自由度为(n1-1),分母自由度为(n2-1)的F分布。

    说明:

    由7.1可知, U = \frac{(n_{1}-1)S_{1}^{2})}{\sigma_{1}^{2}}V= \frac{(n_{2}-1)S_{2}^{2})}{\sigma_{2}^{2}}分别服从自由度为n1-1和n2-1的卡方分布。

    同时由3.4可知,这两个卡方分布相除,会得到服从分子自由度为(n1-1),分母自由度为(n2-1)的F分布。

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  • 常见分布 统计学中有很多常见分布,在此对这些分布进行梳理。 离散型随机变量分布 1.离散型均匀分布 若随机变量有n个不同值,具有相同概率,则我们称之为离散均匀分布,通常发生在我们不确定各种情况发生的机会,...
  • 常见的概率分布(matlab作图)

    千次阅读 2021-04-18 16:04:40
    一、常见的概率分布表1.1 概率分布分类表连续随机变量分布连续统计量分布离散随机变量分布分布分布二项分布连续均匀分布非中心 分布离散均匀分布(Gamma)分布分布几何分布指数分布非中心 分布超几何分布正态分布分布...
  • 最后应用幂级数分布族性质确定这些离散型分布的完备充分统计量分布形式、参数的一致最小方差无偏估计的方法以及随机变量的取值问题.得出结论:两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布和负二项分布常见离散型随机...
  • 概率统计(三)常见分布与假设检验

    千次阅读 多人点赞 2020-06-24 18:26:35
    常见分布与假设检验一、一般随机变量二、常见分布1.离散型分布(1)二项分布(2)泊松分布(3)几何分布(4)负二项分布...选择统计量(1)T检验①单样本T检验②配对样本T检验③独立样本T检验(2)Z检验(3)F检验(4
  • 针对遥感图像地物覆盖分类方法对图像空间分布信息利用不足的问题,提出一种基于超像素统计量的随机森林遥感图像分类方法。以北京市海淀区为研究区,选用Landsat-8卫星为主要数据源,通过改进SLIC超像素分割方法,使...
  • 随机变量的统计量

    千次阅读 2019-12-02 21:57:01
    1、随机变量的统计量 随机变量的N阶矩定义为: N阶矩 一阶矩(n=1)是随机变量的均值, 二阶矩(n=2)是功率, 如果吧随机变量的均值减去,再求N阶矩,就是N阶中心矩。 N阶中心矩 二阶中心矩称为...
  • MATLAB常用统计量

    千次阅读 2019-11-26 21:11:31
    表示分布形状的统计量–偏度和灰度,下面是峰度,偏度检验 clear all clc M = magic ( 4 ) % 生成魔方阵 M ( [ 1 5 9 ] ) = [ NaN NaN NaN ] % 替换 y = nanstd ( M ) % 求解忽略NaN后的标准...
  • sas软件求描述性统计量
  • 目录导引非参数统计基本概念1.1 假设检验1.2 经验分布1.2.1 经验分布1.2.2 生存函数1.3 检验的相对效率1.4 分位数1.5 秩与秩检验统计量1.6 U统计量 这一个系列的笔记和整理希望可以帮助到正在学习非参数统计的同学。...
  • 概率论几种常见分布

    千次阅读 2020-02-27 21:03:31
    概率论几种常见分布正态分布概要分析泊松分布适用范围伽玛分布对数正态分布 本文也算是一种对大学知识的回顾吧!学习数据分析看到几种统计方法,没办法,过来总计一下吧,反正感觉我以后用的次数还多着哩。 正态分布...

空空如也

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常见统计量分布

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