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  • 偏最小二乘回归模型

    千次阅读 2021-02-18 19:59:01
    %建立偏最小二乘回归模型 %(1)提取所有可能的主成分 X=data(:,1:5); Y=data(:,6:8); E0=stand(X) F0=stand(Y) A=rank(E0) [W,C,T,U,P,R]=plspcr(E0,F0)%提取所有可能的主成分 %(2)主成分解释能力分析 %计算主成分...

    clear;
    %多重相关性诊断
    load('data.mat'); %预先编写数据文件data.mat,并保存到当前工作路径下
    cr=corrcoef(data) %计算变量之间的相关系数
    %建立偏最小二乘回归模型
    %(1)提取所有可能的主成分
    X=data(:,1:5);
    Y=data(:,6:8);
    E0=stand(X)
    F0=stand(Y)
    A=rank(E0)
    [W,C,T,U,P,R]=plspcr(E0,F0)%提取所有可能的主成分

    %(2)主成分解释能力分析
    %计算主成分累计复测定系数
    RA=plsra(T,R,F0,A)
    %计算主成分的信息解释能力
    [Rdx,RdX,RdXt,Rdy,RdY,RdYt]=plsrd(E0,F0,T,A)

    %(3)考查第一主成分间的相关性
    %绘制t1/u1图直观的考查第一主成分间的相关性
    cr=plsutcor(U,T)

    %(4)求PLS回归方程的系数
    %先求标准化因变量关于主成分t1的经验回归系数
    TCOEFF=R(:,1)%这组系数存于plspcr函数的最后一个输出变量R中
    %再求标准化因变量关于标准化自变量的经验回归系数
    SCOEFF=pls(1,5,W,P,R)%1表示用于建模的主成分个数,5表示自变量个数
    %最后求原始因变量关于原始自变量的经验回归系数
    [COEFF,INTERCEP]=plsiscoeff(X,Y,SCOEFF)%对标准化的回归系数进行逆标准化处理,输出原始自变量对因变量的回归系数及常数项

    %(5)变量投影重要性分析与模型的改进
    VIP=plsvip(W,RdY,RdYt,1)%得出值表示第j个自变量对因变量的解释能力,若较小,则删除该自变量重新建模

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  • 偏最小二乘回归(一):模型介绍

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    1 偏最小二乘回归方程偏最小二乘回归分析建模的具体步骤 模型效应负荷量 交叉有效性检验 在实际问题中,经常遇到需要研究两组多重相关变量间的相互依赖关系,并研究用 一组变量(常称为自变量或预...

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    偏最小二乘回归(一):模型介绍

    偏最小二乘回归(二):一种更简洁的计算方法

    偏最小二乘回归(三):身体特征与体能训练结果的 案例分析


    目录

    1 偏最小二乘回归方程式

     偏最小二乘回归分析建模的具体步骤

    模型效应负荷量

               交叉有效性检验


    在实际问题中,经常遇到需要研究两组多重相关变量间的相互依赖关系,并研究用 一组变量(常称为自变量或预测变量)去预测另一组变量(常称为因变量或响应变量), 除了最小二乘准则下的经典多元线性回归分析(MLR),提取自变量组主成分的主成分回归分析(PCR)等方法外,还有近年发展起来的偏最小二乘(PLS)回归方法

    偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法,特别当两组变量的个数很 多,且都存在多重相关性,而观测数据的数量(样本量)又较少时,用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。 偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析,典型相关分析和线性回归分 析方法的特点,因此在分析结果中,除了可以提供一个更为合理的回归模型外,还可以 同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容,提供更丰富、深入的一些 信息。

    本章介绍偏最小二乘回归分析的建模方法;通过例子从预测角度对所建立的回归模 型进行比较。

    1 偏最小二乘回归方程式

     偏最小二乘回归分析建模的具体步骤

     

    模型效应负荷量

               (5)交叉有效性检验


    偏最小二乘回归(二):一种更简洁的计算方法

    偏最小二乘回归(三):身体特征与体能训练结果的 案例分析

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  • 数学建模-偏最小二乘回归模型

    千次阅读 2019-01-19 13:30:14
    偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法,特别当两组变量的个数很多,且都存在多重相关性,而观测数据的数量(样本量)又较少时,用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。...

    偏最小二乘回归提供一种多对多线性回归建模的方法,特别当两组变量的个数很多,且都存在多重相关性,而观测数据的数量(样本量)又较少时,用偏最小二乘回归建立的模型具有传统的经典回归分析等方法所没有的优点。
    偏最小二乘回归分析在建模过程中集中了主成分分析典型相关分析线性回归分析方法的特点,因此在分析结果中,除了可以提供一个更为合理的回归模型外,还可以同时完成一些类似于主成分分析和典型相关分析的研究内容,提供更丰富、深入的一些信息。

    例:采用兰纳胡德(Linnerud)给出的关于体能训练的数据进行偏最小二乘回归建模。在这个数据系统中被测的样本点,是某健身俱乐部的20 位中年男子。被测变量分为两组。第一组是身体特征指标X ,包括:体重、腰围、脉搏。第二组变量是训练结果指标Y ,包括:单杠、弯曲、跳高。原始数据见表1。

    表 2 给出了这6 个变量的简单相关系数矩阵。从相关系数矩阵可以看出,体重与腰围是正相关的;体重、腰围与脉搏负相关;而在单杠、弯曲与跳高之间是正相关的。从两组变量间的关系看,单杠、弯曲和跳高的训练成绩与体重、腰围负相关,与脉搏正相
    关。

    MATLAB 程序:

    clc,clear
    load pz.txt %原始数据存放在纯文本文件pz.txt 中
    mu=mean(pz);sig=std(pz); %求均值和标准差
    rr=corrcoef(pz); %求相关系数矩阵
    data=zscore(pz); %数据标准化
    n=3;m=3; %n 是自变量的个数,m 是因变量的个数
    x0=pz(:,1:n);y0=pz(:,n+1:end);
    e0=data(:,1:n);f0=data(:,n+1:end);
    num=size(e0,1);%求样本点的个数
    chg=eye(n); %w 到w*变换矩阵的初始化
    for i=1:n
    %以下计算w,w*和t 的得分向量,
        matrix=e0'*f0*f0'*e0;
        [vec,val]=eig(matrix); %求特征值和特征向量
        val=diag(val); %提出对角线元素
        [val,ind]=sort(val,'descend');
        w(:,i)=vec(:,ind(1)); %提出最大特征值对应的特征向量
        w_star(:,i)=chg*w(:,i); %计算w*的取值
        t(:,i)=e0*w(:,i); %计算成分ti 的得分
        alpha=e0'*t(:,i)/(t(:,i)'*t(:,i)); %计算alpha_i
        chg=chg*(eye(n)-w(:,i)*alpha'); %计算w 到w*的变换矩阵
        e=e0-t(:,i)*alpha'; %计算残差矩阵
        e0=e;
    %以下计算ss(i)的值
        beta=[t(:,1:i),ones(num,1)]\f0; %求回归方程的系数
        beta(end,:)=[]; %删除回归分析的常数项
        cancha=f0-t(:,1:i)*beta; %求残差矩阵
        ss(i)=sum(sum(cancha.^2)); %求误差平方和
    %以下计算press(i)
        for j=1:num
            t1=t(:,1:i);f1=f0;
            she_t=t1(j,:);she_f=f1(j,:); %把舍去的第j 个样本点保存起来
            t1(j,:)=[];f1(j,:)=[]; %删除第j 个观测值
            beta1=[t1,ones(num-1,1)]\f1; %求回归分析的系数
            beta1(end,:)=[]; %删除回归分析的常数项
            cancha=she_f-she_t*beta1; %求残差向量
            press_i(j)=sum(cancha.^2);
        end
        press(i)=sum(press_i);
        if i>1
            Q_h2(i)=1-press(i)/ss(i-1);
        else
            Q_h2(1)=1;
        end
        if Q_h2(i)<0.0975
            fprintf('提出的成分个数r=%d',i);
            r=i;
            break
        end
    end
    beta_z=[t(:,1:r),ones(num,1)]\f0; %求Y 关于t 的回归系数
    beta_z(end,:)=[]; %删除常数项
    xishu=w_star(:,1:r)*beta_z; %求Y关于X的回归系数,且是针对标准数据的回归系数,每一列是一个回归方程
    mu_x=mu(1:n);mu_y=mu(n+1:end);
    sig_x=sig(1:n);sig_y=sig(n+1:end);
    for i=1:m
        ch0(i)=mu_y(i)-mu_x./sig_x*sig_y(i)*xishu(:,i); %计算原始数据的回归方程的常数项
    end
    for i=1:m
        xish(:,i)=xishu(:,i)./sig_x'*sig_y(i); %计算原始数据的回归方程的系数,每一列是一个回归方程
    end
    sol=[ch0;xish] %显示回归方程的系数,每一列是一个方程,每一列的第一个数是常数项
    save mydata x0 y0 num xishu ch0 xish

     

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  • 偏最小二乘回归

    2019-12-12 18:33:26
    偏最小二乘回归: 多重共线性下,多变量对多变量的回归。本质上是对自变量做矩阵变换后的最小二乘回归。特点是矩阵变换的变换来源。

    偏最小二乘回归

    • 考虑自变量有多个,因变量只有一个时候的回归,当自变量的多重相关性差的时候,可以直接使用最小二乘求解回归模型;
    • 考虑自变量有多个,因变量只有一个时候的回归,当自变量的多重共线性强的时候,可以对自变量做主成分分析,然后使用主成分作为新的自变量,再使用最小二乘求解回归模型;
    • 考虑自变量有多个,因变量也有多个的时候的回归,如果自变量和因变量都不存在多重共线性的时候,可以分别使用自变量对每一个因变量做回归,使用最小二乘求解;
    • 考虑自变量有多个,因变量也有多个的时候的回归,如果自变量存在多重共线性,因变量不存在多重共线性的时候,可以对自变量做主成分分析,然后使用主成分作为新的自变量分别对每一个因变量做回归,使用最小二乘求解;
    • 考虑自变量有多个,因变量也有多个的时候的回归,如果自变量和因变量都存在多重共线性的时候该怎么办呢,这时候还是使用主成分分析+分别对每个变量做回归吗?

      偏最小二乘提供一种多对多的线性回归建模方法,即自变量有多个,因变量也有多个的时候的建模方法,尤其适用于自变量和因变量都存在多重共线性的情况。

      偏最小二乘在建模过程中集中了主成分分析、典型相关分析和线性回归分析方法的特点。

    算法思想

    • 主成分分析是求解组内方差最大的主成分,在求解主成分的时候,它控制了变换向量的范数;
    • 典型相关分析是求解组间相关性最强的典型变量,在求解典型变量的时候,它控制了变换后的组内方差;
    • 回归方程特点是能做回归预测,它是基于自变量数据输入得到因变量的预测值。

      偏最小二乘回归最终是回归,它也是使用原始自变量变换后的变量做回归。它的变换是求解组间相关性最强的变量,不过它的约束条件是控制变换向量的范数。从形式上看,它使用了典型相关分析的目标函数和主成分分析的约束方程。另一个角度看,偏最小二乘的回归参数也是使用最小二乘估计的,所以它在回归参数求解的时候,对于多个因变量的参数是单独求解的。它的特点只是在于自变量的变换过程。

      偏最小二乘最终的模型形式也是
      Ynq=Xnpβpq+BY_{nq}=X_{np}\beta_{pq}+B

    算法流程

    假设p个自变量X1,...,XpX_1,...,X_p和q个因变量Y1,...,YqY_1,...,Y_q。n个样本的标准化后的数据为X0(np),Y0(nq)X_0(n*p),Y_0(n*q)

    1. 最佳变换向量求解以得到第一对成分。求解w1,v1w_1,v_1使得w1X0v1Y0w_1^{'}X_0和v_1^{'}Y_0的相关性最大,即协方差最大,对于标准化数据,也就是w1X0v1Y0w_1^{'}X_0和v_1^{'}Y_0的内积最大,目标函数如下:
      maxw12=1,v12=1w1X0Y0v1\underset{\mid\mid w_1\mid\mid ^2 = 1,\mid\mid v_1\mid\mid ^2 = 1}{max}w_1^{'}X_0^{'}Y_0v_1
      目标函数可以使用拉格朗日乘子法求解,求解得到最佳的w1,v1w_1,v_1,其中w1w_1称为模型效应权重v1v_1称为因变量权重。以此得到变换后的成分t1=X0w1t_1=X_0w_1
    2. 回归模型训练。根据上文得到的t1t_1,得到回归模型:
      {X0=t1α1+E1Y0=t1β1+F1\begin{cases}X_0=t_1\alpha_1^{'}+E_1\\ Y_0=t_1\beta_1^{'}+F_1\end{cases}
      使用最小二乘求解α1β1\alpha_1和\beta_1
    3. 集成多个成分。因为Y0Y_0是标准化后的变量,所以当模型效果好的时候,残差F1F_1中的元素绝对值应该近似为0。当使用单个成分的预测效果不够好怎么办呢?与Boost的加法模型思想相似,基于残差结果得到新的成分,以得到更优的模型。即,以E1=X0X0^,F1=Y0Y0^E_1=X_0-\hat{X_0},F_1=Y_0-\hat{Y_0}重复步骤1和步骤2以得到第二个成分。此时得到的模型为:
      {X0=t1α1+t2α2+E2Y0=t1β1+t2β2+F2\begin{cases}X_0=t_1\alpha_1^{'}+t_2\alpha_2^{'}+E_2\\ Y_0=t_1\beta_1^{'}+t_2\beta_2^{'}+F_2\end{cases}
      以此类推,当X0X_0的秩为r<=min(n-1,p)时,存在r个成分t1,...,trt_1,...,t_r,使得:
      {X0=t1α1+...+trαr+ErY0=t1β1+...+trβr+Fr\begin{cases}X_0=t_1\alpha_1^{'}+...+t_r\alpha_r^{'}+E_r\\ Y_0=t_1\beta_1^{'}+...+t_r\beta_r^{'}+F_r\end{cases}
    4. 模型整合。整合加法模型,将能提前相加的参数合并,得到最终的模型参数β^\hat{\beta},模型为。
      Y^=Xβ^\hat{Y}=X\hat{\beta}
    5. 最优参数确定。偏最小二乘中确定成分的个数的方法是使用交叉验证的方式,即以交叉验证的方式确定最优的模型参数。

    总结

    • 偏最小二乘回归是一种使用预存在多重相关性的多组自变量、多组因变量的回归建模;
    • 偏最小二乘是基于结合主成分分析和典型相关分析得到的成分变量的回归;
    • 为什么使用交叉验证而不是像主成分分析一样使用累计贡献率呢?因为偏最小二乘中求解最佳变换向量的时候,并没有让组内方差最大,所以每个成分包含的组内信息大小不能确定,使用组内累计贡献率并没有意义。只能使用对因变量的预测效果来评估使用多少的主成分。不过因为成分的选取是逐个进行的,所以选择最佳成分的时候还是与主成分分析相同选取前ll个。

    思考

    • 偏最小二乘方法计算过程中需要计算很多的特征值、特征向量,计算复杂度较大,方法不适用于大数据情况。从回归方程的思路看,可不可以单纯构造以下模型呢?
      minW,α,βX0X0Wα2+γY0X0Wβ2\underset{W,\alpha,\beta}{min}\mid\mid X_0-X_0W\alpha\mid\mid ^2 + \gamma\mid\mid Y_0-X_0W\beta\mid\mid ^2
      其中W为一个p*k的矩阵,α\alpha为一个k*p的矩阵,β\beta为一个k*q的矩阵。k为人为设置的大于1,小于等于min(n-1,p)的超参,γ\gamma为人为设置的超参,A\mid\mid A\mid\mid表示矩阵中所有元素的平方和。
    展开全文
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偏最小二乘结构方程模型