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  • 偏相关分析应用条件
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  • 首先, 该方法在公开数据集上分析出代码静态属性与缺陷数之间存在偏相关关系;然后基于偏相关系数值,计算出代码复杂性度密度属性值;最后基于该属性值建立新的缺陷预测模型。实验表明,该模型具有较高的召回率和很好...
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    相关分析是研究两个变量共同变化的密切程度,但有时出现相关的两个变量又同时与另外的一个变量相关,在这三个变量中,有可能只是由于某个变量充当了相关性的中介作用,而另外的两个变量并不存在实质性的相关关系。这种情形导致数据分析中出现“伪相关”现象,造成伪相关现象的变量被称为“桥梁变量”。

    在数据的相关性分析中,为了摒弃桥梁变量的影响力,发现变量内部隐藏的真正相关性,人们引入了偏相关分析的概念。偏相关分析是在剔除控制变量的影响下,分析指定变量之间是否存在显著的相关性。

    目录

    一、前提

    二、步骤

    1、计算样本的偏相关系数

    2、对样本来自的两个总体是否存在显著的净相关进行推断(显著性sig推断)

    三、基于spss的具体操作

    四、应用

    五、参考文献


    一、前提

    在之前进行相关性分析的时候有出现过三者或多者因素显著相关,这时就有疑问了,到底是这三者间两两相关,还是中间存在一个“桥梁变量”,进而联系其另外两个变量的?

    于是就需要使用偏相关分析,把桥梁变量作为控制变量,重新进行相关性分析,检查在排除了桥梁变量的影响力之后,其它变量之间是否还存在关联性。如果开始有相关关系,剔除了控制变量之后,相关关系不存在了,说明控制变量为桥梁变量。

    二、步骤

    1、计算样本的偏相关系数

    利用样本数据计算偏相关系数,反应了两个变量间净相关的强弱程度。在分析变量x1和x2之间的净相关时,当控制了变量x3的线性作用后,x1和x2之间的一阶偏相关系数定义为:

                                                                    r_{12(3)}=\frac{r_{12}-r_{12}r_{23}}{\sqrt{1-r^{2}_{13}}\sqrt{1-r^{2}_{23}}}

    2、对样本来自的两个总体是否存在显著的净相关进行推断(显著性sig推断)

    1. 提出原假设,即两总体的偏相关系数与零无显著差异。
    2. 选择检验统计量。偏相关分析的检验统计量为t统计量,它的数学定义为:

                                                                                     t=\frac{r\sqrt{n-q-2}}{\sqrt{1-r^{2}}}

    三、基于spss的具体操作

    通过分析三十个样本地区的家庭经营收入x2与衣着y2居住y3饮食y4支出之间的关系,判断其具有相关性。(由常识可得的,收入决定支出嘛,所以怀疑x2对y2y3y4之间的相关性具有”桥梁作用“,于是使用偏相关分析进行排查)

    【分析】-【相关】-【双变量】(此处同之前的相关性,因为是先判断相关后,对相关性是否有牵连作用做出判断) 

     由此可见,四者都是有关系的。此处怀疑家庭收入作为三个支出相关的”桥梁“。于是进行偏相关分析。

    【分析】-【相关】-【偏相关】,将三个支出选为变量,家庭收入选为控制变量

    由图可以看出,它们之间仍然具有相关性,且显著性sig小于0.05,说明不仅相关且显著。

    由此可以看出上面的怀疑推测是没有依据的,支出与支出之间仍然存在相关性,比如,收入恒定,则买衣服的钱多了,吃得自然就差了一些嘛。

    四、应用

    在多元回归中,应注意简单相关系数只是两变量局部的相关性质,而并非整体的性质。在多元回归中并不看重简单相关系数,而是看重偏相关系数。根据偏相关系数,可以判断自变量对因变量的影响程度;对那些对因变量影响较小的自变量,则可以舍去不顾。

    五、参考文献

    [1]微信公众号生活统计学:SPSS分析技术:偏相关分析

    [2]百度百科:偏相关分析

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  • 相关(ACF)是指序列与其自身经过某些阶数滞后形成的序列之间存在某种程度的相关性,而相关函数(PACF)是在其他序列给定情况下的两序列条件相关性的度量函数。一般来说()自相关用于时间序列分析AR、MA的p...

    1、作用

    自相关(ACF)是指序列与其自身经过某些阶数滞后形成的序列之间存在某种程度的相关性,而偏自相关函数(PACF)是在其他序列给定情况下的两序列条件相关性的度量函数。一般来说(偏)自相关用于时间序列分析AR、MA的p、q进行定阶。

    2、输入输出描述

    输入:1个序列数据定量变量
    输出:pacf/acf图,用于AR、MA的p、q进行定阶

    3、学习网站

    SPSSPRO-免费专业的在线数据分析平台

    4、案例示例

    案例:基于5年每月商品的销售量,预测某商品的未来五个月的销售量。

    5、案例数据

    (偏)自相关分析案例数据

    6、案例操作

    Step1:新建分析;
    Step2:上传数据;
    Step3:选择对应数据打开后进行预览,确认无误后点击开始分析;

    step4:选择【(偏)自相关分析(pcaf/acf)】;
    step5:查看对应的数据数据格式,【(偏)自相关分析(pcaf/acf)】要求输入1个时间序列数据定量变量。
    step6:设置差分阶层(注意:一般情况下,(偏)自相关分析要求序列平稳或者几阶差分序列平稳。若是原序列是平稳序列,则选择差分阶层为0;若是原序列是非平稳序列,一阶差分序列是平稳序列,则选择差分阶层为1;若是原序列是非平稳序列,一阶差分序列是非平稳序列,二阶差分序列是平稳序列,则选择差分阶层为2。(本例由于在单位根检验到原序列不平稳,一阶差分序列平稳,所以设置差分阶层为1)
    step7:点击【开始分析】,完成全部操作。

    7、输出结果分析

    输出结果1:模型残差自相关图(ACF)

    图表说明:上图展示了自相关图(ACF),包括系数、置信上限和置信下限。由图可知,一阶和三阶自相关系数很明显地大于2倍标准差范围,且自相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或非常连续,我们可以判断自相关图为拖尾。

    输出结果2:模型残差偏自相关图(PACF)


    图表说明:上图展示了偏自相关图(PACF),包括系数,置信上限和置信下限。由图可知,一阶和二阶偏自相关系数很明显地大于2倍标准差范围,自一阶偏自相关系数后,其余偏自相关系数都在2倍标准差范围以内,且二阶后偏自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常突然。我们可以判断偏自相关图为截尾。

    8、注意事项

    • 出现以下情况,通常视为(偏)自相关系数d阶截尾:
    • 在最初的d阶明显大于2倍标准差范围
    • 之后几乎95%的(偏)自相关系数都落在2倍标准差范围以内
    • 且由非零自相关系数衰减为在零附近小值波动的过程非常突然

    出现以下情况,通常视为(偏)自相关系数拖尾:

    • 如果有超过5%的样本(偏)自相关系数都落在两倍标准差范围之外
    • 或者是由显著非0的(偏)自相关系数衰减为小值波动的过程比较缓慢或非常连续
    • 分析自相关图和偏自相关图后,可以建立ARMA模型:
    • 偏自相关(PACF)图在p阶进行截尾,自相关(ACF)图拖尾,ARMA模型可简化为AR(p)模型;
    • 自相关(PACF)图在q阶进行截尾,偏自相关(ACF)图拖尾,ARMA模型可简化为MA(q)模型;
    • 倘若自相关与偏自相关图均拖尾,可结合PACF、ACF图中最显著的阶数(最小值)作为p、q值;
    • 倘若自相关与偏自相关图均截尾,可以选择更换更高的差分,或不适合建立ARMA模型;
    • 推荐大家采用ARIMA的AIC(排列组合所有参数,求解AIC值最小对应的组合参数)自动寻优方式,通过PACF与ACF图定阶方式不准确,也比较难有说服力。

    9、模型理论

    自相关系数和偏自相关系数是统计学中定义的概念,是用以反映变量之间相关程度的统计指标,只是两者表现的具体变量之间的关系有所不同。
    自相关系数度量的是同一事件在两个不同时期之间的相关程度,形象的讲就是度量自己过去的行为对自己现在的影响。
    数学表示:


    根据ACF求出滞后k自相关系数 ACF(k)时,实际上得到并不是Z(t)与Z(t-k)之间单纯的相关关系。
    因为Z(t)同时还会受到中间k-1个随机变量Z(t-1)、Z(t-2)、……、Z(t-k+1)的影响,而这k-1个随机变量又都和z(t-k)具有相关关系,所以自相关系数里面实际掺杂了其他变量对Z(t)与Z(t-k)的影响。
    为了能单纯测度Z(t-k)对Z(t)的影响,引进偏自相关系数(PACF)的概念。对于平稳时间序列{Z(t)},所谓滞后k偏自相关系数指在给定中间k-1个随机变量Z(t-1)、Z(t-2)、……、Z(t-k+1)的条件下,或者说,在剔除了中间k-1个随机变量Z(t-1)、Z(t-2)、……、Z(t-k+1)的干扰之后,Z(t-k)对Z(t)影响的相关程度。
    数学表达:


    10、参考文献

    [1] 于宁莉,易东云,涂先勤.时间序列中自相关与偏相关函数分析[J].数学理论与应用,2007(01):54-57.

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  • 最小二乘回归是PCA、CCA和传统最小二乘模型的结合。 一、PCA主成分分析: 1.我们希望对数据进行有损压缩,即将属于R^n的x投影为属于R^l的c,有编码函数f(x)=c,使得损失的信息尽量少。同时有对应的解码函数g(c)...

    偏最小二乘回归是PCA、CCA和传统最小二乘模型的结合。

    一、PCA主成分分析:

    1.我们希望对数据进行有损压缩,即将属于R^n的x投影为属于R^l的c,有编码函数f(x)=c,使得损失的信息尽量少。同时有对应的解码函数g(c)约等于x。

    2.PCA由我们确定的解码函数而定,为了简化解码器,我们让g(c)=Dc,其中设D为一个属于R^(n*l)的矩阵,D可以有多个解,但我们假设D中的列向量都有单位范数,并限制D的列向量彼此正交(由于垂直的基更容易表示向量)。

    3.假设我们现在已经找到了这个D,如何在给定x的情况下找到最优的编码c呢?方法是:选取使x-g(c)的二范数最小的c。x-g(c)的二范数可以进行如下变换。

    (1)使得x-g(c)的二范数--等价于--使得二范数的平方最小(二范数非负)

    (2)x-g(c)二范数的平方=(x-g(c))^T*(x-g(c)),根据矩阵运算的分配律和向量的xTy=yTx,矩阵的(AB)T=BTAT。上式最终变换为xTx-2xTg(c)+g(c)Tg(c)。第一项与c无关,去掉。

    (3).将g(c)=Dc代入,上式=-2(x’)Dc+c’D’Dc=-2(x’)Dc+c’c (因为设D有正交性和单位范数)。

    (4)上式的对c求最小化,令上式的对c的偏导为0,推出c=D’x。由此我们知道了当D被确定后如何给定x求c。

    4.现在挑选最优的D。考虑降到1维的情况,则选取的矩阵D为R^n的向量d,选取令sum(xi-dd’xi)的二范数的平方))最小(并满足d’d=1)的d,该最优化问题的矩阵形式为X-Xdd’的二范数的平方最小化,则

    X-Xdd’的二范数=Tr[(X-Xdd’)’(X-Xdd’)],

    5.以上最优化问题变化为(简化过程使用Tr迹运算的定理,(1)Tr(A)=Tr(A^T)  (2)Tr(ABC)=Tr(CAB)=Tr(BCA)  (3)Tr(实数)=实数)求使得Tr(d’X’Xd)最大并满足d’d=1的向量d。

    6.优化问题的最终形式使用特征分解来求解。最优的d是X‘X最大特征值对应的特征向量。以上为l=1时,选取特征值最大的向量,进行推广,则选取前l个最大的特征值对应的特征向量。以列为样本、行为属性的情况下,若零均值化,协方差矩阵即为(1/(m-1))* X‘X。对其求前l个最大特征值对应的特征向量,并进行单位化,将他们一行行排起来,用数据矩阵左乘它就能得到降维后的数据矩阵(即C=D’X)。

    7.使用:以行为样本为例,将原数据矩阵每个值减去该列的均值(零均值化),再计算数据集的协方差阵(1/m)* XX’,求出特征值和特征向量,将特征向量单位化,选取前k个最大的特征值对应的特征向量(k为需要的维度量,或按照k的选取选择1-前k个特征值总和占特征值总和的比例<=阈值(比如0.01)),按列排列,原零均值矩阵右乘该矩阵。

    8.矩阵的对角化:将一个变换左乘一组向量的逆,右乘一组向量,就能将这个变换表示成以那组向量为基视角下的变换矩阵。如果这组向量选的是特征向量(当然前提是特征向量能张成空间),那么就将那个变换变成对角矩阵了。所以矩阵能对角化的条件是有n个线性无关的特征向量,这样才有足够多的方向能用了选择作为对角化的视角。对于实特征阵,特征向量PCP‘=对角阵。

    9.协方差阵的对角化,即P*(1/(m-1))* XX’*P’=(1/(m-1))*PX*(PX)’,即为根据特征向量进行变换后的矩阵的协方差阵,其中各方差由大到小排列(因为特征向量如此排列)在对角线上,协方差都为零(满足各特征独立/正交)。故成功将原数据转化。

    10.其他降维方法总结:

    (1)PCA。需要注意的是,新的主成分并不是由实际系统产生的,因此在进行PCA变换后会丧失数据的解释性。

    (2)缺失值比例大于一个阈值的列去除。

    (3)低方差滤波:方差小于一个阈值的列去除。

    (4)高相关滤波:对归一化后的各列两两计算相关系数,大于一定阈值的删除其中一列。

    (5)随机森林判别法:在随机森林中常被选作最佳分类标准的属性评分更高。

     

     

    二、CCA典型相关分析:

    1.典型相关性分析研究假如有一堆样本点,每个点的x是多维的,y也是多维的,如何研究x与y间的相关关系。CCA是这样做的,将x用a1权重向量变换为一维,y用b1权重向量变换,选取a1、b1的标准是使得变换后的一维特征x和y的相关系数最大化。

    2.根据以上的思想,该问题可以转化为优化问题

    使得a1’*变换前x的方差矩阵*a1=1,b1’*变换前y的方差矩阵*b1=1,

    使得a1’*变换前协方差矩阵*b1最大

    设lambda和v为拉格朗日乘数,使用拉格朗日乘数法推导该问题,结合上面的多维求导公式,得结论

    (Lamda=v=变换后的相关系数(2)方1^-1*协方*方2^-1 *协方*a1=lambda^2*a1)

    解式二的特征值问题,特征向量为a1。

    3.CCA主要在多视图学习的特征融合方面有着广泛的应用,比如两张图片,一张正脸,一张侧脸,我们需要做一个人脸识别系统,就需要对其进行双视图学习,我想如果我们把这两张图结合在一起识别率一定会提高的,我们就需要用到CCA。

     

    三、PLSR偏最小二乘回归

    步骤:

    1.先对多维的x和y进行标准化,设权重向量w1和v1,将原来的x和y变换为一维特征t1和u1,权重选取的目标是使得变换后两个特征自身方差极大化且互相之间相关系数极大化。该问题可转化为问题:使得w1’X‘Yv1最大并使得w1、v1二范数平方=1。求解该问题,非常类似上面的CCA求解,最后解特征向量求得t1、u1。

    2.建立回归模型X0=t1alfa1+X1,X1为残差矩阵(Y也建立相同模型,自变量为t1)。Alfa1是参数向量。根据最小二乘估计解得alfa1=t1‘X0/t1二范数的平方,beta1将X0换Y0.

    3.估计出权重后计算残差的范数,未小于阈值则将残差矩阵看作X和Y重复以上步骤。

    4.最后的预测模型将所有式子一起代入,可求出通过多维X算出多维Y的式子。

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