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  • 这一篇文章, 从理解角度来阐述相关的含义。我们知道在时间序列分析中,常用模型有ARMA、AR和MA模型。建立模型前期, 需要确定阶数,例如AR(P)模型参数P。这时就需要根据时间序列ACF和PACF函数值来确定, ...

    这一篇文章, 从理解的角度来阐述相关的含义。

    我们知道在时间序列分析中,常用的模型有ARMA、AR和MA模型。

    建立模型的前期, 需要确定阶数,例如AR(P)模型的参数P。

    这时就需要根据时间序列的ACF和PACF函数值来确定, 然后建立模型, 最后需要检验模型的效果。

    注意:模型的ACF是根据定义求值然后建立ACF图,再确定阶数。

    ACF是自相关系函数的简称

    公式1:

    k是间隔的阶数) (1)

    公式1,是自相关系数的定义,表示间隔为K的时间序列之间的相关系数值。

    公式2:

    k是间隔的阶数,p是AR(p)模型中的阶数 ) (2)

    公式2是AR(K)模型推导的自相关系数,是需要用数据进行求近似值。

    公式2前题是平稳性时间序列,可以推导出公式2

    PACF是偏自相关函数

    公式1:

    实际是与在扣除

    的影响后的偏相关系数。就是

    和自相关函数比可以方便看出其意义。

    偏自相关函数的意义:

    当前值与前K个值相关, 与前K+1,K+2, .. 等值没有相关性。(再向前增加变量也不能改进预测效果),这种性质叫做AR模型的偏自相关函数截尾性。

    平稳过程的自相关系数和偏自相关系数都会以某种方式衰减趋近 于0,前者测度当前序列与先前序列之间简单和常规的相关程度, 后者是在控制其它先前序列的影响后,测度当前序列与某一先前序列之间的相关程度。

    当 PACF 截尾性, ACF拖尾, 用AR(P)模型, 为什么?

    理解1:

    因为当PACF截尾,且偏相关系数大,且仅和相对应的滞后项有关。如果拖尾,可能是随机事件影响。

    理解2:

    AR(p) 模型:

    MA(q) 模型:

    当s大于q时,MA(q)过程的自相关系数全部为零,因此形象的称:

    MA(q)过程的自相关函数具有q阶截尾特性。

    问题:MA(q)的自相关函数是ACF 吗?

    根据下表中, 需要ACF截尾性, 那么自相关函数截尾性,是判断MA模型阶数的方法, 因为上面的分析。(这里还是有疑问)

    以下为引用:

    依据模型的形式、特性及自相关和偏自相关函数的特征,总结如下:

    d3ccfebea96af08b27c04a322a2dce86.png

    在时间序列中,ARIMA模型是在ARMA模型的基础上多了差分的操作。

    相关参考:

    如何理解自相关和偏自相关图 - 标点符

    https://otexts.com/fppcn/autocorrelation.html

    https://wenku.baidu.com/view/e888c4c8a1c7aa00b52acbfa.html

    关于ARIMA系列模型:为什么 自相关拖尾 偏相关截尾 就用AR?

    https://blog.csdn.net/anthea_luo/article/details/97169135

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  • 偏自相关系数1. 样本自协方差函数对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:2. 自协方差函数自协方差函数是描述随机信号 在任意两个不同时刻t,t-k,...

    1. 样本自协方差函数

    2. 自协方差函数

    3. 自相关函数

    4. 偏自相关系数

    1. 样本自协方差函数

    对于满足均值遍历性、二阶矩遍历性的平稳时间序列一次具体观测值,总体平均可转化为时间平均,因此可计算:

    2b84305fe24d99b08d763da932f205c0.png

    2. 自协方差函数

    自协方差函数是描述随机信号

    在任意两个不同时刻t,t-k,的取值之间的二阶混合中心矩,用来描述
    在两个时刻取值的
    起伏变化(相对与均值)的相关程度,也称为中心化的自相关函数。

    协方差定义为:

    时间序列的自协方差指:时间序列或者信号,经过时间平移后,与自己的协方差

    f203179d04ca3d35fab90232c219745a.png

    而对于中心化AR模型,均值为0,即

    所以上式表示为

    07599226333c527ed874b945a5146d2d.png

    在平稳AR模型等式两边同乘以

    再取数学期望可得

    95619ae7118abdd6520007cdc28b5c79.png

    得到自协方差函数的递推公式

    59fbc12311760cc30d10ffdfb888e490.png

    Yule-Walker方程
    平稳AR序列的自协方差函数满足

    feb195adf35c1516708ab5f84b54658f.png

    其中

    c031ab7484e77864997bb70681077766.png

    a2500988b9bebccc8db3801c785f5312.png

    此方程的意义在于:
    已知AR模型的具体形式,可计算出自协方差函数;已知自协方差函数,可以估计出模型的未知参数。而在实际应用中,选用样本自协方差函数估计自协方差函数


    3.自相关函数(Autocorrelation function)

    自相关函数是描述随机信号

    在任意两个不同时刻t,t+k的取值之间的
    相关程度
    公式定义

    0aed5b872b1b7760d7035a9dc0db4857.png

    对于零均值的平稳AR序列,自相关函数为

    105509b63bd1077d07d59f5873497ed9.png

    自相关系数的递推公式

    1b060f2c377d42c067d3b655e49072e2.png

    自相关系数按负指数衰减且具有拖尾性

    4 . 偏自相关系数

    自相关系数直接反映了随机变量

    之间的相关关系,不考虑中间k-1个随机变量的影响

    偏自相关系数把中间k-1个随机变量看作已知的条件下来研究
    之间的相关关系

    公式定义

    63dfc3db37eea6687394178cd1538fd7.png

    其中,

    条件期望

    ddd153d555532ce226f67051e4e3618d.png

    考虑中心化平稳AR序列,可用过去的k个序列作k阶回归拟合

    ,即:

    c3e57386da01d75d300852b50a5ddcb9.png

    两边取数学期望得:

    8afae58f503b8c508ae82b5497904262.png

    则有:

    94f288960ea648361d3f2520dc14d6b4.png

    所以, 偏自相关系数恰好就等于k阶自回归拟合中的滞后k阶偏自相关系数

    a12977b070dad9e7acc04ecd4c0b536c.png

    也就是说,计算偏自相关系数可用通过计算k阶自回归拟合得到

    Levinson递推公式

    如果

    正定,对

    36cc3a92bc0c6cb3a3eb5cdbfa26aa8d.png

    偏自相关系数在p之后的值均为0 ,即截尾性

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  • 前情提要:经历了残酷毕业论文写作申请学校面试等乱七八糟事情...对于阿玛(ARMA)这样线性模型来说,最重要特质大概就是它自相关方程(Autocorrelation Function, ACF)和偏自相关方程(Partial Autocorr...

    前情提要:经历了残酷的毕业论文写作申请学校面试等乱七八糟的事情之后,年更博主再度上线。上回说到,ARMA模型是一个数据生成过程,忘掉什么是数据生成过程的同学可以找上一篇复习一下。现在我们来探究一下这个模型的一些特质。

    对于阿玛(ARMA)这样的线性模型来说,最重要的特质大概就是它的自相关方程(Autocorrelation Function, ACF)和偏自相关方程(Partial Autocorrelation Function, PACF)了。这两个东西非常厉害,厉害到什么地步呢?当你对大多数非经济学/统计学的同学讲这两个东西的时候,得到的回复基本上会是“Auto... what?”。开个玩笑,其实它们的重要性在于,它们可以描绘出一个线性线性时间序列数据生成过程的全部特征。下面我们展开来讲它们到底是个什么鬼。

    ACF叫自相关方程。什么叫自相关?自相关就是自己和自己(的滞后项)的相关性。打个比方,你每天早餐都要吃一个可颂,那么你每天吃可颂这个行为就是自相关的,而且相关系数为1(不变);但是如果你和你的朋友每天都吃一个可颂,你们两个之间的关系就不叫自相关,而叫相关(cross correlation)。相关系数大家都会算,无非就是

    自相关系数通常会使用

    来表示,和普通的相关系数一样,它也是介于-1和1之间的数值。考虑到时间序列的特征,一个ARMA会有很多个自相关系数,分别对应不同的滞后阶数,
    中间的点就表示滞后阶数。其公式写作

    有时候我们会把自协方差(Autovariance)记作

    ,显然
    就是方差。这样的话自相关系数就可以写作

    对于一个时间序列来说,往前看和往后看是没什么差别的。怎么理解这一点呢?比如说我给自己定一个规矩,如果我在7天之前吃了个可颂当早餐,我今天就一定会吃一个可颂当早餐。也就是说我在每周的固定一天都会吃可颂(因为每周三买可颂送积分,手动划掉)。而这件事完全等价于如果我今天吃了一个可颂,我7天之后就一定会吃一个可颂,于是往前看和往后看就没什么差别了。故而

    ,我们只需要关注
    的情况就好。

    说了那么多,ACF(自相关方程)到底是个什么东西呢?通俗易懂一点讲,它就是把

    放在横轴,把
    放在纵轴的一张图。它展现了滞后阶数和相关系数之间的关系。

    PACF叫偏自相关方程,听起来很高大上,其实它比起ACF来说就是多了个P而已。偏(partial)这个概念指的是直接关系,想想偏微分的概念是什么大概就可以理解一下了。正式一点来说,偏自相关方程展现了滞后阶数和偏相关系数

    之间的关系。用公式表达的话就是

    当然,如果没看明白PACF是什么的话也大可不必慌张,毕竟估计你也没几个同学真的搞明白它是什么的不是。当然你实在要硬抠的话可以记住这个例子,不管我周二是不是(打赌输了)吃了100个可颂,我每周三都会吃一个可颂,雷打不动。

    下面我们来说说ACF和PACF和阿玛模型有什么关系。我们先考虑一个协方差平稳(这个概念之后会讲)的AR(1)过程,它大概可以写成

    这个样子,或者是
    。 那么它的ACF会是什么呢?首先
    就很明显了

    滞后第二阶往下也可以用相同的办法得到,简单的迭代一下就好。

    然后我们算一下方差。由平稳性可知,

    ,所以我们从AR(1)的结构就可以知道

    这里的

    的方差。至此,我们就可以搞出AR(1)的ACF啦,它可以用
    来表示如下。AR(1)的ACF呈现出完美的几何递减趋势(geometrically decreasing),说明越久的历史对现在的影响越小。如果吃可颂也符合AR(1)的话,那就是我一年前吃没吃可颂对我今天吃不吃影响不大,但是一周前吃没吃对现在影响很大。

    PACF的计算相对而言比较困难,一般电脑也会自动帮忙算。但是很显然

    ,大家可以思考一下为什么。

    MA模型和ARMA模型的ACF计算留到下次再讲,祝大家都能吃到不软不硬不混酥的可颂。

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  • 参考:王茂南-自相关系数和偏自相关系数 洪于祥-计算自相关系数acf和偏相关系数pacf 百度百科-协方差 维基百科-相关 协方差的意义 马同学的回答 GRAYLAMB的回答 样本自相关系数与偏自相关系数的研究基本定义时间序列...

    个人记录用,非相关专业,有错请指出。

    参考:

    1. 王茂南-自相关系数和偏自相关系数
    2. 洪于祥-计算自相关系数acf和偏相关系数pacf
    3. 百度百科-协方差
    4. 维基百科-相关
    5. 协方差的意义
    6. 马同学的回答
    7. GRAYLAMB的回答
    8. 样本自相关系数与偏自相关系数的研究

    基本定义

    时间序列:

    • 均值,公式:

    • 方差,衡量变量和期望值偏离的度量值,是协方差的一种特殊情况,即变量与自身的协方差,公式:

    • 协方差,衡量两个变量的联合变化程度,可以理解为两个变量变化方向的异同和程度,公式:

    1. 如果
      是统计独立的,那么二者之间的协方差就是0,反过来不一定成立。
    2. 正相关:
      越大,
      越大或
      越小,
      越小。
    3. 负相关:
      越大,
      越小或
      越小,
      越大。
    4. 协方差的绝对值越大,表明
      的相关性越强。
    • 皮尔森相关系数,衡量两个等距(即间距)尺度或等比(即比例)尺度变数之相关性,公式:

    有偏估计:估计量的数学期望等于被估计参数的真实值,即样本均值的期望等于总体均值,所以样本均值为有偏估计。

    无偏估计:估计量的数学期望不等于被估计参数的真实值,则称此估计量为被估计参数的无偏估计。

    有偏和无偏会有分母的不同

    • 相关,显示两个随机变量之间线性关系的强度和方向。
    • 互相关,互相关有时表示两个变量的协方差(此处不确定),在信号处理领域表示两个信号之间相似性的一个度量,实质上类似于两个函数的卷积。
    • 自相关(序列相关),是一个信号于其自身在不同时间点的相关,自相关系数公式:
    • 偏自相关,
      的偏自相关系数是指去掉
      的间接影响后的简单相关系数
      ,即只考虑滞后
      的影响。
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偏自相关系数的计算