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  • 幂的大小比较
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    2020-12-31 09:23:18

    比较幂大小的方法

    一、

    转化法:

    1

    比较

    20

    4

    10

    15

    的大小

    分析:

    此题若直接计算,结果太大,不可行

    .

    观察到两个指数分别是

    20

    10

    ,考

    虑到

    20

    10

    2

    倍,

    利用幂的乘方公式,

    可以把要比较的两个幂化为指数相同

    的形式进行比较

    .

    解:

    因为

    20

    2

    10

    10

    4

    (4

    )

    16

    ,

    10

    10

    16

    15

    所以

    20

    10

    4

    15

    【点评】

    比较两个幂的大小,通常有两种方法:一是使它们的底数相同,化为

    同底数幂比较;二是把它们的指数变为相同,通过比较底数来确定幂的大小

    .

    题采用第二种方法

    .

    二、归纳猜想法

    2

    、比较

    1001

    1000

    1000

    1001

    的大小

    分析:

    观察两个幂的关系发现:它们的底数和指数都相差

    1.

    用字母表示一般形

    式,

    即比较

    1

    n

    n

    (

    1)

    n

    n

    的的大小

    (

    n

    为正整数)

    然后从分析

    1

    n

    2

    n

    ,

    3

    n

    等简单形式入手,从而发现规律,通过归纳猜想得出结论

    .

    解:

    比较下列幂的大小:

    2

    1

    1

    2

    ,

    3

    2

    2

    3

    ,

    3

    4

    ,

    5

    4

    4

    5

    ,

    6

    5

    5

    6

    ,

    7

    6

    6

    7

    对上述结果进行归纳可以发现,当

    3

    n

    时,

    1

    n

    n

    (

    1)

    n

    n

    3

    n

    时,

    1

    n

    n

    (

    1)

    n

    n

    ,所以,

    1001

    1000

    1000

    1001

    .

    【点评】

    当已知条件中数据较大时,可抓住式子的特点,用符合原式子特点的

    较小的数来代替较大的数进行研究,

    化繁为简,

    化难为易,

    从中发现规律,

    解决

    问题

    .

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    在幂的运算中,有一种比较大小类型的题目,数据很大,计算基本上是不可能的事情,会出现几百、几千次方,怎么算?遇到这种题目,不要慌张,巧用幂的有关法则就能比较大小,那么怎么使用呢?一般比较大小有两个法则:(1)底数比较法:运用幂的乘方变形为指数相等,底数不同的形式进行比较;(2)指数比较法:运用幂的乘方变形为底数相等,指数不同的形式进行比较。也就是说,在幂的运算中遇到比较大小的题目,首先想能不能换成同底数或同指数,如果可以的话,基本上问题解决了;如果不能,我们再想其它的办法。

    01指数比较法

    解题前先观察几个幂的特征,主要看幂的底数有没有联系,即是不是同一个数的次方;看幂的指数有没有联系,即是不是一个数的倍数。例题1中,发现底数分别为81,27和9,都和3有关,81是3的4次方,27是3的3次方,9是3的2次方,先把81,27,9转化为底数为3的幂,再根据幂的乘方,底数不变,指数相乘化简.然后根据指数的大小即可比较大小.

    02底数比较法

    本题底数是3、4、5,没有什么特点,但是指数是30、40、50有特点,都是10的倍数,因此我们可以利用幂的乘方将指数都转化为10,然后利用底数的大小进行比较。这两种方法是幂的运算中,比较大小最常用的两种方法。

    03作商法比较大小

    如果上述两种方法不能使用,那就先想一下,以前我们所学的作差法和作商法,作差法常用在比较代数式(主要是整式)的大小,作商法也能比较代数式(主要是分式)的大小。比如例题3中,写成两个幂比的形式,那我们可以试着用作商法比较大小。

    即P、Q(都为正数)比较大小,当P/Q>1时,P>Q;当P/Q=1时,P=Q;当P/Q<1时,P<Q,用它们的商与1进行比较。

    04比较指数的大小

    当底数为参数时,我们可以找数字之间的关系,一般是乘、除、乘方之间的关系,不能是加减关系,找到后转化为幂的关系,然后通过同底数幂的乘法、同底数幂的除法或幂的乘方、积的乘方找字母之间的关系。

    05比较底数大小

    几个正数的相同次幂比较大小,幂的值越大则对应的数就越大。这也是比较幂的大小一种方法,注意灵活使用。

    这是幂的运算中,比较大小的几种方法,巧用幂的有关法则比较大小,这些题目不再是难题。

    展开全文
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    01利用幂的乘方法则进行计算

    幂的乘方法则:幂的乘方,底数不变,指数相乘。

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    幂的乘方计算时,是将指数相乘而不是相加,不要与同底数幂的乘方法则相混淆。

    02利用幂的乘方求字母之间的关系

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    此题考查了幂的乘方与同底数幂的乘法的性质,注意掌握指数的变化是解此题的关键。利用上一节中底数相同、幂相同,可得指数相同,因此先将题目中的三个幂转化为同底再进行计算。

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    03方程思想求参数的值

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    在利用方程思想求参数时,很多题目不仅会用到幂的乘方运算,还会遇到同底数幂相乘,解题时要会区分这两种运算,先通过幂的乘方将幂转化为同底,然后根据同底数幂相乘法则进行运算,最后通过幂相等,底数相等时,指数也相等,得到关于参数的方程,求解方程即可。

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    04比较大小

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    比较大小时,我们的目标是:要么将幂化为底数相同,要么将幂化为指数相同。本题底数分别为2、3、4,不容易化为相同,而指数为55、44、33,最大公约数为11,那么我们可以将指数都化为11.

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    05底数互为相反数的幂的乘方

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    底数互为相反数,当为偶次幂时,不改变式子;当为奇次幂时,需要变为相反数。比如例题5,a-2b的2m次方,因为指数为偶数,因此可转化为(2b-a)的2m次方。但是如果转化第二个幂,3n可能是奇次方也可能是偶次方,那就需要分情况讨论。

    这是幂的乘方中常见题型分析,难点在比较大小,重点在方程思想。

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    JDK8中HashMap的大小默认初始值,以及后面的扩容操作,都指定,大小必须是2的幂次

    所以为什么呢?

    HashMap中指定哈希桶数组大小为2的幂次,主要是在两方面进行优化:

    1,扩容:大小指定为2的幂次,当哈希桶扩大2倍时,只需要进行左移操作,众所周知,位操作的速度还是超快的

    2,Hash算法的均匀分布,减少哈希碰撞几率:16或者其他2的幂,Length-1的值是后面的二进制位全为1,例如16-1=15二进制1111,32-1=31二进制11111,这种情况下,index = key值HashCode&(length-1),index的结果等同于key值的HashCode后几位的值。只要输入的HashCode本身分布均匀,Hash算法的结果就是均匀的。

     

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空空如也

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