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  • 幂等矩阵的理解

    千次阅读 2019-12-09 20:48:51
    幂等矩阵的定义 若对于方阵A存在如下关系:AA=AAA=AAA=A,则称A为一个幂等矩阵 二.一些常见的幂等矩阵 1.单位矩阵III 2.某一行全为1,其余行全为0的矩阵AAA (证明:设AAA的第mmm行全为1,其余行全为0。B=A∗AB=A*AB=...
    一.幂等矩阵的定义

    若对于方阵A存在如下关系:AA=AAA=A,则称A为一个幂等矩阵

    二.一些常见的幂等矩阵

    1.单位矩阵II

    2.某一行全为1,其余行全为0的矩阵AA
    (证明:设AA的第mm行全为1,其余行全为0。B=AAB=A*A,可知bij=k=1naikakjb_{ij}={\textstyle\sum_{k=1}^n}a_{ik}a_{kj},只有当i=mi=m时,k=1naikakj=1{\textstyle\sum_{k=1}^n}a_{ik}a_{kj}=1,则bmj=1b_{mj}=1,否则为0,所以BB矩阵第mm行全为1,其余行全为0。所以B=AA=AB=A*A=A)

    3.用于计算离差的矩阵M0=(I1nii)M_{0}=(I-\frac1nii').
    其中II为单位阵,ii为元素全为1的列向量,ii'为元素全为1的行向量,M0xM_{0}x为向量xx的离差形式。
    (证明:M0M0=(I1nii)(I1nii)=I21nii+1n2i(ii)iM_{0}*M_{0}*=(I-\frac1nii')*(I-\frac1nii')=I-2\frac1nii'+\frac1{n^2}i(i'i)i',因为ii=ni'i=n,所以M0M0M_{0}*M_{0}=(I1nii)(I1nii)=I21nii+1nii=M0(I-\frac1nii')*(I-\frac1nii')=I-2\frac1nii'+\frac1nii'=M_{0})

    三.幂等矩阵性质

    1.幂等矩阵的特征值只能为0和1。
    (证明思路:因为为幂等矩阵所以推出λk=λ\lambda^k=\lambda,所以λ\lambda只能为0,1)

    2.幂等矩阵可对角化。
    (证明思路:AA为幂等矩阵,CC为其特征向量矩阵,Λ\Lambda为对角线为特征值的矩阵,则AA的对角化为CAC=CCΛ=ΛC'AC=C'C\Lambda=\Lambda

    3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即tr(A)tr(A)=rank(A)rank(A)
    (证明思路:将AA对角化为Λ\Lambda,因为λ\lambda只能为0,1,所以对于AA有:tr(A)=tr(Λ)=tr(A)=tr(\Lambda)=对角线为1的元素和=不全为0的行=rank(Λ)=rank(A)=rank(\Lambda)=rank(A))

    4.可逆的幂等矩阵为II
    (证明思路,可逆一定满秩,满秩说明所有特征值为1,此时为单位阵II

    5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵

    。。。

    四.关于幂等矩阵的理解

    幂等的思想在数学和工程中都是经常使用的思想。
    将矩阵AA作用于向量xx上,相当于对xx进行了一次变换。可以记为Ax=f(x)Ax=f(x)。此时所A为幂等矩阵,则AAx=AxAAx=Ax,进一步有f(f(x))=f(x)f(f(x))=f(x),说明此时对xx进行多次变换与进行一次变换的效果是一样的。
    这样的思想在开发工程中也经常使用,工程中的幂等,说的是对用户的输入进行重复多次计算,仍与计算一次的结果是相同的,这避免了数据重复计算时带来的弊端,确保了工程的正确性与稳定性。

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  • 幂等矩阵

    2020-04-06 19:58:04
    幂等矩阵(idempotent matrix)定义:若A为方阵,且A²=A,则A称为幂等矩阵。例如,某行全为1而其他行全为0方阵是幂等矩阵。实际上,由Jordan标准型易知,所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1对角阵。 、 ...

    幂等矩阵(idempotent matrix)定义:若A为方阵,且A²=A,则A称为幂等矩阵。例如,某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上,由Jordan标准型易知,所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

     

     

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  • 在有限域上获得了关于幂等矩阵一些结果。 然后,通过在一组幂等矩阵定义矩阵排序关系,获得一族几何格。 还可以计算其特征多项式。
  • 对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵... 看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,...

    转载自:https://blog.csdn.net/jbb0523/article/details/50596604

            看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。

    1、对称矩阵(文献【1】第40页)

    其中上标T表示求矩阵的转置(文献【1】第38-39页)


    2、Hermite矩阵(文献【2】第97页)


    其中H表示求矩阵的复共轭转置:(文献【2】第96页)

            Hermite阵是对称阵概念的推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。

    3、正交矩阵(文献【1】第115页)

    4、酉矩阵(文献【2】第102页)

            类似于Hermite阵相对于对称阵,酉矩阵是正交阵概念的推广。

    5、奇异矩阵(文献【1】第43页)

    6、正规矩阵(文献【2】第119页)

    7、幂等矩阵(文献【2】第106-107页)


    参考文献:

    【1】同济大学数学系 编. 工程数学线性代数[M]. 5版.高等教育出版社,2007.

    【2】史荣昌, 魏丰. 矩阵分析[M]. 3版.北京:北京理工大学出版社, 2010.

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  • 看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。 1、对称矩阵(文献【1】...

            看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。

    1、对称矩阵(文献【1】第40页)

    其中上标T表示求矩阵的转置(文献【1】第38-39页)


    2、Hermite矩阵(文献【2】第97页)


    其中H表示求矩阵的复共轭转置:(文献【2】第96页)

            Hermite阵是对称阵概念的推广,对称阵针对实矩阵(矩阵元素均为实数),Hermite阵针对复矩阵。

    3、正交矩阵(文献【1】第115页)

    4、酉矩阵(文献【2】第102页)

            类似于Hermite阵相对于对称阵,酉矩阵是正交阵概念的推广。

    5、奇异矩阵(文献【1】第43页)

    6、正规矩阵(文献【2】第119页)

    7、幂等矩阵(文献【2】第106-107页)


    参考文献:

    【1】同济大学数学系 编. 工程数学线性代数[M]. 5版.高等教育出版社,2007.

    【2】史荣昌, 魏丰. 矩阵分析[M]. 3版.北京:北京理工大学出版社, 2010.

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  • 看文献的时候,经常见到各种各样矩阵,本篇总结了常见的对称矩阵、Hermite矩阵、正交矩阵、酉矩阵、奇异矩阵、正规矩阵、幂等矩阵七种矩阵的定义,作为概念备忘录吧,忘了可以随时查一下。 1、对称矩阵(文献【1】...
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  • 矩阵论——广义逆矩阵

    千次阅读 2018-12-22 14:40:56
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