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  • 【线性代数笔记】幂等矩阵的性质
    2022-02-20 14:09:53

    定义 A n × n A_{n\times n} An×n满足 A 2 = A A^2=A A2=A,则 A A A为幂等矩阵。


    定理1 幂等矩阵 A A A的特征值只可能是 0 0 0 1 1 1
    证明:设 λ \lambda λ A A A的特征值,则 λ \lambda λ也是 A 2 A^2 A2的特征值,而 A 2 A^2 A2得特征值是 λ 2 \lambda^2 λ2,故 λ 2 = λ \lambda^2=\lambda λ2=λ,即 λ = 0 , 1 \lambda=0,1 λ=0,1


    定理2 A A A n n n阶幂等矩阵,则 A A A一定可以对角化。
    证明:即证 0 , 1 0,1 0,1的代数重数等于几何重数。
    首先, 0 0 0的代数重数大于等于其几何重数 t ≥ n − r ( A ) t\ge n-r(A) tnr(A)
    其次, A 2 = A A^2=A A2=A A ( I − A ) = O A(I-A)=O A(IA)=O,则由这篇文章 r ( A ) + r ( I − A ) ≤ n r(A)+r(I-A)\le n r(A)+r(IA)n。又 A + ( I − A ) = I A+(I-A)=I A+(IA)=I,故 r ( A ) + r ( I − A ) ≥ r ( I ) = n r(A)+r(I-A)\ge r(I)=n r(A)+r(IA)r(I)=n。因此 r ( A ) + r ( I − A ) = n r(A)+r(I-A)=n r(A)+r(IA)=n。于是 ( I − A ) x = 0 (I-A)\bm x=0 (IA)x=0的基础解系有 n − r ( I − A ) = r ( A ) n-r(I-A)=r(A) nr(IA)=r(A)个线性无关的特解,即 1 1 1得几何重数为 r ( A ) r(A) r(A),因此 1 1 1的代数重数大于等于 r ( A ) r(A) r(A)
    0 0 0 1 1 1的代数重数之和为 n n n,故 0 0 0 1 1 1的代数重数分别为 n − r ( A ) n-r(A) nr(A) r ( A ) r(A) r(A),与几何重数一致。

    推论1 n n n阶幂等矩阵 A A A的有 r ( A ) r(A) r(A) 1 1 1 n − r ( A ) n-r(A) nr(A) 0 0 0作为特征值。

    推论2 A A A n n n阶幂等矩阵, r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r,则一定存在可逆矩阵 P P P使得 P − 1 [ I r O O O ] P = A P^{-1}\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}P=A P1[IrOOO]P=A

    推论3 A A A为幂等矩阵,则 tr ( A ) = r ( A ) \text{tr}(A)=r(A) tr(A)=r(A)


    例题

    1. 证明:设 A A A n × n n\times n n×n矩阵,则存在幂等矩阵 F F F和可逆矩阵 U U U使得 A = F U A=FU A=FU
      证明:设 r ( A ) = r r(A)=r r(A)=r。由等价标准型定理知存在可逆矩阵 P , Q P,Q P,Q使得 A = P [ I r O O O ] Q = P [ I r O O O ] P − 1 P Q A=P\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}Q=P\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}P^{-1}PQ A=P[IrOOO]Q=P[IrOOO]P1PQ。设 F = P [ I r O O O ] P − 1 F=P\begin{bmatrix}I_r&O\\O&O\end{bmatrix}P^{-1} F=P[IrOOO]P1 U = P Q U=PQ U=PQ即可。
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    在线性代数中,幂等矩阵是指一个矩阵乘以自己等于自己。也就是说,当且仅当MM==M时,M是幂等的;因此,M必须是方阵。从这个方面看,幂等矩阵是矩阵环的幂等元组成。

    举例这两个矩阵分别为和的幂等矩阵。

      1. 实数的幂等矩阵分析

    如果矩阵是幂等的,则如下公式成立:

                          (1)

                           (2)

                            (3)

                            (4)

    从公式2和公式3得出,b=0且c=0,或者a+d=1。因此,对于的幂等矩阵,或者是对角方阵,或者是trace为1的方阵。而且如果是对角矩阵,则a和d或者都为0,或者都为1.

    如果b=c的话,则只要满足,矩阵是幂等矩阵。因此,a要满足如下的二元二次方程,

    ,即

    这就是以(1/2,0)为圆点,以1/2为半径的圆。引入角度θ标识,则幂等矩阵为

    当前上面的幂等矩阵只是幂等矩阵的一个特例,因为b=c不是必须的限定条件,其实只要满足,矩阵,就是幂等矩阵。

      1. 特性

    幂等矩阵除了幂等的特性外,它还是奇异的。假如M是满秩的,则。如果M是满秩的,则M必须是单位矩阵。

    如果M是幂等矩阵,则M-I也一定是幂等矩阵,

    如果M是幂等矩阵,则它一定是可对角化的,即一定存在一个矩阵P,使得,其中A是对角矩阵,A的值为1或0。幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,必须是一个整数。该特性提供了一个快速计算幂等矩阵的秩的方法。

      1. 应用

    幂等矩阵通常用于回归分析和经济学中。例如,在普通的最小二乘中,回归问题是选择一个互相关系数向量β来最小化平方残差,用矩阵的形式描述如下:

    最小化

    这里,y是观测输出的因变量向量,X的每一列是自变量中的一个的一列观测结果。估算的结果是,

    这里,T标识转置,残差向量为:

    这里的M和都是幂等矩阵且对称的,也被称为“帽子矩阵”(hat matrix)。因此,可以简化残差平方和为,

    M的幂等特性在其它值的运算中也有用,例如计算的方差。

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  • 幂等矩阵的理解

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    一.幂等矩阵的定义

    若对于方阵A存在如下关系: A A = A AA=A AA=A,则称A为一个幂等矩阵

    二.一些常见的幂等矩阵

    1.单位矩阵 I I I

    2.某一行全为1,其余行全为0的矩阵 A A A
    (证明:设 A A A的第 m m m行全为1,其余行全为0。 B = A ∗ A B=A*A B=AA,可知 b i j = ∑ k = 1 n a i k a k j b_{ij}={\textstyle\sum_{k=1}^n}a_{ik}a_{kj} bij=k=1naikakj,只有当 i = m i=m i=m时, ∑ k = 1 n a i k a k j = 1 {\textstyle\sum_{k=1}^n}a_{ik}a_{kj}=1 k=1naikakj=1,则 b m j = 1 b_{mj}=1 bmj=1,否则为0,所以 B B B矩阵第 m m m行全为1,其余行全为0。所以 B = A ∗ A = A B=A*A=A B=AA=A)

    3.用于计算离差的矩阵 M 0 = ( I − 1 n i i ′ ) M_{0}=(I-\frac1nii') M0=(In1ii).
    其中 I I I为单位阵, i i i为元素全为1的列向量, i ′ i' i为元素全为1的行向量, M 0 x M_{0}x M0x为向量 x x x的离差形式。
    (证明: M 0 ∗ M 0 ∗ = ( I − 1 n i i ′ ) ∗ ( I − 1 n i i ′ ) = I − 2 1 n i i ′ + 1 n 2 i ( i ′ i ) i ′ M_{0}*M_{0}*=(I-\frac1nii')*(I-\frac1nii')=I-2\frac1nii'+\frac1{n^2}i(i'i)i' M0M0=(In1ii)(In1ii)=I2n1ii+n21i(ii)i,因为 i ′ i = n i'i=n ii=n,所以 M 0 ∗ M 0 M_{0}*M_{0} M0M0= ( I − 1 n i i ′ ) ∗ ( I − 1 n i i ′ ) = I − 2 1 n i i ′ + 1 n i i ′ = M 0 (I-\frac1nii')*(I-\frac1nii')=I-2\frac1nii'+\frac1nii'=M_{0} (In1ii)(In1ii)=I2n1ii+n1ii=M0)

    三.幂等矩阵性质

    1.幂等矩阵的特征值只能为0和1。
    (证明思路:因为为幂等矩阵所以推出 λ k = λ \lambda^k=\lambda λk=λ,所以 λ \lambda λ只能为0,1)

    2.幂等矩阵可对角化。
    (证明思路: A A A为幂等矩阵, C C C为其特征向量矩阵, Λ \Lambda Λ为对角线为特征值的矩阵,则 A A A的对角化为 C ′ A C = C ′ C Λ = Λ C'AC=C'C\Lambda=\Lambda CAC=CCΛ=Λ

    3.幂等矩阵的迹等于幂等矩阵的秩,即 t r ( A ) tr(A) tr(A)= r a n k ( A ) rank(A) rank(A)
    (证明思路:将 A A A对角化为 Λ \Lambda Λ,因为 λ \lambda λ只能为0,1,所以对于 A A A有: t r ( A ) = t r ( Λ ) = tr(A)=tr(\Lambda)= tr(A)=tr(Λ)=对角线为1的元素和=不全为0的行 = r a n k ( Λ ) = r a n k ( A ) =rank(\Lambda)=rank(A) =rank(Λ)=rank(A))

    4.可逆的幂等矩阵为 I I I
    (证明思路,可逆一定满秩,满秩说明所有特征值为1,此时为单位阵 I I I

    5.方阵零矩阵和单位矩阵都是幂等矩阵

    。。。

    四.关于幂等矩阵的理解

    幂等的思想在数学和工程中都是经常使用的思想。
    将矩阵 A A A作用于向量 x x x上,相当于对 x x x进行了一次变换。可以记为 A x = f ( x ) Ax=f(x) Ax=f(x)。此时所A为幂等矩阵,则 A A x = A x AAx=Ax AAx=Ax,进一步有 f ( f ( x ) ) = f ( x ) f(f(x))=f(x) f(f(x))=f(x),说明此时对 x x x进行多次变换与进行一次变换的效果是一样的。
    这样的思想在开发工程中也经常使用,工程中的幂等,说的是对用户的输入进行重复多次计算,仍与计算一次的结果是相同的,这避免了数据重复计算时带来的弊端,确保了工程的正确性与稳定性。

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  • 幂等矩阵

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    幂等矩阵(idempotent matrix)定义:若A为方阵,且A²=A,则A称为幂等矩阵。例如,某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上,由Jordan标准型易知,所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。 、 ...

    幂等矩阵(idempotent matrix)定义:若A为方阵,且A²=A,则A称为幂等矩阵。例如,某行全为1而其他行全为0的方阵是幂等矩阵。实际上,由Jordan标准型易知,所有幂等矩阵都相似于对角元全为0或1的对角阵。

     

     

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空空如也

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