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  • 总结幂级数和泰勒级数

    千次阅读 2018-12-25 15:14:18
    幂级数和泰勒级数

    出处:数学笔记31——幂级数和泰勒级数-by我是8位的


    实际应用中,总是会出现一堆复杂的函数,这类函数往往令物理学家和数学家都十分头疼。为了解决这一窘境,泰勒想:会不会存在一种方法,把一切函数表达式都转化为多项式函数来近似呢?这样,处理问题不就变得简单了吗?经过泰勒夜以继日的奋斗,终于研究出了泰勒级数的理论。它将一切函数,不论表达式有多么多么的复杂,只有能保证n阶导数存在,就能将它的局部用多项式展开。泰勒级数在近似计算中有重要作用。实际上,利用多项式函数近似(或者称作逼近)一个复杂函数,是研究实际问题的一个非常重要的思想。


    幂级数与几何级数

    幂级数

    幂级数是这样表示的:
    在这里插入图片描述

    几何级数

    ana_n是定值时,幂级数称为几何级数。

    an=1a_n = 1时:
    在这里插入图片描述

    收敛半径

    an=1a_n = 1的几何级数为例,xx的取值范围(1<x<1-1 < x < 1)称为收敛半径,用RR表示。在收敛半径内,幂级数是收敛的;在收敛半径外,幂级数是发散的;如果x=R|x| = R,幂级数的收敛性不确定。根据该定义,如果x<Rx < |R|,则必然有anxn0|a_nx^n|→0,也就是:
    在这里插入图片描述
    将收敛半径看成一个圆,xx的取值点如果在圆内,则幂级数是收敛的,在圆外则是无意义的。我们可以计算圆的大小,正如下面的示例,圆甚至可能是无穷大。

    示例,计算下列幂级数的收敛半径
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    x<2x < 2时极限小于11,所以收敛半径是R=2R = 2。可以看出,当x<2x < 2时,这是一个an=1a_n = 1的常规几何级数,其值是11x\frac{1}{1 - x},就是最开始介绍的公式。

    这里存在ana_nan=n!a_n = n!
    在这里插入图片描述
    对于任意xx,幂级数都是收敛的,其收敛半径是\infty

    3)
    在这里插入图片描述
    x<2x < 2时极限小于11,所以收敛半径是R=2R = 2

    4)
    在这里插入图片描述
    对于任意xx,幂级数都是收敛的,其收敛半径是\infty

    幂级数的运算

    在这里插入图片描述
    以上面的幂级数为例,它的意义之一就在于它可以反写右侧的表达式,即:
    在这里插入图片描述
    这样,幂级数就变成了一个灵活的工具,他能够将一个表达式展开。可以将幂级数看作没有尽头的多项式,所有适用于多项式的运算,包括加减乘除乘方开方等,都同样适用于幂级数,当然,还有我们关注的微分和积分,如下所示:
    在这里插入图片描述

    示例
    很容易算出下面的积分:
    在这里插入图片描述
    现在我们试图用幂级数去计算:
    在这里插入图片描述
    由此也得到了一个副产品,就是ln(x+1)\ln(x + 1)的解释:
    在这里插入图片描述


    泰勒级数

    泰勒公式

    如果f(x)f(x)在点x=x0x = x_0具有任意阶导数,则下面的幂级数称为f(x)f(x)x0x_0点的泰勒级数:
    在这里插入图片描述
    在泰勒公式中,xx处于收敛半径内部,即x<R|x| < R,取x0=0x_0 = 0点,得到级数:
    在这里插入图片描述
    上式表示对ff进行nn次求导之后,在零点的值,除以nn的阶乘再乘以xnx^n
    实际上,在泰勒公式中,我们定义了
    在这里插入图片描述
    现在来看看泰勒公式为什么成立。
    在这里插入图片描述
    以三阶导数为例:
    在这里插入图片描述
    推广到n阶导数:
    在这里插入图片描述

    泰勒公式的应用

    泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。

    如下图所示,假设汽车沿着一个方向行驶,车辆的位移SS是关于时间tt的函数,我们知道在t=0t = 0时刻(可以理解为00点)位移是S0S_0,现在想要知道t=1t = 1时刻(凌晨11点)车辆的位置:
    在这里插入图片描述

    ex

    f(x)=exf(x) = e^x是一个可以用泰勒公式展开的例子。
    在这里插入图片描述
    x=1x = 1时,还附带得到了ee的解释:
    在这里插入图片描述

    多项式的泰勒展开式

    求解泰勒级数3x3+4x22x+13x^3 + 4x^2 – 2x + 1
    在这里插入图片描述
    由此可以看出,多项式的泰勒级数就是多项式本身。


    幂级数的展开

    示例1

    展开11+x\dfrac{1}{1 + x}

    由于已经知道几何级数11+x\dfrac{1}{1 + x}的展开式,所以可以直接写出答案:
    11+x=1x+x2x3+(R=1)\dfrac{1}{1 + x} = 1 – x + x^2 – x^3 + … (R = 1)

    示例2

    展开sinx\sin x

    这需要动用泰勒公式。

    sin0=0\sin 0 = 0

    sinx=cosx,cos0=1\sin'x = \cos x,\cos 0 = 1

    sinx=sinx,sin0=0\sin''x = -\sin x,-\sin 0 = 0

    sinx=cosx,cos0=1\sin''' x=-\cos x,-\cos0=-1

    sin(4)x=sinx,sin0=0\sin^{(4)}x=\sin x,\sin 0=0

    ……

    根据泰勒公式:
    在这里插入图片描述
    由于anxn0|a_nx^n|→0,所以R=R = ∞

    示例3

    展开cosx\cos x

    同上,
    在这里插入图片描述

    示例4

    展开xsinxx\sin x
    在这里插入图片描述

    展开的意义

    先来看一个很难处理的积分,对正态分布进行积分:在这里插入图片描述
    由于被积函数与exe^x相似,我们又已经知道exe^x的展开式,所以可以进行下面的变换:

    很容易计算右侧的积分。

    这个例子展示了幂级数展开的意义——把质的困难转化成量的复杂。展开前求解函数的值很困难,展开后是幂函数的线性组合,虽然有很多很多项,但是每一项都是幂函数,因此每一项都容易求解。于是只要对展开后的函数求和,就能得到展开前的函数的值。


    综合示例

    示例1

    求解泰勒级数

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    三阶导数的计算会非常麻烦,最好放弃,寻找其它方法。

    ln(1x3)\ln(1 – x^3)ln(1+x)\ln(1+ x)非常相似,已经知道ln(1+x)\ln(1 + x)的结果:
    在这里插入图片描述

    现在用x3– x^3代替xx
    在这里插入图片描述

    示例2

    求解泰勒级数的积分 f(x)=1+2x+3x2+4x3+5x4+f(x) = 1 + 2^x +3 x^2 + 4x^3 + 5x^4 + …
    在这里插入图片描述
    C=1C = 1,当 x<1|x| < 1时,积分的结果是几何级数:
    在这里插入图片描述
    所以当x<1|x| < 1时,还可得到副产物:
    在这里插入图片描述

    示例3

    在这里插入图片描述
    看起来就很难对付。

    仔细观察后会发现两个突破口,第一个是求和后求极限,这会联想到黎曼和;第二个是通过求和公式联想到某个函数的展开式,如果找到原函数,就能求解积分。顺着这个思路,由于2n\frac 2n反复出现,nn\to\infty时,2n0\frac 2n→0,所以可将2n\frac 2n看作ΔxΔx,于是和式就可以写成:
    在这里插入图片描述
    如果令f(x)=(2in)21f(x) = (\dfrac{2i}n)2 – 1,那么:
    在这里插入图片描述
    由此可以推测,x=2in=iΔxx = \dfrac{2i}n = iΔxf(x)=x21f(x) = x^2 – 1

    n=4n = 4验证,当n=4n = 4时,Δx=24=12Δx = \dfrac 24 = \dfrac 1 2
    在这里插入图片描述
    nn→∞时,i=n12in2i = n -1,\dfrac{2i}n→2,最终:
    在这里插入图片描述

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  • 人工智能-机器学习-数学-数学分析-总结(十二):无穷级数

    一、常数项级数的概念和性质

    1、常数项级数的概念和性质

    1.1 常数项级数的概念

    在这里插入图片描述

    1.2 收敛级数的基本性质

    在这里插入图片描述

    二、常数项级数的审敛法

    1、正项级数及其审敛法

    在这里插入图片描述

    2、交错级数及其审敛法

    在这里插入图片描述

    3、绝对收敛与条件收敛

    在这里插入图片描述

    4、绝对收敛级数的性质

    在这里插入图片描述

    三、幂级数

    1、函数项级数的概念

    在这里插入图片描述

    2、幂级数的定义

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    3、幂级数的收敛性

    在这里插入图片描述

    4、幂级数的运算

    在这里插入图片描述

    四、函数展开成幂级数

    给定函数f(x), 要考虑它是否能在某个区间内” 展开成幂级数”,就是说, 是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x) 。如果能找到这样的幂级数,我们就说, 函数f(x) 在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数f(x ) 。

    1、泰勒展开式

    在这里插入图片描述

    2、泰勒级数

    在这里插入图片描述

    3、n 次泰勒多项式

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    4、泰勒展开式成立的条件

    在这里插入图片描述

    5、麦克劳林展开式

    在这里插入图片描述

    6、要把函数f(x) 展开成x的幂级数步骤

    在这里插入图片描述

    7、要把函数f(x) 展开成x的幂级数案例

    在这里插入图片描述

    五、函数的幂级数展开式的应用

    1、近似计算

    在这里插入图片描述

    2、微分方程的幂级数解法

    在这里插入图片描述

    3、欧拉公式

    在这里插入图片描述

    七、傅里叶级数(三角级数)

    1、三角级数

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    2、三角函数系正交

    在这里插入图片描述

    3、函数展开成傅里叶级数

    在这里插入图片描述

    4、函数展开成傅里叶级数案例

    在这里插入图片描述

    5、函数的傅里叶级数的收敛性

    在这里插入图片描述

    6、正弦级数和余弦级数

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    八、一般周期函数的傅里叶级数

    在这里插入图片描述

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  • 幂级数的性质

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    幂级数这块要记得不是很多,但是还是总结一下。
    之后我打算再总结一下函数项级数的性质,傅里叶级数,一些计算技巧。
    首先幂级数不要求级数指数是连续的,只要是升幂就行。

    幂级数收敛

    收敛判别没有啥花里胡哨的,就直接收敛半径算一下,得到收敛区间,端点判断一下得到收敛域。
    1.an+1an=p\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=p,在n 趋于无穷时。r=1pr=\frac{1}{p}
    里面没有x
    这个最常用,但是注意
    如果指数不连续,要加绝对值用达朗贝尔
    如果是(x+1)要换元掉,求完别忘了换回来
    2.ann=p\sqrt[n]{a_{n}}=p,在n 趋于无穷时。r=1pr=\frac{1}{p}
    这个不是很常用。
    3.阿贝尔第二定理:在(r,r)(-r,r)一致收敛,0<r<R0<r<R,R是收敛半径。

    绝对收敛和条件收敛都是点态收敛。

    幂级数性质

    1.逐项可微性:收敛半径不变,但端点可能会变。
    2.逐项可积性
    这两个就可以用来求和函数。
    灵活运用两个性质。
    先求收敛域,再逐项微分,求和,积分
    或者逐项积分,求和,微分
    S(x)可以任意提出x,要把系数里的n全部化掉。

    其他

    1.求导后等于自身,满足微分方程
    2.数项级数只有n的线性,没有ln根号之类可以看成幂级数,然后代值进去。

    幂级数的展开

    1.已知的幂级数展开要牢记
    ex=1+x+12!x2+...+1n!xn+...e^x=1+x+\frac{1}{2!}x^2+...+\frac{1}{n!}x^n+...
    ln(x+1)=x12!x2+13!x3+...\ln(x+1)=x-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{3!}x^3+...
    sin(x)=x13!x3+15!x5+...\sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+...
    cos(x)=112!x2+14!x4+...\cos(x)=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4+...
    (1+x)a=1+ax+a(a1)2x2+...+a(a1)...(an+1)n!xn+...(1+x)^a=1+ax+\frac{a(a-1)}{2}x^2+...+\frac{a(a-1)...(a-n+1)}{n!}x^n+...
    这个最重要,很多都是通过这个代的,比如-1,-1/2等等
    11+x=1+x+x2+x3+...\frac{1}{1+x}=1+x+x^2+x^3+...
    1-x也可以带出来。
    总之一般是靠待出来的,不是算出来的
    2.技巧:比如ln(x+x2+1)\ln(x+\sqrt{x^2+1})展开先求导再算,再积分。
    高次的三角函数要降幂
    3.x可以自由的提出,只要展开一部分乘积就可以了。

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  • 由一道题目总结幂级数的收敛域问题@(微积分)这个知识点可以联想阿贝尔的12块钱,即收敛区间内绝对收敛,边界需要特别讨论。 函数项级数∑∞n=1(2x+1)nn\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x+1)^n}{n}的收敛域为[−1,0)⎯⎯...

    由一道题目总结幂级数的收敛域问题

    @(微积分)

    这个知识点可以联想阿贝尔的12块钱,即收敛区间内绝对收敛,边界需要特别讨论。

    函数项级数n=1(2x+1)nn的收敛域为[1,0)

    分析:首先想到通用形式是如何求解的。

    形如n=0an(xx0)n

    注意变量x的系数是1!很多题目都是在x的系数上做文章,所以要抽出这个系数。其次是x0的含义,在满足x系数是1时,x0是收敛区间的中心。由中心左右扩大半径那么长,都是绝对收敛的区域。这是10块钱的事情。还有两块钱需要特别计算。即x=x0R,x=x0+R两个点代入幂级数,变成常数项级数判敛问题。

    注:ρ=limnan+1an,R=1ρ

    所以还需要有一个感性的认识是:后项比前项,比值越大,收敛半径越小。即收敛得很快,因此收敛的区间跨度将会越小。

    回到题目。

    S(x)=n=1(2x+1)nn=n=12n(x+1)nnρ=limn2n+12nn+1n=2,R=1ρ=12

    x0=12
    因此收敛区间为:(1,0)

    再特别看x = -1, x = 0:

    x = -1时:

    n=1(1)nn条件收敛。

    x = 0时:

    n=11n发散。

    因此,收敛域是:[1,0).

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