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  • 幂级数的收敛域与和函数问题引入幂级数的概念例题1阿贝尔定理(关于x的幂级数)收敛半径与收敛域(关于x的幂级数幂级数收敛半径的计算例题1例题2幂级数的运算性质定理3幂级数的解析性质例题3 问题引入 幂级数的...
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  • 幂级数求和函数问题:首先,从牛顿莱布尼茨公式出发,讨论了为什么幂级数要用变限积分,它与不定积分的区别联系是什么,为什么下限要为0.其次,对S(0)的来源、求法进行说明。最后对于幂级数求和时,起始项n角标...

    目录

    一、起因

    二、概念理解

    1. 牛顿莱布尼茨公式

    2. 变限定积分、不定积分的关系

    3. 幂级数求和可以用不定积分吗?

    4. 为什么从积分下限从0开始?

    三、S(0)的求法

    1. 何时需要讨论S(0)?

    2. S(0)什么含义?

    3. 怎么求S(0)?

    4. 例题

    四、起始项和角标问题

    五、幂级数求和函数解法

    六、小结


    一、起因

    问题:幂级数求和函数,时而有S(0)这一项,时而又没有,令人困惑。

    S(0) 什么含义?什么时候会有 S(0) 出现?应该怎么求 S(0)?

    求和函数时,对幂级数的脚标有无要求?次方有无要求?

    二、概念理解

    1. 牛顿莱布尼茨公式

    定理 设 f(x) 在 [a, b] 上可积,F(x) 在 [a, b] 上连续,且在 (a, b) 内有 F’(x)=f(x),则

    \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

    推论 设 f(x) 在 [a, b] 上可积,F(x) 在 [a, b] 上连续,且在 [a, b] 上除去有限个点外皆有 F’(x)=f(x),则

    \int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)

    《对牛顿-莱布尼兹公式的一点认识》https://www.ixueshu.com/document/d91fe7d952625b8a318947a18e7f9386.html

    有牛莱公式的证明和例题。


    注:(1)有时F'(x)在某点处不存在,因此在解微分方程时,F(x)并不能叫做方程的解,只能叫做满足方程的函数。

           (2)牛莱公式本是为解决定积分问题的,但是,也可以用于变限积分,表示的是一个函数,而非一个数值。


    2. 变限定积分、不定积分的关系

    因此,从该公式可以看出,当对函数进行定积分时,需要选取上下限。当上限选定为x,即变上限积分,此时下限选取为某常数m,则此时积分所得,即为 F(x)-F(m)。随着m的选取不同,该值也不同,但F(m)始终为一个常数。事实上,这就是不定积分被给了条件,而使得任意常数项C变为某个确定值,因此从一类函数变为一个确定的函数。

    注:定积分和不定积分的可积没有任何关系。有一些函数是可积但不可求积的!不妨展开成幂级数然后求,要注意C项。(见《高数十八讲》例题)

    《从几道重要例题看不定积分与变限定积分的关系》http://www.doc88.com/p-29935820943.html

    指出了(1)不定积分=变限定积分+C(2)有些不能表达为初等函数的问题,可以通过变限积分+交换积分次序解决(3)一阶线性微分方程的通解问题

    3. 幂级数求和可以用不定积分吗?

    当然可以,但是本质是一样的!请结合2理解。

    因为幂级数求和的唯一性。(反证法:设想,如果一个幂级数有两个和函数,那么取x=b时,那么S1(b)=S2(b)=∑a_n b^n,这就是同一个和函数啊!)所以和函数是一个具体的函数。

    不定积分得到的系列函数含有C,S(x)=F(x)+C,把x=0处的值代入得,C=S(0)-F(0),求出来C。其实和变限积分是一样的,其中,F(0)=0(积分上限x代入0可得),但S(0)未必。

    S(x)=S(0)+\int_{0}^{x}f(t)dt=S(0)+F(x)-F(0)

    4. 为什么从积分下限从0开始?

    《关于幂级数逐项积分的积分下限的讨论》http://www.doc88.com/p-3107942195863.html

    原因有二。一是好算,如F(0)=0,且多数情况下S(0)=0。二是,x=0这个点必然在收敛域内,所以对 [0, x] 区间内的积分必然是收敛情况下的,保证了可求得和函数。

    三、S(0)的求法

    1. 何时需要讨论S(0)?

    (1)先积分后求导时,常数项消掉(S(0)是一个数),所以不考虑。先求导再积分时,则有S(0)。

    (2)乘x凑项时,后续得到的F(x)需要➗x才能求S(x),此时要讨论分母即x=0的问题。如F(x)=xS(x)=某函数。

    2. S(0)什么含义?

    表示级数的x取零时的数值。当从n=0开始时,0的0次方无意义,怎么理解呢?

    在这里,级数是先展开后代入的,所以x的0次方是1,而只是这个变量x取了0。此时,x的1次方及更高次,都是0。因此S(0)表示级数的常数项a0。

    3. 怎么求S(0)?

    让x的次方项=0,未必就意味这n=0,有时n=0是无意义的,或者级数从n=1开始等,注意区分。


    一些相关的问答:

    《幂级数中求和函数,怎么s(0)有时候等于1,有时候等于0》https://zhidao.baidu.com/question/2208569409025896028.html?&mzl=qb_xg_2&fr=relate&word=&refer_title=

    《幂级数求和,积分下限0是不是s(0)=0中的0》https://www.zybang.com/question/46bddca57c35534ae813331f455f7c01.html

    《幂级数求S(0),为什么有时不能S(x)代入0》https://www.zybang.com/question/0a3d7d2e6831518f116c05fc01765d14.html

    《为什么幂级数求和都要确定一个S(0)呢》http://bbs.kaoyan.com/t4720399p1

    这个帖子的讨论角度较多,可以看看。


    4. 例题

    四、起始项和角标问题

    幂级数求和,一定要是起始项从n=0开始吗?角标一定是n吗?

    未必,有时n=0无意义,可能从n=1开始等等。角标不是n时,有可能是sinx或cox等;如果是缺项,应通过变量代换等换成n次方便于计算。

    只有从n=0开始、且角标是n的级数, 才能用以下式子直接得出。下式都是在x=0处的展开,如果求的是在x=x0处展开,且在定义域内,把x替换成(x-x0)即可。

    五、幂级数求和函数解法

    1. 三种思路

    • [1] 将级数通过加减分解,用己知和函数的级数求和
    • [2] 先求导再积分,或先积分再求导
    • [3] 解出和函数满足的微分方程

    2. 思路[2]的步骤

    1. 求收敛域:收敛半径、端点处敛散性
    2. 设出和函数为S(x)
    3. 先积后导或先导后积
    4. 讨论x是否为0,得出S(0)
    5. 若有必要,S(x)写为分段函数,一段是收敛域内但不包括0,一段是0

    《从求幂级数和函数的过程想到的》http://www.doc88.com/p-4874564737116.html

    给出了类型及解法,有例题。

    六、小结

    1. 不定积分=变限定积分+C

    2. 积分下限从0开始,因为好算,且x=0这个点处必然收敛。

    3. S(0)表示级数的常数项a0。需要讨论S(0)的情况:先积分后求导,或乘x凑项时。求法:让x的次方项=0

    4. 起始项未必从n=0开始,角标未必是n次方,有时可以直接套公式,有时需变量代换。

    5. 幂级数求和函数思路:加减分解为己知的级数 / 先求导再积分,或先积分再求导 / 解微分方程。


    指路链接:《级数入门 (含基础题目)》http://tieba.baidu.com/p/5951769648?pn=1

    级数这部分,学习到这里算是告一段落。虽然说是高数中较为简单的部分,但对我来说,好难啃啊。
    正是因为讲的东西少,看起来有如雾里看花,于是东找西找地查各种疑问。
    最后放一个今天刚看到的帖子,2018年写的,直到2019年还在更新,好励志哇。
    (其实贴吧,高中时开始用,就是看数学的哈哈,挺有趣。)

     

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  • 第七讲 幂级数的运算与和函数

    千次阅读 多人点赞 2018-12-03 19:50:20
    一,幂级数的四则运算 设幂级数的收敛半径为,幂级数的收敛半径为 ,收敛域为 二,幂级数的连续性、导数积分 设幂级数,收敛区间为(-R,R) 则幂级数在收敛区间(-R,R)内连续 ...三,求幂级数和函数 ...

    一,幂级数的四则运算

    • 设幂级数\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}的收敛半径为R_{1},幂级数\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}的收敛半径为R_{2}
    • \sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\pm\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})x^{n},收敛域为R_{1}\cap R_{2}
    • (\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n})\cdot (\sum_{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n})=\sum_{n=0}^{\infty }(a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+...+a_{n}b_{0})x^{n}

    二,幂级数的连续性、导数和积分

    • 设幂级数\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n},收敛区间为(-R,R)
    1. 则幂级数\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}在收敛区间(-R,R)内连续
    2. 则幂级数\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}在收敛区间(-R,R)内有各阶导数,并且可以逐项求导:{(\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n})}'=\sum_{n=0}^{\infty }{(a_{n}x^{n})}',收敛区间不变但收敛域可能改变
    3. 则幂级数\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}在收敛区间(-R,R)内可积,并且可以逐项积分:\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }\int_{0}^{x}a_{n}x^{n}dx,收敛区间不变但收敛域可能改变

    三,求幂级数的和函数

    • 思路:通过对幂级数的和函数求导或积分,将幂级数化为等比级数后,再用相反的运算得到原函数的和函数
    • 等比级数的和函数\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{1-x},首项/(1-公比),-1< x< 1

    四,例题1,求\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}的和函数

    • 求定积分\int_{0}^{x}\sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}dx=\sum_{n=1}^{\infty }\int_{0}^{x}nx^{n-1}dx=\sum_{n=1}^{\infty }x^{n}=\frac{1}{1+x}
    • 求导{(\frac{1}{1+x})}'=\frac{1}{(1-x)^{2}}
    • \sum_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}

    五,例题2,求\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}的和函数

    • 求导{(\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1})}'=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{(\frac{x^{n+1}}{n+1})}'=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=\frac{1}{1+x}
    • 求定积分\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x}dx=ln(1+x)
    • \sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{n+1}}{n+1}=ln(1+x)

    六,例题3,求\sum_{n=1}^{\infty }\frac{n(n+1)}{2^{n}}的和

    • \sum_{n=1}^{\infty }\frac{n(n+1)}{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1)(\frac{1}{2})^{n}
    • 令幂级数为\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1)x^{n}
    • \sum_{n=1}^{\infty }n(n+1)x^{n}=x\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1)x^{n-1}=x\sum_{n=1}^{\infty }(n+1){(x^{n})}'=x\sum_{n=1}^{\infty }{(x^{n+1})}''=x{(\sum_{n=1}^{\infty }x^{n+1})}''=x{(\frac{x^{2}}{1-x})}''=\frac{2x}{(1-x)^{3}}
    • x=\frac{1}{2}代入幂级数得:\sum_{n=1}^{\infty }n(n+1)(\frac{1}{2})^{n}=\frac{2\cdot \frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^{3}}=8

    七,例题4,如图

    • 先解微分方程
    • 再求级数的和函数

     

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  • 第九讲 函数间接展开成幂级数

    千次阅读 2018-12-06 22:25:04
    二,例题1,将展开成x的幂级数 , 三,例题2,将展开成x的幂级数 , 四,例题3,将展开成x的幂级数 思路:先求导,再积分 , 如果,那么求就得后面加个,如图: 五,例题4,将展开成x的幂级数 , 六,例题5...

    一,间接展开法(利用已知的展开式,展开其他函数)

    • 已知的展开式:
    1. e^{x}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{x^{n}}{n!}-\infty < x< \infty
    2. sin(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}-\infty < x< \infty
    3. \frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}-1 < x< 1
    4. \frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}-1 < x< 1

    二,例题1,将f(x)=a^{x}展开成x的幂级数

    • a^{x}=e^{xlna}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(xlna)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(lna)^{n}}{n!}x^{n}-\infty < x< \infty

    三,例题2,将f(x)=cos(x)展开成x的幂级数

    • cos(x)={sin}'(x)=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{​{(x^{(2n+1)})'}}{(2n+1)!}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}-\infty < x< \infty

    四,例题3,将f(x)=ln(1+x)展开成x的幂级数

    • 思路:先求导,再积分
    • ln(1+x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x}dx=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int_{0}^{x}x^{n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{(n+1)}}{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{(n-1)}\frac{x^{n}}{n}-1 < x\leq 1
    • 如果f(0)\neq 0,那么求f(x)就得\int_{0}^{x}{f}'(x)dx后面加个f(0),如图:

    五,例题4,将f(x)=arctan(x)展开成x的幂级数

    • arctan(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+x^{2}}dx=\int_{0}^{x}\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\int_{0}^{x}x^{2n}dx=\sum_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}-1\leq x\leq 1

    六,例题5,将f(x)=\frac{1}{3-x}展开成x-1的幂级数

    • \frac{1}{3-x}=\frac{1}{2-(x-1)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-\frac{x-1}{2}}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty }(\frac{x-1}{2})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty }\frac{(x-1)^{n}}{2^{n+1}}-1 < \frac{x-1}{2}< 1

    七,二项展开式

    八,利用函数的展开式求高阶导数

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  • 这是数项级数的后续,我们在研究数项级数的时候,时常会发现,一些参变常数的取值决定着最后的收敛情况,为了更加灵活自由地研究这些数值变化对级数敛散性的影响,我们有...同时再讨论一种特殊的函数项级数即幂级数
  • 幂级数

    2020-05-06 23:21:10
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空空如也

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幂级数的和函数例题