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  • 幂级数和函数的几种常见解法*方艳1程航2【摘要】[摘要]无穷级数是微积分学重要组成部分,在数学理论研究和工程实际应用上起着举足轻重作用。有关无穷级数里最常见一类函数项级数——幂级数问题研究在大学...

    幂级数和函数的几种常见解法

    *

    1

    2

    【摘

    要】

    [

    摘要

    ]

    无穷级数是微积分学的重要组成部分,在数学理论研究和工程

    实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数—

    —幂级数问题的研究在大学数学教学中显得十分有意义,该文主要通过若干实

    例对幂级数和函数的求解思路进行总结,并给出具体的解题过程。

    【期刊名称】

    海峡科学

    【年

    (

    ),

    期】

    2018(000)002

    【总页数】

    2

    【关键词】

    [

    关键词

    ]

    幂级数

    和函数

    收敛半径

    本文首先给出幂级数与和函数的定义,然后通过列举实例总结其解题思路,并

    相应给出解答过程。需注意的是,本文探讨的解法适合于复数域。

    1

    幂级数的定义

    我们称函数项级数形如

    为幂级数。从定义可以看出,幂级数的和是关于的函数,表示为,若落在幂级

    数收敛域

    D

    内,则称为该幂级数的和函数,记作。如果,

    z

    a

    取实数,则对

    应的级数就是实幂级数,此时收敛域为收敛区间。目前,大部分微积分教材里

    的幂级数默认是实幂级数,而本文讨论的是基于复数的更广泛的幂级数。

    通常,在求解幂级数和函数时需要先求出收敛半径,进而求得收敛域,然后再

    求幂级数在收敛域上的和函数。由于收敛半径

    R

    易通过比值法()和根值法()

    求得,进而求得收敛域,所以以下例题中的幂级数默认为已经在其收敛域上收

    敛,不作具体求解,只针对幂级数和函数求解方法进行讨论。

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  • 幂级数的收敛域及其,考研数学常考。本文尝试总结出一些套路,以期对此方面有疑惑的同学给予帮助。这里为了叙述简便,在叙述过程中忽略收敛域的问题,毕竟本文目的是为“求和”提供套路。但我们在解题时,一定要...

    求幂级数的收敛域及其和,考研数学常考。本文尝试总结出一些套路,以期对此方面有疑惑的同学给予帮助。这里为了叙述简便,在叙述过程中忽略收敛域的问题,毕竟本文目的是为“求和”提供套路。但我们在解题时,一定要注意收敛域的问题,因为可能存在陷阱。

    一,基本型

    所谓基本,就是最常见的级数和的公式

    .

    越基础越重要,值得单独拎出来说. 这种类型的典型特点是

    只出现在指数上,要熟练到看到就能写出. 举几个例子.

    ;

    这里需要提醒注意的是在实际解题过程中,要注意

    符号的下标,否则易犯低级错误. 比如:

    简单的方法就是看幂级数的第一项,是

    还是别的. 一般而言,基本型和式的分子就是这第一项.

    二,利用展开式直接求和

    常见的五大级数展开式:

    看到形状比较像的,尝试去套。有时还会出现实值的情形,比如

    ,看到直接写出就行.

    这种类型特点是分母易见到阶乘,不过考得比较少,关键在于分母中阶乘的存在,使得出题难度比较大。难了考试做不出,因为需要特别的技巧,计算量也较大;简单吧一眼就能看出来。这里从易到难举几个例子。

    当然,在上述做法之前,先要声明当

    时,级数的和为

    . 由幂级数在其收敛域上的一致连续性,不难想见,必有

    这题如果变成

    ,难度会高出一个数量级,一般考试考不到. 这里我们要介绍下述技巧来处理:

    显然这个幂级数的收敛半径是

    .

    例,

    (兰州大学2019考研数学分析第一题)

    作幂级数

    ,它的收敛域是

    . 求出和函数,再令

    就行.

    ,就得到所求结果为

    .

    三,逐项求导和逐项积分法

    原理是幂级数在收敛域上是一致收敛的。这种题型考试中最为常见。主要特征就是含

    的式子是有理式. 若

    出现分母中,考虑求导;出现在分子则考虑求积. 在解题过程中因为要逐项求导后再积分或反过来,步骤不理顺很容易乱,需要注意.

    例1,求幂级数

    的和函数(2016数学三).

    ,则

    ,故

    进而

    .

    例2,求幂级数

    的和函数(2014数学三).

    ,则

    这里令

    ,便有

    求导可得

    ,于是

    再求导就有

    .

    应付考试的话呢,掌握基本型,熟悉几个公式,会逐项积分逐项求导的方法就行了。不过还是要再强调一下,解题过程中始终要考虑收敛域.

    下面属于歪楼内容。因为题主问的是幂级数. 傅里叶级数不知道考研数学一会不会考到.

    四,利用傅里叶级数求级数和

    求和

    .(北师大2020考研数学分析第7题)

    不妨从更简单的

    着手,看看怎么个弄法.

    这个级数就是

    . 如果能找到一个函数,它展开成傅里叶级数比较像

    这样的形式就好办了。翻开积分表,看到这么个东西

    岂不是说

    . 但是

    的傅里叶展开还有

    ,要想只有

    ,我们需要一个偶函数,比如

    . 由于

    所以,

    就是我们要找的比较理想的函数. 它在

    上是连续函数,满足狄利克雷条件,因此它的傅里叶级数收敛于函数

    .

    ,则

    所以,

    类似地,令

    ,则

    于是就得到我们最初提出来的问题的结果:

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  • 9.2010 教育研究 D幂级数求和函数的类型与解法邓俊兰 李 鑫(南阳师范学院数学与统计学院,河南 南阳 473061)要:幂级数求和函数是级数这一章重点难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及...

    幂级数求和函数的类型与解法

    京电力高等专科学校学报

    No. 9.2010 教育研究 D

    幂级数求和函数的类型与解法

    邓俊兰 李 鑫

    (南阳师范学院数学与统计学院,河南 南阳 473061)

    要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。

    关键词:幂级数;和函数;几何级数

    中图分类号:O 1-0 文献标识码:A 文章编号:1009-0 118(20 10)-09-0137-02

    幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的 因②、③可直接利用①的结论求得,下面仅给出①、④的

    和函数是一类难度较 、技巧性较强的问题,对于学生来说 求解过程。

    是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行 解①(法一)收敛域为(-1,1),对级数逐项积分再逐项求

    究探讨。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算 导:

    (恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常

    用级数,特别是几何级数(又叫等比级数) ),求出转化后

    则 (- 1< <1)。

    的幂级数和函数后,再利用上述运算的逆运算,求出待求幂

    (法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:

    级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常

    (- 1< <1)

    见类型,并给出了各种类型下的解法。

    一、类型一:通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 ④(法一)收敛域为(-1,1),在收敛域内对级数先逐项积

    函数 分两次,再逐项求导两次求之:

    计算幂级数的和函数,首先要牢记常用级数的和函数,

    在此基础上,借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换

    等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求

    则 (- 1< <1)

    和函数。其中,常用级数的和函数为: , ,

    , , . 所以 (- 1< <1)

    例 1 求 的和函数 。 (法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导

    解:容易求得收敛域为( ,+ ), 则和函数 定义域 数而求之:

    为( ,+ )。

    (- 1< <1)

    ,

    (三)结论: (-1< <1) (1)

    ( <

    (- 1< <1) (2)

    二、类型二:求 的和函数 ,其中 为 的多

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  • 111第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断:(1)...

    111

    第十章

    函数项级数习题课

    一、

    主要内容

    1

    、基本概念

    函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和

    函数

    幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

    2

    一致收敛性

    A

    函数列

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    一致收敛性的判断:

    (

    1

    )定义:用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则:用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断

    (

    3

    )确界(最大值方法)

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    0

    n

    f

    x

    f

    x

    (

    4

    )估计方法:

    |

    (

    )

    (

    )

    |

    0

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    a

    (

    5

    )

    Dini-

    定理:条件

    1

    )闭区间

    [

    ,

    ]

    a

    b

    2

    )连续性;

    3

    )关于

    n

    的单调性

    注、除

    Cauchy

    收敛准则外,都需要知道极限函数,因此,在判断一致收敛

    性时,一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

    注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同,定义方法通常处理抽象

    的对象,估计方法是确界方法的简化形式,估计方法处理较为简单的具体的对

    象,确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计,通常用于处理具有一般

    结构的具体的函数列,也可以用于非一致收敛性的判断。

    注、

    Dini

    定理中,要验证的关键条件是关于

    n

    的单调性,定理中相应的条

    件为“对任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    作为数列关于

    n

    是单调的”

    ,注意到收敛

    或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系,

    上述条件也可以改为

    “存在

    N

    n>N

    时”条件成立即可,但是,要注意

    N

    必须是与

    x

    无关的,即当

    n>N

    时,对

    所有任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    关于

    n

    单调,因此,此时的单调性也称为对

    n

    的单调性关于

    x

    一致成立。

    非一致收敛性的判断

    (

    1

    )定义

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则

    (

    3

    )确界法:存在

    n

    x

    ,使得

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    n

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    不收敛于

    0

    (

    4

    )和函数连续性定理

    (

    5

    )端点发散性判别法:

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    c

    点左连续,

    {

    (

    )}

    n

    f

    c

    发散,则

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    展开全文
  • 111第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断:(1)...
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  • 幂级数的概念与基本性质。复习要求理解级数收敛、发散的概念,掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质,会熟练使用比较判别法与比值判别法判别正项级数的收敛性,掌握几何级数、调和级数、与级数的收敛性,了解...
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  • 第2

    2019-12-26 09:52:53
    第十一节:两个重要幂级数的和函数,求幂级数和函数的四种重要方法 第十二节:例题,函数按定义展成幂级数(直接展开) 第十三节:唯一性定理,函数展成幂级数的间接展开 第十四节:函数展成幂级数例题,综合练习 级数...
  • 复变函数引论

    2018-12-28 22:32:58
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幂级数的和函数例题