幂级数和函数的几种常见解法

*

方

艳

1

程

航

2

【摘

要】

[

摘要

]

无穷级数是微积分学的重要组成部分，在数学理论研究和工程

实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数—

—幂级数问题的研究在大学数学教学中显得十分有意义，该文主要通过若干实

例对幂级数和函数的求解思路进行总结，并给出具体的解题过程。

【期刊名称】

海峡科学

【年

(

卷

),

期】

2018(000)002

【总页数】

2

【关键词】

[

关键词

]

幂级数

和函数

收敛半径

本文首先给出幂级数与和函数的定义，然后通过列举实例总结其解题思路，并

相应给出解答过程。需注意的是，本文探讨的解法适合于复数域。

1

幂级数的定义

我们称函数项级数形如

为幂级数。从定义可以看出，幂级数的和是关于的函数，表示为，若落在幂级

数收敛域

D

内，则称为该幂级数的和函数，记作。如果，

z

和

a

取实数，则对

应的级数就是实幂级数，此时收敛域为收敛区间。目前，大部分微积分教材里

的幂级数默认是实幂级数，而本文讨论的是基于复数的更广泛的幂级数。

通常，在求解幂级数和函数时需要先求出收敛半径，进而求得收敛域，然后再

求幂级数在收敛域上的和函数。由于收敛半径

R

易通过比值法()和根值法()

求得，进而求得收敛域，所以以下例题中的幂级数默认为已经在其收敛域上收

敛，不作具体求解，只针对幂级数和函数求解方法进行讨论。

幂级数求和函数的类型与解法

京电力高等专科学校学报

No. 9.2010 教育研究 D

幂级数求和函数的类型与解法

邓俊兰 李 鑫

(南阳师范学院数学与统计学院，河南 南阳 473061)

要：幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验，对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。

关键词：幂级数；和函数；几何级数

中图分类号：O 1-0 文献标识码：A 文章编号：1009-0 118(20 10)-09-0137-02

幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的 因②、③可直接利用①的结论求得，下面仅给出①、④的

和函数是一类难度较 、技巧性较强的问题，对于学生来说 求解过程。

是一个难点，因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行 解①(法一)收敛域为(-1，1),对级数逐项积分再逐项求

究探讨。求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算 导：

(恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常

。

用级数，特别是几何级数(又叫等比级数) )，求出转化后

则 (- 1< <1)。

的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂

(法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之：

级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常

(- 1< <1)

见类型，并给出了各种类型下的解法。

一、类型一：通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 ④(法一)收敛域为(-1，1)，在收敛域内对级数先逐项积

函数 分两次，再逐项求导两次求之：

计算幂级数的和函数，首先要牢记常用级数的和函数，

在此基础上，借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换

等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求

则 (- 1< <1)

和函数。其中，常用级数的和函数为： , ,

, , . 所以 (- 1< <1)

例 1 求 的和函数 。 (法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导

解：容易求得收敛域为( ，+ ), 则和函数 定义域 数而求之：

为( ，+ )。

(- 1< <1)

,

(三)结论： (-1< <1) (1)

( <

(- 1< <1) (2)

二、类型二：求 的和函数 ，其中 为 的多