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  • 幂级数收敛域和和函数定义域的问题
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    2021-08-19 11:10:56

    由幂级数来定义的函数,其自然定义域是幂级数的收敛域,而不是和函数本身的自然定义域。

    然后就是注意端点,取等的两个条件一定要尽量满足。

    幂级数的收敛域就是和函数的收敛域;函数端点值的定义不需要重新判断。
    但是幂级数求导积分收敛域可能会改变,函数端点定义需要重新判定。
    例如s(x)=1+x+x^2+...,很显然s(x)的收敛域是|x|<1,收敛到1/(1-x);对两边同时积分有t(x)=x+x^2/2+x^3/3+...,这里t(x)是s(x)的积分也就是-ln(1-x),这里面很容易验证t(x)在-1处也是有定义的,即,t(x)的收敛域是[-1,1).之所以这里面会有定义域的改变是因为涉及到积分和求和顺序能否交换的问题,在收敛域内部这个求和是一致收敛的,所以没有问题,但边界处就可能不是一致收敛的,只能代进去验证。
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  • 幂级数和函数的几种常见解法

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    幂级数和函数的几种常见解法*方艳1程航2【摘要】[摘要]无穷级数是微积分学的重要组成部分,在数学理论研究工程实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数——幂级数问题的研究在大学...

    幂级数和函数的几种常见解法

    *

    1

    2

    【摘

    要】

    [

    摘要

    ]

    无穷级数是微积分学的重要组成部分,在数学理论研究和工程

    实际应用上起着举足轻重的作用。有关无穷级数里最常见的一类函数项级数—

    —幂级数问题的研究在大学数学教学中显得十分有意义,该文主要通过若干实

    例对幂级数和函数的求解思路进行总结,并给出具体的解题过程。

    【期刊名称】

    海峡科学

    【年

    (

    ),

    期】

    2018(000)002

    【总页数】

    2

    【关键词】

    [

    关键词

    ]

    幂级数

    和函数

    收敛半径

    本文首先给出幂级数与和函数的定义,然后通过列举实例总结其解题思路,并

    相应给出解答过程。需注意的是,本文探讨的解法适合于复数域。

    1

    幂级数的定义

    我们称函数项级数形如

    为幂级数。从定义可以看出,幂级数的和是关于的函数,表示为,若落在幂级

    数收敛域

    D

    内,则称为该幂级数的和函数,记作。如果,

    z

    a

    取实数,则对

    应的级数就是实幂级数,此时收敛域为收敛区间。目前,大部分微积分教材里

    的幂级数默认是实幂级数,而本文讨论的是基于复数的更广泛的幂级数。

    通常,在求解幂级数和函数时需要先求出收敛半径,进而求得收敛域,然后再

    求幂级数在收敛域上的和函数。由于收敛半径

    R

    易通过比值法()和根值法()

    求得,进而求得收敛域,所以以下例题中的幂级数默认为已经在其收敛域上收

    敛,不作具体求解,只针对幂级数和函数求解方法进行讨论。

    展开全文
  • 快速解释定义一个普通的幂级数,其中 c_k | k=0,1,2...表示普通系数向量y(x) = c_0 + xc_1 + x^2c_2... 定义伯努利幂级数,其中 d_k | k=0,1,2...表示伯努利系数向量y(x) = B_0(x)d_0 + B_1(x)d_1 + B_2(x)d_2... ...
  • 幂级数求和函数的类型与解法.pdf

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    9.2010 教育研究 D幂级数求和函数的类型与解法邓俊兰 李 鑫(南阳师范学院数学与统计学院,河南 南阳 473061)要:幂级数求和函数是级数这一章的重点难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及...

    幂级数求和函数的类型与解法

    京电力高等专科学校学报

    No. 9.2010 教育研究 D

    幂级数求和函数的类型与解法

    邓俊兰 李 鑫

    (南阳师范学院数学与统计学院,河南 南阳 473061)

    要:幂级数求和函数是级数这一章的重点和难点。根据多年教学经验,对幂级数求和函数总结出四种常用类型及其解法。

    关键词:幂级数;和函数;几何级数

    中图分类号:O 1-0 文献标识码:A 文章编号:1009-0 118(20 10)-09-0137-02

    幂级数是微积分中十分重要的内容之一,而求幂级数的 因②、③可直接利用①的结论求得,下面仅给出①、④的

    和函数是一类难度较 、技巧性较强的问题,对于学生来说 求解过程。

    是一个难点,因此有必要对幂级数求和函数这类问题进行 解①(法一)收敛域为(-1,1),对级数逐项积分再逐项求

    究探讨。求解幂级数的和函数时,常通过幂级数的有关运算 导:

    (恒等变形或分析运算)把待求级数化为易求和的级数(即常

    用级数,特别是几何级数(又叫等比级数) ),求出转化后

    则 (- 1< <1)。

    的幂级数和函数后,再利用上述运算的逆运算,求出待求幂

    (法二)将级数化为几何级数的和函数的导数而求之:

    级数的和函数。本文总结了幂级数求和函数问题的四种常

    (- 1< <1)

    见类型,并给出了各种类型下的解法。

    一、类型一:通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和 ④(法一)收敛域为(-1,1),在收敛域内对级数先逐项积

    函数 分两次,再逐项求导两次求之:

    计算幂级数的和函数,首先要牢记常用级数的和函数,

    在此基础上,借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换

    等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求

    则 (- 1< <1)

    和函数。其中,常用级数的和函数为: , ,

    , , . 所以 (- 1< <1)

    例 1 求 的和函数 。 (法二)更简便的是将级数化为几何级数的和函数的导

    解:容易求得收敛域为( ,+ ), 则和函数 定义域 数而求之:

    为( ,+ )。

    (- 1< <1)

    ,

    (三)结论: (-1< <1) (1)

    ( <

    (- 1< <1) (2)

    二、类型二:求 的和函数 ,其中 为 的多

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  • 幂级数求和函数

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    因为发散的级数的和函数也发散,所以以下讨论的情况均为级数收敛或x处于收敛域内时的情形

    1.定义法:

    直接利用和函数为前n项之和求出

    例如,求通项公式为x^n的级数的和函数,n=0,1,2...

    首先求出收敛域为(-1,1),所以和函数为

    要注意x=0时,s(x)是否为0,因为这个级数中n从0开始计数,所以式子正确,否则要写成分段的表达式

    2.求导法:

    利用公式:

    求处各项求导后的级数的和后再积分,便得到结果

    3.积分法:

    利用公式:

    求处各项积分后得到的级数后再求导,例:

    求n*x^(n-1)之和的和函数,n=1,2,3...

    易知收敛域为(-1,1)

    对于一些求数列前n项之和的,也可以转化为幂函数求和函数,如求n/3^(n-1),就是把x=1/3代入上式得到结果为9/4

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  • 级数收敛:如果级数∑i=1∞ui\sum_{i=1}^\infty u_i∑i=1∞​ui​的部分数列{sn}\{s_n\}{sn​}有极限s,即 limn→∞sn=s lim_{n\to \infty}s_n=s limn→∞​sn​=s 那么称无穷级数∑i=1∞ui\sum_{i=1}^\infty u_i...
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  • 【总结】幂级数和泰勒级数

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    幂级数和泰勒级数
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幂级数的和函数定义