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  • 111第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断:(1)...

    111

    第十章

    函数项级数习题课

    一、

    主要内容

    1

    、基本概念

    函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和

    函数

    幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

    2

    一致收敛性

    A

    函数列

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    一致收敛性的判断:

    (

    1

    )定义:用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则:用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断

    (

    3

    )确界(最大值方法)

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    0

    n

    f

    x

    f

    x

    (

    4

    )估计方法:

    |

    (

    )

    (

    )

    |

    0

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    a

    (

    5

    )

    Dini-

    定理:条件

    1

    )闭区间

    [

    ,

    ]

    a

    b

    2

    )连续性;

    3

    )关于

    n

    的单调性

    注、除

    Cauchy

    收敛准则外,都需要知道极限函数,因此,在判断一致收敛

    性时,一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

    注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同,定义方法通常处理抽象

    的对象,估计方法是确界方法的简化形式,估计方法处理较为简单的具体的对

    象,确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计,通常用于处理具有一般

    结构的具体的函数列,也可以用于非一致收敛性的判断。

    注、

    Dini

    定理中,要验证的关键条件是关于

    n

    的单调性,定理中相应的条

    件为“对任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    作为数列关于

    n

    是单调的”

    ,注意到收敛

    或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系,

    上述条件也可以改为

    “存在

    N

    n>N

    时”条件成立即可,但是,要注意

    N

    必须是与

    x

    无关的,即当

    n>N

    时,对

    所有任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    关于

    n

    单调,因此,此时的单调性也称为对

    n

    的单调性关于

    x

    一致成立。

    非一致收敛性的判断

    (

    1

    )定义

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则

    (

    3

    )确界法:存在

    n

    x

    ,使得

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    n

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    不收敛于

    0

    (

    4

    )和函数连续性定理

    (

    5

    )端点发散性判别法:

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    c

    点左连续,

    {

    (

    )}

    n

    f

    c

    发散,则

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

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  • 111第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断:(1)...

    111

    第十章

    函数项级数习题课

    一、

    主要内容

    1

    、基本概念

    函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和

    函数

    幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

    2

    一致收敛性

    A

    函数列

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    一致收敛性的判断:

    (

    1

    )定义:用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则:用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断

    (

    3

    )确界(最大值方法)

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    0

    n

    f

    x

    f

    x

    (

    4

    )估计方法:

    |

    (

    )

    (

    )

    |

    0

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    a

    (

    5

    )

    Dini-

    定理:条件

    1

    )闭区间

    [

    ,

    ]

    a

    b

    2

    )连续性;

    3

    )关于

    n

    的单调性

    注、除

    Cauchy

    收敛准则外,都需要知道极限函数,因此,在判断一致收敛

    性时,一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

    注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同,定义方法通常处理抽象

    的对象,估计方法是确界方法的简化形式,估计方法处理较为简单的具体的对

    象,确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计,通常用于处理具有一般

    结构的具体的函数列,也可以用于非一致收敛性的判断。

    注、

    Dini

    定理中,要验证的关键条件是关于

    n

    的单调性,定理中相应的条

    件为“对任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    作为数列关于

    n

    是单调的”

    ,注意到收敛

    或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系,

    上述条件也可以改为

    “存在

    N

    n>N

    时”条件成立即可,但是,要注意

    N

    必须是与

    x

    无关的,即当

    n>N

    时,对

    所有任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    关于

    n

    单调,因此,此时的单调性也称为对

    n

    的单调性关于

    x

    一致成立。

    非一致收敛性的判断

    (

    1

    )定义

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则

    (

    3

    )确界法:存在

    n

    x

    ,使得

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    n

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    不收敛于

    0

    (

    4

    )和函数连续性定理

    (

    5

    )端点发散性判别法:

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    c

    点左连续,

    {

    (

    )}

    n

    f

    c

    发散,则

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

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  • 幂级数求和函数

    千次阅读 2020-07-03 17:40:13
    因为发散的级数的和函数也发散,所以以下讨论的情况均为级数收敛或x处于收敛域内时的情形 1.定义法: 直接利用和函数为前n项之和求出 例如,求通项公式为x^n的级数的和函数,n=0,1,2... 首先求出收敛域...

    因为发散的级数的和函数也发散,所以以下讨论的情况均为级数收敛或x处于收敛域内时的情形

    1.定义法:

    直接利用和函数为前n项之和求出

    例如,求通项公式为x^n的级数的和函数,n=0,1,2...

    首先求出收敛域为(-1,1),所以和函数为

    要注意x=0时,s(x)是否为0,因为这个级数中n从0开始计数,所以式子正确,否则要写成分段的表达式

    2.求导法:

    利用公式:

    求处各项求导后的级数的和后再积分,便得到结果

    3.积分法:

    利用公式:

    求处各项积分后得到的级数后再求导,例:

    求n*x^(n-1)之和的和函数,n=1,2,3...

    易知收敛域为(-1,1)

    对于一些求数列前n项之和的,也可以转化为幂函数求和函数,如求n/3^(n-1),就是把x=1/3代入上式得到结果为9/4

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  • 1. 幂级数的定义幂级数的系数、一般形式、简化形式) 2. 幂级数收敛域的计算 三、阿贝尔定理 1. 阿贝尔定理:若级数在某处收敛,则可确定一个区间,在此区间内绝对收敛;若级数在某处发散,则可确定两...

    一、问题的导入——最简单的函数(n次多项式),最简单的函数项级数(无穷次多项式)

     

    二、幂级数的概念

    1. 幂级数的定义(幂级数的系数、一般形式、简化形式)

     

    2. 幂级数收敛域的计算

     

    三、阿贝尔定理

    1.  阿贝尔定理:若级数在某处收敛,则可确定一个区间,在此区间内绝对收敛;若级数在某处发散,则可确定两个区间,在此区间内发散

     

     

    四、收敛半径与收敛域

    1.  若幂级数既有不等于零的收敛点,又有发散点,则可确定收敛半径、收敛区间、收敛域

     

    2. 幂级数收敛半径的计算,一般幂级数的收敛半径 

     

    五、幂级数的运算性质

    1. 幂级数的四则运算

     

    2. 幂级数的解析性质:幂级数与其逐项求导和逐项积分所得到的对应的级数的收敛半径相等

     

    3. 幂级数的和函数在其收敛区间上连续;幂级数可逐项积分

     

    4. 幂级数可逐项求导

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  • 第六讲 幂级数的收敛半径收敛域

    万次阅读 多人点赞 2018-12-02 12:34:08
    一,函数项级数 定义:, 部分: 收敛点:使函数项级数收敛的点 ... 幂级数的收敛有三种可能: 处处绝对收敛,如 仅在x=0处收敛,如 在以x=0为中心,两边对称的区间内收敛,如,收敛域(-1,...
  • 文章目录生成函数引言定义有关幂级数的有用事实形式幂级数幂级数的和、积广义二项式定理常见的生成函数使用生成函数解决计数问题使用生成函数求解递推关系使用生成函数证明恒等式 生成函数 引言 定义 实数序列a0、a1...
  • 为了研究幂级数分布族性质,首先给出幂级数分布族的定义,并证明幂级数...得出结论:两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布负二项分布等常见离散型随机变量分布,在幂级数分布族概念下其函数形式与参数结构都是统一.
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​+x​3​​−x​4​​+⋯+(−1)​n−1​​x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,...
  • 本文及接下来一系列题为《多复变函数论》文章是 2020 年秋季学期作者在清华大学开设同名讨论班讲义.更新: 因为讨论班不打算继续开了, 所以将余下部分已写好讲义一并发出.温故而知新. 在这一节中, 我们选择性...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​+x​3​​−x​4​​+⋯+(−1)​n−1​​x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: ​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,并且输入输出都在双精度范围内。函数fn应返回上述级数的部分。建议...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: ​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,并且输入输出都在双精度范围内。函数fn应返回上述级数的部分。建议...
  • 首先看一下递归的定义吧:程序调用自身编程技巧称为递归(recursion)。简单来说,就是当一个程序中有许多重复计算步骤时,我们可以编写一个程序只完成一步,随后每一步都直接调用本身程序,听起来是不是...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​+x​3​​−x​4​​+⋯+(−1)​n−1​​x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,...
  • 6-5 递归求简单交错幂级数的部分

    千次阅读 2017-10-29 12:29:46
    本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​+x​3​​−x​4​​+⋯+(−1)​n−1​​x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x2​​ +x​3​​ −x​4​​ +⋯+(−1)n−1​​ x​n ​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,并且...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​+x​3​​−x​4​​+⋯+(−1)​n−1​​x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分:f(x,n)=x−x2+x3−x4+⋯+(−1)​n−1*x​的n次幂 ​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,并且输入输出都在...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​+x​3​​−x​4​​+⋯+(−1)​n−1​​x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​ +x​3​​ −x​4​​ +⋯+(−1)​n−1​​ x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: ​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,并且输入输出都在双精度范围内。函数fn应返回上述级数的部分...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x−x​2​​+x​3​​−x​4​​+⋯+(−1)​n−1​​x​n​​ 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的n是正整数,...
  • 本题要求实现一个函数,计算下列简单交错幂级数的部分: f(x,n)=x-x2+x3-x4+⋯+(-1)(n-1) x^n 函数接口定义: double fn( double x, int n ); 其中题目保证传入的 n 是正整数,并且输入输出都在双精度范围内。...
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空空如也

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幂级数的和函数定义