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  • 幂级数

    2015-11-21 21:34:24
    幂级数 研究解析函数的两种工具:Weierstrass的幂级数和Cauchy的积分方法。 概念 设z,z0∈Cz,z_0\in \mathbb C, ∑n=0∞an(z−z0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n 称为幂级数。 如果部分和序列 ∑n=0nan(z−z0...

    幂级数

    研究解析函数的两种工具:Weierstrass的幂级数和Cauchy的积分方法。

    概念

    • z,z0C

      n=0an(zz0)n

      称为幂级数

    • 如果部分和序列

      n=0nan(zz0)n

      收敛,就称该幂级数在 z 收敛,部分和的极限称为级数的和。

    • 如果ε>0,N,只要 k>N ,对任意的 zΩ ,都有

      f(z)n=0kan(zz0)n<ε

      称该幂级数一致收敛

    性质

    定理

    Cauchy收敛准则

    幂级数 n=0an(zz0)n Ω 上一致收敛的充要条件是对 ε>0,N, 只要 k1>k2>N ,对任意的 zΩ ,都有

    n=k1k2an(zz0)n<ε

    定理

    控制收敛原理

    如果存在 Mn ,对 zΩ |an(zz0)n|<Mn ,且 n=0 收敛,则幂级数 n=0an(zz0)n Ω 上一致收敛。

    定理

    Abel定理

    如果幂级数 n=0an(zz0)n zz0 处收敛,则对任意 r 满足0<r<|zz0|,幂级数 n=0an(zz0)n 在闭圆盘

    D(z0,r)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯={z||z|r}
    上一致收敛。

    根据Abel定理,取

    R=sup{r=|zz0|n=0an(zz0)n}

    称为幂级数的 收敛半径。在边界上,幂级数在有些点可能收敛,在有些点可能发散。

    引理

    对幂级数 n=0an(zz0)n ,设 L=lim¯¯¯¯¯n|an|n ,则 L=0 时, R= L= 时, R=0 ; 0<L< 时, R=1L

    定理

    幂级数 n=0an(zz0)n 和幂级数 n=1nan(zz0)n1 的收敛半径相同。

    定理

    设幂级数 n=0an(zz0)n 的收敛半径为 R ,则

    f(z)=n=0an(zz0)n

    在开圆盘 D(z0,R) 内解析,并且

    f(z)=n=1nan(zz0)n1

    推论

    设幂级数 f(z)=n=0an(zz0)n 的收敛半径为 R>0 ,那么 f(z) 在开圆盘 D(z0,R) 内任意阶可导,并且有

    an=f(n)(z0)n!

    f(z)=n=0f(n)(z0)n!(zz0)n

    推论

    如果 f(z) 可以在 z0 的邻域内展开成幂级数,那么展开式是唯一的。

    多值函数

    分式线性变换

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  • 人工智能-机器学习-数学-数学分析-总结(十二):无穷级数

    一、常数项级数的概念和性质

    1、常数项级数的概念和性质

    1.1 常数项级数的概念

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    1.2 收敛级数的基本性质

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    二、常数项级数的审敛法

    1、正项级数及其审敛法

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    2、交错级数及其审敛法

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    3、绝对收敛与条件收敛

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    4、绝对收敛级数的性质

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    三、幂级数

    1、函数项级数的概念

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    2、幂级数的定义

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    3、幂级数的收敛性

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    4、幂级数的运算

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    四、函数展开成幂级数

    给定函数f(x), 要考虑它是否能在某个区间内” 展开成幂级数”,就是说, 是否能找到这样一个幂级数,它在某区间内收敛, 且其和恰好就是给定的函数f(x) 。如果能找到这样的幂级数,我们就说, 函数f(x) 在该区间内能展开成幂级数,而这个幂级数在该区间内就表达了函数f(x ) 。

    1、泰勒展开式

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    2、泰勒级数

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    3、n 次泰勒多项式

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    4、泰勒展开式成立的条件

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    5、麦克劳林展开式

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    6、要把函数f(x) 展开成x的幂级数步骤

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    7、要把函数f(x) 展开成x的幂级数案例

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    五、函数的幂级数展开式的应用

    1、近似计算

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    2、微分方程的幂级数解法

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    3、欧拉公式

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    七、傅里叶级数(三角级数)

    1、三角级数

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    2、三角函数系正交

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    3、函数展开成傅里叶级数

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    4、函数展开成傅里叶级数案例

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    5、函数的傅里叶级数的收敛性

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    6、正弦级数和余弦级数

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    八、一般周期函数的傅里叶级数

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  • 幂级数相关概念 幂级数收敛域 幂级数,就是形如∑n=1∞anxn\sum_{n=1}^{\infty}{a_nx^n}∑n=1∞​an​xn的函数项级数,其中{an}\{a_n\}{an​}是实数列。对幂级数而言,我们收敛要考察幂级数的收敛域,其次,要考察其...
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    一.幂级数
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    1.幂级数的收敛区间

    显然幂级数(2)在 x = 0 x=0 x=0处总是收敛的

    (1)阿贝尔定理:

    定理14.1:若幂级数(2)在 x = x ˉ ≠ 0 x=\bar x≠0 x=xˉ=0处收敛,则对满足不等式 ∣ x ∣ < ∣ x ˉ ∣ |x|<|\bar x| x<xˉ的任何 x x x,幂级数(2)都绝对收敛;若幂级数(2)在 x = x ˉ x=\bar x x=xˉ处发散,则对满足不等式 ∣ x ∣ > ∣ x ˉ ∣ |x|>|\bar x| x>xˉ的任何 x x x,幂级数(2)都发散
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    (2)幂级数的收敛半径与收敛区间:
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    (3)确定收敛半径:

    定理14.2:对于幂级数(2),若 lim ⁡ n → ∞ ∣ a n ∣ n = ρ \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ nlimnan =ρ则当
    0 < ρ < + ∞ 0<ρ<+\infty 0<ρ<+时,幂级数(2)的收敛半径 R = 1 ρ R=\frac{1}{ρ} R=ρ1
    ρ = 0 ρ=0 ρ=0时,幂级数(2)的收敛半径 R = + ∞ R=+\infty R=+
    ρ = + ∞ ρ=+\infty ρ=+,幂级数(2)的收敛半径 R = 0 R=0 R=0
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    定理14.3(柯西-阿达马定理;Cauchy-Hadamard Theorem):对于幂级数(2),若 lim ⁡ n → ∞ ‾ ∣ a n ∣ n = ρ \overline{\displaystyle\lim_{n\to\infty}}\sqrt[n]{|a_n|}=ρ nlimnan =ρ则当
    0 < ρ < + ∞ 0<ρ<+\infty 0<ρ<+时,幂级数(2)的收敛半径 R = 1 ρ R=\frac{1}{ρ} R=ρ1
    ρ = 0 ρ=0 ρ=0时,幂级数(2)的收敛半径 R = + ∞ R=+\infty R=+
    ρ = + ∞ ρ=+\infty ρ=+,幂级数(2)的收敛半径 R = 0 R=0 R=0

    (4)幂级数的一致收敛性:

    定理14.4:若幂级数(2)的收敛半径为 R > 0 R>0 R>0,则幂级数(2)在其收敛区间 ( − R , R ) (-R,R) (R,R)内的任一闭区间[a,b]上都一致收敛
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    定理14.5:若幂级数(2)的收敛半径为 R > 0 R>0 R>0,且在 x = R x=R x=R(或 x = − R x=-R x=R)时收敛,则级数(2)在 [ 0 , R ] [0,R] [0,R](或 [ − R , 0 ] [-R,0] [R,0])上一致收敛
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    2.幂级数的性质
    (1)和函数的性质:

    定理14.6:①幂级数(2)的和函数是(-R,R)上的连续函数
    ②若幂级数(2)在收敛区间的左(右)端点上收敛,则其则其和函数也在该端点上右(左)连续

    (2)幂级数求导/求积后的收敛区间:
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    定理14.7:幂级数(2)与幂级数(7)(8)具有相同的收敛区间
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    (3)和函数求导/求积:

    定理14.8:设幂级数(2)在收敛区间(-R,R)上的和函数为 f f f,若x为(-R,R)上任意1点,则
    ( i )   f (i)\,f (i)f在点x可导,且 f ′ ( x ) = ∑ n = 1 ∞ n a n x n − 1 f'(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} f(x)=n=1nanxn1
    ( i i )   f (ii)\,f (ii)f在[0,x]上可积,且 ∫ 0 x f ( t ) d t = ∑ n = 0 ∞ a n n + 1 x n + 1 \int_0^xf(t)dt=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1} 0xf(t)dt=n=0n+1anxn+1
    该定理指出幂级数在收敛区间内可逐项求导和逐项求积
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    推论1:设 f f f为幂级数(2)在收敛区间(-R,R)上的和函数,则在(-R,R)上 f f f具有任何阶导数,且可逐项求导任何次,即 f ′ ( x ) = a 1 + 2 a 2 x + 3 a 3 x 2 + . . . + n a n x n − 1 + . . . f ′ ′ ( x ) = 2 a 2 + 3 ⋅ 2 a 3 x + . . . + n ( n − 1 ) a n x n − 2 + . . . . . . . . . . . . f ( n ) ( x ) = n ! a n + ( n + 1 ) n ( n − 1 ) . . . 2 a n + 1 x + . . . . . . . . . . . . f'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+...+na_nx^{n-1}+...\\f''(x)=2a_2+3·2a_3x+...+n(n-1)a_nx^{n-2}+...\\.........\\f^{(n)}(x)=n!a_n+(n+1)n(n-1)...2a_{n+1}x+...\\......... f(x)=a1+2a2x+3a3x2+...+nanxn1+...f(x)=2a2+32a3x+...+n(n1)anxn2+............f(n)(x)=n!an+(n+1)n(n1)...2an+1x+............

    推论2:记 f f f为幂级数(2)在点 x = 0 x=0 x=0某邻域上的和函数,则幂级数(2)的系数与 f f f x = 0 x=0 x=0处的各阶导数有如下关系: a 0 = f ( 0 ) , a n = f ( n ) ( 0 ) n !   ( n = 1 , 2... ) a_0=f(0),a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,(n=1,2...) a0=f(0),an=n!f(n)(0)(n=1,2...)
    该推论还表明:若幂级数(2)在(-R,R)上有和函数 f f f,则幂级数(2)由 f f f在点 x = 0 x=0 x=0处的各阶导数所唯一确定

    3.幂级数的运算
    (1)幂级数相等:
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    定理14.9:若幂级数(2)与(9)在点x=0的某邻域内相等,则它们同次幂项的系数相等,即 a n = b n   ( n = 0 , 1 , 2... ) a_n=b_n\,(n=0,1,2...) an=bn(n=0,1,2...)
    由该定理还可推得:若幂级数(2)的和函数为奇(偶)函数则(2)式不出现偶(奇)次幂项

    (2)幂级数的运算:

    定理14.10:若幂级数(2),(9)的收敛半径分别为 R a , R b R_a,R_b Ra,Rb,则有 λ ∑ n = 0 ∞ a n x n = ∑ n = 0 ∞ λ a n x n   ( ∣ x ∣ < R a ) ∑ n = 0 ∞ a n x n ± ∑ n = 0 ∞ b n x n = ∑ n = 0 ∞ ( a n ± b n ) x n   ( ∣ x ∣ < R ) ( ∑ n = 0 ∞ b n x n ) ( ∑ n = 0 ∞ a n x n ) = ∑ n = 0 ∞ c n x n   ( ∣ x ∣ < R ) λ\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}λa_nx^n\,(|x|<R_a)\\\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n±\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}(a_n±b_n)x^n\,(|x|<R)\\(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}b_nx^n)(\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n)=\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}c_nx^n\,(|x|<R) λn=0anxn=n=0λanxn(x<Ra)n=0anxn±n=0bnxn=n=0(an±bn)xn(x<R)(n=0bnxn)(n=0anxn)=n=0cnxn(x<R)
    其中 λ λ λ为常数, R = m i n { R a , R b } , c n = ∑ k = 0 n a k b n − k R=min\{R_a,R_b\},c_n=\displaystyle\sum_{k=0}^na_kb_{n-k} R=min{Ra,Rb},cn=k=0nakbnk

    二.函数的幂级数展开
    1.泰勒级数
    (1)概念:在这里插入图片描述
    (2)泰勒级数收敛于自身的条件:

    定理14.11:设 f f f在点 x 0 x_0 x0具有任意阶导数,则 f f f ( x 0 − r , x 0 + r ) (x_0-r,x_0+r) (x0r,x0+r)上等于其泰勒级数的和函数的充要条件是:对满足 ∣ x − x 0 ∣ < r |x-x_0|<r xx0<r ∀ x ∀x x,有 lim ⁡ n → ∞ R n ( x ) = 0 \displaystyle\lim_{n\to\infty}R_n(x)=0 nlimRn(x)=0这里 R n ( x ) R_n(x) Rn(x) f f f x 0 x_0 x0处的泰勒公式余项

    (3)泰勒展开式:
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    (4)麦克劳林级数与各个形式的余项:
    在这里插入图片描述
    2.初等函数的幂级数展开式

    求幂级数展开式的方法:①通过定义和定理14.11求得 ②从已知展开式出发,通过变量代换/四则运算/逐项求导/逐项求积求得
    另外,某些非初等函数也可用幂级数的形式来表示,如 F ( x ) = ∫ 0 x e − t 2 d t = x − 1 1 ! x 3 3 + 1 2 ! x 5 5 − 1 3 ! x 7 7 + . . . + ( − 1 ) n n ! x 2 n + 1 2 n + 1 + . . .   ( − ∞ < x < + ∞ ) F(x)=\int_0^xe^{-t^2}dt=x-\frac{1}{1!}\frac{x^3}{3}+\frac{1}{2!}\frac{x^5}{5}-\frac{1}{3!}\frac{x^7}{7}+...+\frac{(-1)^n}{n!}\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+...\,(-\infty<x<+\infty) F(x)=0xet2dt=x1!13x3+2!15x53!17x7+...+n!(1)n2n+1x2n+1+...(<x<+)

    (1)多项式函数:
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    (2)指数函数:
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    (3)三角函数:
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    (4)对数函数:
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    (5)二项式函数:
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    (6)计算近似值:
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    三.复变量的指数函数与欧拉公式
    1.复数项级数:
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    2.复数项幂级数:
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    3.复变量的指数函数:
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    4.欧拉公式:
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