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  • 幂级数的收敛域与和函数问题引入幂级数的概念例题1阿贝尔定理(关于x的幂级数)收敛半径与收敛域(关于x的幂级数)幂级数收敛半径的计算例题1例题2幂级数的运算性质定理3幂级数的解析性质例题3 问题引入 幂级数的...

    问题引入

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    幂级数的概念

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    例题1

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    阿贝尔定理(关于x的幂级数)

    一个收敛点,管住一大片。
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    收敛半径与收敛域(关于x的幂级数)

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    幂级数收敛半径的计算

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    例题1

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    例题2

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    幂级数的运算性质

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    定理3

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    幂级数的解析性质

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    例题3

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  • 为了研究幂级数分布族性质,首先给出幂级数分布族定义,并证明幂级数...得出结论:两点分布、二项分布、泊松分布、几何分布和负二项分布等常见离散型随机变量分布,在幂级数分布族概念下其函数形式与参数结构都是统一.
  • 二、幂级数的概念 1. 幂级数的定义(幂级数的系数、一般形式、简化形式) 2. 幂级数收敛域的计算 三、阿贝尔定理 1. 阿贝尔定理:若级数在某处收敛,则可确定一个区间,在此区间内绝对收敛;若级数在某...

    一、问题的导入——最简单的函数(n次多项式),最简单的函数项级数(无穷次多项式)

     

    二、幂级数的概念

    1. 幂级数的定义(幂级数的系数、一般形式、简化形式)

     

    2. 幂级数收敛域的计算

     

    三、阿贝尔定理

    1.  阿贝尔定理:若级数在某处收敛,则可确定一个区间,在此区间内绝对收敛;若级数在某处发散,则可确定两个区间,在此区间内发散

     

     

    四、收敛半径与收敛域

    1.  若幂级数既有不等于零的收敛点,又有发散点,则可确定收敛半径、收敛区间、收敛域

     

    2. 幂级数收敛半径的计算,一般幂级数的收敛半径 

     

    五、幂级数的运算性质

    1. 幂级数的四则运算

     

    2. 幂级数的解析性质:幂级数与其逐项求导和逐项积分所得到的对应的级数的收敛半径相等

     

    3. 幂级数的和函数在其收敛区间上连续;幂级数可逐项积分

     

    4. 幂级数可逐项求导

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  • 幂级数

    2015-11-21 21:34:24
    研究解析函数两种工具:Weierstrass的幂级数和Cauchy积分方法。 概念 设z,z0∈Cz,z_0\in \mathbb C, ∑n=0∞an(z−z0)n\sum_{n=0}^\infty a_n(z-z_0)^n 称为幂级数。 如果部分和序列 ∑n=0nan(z−z0)n\sum_...

    幂级数

    研究解析函数的两种工具:Weierstrass的幂级数和Cauchy的积分方法。

    概念

    • z,z0C

      n=0an(zz0)n

      称为幂级数

    • 如果部分和序列

      n=0nan(zz0)n

      收敛,就称该幂级数在z收敛,部分和的极限称为级数的和。

    • 如果ε>0,N,只要k>N,对任意的zΩ,都有

      f(z)n=0kan(zz0)n<ε

      称该幂级数一致收敛

    性质

    定理

    Cauchy收敛准则

    幂级数n=0an(zz0)nΩ上一致收敛的充要条件是对ε>0,N,只要k1>k2>N,对任意的zΩ,都有

    n=k1k2an(zz0)n<ε

    定理

    控制收敛原理

    如果存在Mn,对zΩ|an(zz0)n|<Mn,且n=0收敛,则幂级数n=0an(zz0)nΩ上一致收敛。

    定理

    Abel定理

    如果幂级数n=0an(zz0)nzz0处收敛,则对任意r满足0<r<|zz0|,幂级数n=0an(zz0)n在闭圆盘

    D(z0,r)¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯={z||z|r}
    上一致收敛。

    根据Abel定理,取

    R=sup{r=|zz0|n=0an(zz0)n}

    称为幂级数的收敛半径。在边界上,幂级数在有些点可能收敛,在有些点可能发散。

    引理

    对幂级数n=0an(zz0)n,设L=lim¯¯¯¯¯n|an|n,则L=0时,R=L=时,R=0;0<L<时,R=1L

    定理

    幂级数n=0an(zz0)n和幂级数n=1nan(zz0)n1的收敛半径相同。

    定理

    设幂级数n=0an(zz0)n的收敛半径为R,则

    f(z)=n=0an(zz0)n

    在开圆盘D(z0,R)内解析,并且
    f(z)=n=1nan(zz0)n1

    推论

    设幂级数f(z)=n=0an(zz0)n的收敛半径为R>0,那么f(z)在开圆盘D(z0,R)内任意阶可导,并且有

    an=f(n)(z0)n!

    f(z)=n=0f(n)(z0)n!(zz0)n

    推论

    如果f(z)可以在z0的邻域内展开成幂级数,那么展开式是唯一的。

    多值函数

    分式线性变换

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  • 111第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断:(1)...

    111

    第十章

    函数项级数习题课

    一、

    主要内容

    1

    、基本概念

    函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和

    函数

    幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域

    2

    一致收敛性

    A

    函数列

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    一致收敛性的判断:

    (

    1

    )定义:用于处理已知极限函数的简单函数列的一致收敛性

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则:用于抽象、半抽象的函数列的一致收敛性的判断

    (

    3

    )确界(最大值方法)

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    0

    n

    f

    x

    f

    x

    (

    4

    )估计方法:

    |

    (

    )

    (

    )

    |

    0

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    a

    (

    5

    )

    Dini-

    定理:条件

    1

    )闭区间

    [

    ,

    ]

    a

    b

    2

    )连续性;

    3

    )关于

    n

    的单调性

    注、除

    Cauchy

    收敛准则外,都需要知道极限函数,因此,在判断一致收敛

    性时,一般应先利用点收敛性计算出极限函数。

    注、定义法、确界方法和估计方法的本质是相同,定义方法通常处理抽象

    的对象,估计方法是确界方法的简化形式,估计方法处理较为简单的具体的对

    象,确界方法是通过确界的计算得到较为精确的估计,通常用于处理具有一般

    结构的具体的函数列,也可以用于非一致收敛性的判断。

    注、

    Dini

    定理中,要验证的关键条件是关于

    n

    的单调性,定理中相应的条

    件为“对任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    作为数列关于

    n

    是单调的”

    ,注意到收敛

    或一致收敛与函数列前面的有限项没有关系,

    上述条件也可以改为

    “存在

    N

    n>N

    时”条件成立即可,但是,要注意

    N

    必须是与

    x

    无关的,即当

    n>N

    时,对

    所有任意固定的

    x

    [

    ,

    ]

    a

    b

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    关于

    n

    单调,因此,此时的单调性也称为对

    n

    的单调性关于

    x

    一致成立。

    非一致收敛性的判断

    (

    1

    )定义

    (

    2

    )

    Cauchy

    收敛准则

    (

    3

    )确界法:存在

    n

    x

    ,使得

    ||

    (

    )

    (

    )

    ||

    n

    n

    n

    f

    x

    f

    x

    不收敛于

    0

    (

    4

    )和函数连续性定理

    (

    5

    )端点发散性判别法:

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    c

    点左连续,

    {

    (

    )}

    n

    f

    c

    发散,则

    {

    (

    )}

    n

    f

    x

    展开全文
  • 111第十章函数项级数习题课一、主要内容1、基本概念函数列(函数项级数)的点收敛、一致收敛、内闭一致收敛、绝对收敛、和函数幂级数的收敛半径、收敛区间、收敛域2、一致收敛性A、函数列{()}nfx一致收敛性的判断:(1)...
  • 对幂级数而言,我们收敛要考察幂级数的收敛域,其次,要考察其一致收敛性,再由一致收敛性,就可以得到幂级数的相关性质。首先我们考察幂级数的收敛域。 假设幂级数在x=x0≠0x=x_0\neq 0x=x0​​=0处收敛,那么,...
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  • 幂级数的概念与基本性质。复习要求理解级数收敛、发散的概念,掌握级数收敛的必要条件,了解级数的基本性质,会熟练使用比较判别法与比值判别法判别正项级数的收敛性,掌握几何级数、调和级数、与级数的收敛性,了解...
  • 二、泰勒级数的概念 1. 系数的确定 2. 泰勒级数、麦克劳林级数的定义 三、泰勒级数展开的条件 1. 泰勒级数展开的充要条件 2. 泰勒级数展开的充分条件 四、泰勒级数展开的方法 1. 公式法 ...
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  • §11.1 常数顶级数的概念和性质 一、级数的定义 若给定一个数列 ,由它构成的表达式  (1) 称之为常数项无穷级数,简称级数,记作。 亦即  其中第项叫做级数的一般项。 上述级数定义仅仅只是一个形式化的...
  • 一、函数项级数的概念 概念 由一个区间III上的函数列: u1(x),u2(x),u3(x),...,un(x),..., u_1(x),u_2(x),u_3(x),...,u_n(x),..., u1​(x),u2​(x),u3​(x),...,un​(x),..., 构成的表达式: u1(x)+u2(x)+u3(x)+.....
  • 级数

    千次阅读 2018-11-27 12:48:17
    文章目录一、复数项级数学习目标1、复数列的极限2、级数概念3、判断级数收敛二、幂级数学你目标是1、幂级数的概念2、收敛半径的求法3、幂级数的运算与性质三、泰勒级数 一、复数项级数 学习目标 会判断复数列的...
  • 级数是多个项用加号连接起来的函数,有多种类型,如正项级数,交错,幂级数,傅里叶级数等等。 在傅里叶级数(三角级数的一种)中,有时在一些书上会看到其展开的形式有a0/2,和a0这种表述形式的级数展开,不同之处...
  • 复变函数:第四章——级数

    千次阅读 2018-08-02 22:56:33
    幂级数的概念 幂级数的收敛半径和收敛圆 幂级数的运算和性质 泰勒级数 柯西积分公式 解析函数的泰勒展开式 常用的展开式 函数在一点解析的等价定义 洛朗级数 问题的提出 洛朗级数 洛朗展开式 级数相关内容...
  • 在机器学习的微积分的第五部分中,我们讨论了近似函数,并研究了如何将函数描述为幂级数的概念。我们特别详细地讨论了麦克劳林级数(Maclaurin series)。MacLaurin级数告诉我们,如果我们知道点0处的某个函数的所有...
  • 在机器学习的微积分的第五部分中,我们讨论了近似函数,并研究了如何将函数描述为幂级数的概念。我们特别详细地讨论了麦克劳林级数(Maclaurin series)。MacLaurin级数告诉我们,如果我们知道点0处的某个函数的所有...
  • 1. 总览分类将级数的内容按上图分类。在常数项级数部分,我们需要知道其敛散性和审敛法。在函数项级数部分,书上提到了幂级数和三角级数。幂级数部分,我们需要知道其敛散性,审敛法,运算,将函数展开成幂级数以及...
  • 第七章:无穷级数(内容要点 测试点)教材目录7.1 无穷级数的概念7.2 无穷级数的基本性质7.3 正项级数7.4 任意项级数、绝对收敛7.5 幂级数7.6 泰勒公式与泰勒级数7.7 某些初等函数的幂级数展开式7.8 幂级数的应用举例1...
  • 01考试内容常数项级数的收敛与发散的概念收敛级数的和的概念级数的基本性质与收敛的必要条件几何...的概念幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域幂级数的和函数幂级数在其收敛区间内的基本性质简单幂级数...
  • 为了更方便的研究集合的卷积,引入集合幂级数的概念 集合幂级数也是形式幂级数的一种,只是集合的一种表现形式,无需考虑收敛或发散的含义 定义一个集合 SSS 的集合幂级数为 fff ,那么我们就可以把集合 SSS 表示...
  • 为了更方便的研究集合的卷积,引入集合幂级数的概念 集合幂级数也是形式幂级数的一种,只是集合的一种表现形式,无需考虑收敛或发散的含义 定义一个集合 \(S\) 的集合幂级数为 \(f\) ,那么我们就可以把集合 \(S\) ...
  • 第12章 无穷级数

    2017-09-06 15:42:47
    第一节 常数项级数的概念和性质第二节 常数项级数的审敛法第三节 幂级数第四节 函数展开成幂级数第五节 函数的幂级数展开式的应用第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质第七节 傅里叶级数第八节 ...
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空空如也

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