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  • 而且通过这些方法原则学习,不但能使我们熟悉幂的运算,还可得到全面思维训练,现在对此做一探索。幂的运算的基本知识就四条性质,写作四个公式:①am×an=am+n ②(am)n=amn③(ab)m=ambm ④am÷an=am-n只要理解...

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    作为整式乘除的前奏,幂的运算看似非常简单,实际运用起来却灵活多变。不过,只要熟悉运算的一些基本方法原则,问题就迎刃而解了。而且通过这些方法原则的学习,不但能使我们熟悉幂的运算,还可得到全面的思维训练,现在对此做一探索。

    幂的运算的基本知识就四条性质,写作四个公式:

    ①am×an=am+n     ②(am)n=amn   

    ③(ab)m=ambm     ④am÷an=am-n

    只要理解掌握公式的形状特点,熟悉其基本要义,直接应用一般都容易,即使运用公式求其中的未知指数难度也不大。

    问题1

    已知a7am=a3a10,求m的值。

    思路探索:用公式1计算等号左右两边,得到等底数的同幂形式,按指数也相等的规则即可得m的值。

    方法思考:只要是符合公式形式的都可套用公式化简试一试。

    方法原则:可用公式套一套。

    但是,渗入幂的代换时,就有点难度了。

    问题2

    已知xn=2,yn=3,求(x2y)3n的值。

    思路探索

    (x2y)3n中没有xnyn,但运用公式3就可将(x2y)3n化成含有xnyn的运算。

      因此可简解为,(x2y)3n =x6ny3n=(xn)6(yn)3=26×33=1728

    方法思考:已知幂和要求的代数式不一致,设法将代数式变形,变成已知幂的运算的形式即可代入求值。

    方法原则:整体不同靠一靠。

    然而,遇到求公式右边形式的代数式该怎么办呢?

    问题3

    已知a3=2,am=3,an=5,求am+2n+6的值。

    思路探索:试逆用公式,变形出与已知同形的幂即可代入了。

    简解am+2n+6=ama2na6=am(an)2(a3)2=3×25×4=300

    方法思考:遇到公式右边的代数式时,通常倒过来逆用公式,把代数式展开,然后代入。

    方法原则:逆用公式倒一倒。

    当底数是常数时,会有更多的变化,如何思考呢?

    问题4

    已知22x+322x+1=48,求x的值。

    思路探索:方程中未知数出现在两项的指数上,所以必须统一成一项,即用公式把它们变成同类项进行合并。由此,可考虑逆用公式1,把其中常数的整数指数幂,化作常数作为该项的系数。

    简解

    22x+322x+1

    =22x×2322x×21

    =8×22x2×22x

    =6×22x=48  

    ∴22x=8  ∴2x=3  ∴x=1.5

    方法思考:冪的底数是常数且指数中有常数也有未知数时,通常把常数的整数指数冪化成常数作为其它冪的系数,然后进行其它运算。

    问题5

    已知64m+1÷2n÷33m=81,求正整数m、n的值。

    思路探索:幂的底数不一致使运算没法进行,怎样把它们变一致呢?把常数底数都变成质数底数就统一了。

    简解

    64m+1÷2n÷33m 

    =24m+1×34m+1÷2n÷33m

    =24m+1-n×3m+1

    =81=34

    ∵m、n是正整数   

    ∴m+1=4,4m+1-n=0

    ∴m=3,n=13

    方法思考:冪的底数是常数时,通常把它们分解质因数,然后按公式3展开,即可化成同底数冪了。

    问题6

    已知2a=3,2b=6,2c=12,求a、b、c的关系。

    思路探索:求a、b、c的关系,关键看2a2b2c的关系,即3、6、12的关系。6是3的2倍,12是6的2倍,所以2c=2×2b=4×2a,由此可求。

    简解

    由题意知

    2c=2×2b=4×2a

    ∴2c=2b+1=2a+2

    ∴c=b+1=a+2

    方法思考:底数是相同的常数时,通常把冪的值同乘以适当的常数变相同,然后比较它们的指数。

    方法原则:系数质数和指数,常数底数造一造。

    综合用到以上方法就更需要引起注意。

    问题7

    已知2x=m,2y=n,求22x+3y+1的值。

    思路探索:要求的代数式与已知距离甚远,考虑逆用公式将其变成已知的代数式的形式。

    简解

    22x+3y+1

    =22x×23y×21

    =(2x)2×(2y)3×2

    =m2n3×2

    =2m2n3

    方法思考:综合运用化质数、逆用公式和整体代人的方法。

    问题8

    已知a=244,b=333,c=422,比较a、b、c的大小。

    思路探索:同底数幂比较大小观察指数大小即可,底数不能变相同的,只好逆用公式将指数变相同,比较底数大小了。

    简解

    a=244=24×11=(24)11=1611,

    b=333=33×11=(33)11=2711

    c=422=42×11=1611

    ∴a=c<b

    方法思考:化同指数冪是比较底数不能化相同的冪的又一种方法。

    思考归纳

    幂的运算首先要熟练掌握幂的四条基本性质,不但会直接套用公式,还要能逆用。其次要注意要求的代数式与已知条件的联系,没明显关系时常常逆用公式将其分解。第三,底数是常数时通常将其化成质数积的乘方的形式,有常数指数的通常求出其值,作为该项的系数。第四,底数不同而指数可变相同的可通过比较底数确定其大小关系,还可通过积的乘方的逆运算相乘。

    一、同底数幂的乘法

    1、同底数幂的乘法

    同底数幂相乘,底数不变,指数相加.

    公式表示为:am·an=am+n(m,n都是正整数)

    2、同底数幂的乘法可推广到三个或三个以上的同底数幂相乘

    注意点:

    (1)  同底数幂的乘法中,首先要找出相同的底数,运算时,底数不变,直接把指数相加,所得的和作为积的指数.

    (2)  在进行同底数幂的乘法运算时,如果底数不同,先设法将其转化为相同的底数,再按法则进行计算.

    简单练习

    一、选择题

    1. 下列计算正确的是(    )

    A.2+a3=a5       

    B.2·3=a5     

    C.3m+2m=5m    

    D.2+a2=2a4

    2. 下列计算错误的是(    )

    A.5x2-x2=4x2       

    B.m+am=2a     

    C.3m+2m=5m   

    D.x·2m-1= x2m

    3. 下列四个算式中

    3·3=2a3   

    3+x3=x6    

    3··2=b          

    p2+p2+p2=3p2  正确的有(   )

    A.1个  B.2个  C.3个  D.4个

    4. 下列各题中,计算结果写成底数为10的幂的形式,其中正确的是(    )

    A.100×102=103   B.1000×1010=103   

    C.100×103=105   D.100×1000=104             

    二、填空题

    1. 4·4=     ;a4+a4=     。     

    2、  b2·b·b7=     

    3、103·     =1010          

    4、(-a)2·(-a)3·5=     

    5、a5·(     )=a2·(    ) 4=a18 

    6、(a+1)2·(1+a)·(a+1)5=     

    中等练习

    1、 (-10)3·10+100·(-102)的运算结果是(    )

      A.108  B.-2×104  C.0  D.-104   

    2、(x-y)6·(y-x)5=     。    

    3、10m·10m-1·100=     。            

    4、a与b互为相反数且都不为0,n为正整数,则下列两数互为相反数的是(    )

    A.a2n-1-b2n-1     

    B.a2n-1与b2n-1     

    C.a2n与b2n     

    D.a2n与b2n 

    5. ※计算(a-b)n·(b-a)n-1等于(    )

    A.(a-b)2n-1    

    B.(b-a)2n-1     

    C.(a-b)2n-1  

    D.非以上答案

    6. ※7等于(    )

    A.(-x5   

    B、(-x2)·(-x5)  

    C.(-x)3·4    

    D.(-x)·(-x)6

    7、解答题

    (1) –2·(-x3)                    

    (2) –·(-a)2·3 

    (3) –2·(-b)2·(-b)3        

    (4) x·(-x2)·(-x)2·(-x3)·(-x)3

    (5)x4-m ·x4+m·(-x)

    (6) x6·(-x)5-(-x)8 ·(-x)3           

    (7)  -a3·(-a)4·(-a)5

    8. 计算(-2)1999+(-2)2000等于(     )

    A.-23999  B.-2   C.-21999  D.21999 

    9. 若a2n+1·x=a3 那么x=        

    二、幂的乘方与积的乘方

    1、幂的乘方

    幂的乘方,底数不变,指数相乘.

    公式表示为:(am)n=amn(m,n都是正整数).

    2、积的乘方

    积的乘方,把积的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘.

    公式表示为:(ab)n=anbn(n为正整数).

    注意点:

    (1)  幂的乘方的底数是指幂的底数,而不是指乘方的底数.

    (2)  指数相乘是指幂的指数与乘方的指数相乘,一定要注意与同底数幂相乘中“指数相加”区分开.

    (3)  运用积的乘方法则时,数字系数的乘方,应根据乘方的意义计算出结果;

    (4)  运用积的乘方法则时,应把每一个因式都分别乘方,不要遗漏其中任何一个因式.

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    乘方运算是我们学习了加减乘除运算后的第五种运算,乘方运算的结果称为“幂”,因此,乘方运算也称为幂的运算。在初中数学教材《幂的运算》一章的学习过程中,学生感觉困难重重,主要原因有两点:一是对幂的内涵理解不够,导致计算方法(公式)棍淆;二是思路不明确,无从下手.本文将通过对运算法则的归类揭示乘方运算的内涵,从而得出解题的策略.

    一、幂的运算公式及应用

    幂的运算公式如下表:

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    通过上表可以看出,两个幂的运算公式满足下列三条规律(记住这三条规律,可以避免公式混淆):

    1.越低级的运算,对幂的要求越高

    幕的加减运算(一级运算),要求两个幂的底数和指数都相同;幂的乘除运算,要求两个幂的底数和底数中有一项相同;幂的乘方运算则没有要求.

    2.幂的运算过程中,两个幂的相同部分不变

    幂的加减运算中,底数和指数都不变,系数相加减(即:合并同类项).幂的乘除运算中,底数相同,则底数不变;指数相同,则指数不变. 幂的乘方运算中,底数不变二-

    3.底数之间的运算,用原运算符号,指数之间的运算,用原运算符号的降级运算符号(各运算之间的降级关系如下表)

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    幂的加法(或减法)运算中,系数处于低层,仍用原运算——加法(或减法)运算.幂的乘法(或除法)运算中,若指数根同,则指数不变,底数仍用原运算——乘法(或除法)运算;若底数相同,则底数不变,指数处于上层,则按下表中的降级规律,用对应的加法(或减法)运算.幂的乘方运算,底数不变,指数降级为乘法运算.

    疑问:在幂的运算过程中,两个幂不符合上述运算特征怎么办?

    这是学生在学习幂的运算过程中遇到的最常见的困难,解决的方法是“转化”。通过转化两个幂的底数或指数,从而使两个幂达到符合相应运算的条件.具体转化方法如下:

    1.化为底数相同

    如果两个幂的底数可以化成同一个数的幂的形式,那么这两个幂就可以用幂的乘方公式,把它们化作同底数幂.

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    二、求有关幂的等式中未知数的方法

    当两个相等的幂的底数相等时,它们的指数也相等,如已知a²=aⁿ,则n=2;当两个相等的幂的指数相等时,它们的底数也相等,如已知3ⁿ=xⁿ,则x=3.当两个相等的幂的底数和指数都不相同时,则无法直接转化为整式方程求未知数的值,此时需要转化两个幂的底数或指数,使它们相同.当等式两边有多个幂时,需要依据运算符号进行运算,先转化成只有两个幂的等式再进行求解.

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    分析 因等式两边有三个幂,且字母m在指数上,故需要先计算出等号左边的积,使等号两边各保留一个幂,然后再化底数相等,最后用指数相等列等式.

    三、比较幂的大小的方法.

    当两个幂的底数相同时,通过比较他们的指数可以判断它们的大小.

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    小结 在学习《幂的运算》这一章节内容时,记住公式是解题的基础,熟练掌握转化底数和指数的方法是解题的关键.分析题目中幂的运算所需要的条件,可以明确解题思路;观察幂的底数和指数的特点,可以明确解题的具体过程.

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  • 初中数学:幂的运算比较大小经典考试题型。大家先在草稿本上,认真地做一遍,然后再看后面视频。期待您在评论区留言。比较幂的大小,除了底数相同比较指数,指数相同比较底数,这个方法外,还有很多方法,一般...

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    这道题,怎么比较a和b的大小?初中数学:幂的运算,比较大小经典考试题型。大家先在草稿本上,认真地做一遍,然后再看后面的视频。期待您在评论区的留言。

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    比较幂的大小,除了底数相同比较指数,指数相同比较底数,这个方法外,还有很多方法,一般比较常用的方法是做差法,做商法。

    那么这道题,我们如果用做商的方法,来比较a和b的大小,也是非常简单的。当然,这道题,我们也可以直接将a和b,分子分母变形约分。

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    19.幂的运算

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    【分析】

    A选项为合并同类项,应把系数相加;B选项为同底数幂的乘法,底数不变,指数相加;C选项中x项的指数为1;D选项中负因数的奇次幂为负。

    【解】

    答案选D

    【反思】

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    【举一反三】

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    初中数学解题技法|2.无理数的概念

    初中数学解题技法|3.相反数、倒数、非零实数零次幂的意义

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  • 17.3 使用整数操作比较浮点数大小 331 17.4 估算平方根倒数 332 17.5 前导数位分布 334 17.6 杂项数值表 336 17.7 习题 338 第18章 素数公式 339 18.1 简介 339 18.2 Willans公式 341 18.2.1 Willans第二...
  • 多项式相加过程:将两个多项式用指数递降顺序储存,依次比较首项的幂大小,相同就相加,不同就输出指数高,然后再依次用小一项比较另一个多项式第二项 方法三:链表结构存储非零项 链表中每个节点...
  • verilog 8位无符号除法器实现

    千次阅读 2020-10-03 13:51:05
    一、算法(非原创) ...在Verilog HDL语言中虽然有除的运算指令,但是除运算符中的除数必须是2的,因此无法...最简单的方法就是减法实现除法器(比如十进制中的a/b,可先比较a与b的大小,如果a>b,则商加1,a<=a-b,
  • 3. 断点设置方法为:移动光标至“断点语句”所在行,点击鼠标后即出现绿色光条,之后单击“断点”菜单中“设置断点”命令项即可,此时该断点语句所在行上将出现红色光条。 六、 算法演示屏详细说明 本系统...
  • 入职第一测

    2018-07-09 10:15:32
    2.三个数字比较大小,用if…else和三元运算两种方法。 3.输入一个正整数,输出它各位数字。 4.水仙花数(一个三位数,其各位数字立方和是其本身)和四叶草数,自。 5.百钱买百鸡,题目是:公...
  • 虽然处理起来时间比较长,但是相比FFT的优势是可以对非2的数的大小的图片进行傅里叶变换,而非2数的FFT的话如果进行补0再运算的话会导致算出的频域是错误的频域(毕竟随意加0会直接影响到这个图片)。...
  • 潘震皓 -《置换群快速幂运算研究与探讨》 胡伟栋 -《非完美算法在信息学竞赛中应用》 何 林 -《数据关系简化》 汪 汀 -《参数搜索应用》 周 源 -《浅谈信息学竞赛中“压缩法”》 朱泽园 -《回到起点 --...

空空如也

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幂运算比较大小的方法