很多人都不了解图像（二维）频谱中的每一点究竟代表了什么，有什么意义?
 
  
一句话解释为：二维频谱中的每一个点都是一个与之一一对应的二维正弦/余弦波。
 
 
 
 
视觉的优势永远大于其他器官对人的作用，所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要的作用。
 
 
相比于时域分析图像的艰难，在频域分析图像就变得无比轻松，但是由于频域比较抽象，理解起来比较吃力，所以很多人并不能一下子就明白其原理。
 
 
 
 
在此选用了著名的Cameraman的图像，这幅照片向我们表达的信息是显而易见的，一位优秀的摄影师，黑色的风衣，潇洒的发型，很有质感的皮手套，灰色的裤子，一台照相机，一个三脚架，草坪，蓝天，背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样，有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说，中间的那条白线是什么，如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说，图像的傅里叶变换有些多此一举，反而把一个简单的问题弄得很复杂，弄巧成拙了。
 
 
言归正传，说了这么多，搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性（这里主讲二维频谱的特性，一维里面的共有特性就不细讲了）。
 
 
1、周期性
 
 
DFT的周期性：时时刻刻都要记住，对于DFT而言，他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。
 
 
 
如果只取其中的一个周期，则我们会得到如下的结果（即，频谱未中心化）。
 
 
 
 
为了便于频域的滤波和频谱的分析，常常在变换之前进行频谱的中心化。
 
 
频谱的中心化
 
 
从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数，又因为e^jπ = 1，所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以（-1）^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示：1<----->3 对调，2<----->4 对调，matlab中的fftshit命令就是这么干的。
 
 
 
 
变换后对调频谱的四个象限（swap quadrant）
 
 
 
 
经过中心化后的频谱
 
 
 
 
截取了其中的一个周期，作为图像的频谱
 
 
 
 
2、高低频率的分布
 
 
除了周期性之外，还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中，中间最亮的点是最低频率，属于直流分量（DC分量）。越往边外走，频率越高。所以，频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。
 
 
 
 
没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反，中间区域是高频，而四个角则是DC低频分量。
 
 
 
 
这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布，见下图。
 
 
 
 
频谱中心化以后，正弦波的频点靠中心越近，频率越低，离中心越远，频率越高。
 
 
3、频谱图的能量分布
 
 
这里我顺便提一下频谱中的能级分布，则如下图所示。明显，DC分量所占能量最大最多，不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分，能量越少。如下图所示，图示画的不好，勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量，中间那个圈包含了大约93%的能量，而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。
 
 
 
 
4、纵横“交错”性
 
 
在二维傅里叶变换中，空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上，而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向，反之亦然。说明见下图。
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
最后再附加一个例子。
 
 
 
 
5、方向性（direction）
 
 
在二维频谱图中的任意“一对亮点”（注意：频谱的对称性），都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。
 
 
在空域图中的任意一条正弦线上，作该正弦线的法线。同时，把频谱图中的一对白色频点和坐标原点（DC中点）用一条直线连接起来。则，空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的，一致的。
 
 
 
 
上图是一个45度倾斜的正弦波图像。
 
 
注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点（DC）连线都是平行的，同时，空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。
 
 
 
 
上图为相同方向，较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。
 
 
 
 
上图为相同方向，较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。
 
 
下面我们来验证一下其他角度的情况，这一法则是否适用。
 
 
 
 
 
 
上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的，那么针对没有经过频谱中心化的图呢？
 
 
 
 
这些实验还说明了一个非常重要的问题，那就是：频谱图中的任意一对对称的两点，或者说是频点，经过傅里叶反变换之后，就是空间域中的一个与之对应的正弦波（即，相应的频率和方向）。如下图所示。
 
 
 
 
6、平移和旋转
 
 
图像的平移并不会影响图像的频谱，同时，图像的相位会随着图像的旋转而旋转。
 
 
 
 
Part I 平移和旋转对频谱的影响
 下面我用矩形的频谱图来说明图像中矩形的平移并不会对频谱有丝毫的影响。
 
 
 
再比如
 
 
 
 
再来看看频谱随着矩形的旋转而旋转相同的角度。
 
 
 
 
Part II 平移和旋转对相位的影响
 先用一个简单的例子来说明图像相位的作用（所用图像为cameraman），在图像的频域分析和滤波中，相位是常常被忽略的。虽然相位分量的贡献很不直观，但是它恰恰很重要。相位是频谱中各正弦分量关于原点的位移的度量。
 
 
上面的小实验充分说明了，看似无用的，且常常被忽略的相位，在DFT的频域中起到了多么重要的作用（注意区分实部和虚部（直角坐标系）VS 频谱和相位（极坐标系）！）。
 
 
接下来我们再来看看图像在空间域中的移位和旋转对相位有什么影响。下图中，左边一列是图像，中间一列是频谱，右边一列是相位图。你必须意识到，通过肉眼，你很难从相位图中得到什么有用的信息。
 
 
 
 
 

转自：https://blog.csdn.net/ViatorSun/article/details/82387854

 
文章目录
 
时域和频域
1. 概述
2.（时域）波形和频域：用几张对比图来区分
2.1 时域和频域
2.2 区分：时频谱图（语谱图）
 


 
傅里叶变换的典型用途是将信号分解成频率谱——显示与频率对应的幅值大小。
 
时域和频域
 
1. 概述
 
（1）什么是信号的时域和频域？
 时域和频域是信号的基本性质，用来分析信号的不同角度称为域，一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。
 （2）时频域的关系是什么？
 时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。对信号进行时域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同。因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构，并在频率域中对信号进行描述。动态信号从时间域变换到频率域主要通过傅立叶级数和傅立叶变换实现。周期信号的变换采用傅立叶级数，非周期信号的变换采用傅立叶变换。
 （3）信号的时域和频域表达方式各有什么特点？
 
我们描述信号的方式有时域和频域两种方式，时域是描述数学函数或物理信号对时间的关系，而频域是描述信号在频率方面特性时用到的一种坐标系，简单来说，横坐标一个是时间，一个是频率。
 一般正弦信号可由幅值、频率、相位三个基本特征值就可以唯一确定。但对于两个形状相似的非正弦波形，从时域角度，很难看出两个信号之间的本质区别，这就需要用到频域表达方式。
 
小结
 
时域：自变量是时间，即横轴是时间，纵轴是信号的变化（振幅）。其动态信号$x(t)$是描述信号在不同时刻取值的函数。
频域：自变量是频率，即横轴是频率，纵轴是该频率信号的幅度（振幅），就是指的信号电压大小，也就是通常说的频谱图。
 
2.（时域）波形和频域：用几张对比图来区分
 
2.1 时域和频域
 
时域 vs 频域
 
时域波形、频域谱线
 
 
时域图：表现的是一段音频在一段时间内音量的变化，其横轴是时间方向，纵轴是振幅方向。
 
波形实质上是将各个频率的波形叠加在了一起（波形是由各频率不同幅值和相位的简单正弦波复合叠加得到的。）
 
频谱图：表现的是一段音频在某一时刻各个频率的音量的高低，其横轴是频率方向，纵轴为振幅方向。
 
将复合波形进行傅里叶变换，拆解还原成每个频率上单一的正弦波构成，相当于把二维的波形图往纸面方向拉伸，变成了三维的立体模型，而拉伸方向上的那根轴叫频率，现在从小到大每个频率点上都对应着一条不同幅值和相位的正弦波。
 
频谱则是在这个立体模型的频率轴方向上进行切片，丢去时间轴（即在每个时刻都可以拿刀在与时间轴垂直的方向上进行切片），形成以横坐标为频率，纵坐标为幅值的频谱图，表示的是一个静态的时间点上各频率正弦波的幅值大小的分布状况。
 再说的直白一点，频谱就是为了找出一个波是由多少波复合而成的！
 
关于为什么是正弦波，可以查看之前的文章：从本质（信号分析角度）理解卷积
 
从下面的频谱图中可以得出这样的结论：
 
原始波由三个正弦波叠加而成；
横轴为这些正弦波分量的频率，纵轴为这些正弦波分量的振幅。
 
 
2.2 区分：时频谱图（语谱图）
 
语谱图：先将语音信号作傅里叶变换，然后以横轴为时间，纵轴为频率，用颜色表示幅值即可绘制出语谱图。在一幅图中表示信号的频率、幅度随时间的变化，故也称“时频图”。
 

 如下面两张图分别为数字0-10的波形图和语谱图：
 
（1）数字0-10的波形图：
 
（2）数字0-10的语谱图：
 
 
 
 
附：
 
 
频宽、带宽、频带？
 频带（frequency band）：对信号而言，频带就是信号包含的最高频率与最低频率这之间的频率范围(当然频率分量必须大于一定的值)。对信道而言，频带就是允许传送的信号的最高频率与允许传送的信号的最低频率这之间的频率范围(当然要考虑衰减必须在一定范围内)
 频带宽度（band width）：简称带宽，有时称必要宽度，指为保证某种发射信息的速率和质量所需占用的频带宽度容许值，以赫（Hz）、千赫（KHz）、兆赫（MHz）表示。
 注意区分：网络带宽，是指在单位时间能传输的数据量，亦即数据传输率。
宽带和窄带？
 “窄”和“宽”是一个相对概念，并无严格数字界限，相对于什么呢？是指信道特性相对于信号特性。第一，什么叫宽带信号，“有待传输的信号”我们称为信源，信源是具备一定的频谱特征的。信源信号通常需要一个载波信号来调制它，才能发送到远方。信源信号带宽远小于载波中心频率的是窄带信号,反之，二者大小可比拟的称为宽带信号。
 第二，实际通信中，分配给你的频带资源+真实的传播环境, 我们称之为信道。信道也具备一定的频谱特征。通常情况下，分配到的频带资源越宽，传播环境越稳定，信道能够承载的数据速率就越高。
 
 
更多参考：音色与声谱图——很详细的介绍
 
参考：
 
 
如何理解 图像傅里叶变换的频谱图
 
 
频域（频谱）图和时域图横纵坐标及分析
 
 
声音的波形和频谱是什么？它们两者有什么联系？
 
 
语音信号语谱图分析
 
 
什么是信号的时域和频域？——比较精练的总结
 
 
信号频域分析方法的理解（频谱、能量谱、功率谱、倒频谱、小波分析） - Mr.括号的文章 - 知乎——比较全面的介绍
 
 
Matlab 语谱图(时频图)绘制与分析
 

很多人都不了解图像（二维）频谱中的每一点究竟代表了什么，有什么意义?
 

 一句话解释为： 二维频谱中的每一个点都是一个与之一 一对应的二维正弦/余弦波。
 
视觉的优势永远大于其他器官对人的作用，所以对标眼睛的图像处理起到了非常重要的作用。
 
相比于时域分析图像的艰难，在频域分析图像就变得无比轻松，但是由于频域比较抽象，理解起来比较吃力，所以很多人并不能一下子就明白其原理。
 
 
在此选用了著名的Cameraman的图像，这幅照片向我们表达的信息是显而易见的，一位优秀的摄影师，黑色的风衣，潇洒的发型，很有质感的皮手套，灰色的裤子，一台照相机，一个三脚架，草坪，蓝天，背景是MIT。而他的频谱图则并没有像一维的频谱图那样，有助于我们理解图像自身以外的或者是隐藏在图像背后的信息。比如说，中间的那条白线是什么，如果你没看我之前写的那篇文章你可能都不知道它究竟代表了什么。这也就是我为什么说，图像的傅里叶变换有些多此一举，反而把一个简单的问题弄得很复杂，弄巧成拙了。
 
言归正传，说了这么多，搞图像的哪有不和二维傅里叶变换打交道的呢。现在我就尽力说明一下图像二维傅里叶变换的一些属性（这里主讲二维频谱的特性，一维里面的共有特性就不细讲了）。
 
1、周期性
 DFT的周期性：时时刻刻都要记住，对于DFT而言，他的空域和频域始终都是沿着X和Y方向无限周期拓展的。
 

 如果只取其中的一个周期，则我们会得到如下的结果（即，频谱未中心化）。
 
 
为了便于频域的滤波和频谱的分析，常常在变换之前进行频谱的中心化。
 
频谱的中心化
 从数学上说是在变换之前用指数项乘以原始函数，又因为e^jπ = 1，所以往往我们在写程序的时候实际上是把原始矩阵乘以（-1）^(x+y)达到频谱居中的目的。如下图所示：1<----->3 对调，2<----->4 对调，matlab中的fftshit命令就是这么干的。
 
 
变换后对调频谱的四个象限（swap quadrant）
 
 
经过中心化后的频谱
 
 
截取了其中的一个周期，作为图像的频谱
 
 
2、高低频率的分布
 除了周期性之外，还应该知道的就是哪里是高频哪里是低频。在经过频谱居中后的频谱中，中间最亮的点是最低频率，属于直流分量（DC分量）。越往边外走，频率越高。所以，频谱图中的四个角和X,Y轴的尽头都是高频。
 
 
没有经过频谱居中处理的频谱图则正好相反，中间区域是高频，而四个角则是DC低频分量。
 
 
这里我再用一个正弦波的例子来展示频谱图的高低频的分布，见下图。
 
 
频谱中心化以后，正弦波的频点靠中心越近，频率越低，离中心越远，频率越高。
 
3、频谱图的能量分布
 这里我顺便提一下频谱中的能级分布，则如下图所示。明显，DC分量所占能量最大最多，不论是二维还是一维都应该是这样。频率越高的部分，能量越少。如下图所示，图示画的不好，勉强能够理解就好。中间最小的那个圆圈内包含了大约85%的能量，中间那个圈包含了大约93%的能量，而最外面那个圈则包含了几乎99%的能量。
 
 
4、纵横“交错”性
 在二维傅里叶变换中，空间域中横向的周期变化会反应在频谱图中的Y轴上，而空间域中纵向的周期变化会反应在频谱图中的X轴上。空间域中东南方向的周期变化会反应在频谱图中的东北方向，反之亦然。说明见下图。
 
 
 
 
 
 
 
最后再附加一个例子。
 
 
5、方向性（direction）
 在二维频谱图中的任意“一对亮点”（注意：频谱的对称性），都在相应的空间域有一个与之相对应的二维正弦波。亮点在二维频谱中的位置决定了与之对应的正弦波的频率和方向。
 
在空域图中的任意一条正弦线上，作该正弦线的法线。同时，把频谱图中的一对白色频点和坐标原点（DC中点）用一条直线连接起来。则，空域图中的法线正好和频谱图中的连线是完全平行的，一致的。
 
 
上图是一个45度倾斜的正弦波图像。
 
注意空间域中的任意一条法线和频谱图中频点和频谱图原点（DC）连线都是平行的，同时，空间域中的任意一条正弦线和频谱图中的连线是刚好正交的/垂直的。
 
 
上图为相同方向，较低频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。
 
 
上图为相同方向，较高频率正弦图的频谱。注意图中我用白色箭头所画的空间域（左图）的法线和频谱图中（右图）一对频点和DC的连线延长线，是平行的。
 
下面我们来验证一下其他角度的情况，这一法则是否适用。
 
 
 
上面所有的例子中的频谱图都是频谱中心化的，那么针对没有经过频谱中心化的图呢？
 
 
这些实验还说明了一个非常重要的问题，那就是：频谱图中的任意一对对称的两点，或者说是频点，经过傅里叶反变换之后，就是空间域中的一个与之对应的正弦波（即，相应的频率和方向）。如下图所示。
 
 
6、平移和旋转
 图像的平移并不会影响图像的频谱，同时，图像的相位会随着图像的旋转而旋转。
 
 
Part I 平移和旋转对频谱的影响
 下面我用矩形的频谱图来说明图像中矩形的平移并不会对频谱有丝毫的影响。
 
 
再比如
 
 
再来看看频谱随着矩形的旋转而旋转相同的角度。
 
 
Part II 平移和旋转对相位的影响
 先用一个简单的例子来说明图像相位的作用（所用图像为cameraman），在图像的频域分析和滤波中，相位是常常被忽略的。虽然相位分量的贡献很不直观，但是它恰恰很重要。相位是频谱中各正弦分量关于原点的位移的度量。
 
上面的小实验充分说明了，看似无用的，且常常被忽略的相位，在DFT的频域中起到了多么重要的作用（注意区分实部和虚部（直角坐标系）VS 频谱和相位（极坐标系）！）。
 
接下来我们再来看看图像在空间域中的移位和旋转对相位有什么影响。下图中，左边一列是图像，中间一列是频谱，右边一列是相位图。你必须意识到，通过肉眼，你很难从相位图中得到什么有用的信息。
 
 

FFT2与IFFT2
 
通过FFT2（二维快速傅里叶变换）可将图像信号转换到频域观察其频谱，
 同理，通过IFFT2也可将变换后的数据还原为图像。
 
clc,clear,close all
img=imread('ff1.png');
subplot(2,2,1);imshow(img);title('原图');
f=rgb2gray(img);    %对于RGB图像必须做的一步，也可以用im2double函数
F=fft2(f);          %傅里叶变换
F1=log(abs(F)+1);   %取模并进行缩放
subplot(2,2,2);imshow(F1,[]);title('傅里叶变换频谱图');
Fs=fftshift(F);      %FFT频谱中心化，将频谱图中零频率成分移动至频谱图中心
S=log(abs(Fs)+1);    %取模并进行缩放
subplot(2,2,3);imshow(S,[]);title('频移后的频谱图');
fr=real(ifft2(ifftshift(Fs)));  %频率域反变换到空间域，并取实部
ret=im2uint8(mat2gray(fr));    %更改图像类型
subplot(2,2,4);imshow(ret),title('逆傅里叶变换');
 
效果：
 
 如果尝试自行编写相关算法，能将正变换生成后的数据还原图像说明算法正确。
 
频谱图的像素值是由FFT结果数据的实部值生成吗？
 
为了回答这个问题，先将代码简化为关键几步：
 
clc,clear,close all
I=imread('ff1.png'); %读入图像
I=rgb2gray(I); %灰度转换
F=fft2(im2double(I)); %FFT
F=fftshift(F); %FFT频谱中心化
F=real(F);
T=log(F+1); %频谱对数变换
subplot(1,2,1),imshow(I),title('原始图像');
subplot(1,2,2),imshow(T,[]),title('原始图像其频谱图');
 
可以看到频谱图的数据来源主要是FFT后取实部（用abs()求模运算更好）并进行对数转换；
 
 
 
Tips:
 1.用abs()求傅里叶变换的模，我们都知道傅里叶变换后的结果为复数，包含real实部和imag虚部，而abs就是求复数的模，经过这一步，F的类型由复数的double变成了实数的double，如果没有这一步, matlab会给出提示，Warning: Displaying real part of complex input.
 2.对数转换的目的：经过log(X)变换后会变成负数，而log(X+1)则将所有的x值，映射成正数，数值范围也更小一些。
 
 
效果：
 
 若未进行频谱中心化，效果为：
 
clc,clear,close all
I=imread('ff1.png'); %读入图像
I=rgb2gray(I); %灰度转换
F=fft2(im2double(I)); %FFT
F2=F;
F=fftshift(F); %FFT频谱中心化
F=abs(F);
T=log(F+1); %频谱对数变换
%%
F2=abs(F2);
T2=log(F2+1); %频谱对数变换
%%
subplot(2,2,1),imshow(I),title('原始图像');
subplot(2,2,2),imshow(T,[]),title('原始图像其频谱图');
subplot(2,2,3),imshow(I),title('原始图像');
subplot(2,2,4),imshow(T2,[]),title('未中心化频谱图');
 
注意这里是用的abs()求模运算，与直接取real()实部的效果有些差异。
 
效果：
 
 
 
 
参考文档：
 如何理解 图像傅里叶变换的频谱图
 使用matlab对图像进行傅里叶变换（FFTSHIFT）
 Matlab对图像进行傅里叶变换实例