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  • 倾斜角的斜率公式
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    2021-02-11 17:25:11

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    一次函数是很多最早学习的函数知识内容之一,它的图像是一条直线,而学好一次函数,那么首先要掌握好一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组等相关知识内容。从某种意义上来说,直线方程的概念本质上是刻画直线与方程的一一对应的关系。

    进入高中之后,数学教材继续安排直线相关知识内容学习,无论是知识的深度广度都在增加,一方面让学生感受学无止境的学习精神,进一步强化函数思想,学会运用数形结合等数学思想解决问题;另一方面这也是解析几何可以用方程(代数)研究直线(几何)的基础。

    高中数学里面我们更多讲究直线方程的概念,这个比起一次函数去解释,显得更加抽象,对学生的思维能力进一步提出挑战,但也加强学生对思考问题的角度和方法的培养,这些都是数学综合素质的体现。

    跟直线相关的知识内容,很多看上去都是属于“死记硬背”的东西,如直线的倾斜角与斜率概念、公式等等,只要肯花点时间去背背,都能记住,但能不能运用这些知识正确解出问题,又是另一回事。

    因此,对于任何数学知识,我们不仅仅是要记住,更要学会去理解知识的本质,这样使自己的思维得到锻炼。

    就像对直线的倾斜角与斜率、直线的方程这块知识内容的学习,首先要把概念分析清楚,牢记概念。

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    前言

    • 更新时间:2019-08-05

    倾斜角斜率

    直线的倾斜角的范围\(\theta\in [0,\pi)\)

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    直线方程

    典例剖析

    直线的方向向量

    例1与直线\(3x+4y+5=0\)的方向向量共线的一个单位向量是【】

    $A.(3,4)$ $B.(4,-3)$ $C.(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})$ $D.(\cfrac{4}{5},-\cfrac{3}{5})$
    • 预备知识:经过两点\(P_1(x_1,y_1)\)\(P_2(x_2,y_2)\)的直线的方向向量的坐标可以记为\((x_2-x_1,y_2-y_1)\),当直线的斜率\(k\)存在时,方向向量的坐标可以记为\((1,k)\),[即\((1,k)=(1,\cfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1})\)];

    同理,斜截式直线方程\(y=kx+b\)的一个方向向量可以取为\((1,k)\),或\((-1,-k)\)\((2,2k)\)等;

    一般式直线方程\(Ax+By+C=0\)的一个方向向量可以取为\((1,k)\),或\((1,-\cfrac{A}{B})\)\((B,-A)\)\((-B,A)\)等;

    分析:直线\(3x+4y+5=0\)的一个方向向量可以取为\((4,-3)\),将其单位化为\((\cfrac{4}{5},-\cfrac{3}{5})\),故选\(D\)

    例1-1已知\(\vec{a}=(6,2)\)\(\vec{b}=(-4,\cfrac{1}{2})\),直线\(l\)经过点\(A(3,-1)\),且与向量\(\vec{a}+2\vec{b}\)垂直,则直线\(l\)的一般方程为____________。

    分析:\(\vec{a}+2\vec{b}=(-2,3)\),设直线\(l\)的方向向量为\((1,k)\),则由直线\(l\)与向量\(\vec{a}+2\vec{b}\)垂直,得到\(-2+3k=0\),即\(k=\cfrac{2}{3}\)

    即直线\(l\)的斜率为\(k=\cfrac{2}{3}\),又过点\(A(3,-1)\),则方程为\(y+1=\cfrac{2}{3}(x-3)\)

    整理得到一般式方程为\(2x-3y-9=0\).

    直线的旋转和平移

    例2将直线\(y=3x\)绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\),再向右平移\(1\)个单位,所得到的直线为【】

    $A.y=-\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{3}$ $B.y=-\cfrac{1}{3}x+1$ $C.y=3x-3$ $D.y=\cfrac{1}{3}x+1$

    分析:将直线\(y=3x\)绕原点逆时针旋转\(90^{\circ}\),得到\(y=-\cfrac{1}{3}x\),再用\(x-1\)替换\(x\),整理得到\(y=-\cfrac{1}{3}x+\cfrac{1}{3}\),故选\(A\)

    直线的截距式方程应用

    例3与直线\(3x+4y+12=0\)平行,且与坐标轴构成的三角形的面积是\(24\)的直线\(l\)的方程是____________。

    分析:设与直线\(3x+4y+12=0\)平行的直线系方程为\(3x+4y=\lambda\)

    变形整理为直线的截距式方程为\(\cfrac{x}{\frac{\lambda}{3}}+\cfrac{y}{\frac{\lambda}{4}}=1\),则得到三角形的两直角边长为\(|\cfrac{\lambda}{3}|\)\(|\cfrac{\lambda}{4}|\)

    \(\cfrac{1}{2}\times |\cfrac{\lambda}{3}|\times |\cfrac{\lambda}{4}|=24\),解得\(\lambda=\pm 24\)

    即所求直线\(l\)的方程是\(3x+4y\pm 24=0\)

    求直线的倾斜角取值范围,本质是解正切型三角不等式。

    直线的倾斜角的范围\(\theta\in [0,\pi)\)

    例4直线\(2xcos\alpha-y-3=0(\alpha\in [\cfrac{\pi}{6},\cfrac{\pi}{3}])\)的倾斜角的变化范围是【】

    $A.[\cfrac{\pi}{6},\cfrac{\pi}{3}]$ $B.[\cfrac{\pi}{4},\cfrac{\pi}{3}]$ $C.[\cfrac{\pi}{4},\cfrac{\pi}{2})$ $D.[\cfrac{\pi}{4},\cfrac{2\pi}{3}]$

    分析:设直线的倾斜角为\(\theta\),则\(k=tan\theta=2cos\alpha\),由于\(\alpha\in [\cfrac{\pi}{6},\cfrac{\pi}{3}]\),则\(2cos\alpha\in [1,\sqrt{3}]\)

    \(k=tan\theta\in [1,\sqrt{3}]\),故\(\theta\in [\cfrac{\pi}{4},\cfrac{\pi}{3}]\),故选\(B\).

    992978-20190806110546298-67560587.gif

    例5直线\(xsin\alpha-y+1=0\)的倾斜角的变化范围是【】

    $A.(0,\cfrac{\pi}{2})$ $B.(0,\pi)$ $C.[-\cfrac{\pi}{4},\cfrac{\pi}{4}]$ $D.[0,\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4},\pi)$

    分析:设直线的倾斜角为\(\theta\),则\(k=tan\theta=sin\alpha\in [-1,1]\),又由于\(\theta\in [0,\pi)\)

    \(\theta\in [0,\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4},\pi)\),故选\(D\).

    例6【2014黄冈模拟】直线\(l\)经过\(A(2,1)\)\(B(1,m^2)(m\in R)\)两点,那么直线\(l\)的倾斜角的取值范围为【】

    $A.[0,\pi)$ $B.[0,\cfrac{\pi}{4}]\cup[\cfrac{3\pi}{4},\pi)$ $C.[0,\cfrac{\pi}{4}]$ $D.[0,\cfrac{\pi}{4}]\cup(\cfrac{\pi}{2},\pi)$

    分析:由点\(A(2,1)\)\(B(1,m^2)\)得到,\(k=tan\theta=\cfrac{m^2-1}{1-2}=1-m^2\leqslant 1\),故\(\theta\in [0,\cfrac{\pi}{4}]\cup(\cfrac{\pi}{2},\pi)\),故选\(D\).

    高阶例题

    例1过点\(P(2,1)\)作直线\(l\),分别交\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)\(B\)两点,\(O\)为坐标原点,

    (1)当\(\triangle AOB\)的面积最小时,求直线\(l\)的方程;

    分析:过点\(P\)的直线\(l\)\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)\(B\)两点,

    则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零,故设为\(y-1=k(x-2)\)

    则点\(A(2-\cfrac{1}{k},0)\)\(B(0,1-2k)\)\(k<0\)

    \(S_{\triangle AOB}=\cfrac{1}{2}|OA|\cdot |OB|=\cfrac{1}{2}(2-\cfrac{1}{k})(1-2k)\)\(=\cfrac{1}{2}(4-4k-\cfrac{1}{k})\)

    \(=\cfrac{1}{2}[4-(4k+\cfrac{1}{k})]\)\(=\cfrac{1}{2}[4+(-4k)+\cfrac{1}{(-k)}]\)\(\geqslant \cfrac{1}{2}\left [4+2\sqrt{(-4k)\cdot \cfrac{1}{(-k)}}\;\;\right ]=4\)

    当且仅当\(-4k=-\cfrac{1}{k}\),即\(k=-\cfrac{1}{2}\)时等号成立,

    故所求直线\(l\)的方程为\(x+2y-4=0\).

    (2)当\(|PA|\cdot |PB|\)取最小值时,求直线\(l\)的方程;

    分析:\(|PA|\cdot |PB|=\sqrt{(2-2+\frac{1}{k})^2+(1-0)^2}\cdot \sqrt{(2-0)^2+(1-1+2k)^2}\)\(=\sqrt{(\frac{1}{k})^2+1}\cdot \sqrt{4+4k^2}\)\(=\sqrt{\frac{4}{k^2}+4k^2+8}\)\(\geqslant \sqrt{8+2\sqrt{4k^2\times \frac{4}{k^2}}}=\sqrt{8+8}=4\)

    当且仅当\(\cfrac{4}{k^2}=4k^2\),又由于\(k<0\),即\(k=-1\)时取到等号,

    故所求直线\(l\)的方程为\(x+y-3=0\).

    练1过点\(P(1,4)\)作直线\(l\),分别交\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)\(B\)两点,\(O\)为坐标原点,

    (1)当\(|PA|\cdot |PB|\)取最小值时,求直线\(l\)的方程;

    提示:仿上例(2)完成,\(x+y-5=0\)

    (2)当\(|OA|+|OB|\)最小时,求直线\(l\)的方程;

    分析:过点\(P\)的直线\(l\)\(x\)轴、\(y\)轴正半轴于\(A\)\(B\)两点,

    则直线\(l\)的斜率\(k\)一定存在且小于零,故设为\(y-4=k(x-1)\)

    则点\(A(\cfrac{k-4}{k},0)\)\(B(0,4-k)\)\(k<0\)

    \(|OA|+|OB|=|\cfrac{k-4}{k}|+|4-k|=\cfrac{k-4}{k}+4-k\)\(=\cfrac{-k^2+5k-4}{k}\)\(=-k-\cfrac{4}{k}+5\)\(=5+[(-k)+(\cfrac{4}{-k})]\)\(\geqslant 5+2\sqrt{(-k)\times \frac{4}{-k}}=5+2\sqrt{4}=9\)

    当且仅当\(-k=\cfrac{4}{-k}\),即\(k=-2\)时取到等号;

    故所求直线\(l\)的方程为\(2x+y-6=0\).

    转载于:https://www.cnblogs.com/wanghai0666/p/11304356.html

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  • 直线与方程(一)倾斜角斜率

    千次阅读 2021-05-23 04:41:21
    在平面直角坐标系中,怎么确定唯一的一条直线?答案是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可。坡度(图1)生活中使用用“升高量与前进量的比”表示...我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫这条直线的斜率(slo...

    在平面直角坐标系中,怎么确定唯一的一条直线?

    答案是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可。

    坡度

    a7db8c5068c39b32b24d8ad9f44e260b.png

    (图1)

    生活中使用用“升高量与前进量的比”表示倾斜面的“坡度”,即:

    坡度(比)=升高量/前进量

    例如,“进3升3”,“进2升2”,指的坡度比为分别为:  3/2, 2/2,前者改陡一些。

    斜率

    如图1,坡度比实际上就是tan(a),即倾斜角的正切。

    我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫这条直线的斜率(slope)。

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    给定两点的斜率

    d9539f4c6e33da5da8c8ed64bba7cdfc.png

    (图2)

    图2-(1)的斜率为:

    k=tan a=|QP2|/|QP1|=(y2-y1)/(x2-x1)

    图2-(2)的斜率为:

    tan a=tan(180°-θ)=-tanθ

    tanθ=|QP2|/|QP1|=-((y2-y1)/(x1-x2))

    于是可得:

    k=tan a=(y2-y1)/(x1-x2)

    图2-(3)的斜率为:

    注意这里是P2P1的方向向上时,也有:

    k=tan a=(y2-y1)/(x2-x1)

    综上所述,我们得到经过两点P1(x1,y1), P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线斜率的公式:

    2e793cb28aeaafeae2736815be6ef973.png

    例题

    题目1:如下图3,已知A(3,2),B(-4,1), C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角。

    ed1b3877e0c5c5d1252a82045ad8e9fa.png

    (图3)

    解:

    注意按向上方向确定是那个点是y2/x2

    KAB=(1-2)/(-4-3)=1/7

    KBC=(-1-1)/(0-(-4))=-2/4=-(1/2)

    KCA=(-1-2)/(0-3)=-3/-3=1

    因为KAB>0和KCA>0,所以直线AB,CA的倾斜角为锐角。

    因为KBC<0,所以直线BC的倾斜角为钝角。

    斜率的应用

    (1)平等关系判定

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    3f1a773c50ebec4923e93eb720df5b53.png

    4cad377670d48f20ab1129f85e088e2c.png

    (2)垂直关系判定

    16d0989b68ef5d3e5284f851116318cf.png

    4670b15b1a97019e80677c57a49a38cc.png

    例题:

    3acd80c14665016b99f53c5c2acde416.png

    7c5dd9bea5c21f73197b8dcdbdf63de4.png

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    作者:hackpig

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  • 均线角度公式,通达信均线斜率公式

    千次阅读 2021-03-05 11:29:57
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    Q1:通达信两根均线以一定角度平行上升的选股公式怎么写呢

    均线角度可以描述,但这个角度要有一个具体的数值或者一个范围才可以,是每根均线的角度都在这个范围,还是某几根均线,要具体到哪一根均线.股价不破均线,收盘价不能小于均线,还是最低价不能小于均线,不超过均线的2%是收盘价不超过,还是最高价不超过.还有均线的排列,是必须多头排列,还是怎么排列都可以,并且以上的条件,要有一个时间范围,是5天,10天20天的具体时间周期.想用公式选出形态,就必须把所能想到的所有条件,转化成具体数值.才可以.

    Q2:均线的角度怎么计算,有没有指标?

    均线的角度不需要计算,看个大概就行了。

    Q3:大哥,怎么计算均线角度啊?

    均线角度研究,均线角度解析。均线的角度是指均线和横轴的夹角,也可以指均线在某个点上的切线。无论用哪种方式定义均线的角度,均线角度只要保证在运用过程中的使用方式上保持一致就可以,而均线角度不要同时使用多种衡旦角度的方式。均线角度给出了几种定义均线角度的方式。

    运用这种方式计算均线的角度时,均线角度要固定当前走势图上K线的根数。均线角度如果计算时参考的K线根数不一样,计算的结果也就会不一样。均线角度各均线的角度比较平缓,均线角度但是同样的一段行情在下面第二幅K线数量明显变多的走势图中看到的角度截然不同。

    Q4:求做通达信角度均线公式:30天均线向上大于30度时画红粗线,向下跌角度大于30度则画绿粗线,否则不画...

    以下是我用在飞狐交易师上的角度公式:

    M30:=MA(CLOSE,30); // 这是30天均线的计算函数

    角度:=ATAN ( ( M30/REF(M30,1) -1)*100 )*180/3.1416; //ATAN是反正切值函数,

    REF(M30,1)是引用上一周期的30天均线的值。

    剩下的角度比较你应该会写的,主要是这个角度的计算方法。

    你再把它转换为通达信就行了。

    Q5:怎样在电脑版股票中设置7周金叉14周?

    一般使用同花顺,相对好用。。打开股票软件之后,选择某一只股票,主页一般会默认均线图,电脑的话一般右键可以修改指标参数。我的是手机,找到设置

    97d3c1e13eb30702232f489a14ef9719.png

    进入设置就可以修改参数了,第一个改成7,第二个改成14

    43c403002fd9e05c9e3e9bab03cfad7b.png

    最后在周期那里选择周

    dd297844600cc579391adff0b6be5aad.png

    如果想要直接筛选金叉的,那就直接进入选股,输入你的搜条件就出来了

    8293e1d06db49b1b08ad0a25c114b4ab.png

    Q6:当7周均线上穿14周均线时是什么意思

    也可能说中期上涨行情的开始,但不是绝对的,股市论概率,没有百分之百的准确

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    2021-02-10 09:38:49
    斜率优化DP的本质 前置芝士 单调队列优化DP(夹带私货) 正文 我没有脑子QwQ 我们以一道题为例。 例题一:打印文章 双倍经验 三倍经验 明显DP。 那么DP式就是: fi=min⁡{fj+(si−sj)2+M}=min⁡{fj+si2−2×si×sj+...
  • 我们在写科赫雪花程序中,求顶点是一个难点,因为一般是要考虑不同斜率时顶点的不同情况。如果起始直线是水平的,那通过作图分析,还是很容易编写顶点的程序的: if ((x3&lt;x4)&amp;&amp;(y3==y4...
  • 欧拉角计算xy轴与水平面夹角

    千次阅读 2021-01-18 16:20:18
    公式 arccos(cos(x)*cos(y)) 代码 double x=0,y=0; float Axy = acos (cos(x)*cos(y)); printf("Axy:%f\n",Axy*180/π); 注意 1.定义xy时候定义为double类型 double x=0,y=0; 2.带入公式计算的时候记得将角度...
  • 直线的方程教案.doc

    2021-05-19 10:07:36
    ②设P(x,y)为l上任意一点,由经过两点的直线的斜率公式,得k=,化简,得y-y1=k(x-x1). ③方程导出的条件是直线l的斜率k存在. ④a.x=0;b.x=x1. ⑤启发学生回答:方程k=表示的直线l缺少一个点P1(x1,y1),而方程y-y1=k...
  • 目录导航 前言 定义 例题 思路 代码 后记 前言 斜率优化这个技巧确实是个难点,花了差不多一个下午才搞懂基本的思路,切掉了一...斜率优化(英语:Convex Hull Optimisation)是一种数形结合优化动态规划的思想...
  • 直线与椭圆交点距离公式

    千次阅读 2021-05-24 02:41:03
    题目:直线与椭圆交点距离公式马上考试了解答:(根号(k^+1))*根号(x1^2+X2^2-2x1x2)再问: 可以说清楚点吗再答: (根号(k^+1))*根号((x1+X2)^2-2x1x2)k为直线的斜率,x1+X2 x1x2用根与系数的关系求即可猜你喜欢:1....
  • 曲率_与闪电共舞_新浪博客

    千次阅读 2021-04-22 04:32:52
    曲线的曲率(curvature)就是针对曲线上某个点的切线方向对弧长的转动率,通过微分来定义,表明曲线偏离直线的程度.曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大.我们有时候也说曲率半径(曲率的倒数就是曲率半径.)多少,来说明弯的...

空空如也

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倾斜角的斜率公式