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  • 偏回归

    千次阅读 2014-07-15 17:03:23
    偏相关系数 Partial correlation coefficient 在多元回归分析中,在消除其他...偏回归系数 partial regression coefficient 在多元回归分析中,随机因变量对各个自变量的回归系数,表示各自变量对随机变量的影响程度
    偏相关系数
     Partial correlation coefficient 在多元回归分析中,在消除其他变量影响的条件下,所计算的某两变量之间的相关系数。

    偏回归系数
    partial regression coefficient 在多元回归分析中,随机因变量对各个自变量的回归系数,表示各自变量对随机变量的影响程度
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  • 多元:复相关系数和偏相关系数

    千次阅读 2019-10-21 14:23:11
    本文就对多元统计中的复相关系数和偏相关系数进行阐述和说明。

    本文就对多元统计中的复相关系数和偏相关系数进行阐述和说明。

    1.复相关系数(Multi-correlation coefficient)

    指度量 y\ y 与其最优线性预测 y~\widetilde y 之间的相关系数。 也即有一个随机变量 y\ y 和一组随机变量  x=(x1,x2,,xp)\ x=(x_1,x_2,\dots,x_p)' , 现在寻找  y\ y 和该组  x\ x 变量之间的整体相关性。

    在一般情况下, y\ y x\ x组成员 xi\ x_i 都具有一定的相关性。比如在人体素质测试中,若有 肺活量 为 y\ y,以及年龄( x1\ x_1)、体重( x2\ x_2)、800米跑步时间( x3\ x_3)、休息时的脉搏( x4\ x_4)和跑步时的脉搏( x5\ x_5)六个测试项目。肺活量与其余5个变量中的每一个都具有相关性。而我们想要研究肺活量与其余五个变量之间的整体相关性。

    为做到这点,首先找到一个线性组合  lx\ l'x x\ x 中包含的关于  y\ y 的信息最大限度地提取出来,然后计算  y\ y 与 线性组合  lx\ l'x 之间的相关性,此即为复相关系数,表示为 ρyx\rho_{y·x} / ρy1,2,3,,p\rho_{y·1,2,3,\dots,p} /ρ(y,lx)\rho(y,l'x)

    根据相关系数定义,我们有ρ2(y,lx)=Cov(y,lx)V(y)V(lx)=(σyxl)2σyylΣxxl.\rho^{2}(y,l'x)=\frac{Cov(y,l'x)}{V(y)*V(l'x)}=\frac {(\sigma_{yx}l')^2}{\sigma_{yy}*l'\Sigma_{xx}l}.
    通过柯西—施瓦茨不等式

    设有一 B>0\ B>0,则有 (xy)2(xBx)(yB1y).\ (x'y)^2\leqslant (x'Bx)(y'B^{-1}y).等号成立当且仅当 x=cB1y\ x=cB^{-1}y y=cBx\ y=cBx c\ c为常数。

     B=Σxx1\ B=\Sigma_{xx}^{-1},得到复相关系数的平方为ρ2(y,lx)(σxyΣxx1σxy)(lΣxxl)σyy(lΣxxl)=σxyΣxx1σxyσyy.\rho^{2}(y,l'x)\leqslant\frac{(\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy})(l'\Sigma_{xx}l)}{\sigma_{yy}*(l'\Sigma_{xx}l)}=\frac{\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy}}{\sigma_{yy}}.
     B=Σxx1l=Σxx1σxy\ B=\Sigma_{xx}^{-1},l=\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy}时等式成立。
    因此,复相关系数计算公式ρyx=maxρ(y,lx)=σxyΣxx1σxyσyy.\rho_{y\cdot x}=max \rho(y,l'x)=\sqrt{\frac{\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}\sigma_{xy}}{\sigma_{yy}}}.
    其中,σxy\sigma_{xy} xy\ x和y的协方差矩阵,Σxx\Sigma_{xx} x\ x组的自协方差矩阵。σxyΣxx1x\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}x y\ y的最优线性预测y~\widetilde y。以上公式也可化为ρxyRxx1ρxy\sqrt{\rho_{xy}'R_{xx}^{-1}\rho_{xy}}利用相关系数ρxy\rho_{xy}和相关矩阵 Rxx\ R_{xx}求解。

    2.偏相关系数(Partial-correlation coefficient)

    指剔除其他变量的线性影响后,变量 xixj\ x_i 与 x_j之间的相关系数。要真正度量两个随机变量之间的相关性,必须要剔除由第三方带来的影响。

    例如:①男生和女生两家相好。他两之间的亲密度可看做是相关系数。两人要想真正走在一起,必须要剔除双方父母带来的影响,测量两个人之间不受其他干扰时剩下的亲密度。这就是偏相关系数。②一个家庭的饮食支出和衣着支出存在较强的正相关性,也就是说一般吃的费用大的一般穿的费用也大,即相关系数大。但实际上,这种“伪强正相关”是由于收入这个第三方变量引起的。一般而言,高收入带动了各方面的消费支出。如果控制收入不变,则饮食和衣着费用之间的相关性则大不相同,甚至变成负相关性。消除第三方变量的影响后两者的相关性,称作偏相关。

    相关系数也称为总相关系数或零阶偏相关系数,包含了一切影响带来的相关性。设有多元随机变量 x\ x,对 x\ x 及其均值向量 μ\mu 、总体自协方差矩阵 Σ\Sigma 做剖分如下: x=(x1x2)kpk,μ=(μ1μ2)kpk,Σ=(Σ11Σ12Σ21Σ22)kpk.\ x=\binom{x_1}{x_2}\begin{matrix}k\\p-k\end{matrix},\mu=\binom{\mu_1}{\mu_2}\begin{matrix}k\\p-k\end{matrix},\Sigma=\begin{pmatrix}\Sigma_{11}&\Sigma_{12}\\ \Sigma_{21}&\Sigma_{22}\end{pmatrix}\begin{matrix}k\\p-k\end{matrix}.
    以下讨论消除 x2\ x_2的线性影响后 x1\ x_1分量之间的相关性,先记为Σ112\Sigma_{11\cdot2}

    我们讨论的方法是

    • 首先找到 x2\ x_2 x1\ x_1各分量 xi\ x_i的最优线性预测 x~i\widetilde x_i,将 x2\ x_2中包含的 xi\ x_i的信息尽可能提取出来;
    • 计算预测误差 ei=xix~i\ e_i=x_i - \widetilde x_i,表示 x2\ x_2无法解释的部分;
    • 度量 ei\ e_i之间的相关性,计算 V(e)\ V(e)
    • 利用相关系数公式,代入 V(e)\ V(e)成分计算偏相关。

    由最优线性预测公式

    y~=μy+σxyΣxx1(xμx)\widetilde y=\mu_y+\sigma_{xy}'\Sigma_{xx}^{-1}(x-\mu_x)

    可知e~i=xi[μi+aiΣ12Σ221(x2μ2)].\widetilde e_i=x_i-[\mu_i+a_i'\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)].
    其中 ai=(0,,0,1,0,,0):k×1\ a_i=(0,\dots,0,1,0,\dots,0)':k×1,1出现在第 i\ i个位置。导出 e=x1[μ1+(a1,,ak)Σ12Σ221(x2μ2)]\ e=x_1-[\mu_1+(a_1,\dots,a_k)'\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)]  =x1[μ1+Σ12Σ221(x2μ2)].\ =x_1-[\mu_1+\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)].
    计算 xi\ x_i各分量间的相关性,则有 V(e)=V(x1[μ1+Σ12Σ221(x2μ2)])\ V(e)=V(x_1-[\mu_1+\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}(x_2-\mu_2)])  =V(x1Σ12Σ221x2)=Σ11Σ12Σ221Σ21=Σ112.\ =V(x_1-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}x_2)=\Sigma_{11}-\Sigma_{12}\Sigma_{22}^{-1}\Sigma_{21}=\Sigma_{11\cdot2}.

    于是,我们称Σ112=(σij,k=1,,p)\Sigma_{11\cdot2}=(\sigma_{ij,k=1,\dots,p})为偏协方差矩阵,非对角元素称为偏协方差,对角元素称为偏方差。根据相关系数的公式推导出 x2\ x_2给定时, xi\ x_i xj\ x_j (pk)\ (p-k)偏相关系数的计算公式ρijk+1,,p=σijk+1,,pσiik+1,,pσjjk+1,,p,1i,jk.\rho_{ij\cdot k+1,\dots,p}=\frac{\sigma_{ij\cdot k+1,\dots,p}}{\sqrt {\sigma_{ii\cdot k+1,\dots,p}*\sigma_{jj\cdot k+1,\dots,p}}},1\leqslant i,j\leqslant k.

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  • 相关系数

    千次阅读 2020-03-23 20:58:56
    文章目录相关分析模型相关系数的计算1.一阶相关系数计算2.二阶相关系数计算相关系数的假设检验 相关分析模型 当研究某一种因素对另一种因素的影响或相关程度,把其他因素的影响排除在外,而单独研究这...

    鄙人学习笔记
    参考文献:《计量经济学模型及R语言应用》-王斌会



    偏相关分析模型

    当研究某一种因素对另一种因素的影响或相关程度,把其他因素的影响排除在外,而单独研究这两种因素之间的相关系数时,就要使用偏相关分析方法。偏相关程度用偏相关系数来衡量。换句话说,当有多个变量存在时,为了研究任意两个变量之间的关系,而使与这两个变量有联系的其他变量都保持不变,即控制其他变量,计算这两个变量之间的相关性。

    一般的,在多个变量y,x1,x2,…,xp之间,如果只考虑y与xi(i = 1,2,…,p)之间的相关关系,而消除其他变量对他们的影响,这就是偏相关。在偏相关中,根据被固定的变量数目的多少,可分为零阶偏相关、一阶偏相关、二阶偏相关…(p-1)阶偏相关。
    零阶偏相关就是简单相关,一阶偏相关就是在考虑y与xi的相关时,只固定一个变量xj(j≠i),即消除了变量xj的影响。二阶偏相关就是在考虑y与xi的相关时,固定xi以外的任意两个变量,即消除这两个变量的影响,其余各阶偏相关以此类推。

    偏相关系数的计算

    1.一阶偏相关系数计算

    以三个变量(y, x1, x2)为例,导出偏相关系数的计算公式:

    (1)求在控制变量x2下,y与x1的偏相关系数为ryx1∙x2,可先做y对x2,x1对x2的回归:

    (2)求ryx1∙x2

    2.二阶偏相关系数计算

    一般来说,有多个变量y与x1,x2,…,xp,对于y与xj(j = 1,2,…,p)的(p-1)阶偏相关系数有推导公式:

    用该公式可以得到任意阶的偏相关系数,其中,c是其余变量的任意子集合。

    二阶偏相关系数计算公式如下:

    偏相关系数的假设检验

    偏相关系数的假设检验类似于简单相关系数的t检验,所用公式为:

    式中r为偏相关系数,n为样本容量,p为变量个数,当p=1时即为两变量简单相关系数的t检验公式。

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  • 机器学习——回归系数的计算(2)

    千次阅读 2020-01-12 12:09:05
    1、最小二乘法(min square)求解回归系数 将训练特征表示为 X 矩阵,结果表示成 y 向量,仍然是线性回归模型,误差函数不变。那么 θ 可以直接由下面公式得出 用矩阵可表示为 因为要求函数的极小值,对θ求导...

     

    1、最小二乘法(min square)求解回归系数

    将训练特征表示为 X 矩阵,结果表示成 y 向量,仍然是线性回归模型,误差函数不变。那么
    θ 可以直接由下面公式得出

    J(\Theta )=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{m}(h_{\Theta }(x^{(i)})-y^{(i)})^{2}

    用矩阵可表示为  J(\Theta )=\frac{1}{2}(\vec{y}-X\Theta)^{T}(\vec{y}-X\Theta)                                              

    因为要求函数的极小值,对θ求导可得

    X^{T}(\vec{y}-X\Theta )使其等于0,即X^{T}(\vec{y}-X\Theta )=0

    则有X^{T}\vec{y}=X^{T}X\Theta

    可求得回归系数\Theta =(X^{T}X)^{-1}X^{T}\vec{y}

    注意:上述公式中包含(X^{T}X)^{-1},也就是需要对矩阵求逆,因此这个方程只有在输入数据的矩阵X是列满秩矩阵时,即逆矩阵存在的时候有用。当数据的矩阵X不是列满秩矩阵时,需要使用岭回归的方法进行求解。

    2、梯度下降法求解回归系数

    在选定线性回归模型后,只需要确定参数 θ,就可以将模型用来预测。然而 θ 需要在 J(θ)最小的情况下才能确定。因此问题归结为求极小值问题,使用梯度下降法。 梯度下降法最大的问题是求得有可能是全局极小值,这与初始点的选取有关。
    梯度下降法是按下面的流程进行的:
    1)首先对 θ 赋值,这个值可以是随机的,也可以让 θ 是一个全零的向量。
    2)改变 θ 的值,使得 J(θ)按梯度下降的方向进行减少。
    梯度方向由 J(θ)对 θ 的偏导数确定, 由于求的是极小值,因此梯度方向是偏导数的反方向。
    结果为

    \Theta _{j}:=\Theta _{j}-\alpha\frac{\partial }{\partial \Theta _{j}}J(\Theta )

    \Theta _{j}:=\Theta _{j}+\alpha (y^{(i)}-h_{\Theta }(x^{(i)}))x_{j}^{(i)}

    迭代更新的方式有两种,一种是批梯度下降,也就是对全部的训练数据求得误差后再对 θ进行更新,另外一种是增量梯度下降,每扫描一步都要对 θ 进行更新。 前一种方法能够不断收敛,后一种方法结果可能不断在收敛处徘徊。
    一般来说,梯度下降法收敛速度还是比较慢的。

    梯度下降法的缺点:

      (1)靠近极小值时收敛速度减慢;

      (2)直线搜索时可能会产生一些问题;

      (3)可能会“之字形”地下降。

     

     梯度下降的算法调优:

    在使用梯度下降时,需要进行调优。哪些地方需要调优呢?

      1. 算法的步长选择。在前面的算法描述中,我提到取步长为1,但是实际上取值取决于数据样本,可以多取一些值,从大到小,分别运行算法,看看迭代效果,如果损失函数在变小,说明取值有效,否则要增大步长。前面说了。步长太大,会导致迭代过快,甚至有可能错过最优解。步长太小,迭代速度太慢,很长时间算法都不能结束。所以算法的步长需要多次运行后才能得到一个较为优的值。

      2. 算法参数的初始值选择。 初始值不同,获得的最小值也有可能不同,因此梯度下降求得的只是局部最小值;当然如果损失函数是凸函数则一定是最优解。由于有局部最优解的风险,需要多次用不同初始值运行算法,关键损失函数的最小值,选择损失函数最小化的初值。

      3.归一化。由于样本不同特征的取值范围不一样,可能导致迭代很慢,为了减少特征取值的影响,可以对特征数据归一化,也就是对于每个特征x,求出它的期望 \bar{x} 和标准差std(x),然后转化为:\frac{x-\bar{x}}{std(x)}。这样特征的新期望为0,新方差为1,迭代次数可以大大加快。

    三、牛顿方法求解回归系数

    牛顿下降法, 是为了求解函数值为零的时候变量的取值问题的,使结果能够快速的收敛。
    当要求解f(θ) = 0时,如果 f 可导,那么可以通过迭代公式

    \Theta :=\Theta -\frac{f(\Theta )}{{f}'(\Theta )}.

    来迭代求解最小值。
    当应用于求解最大似然估计的最大值时,变成求解ℓ′(𝜃) = 0的问题。
    那么迭代公式写作

    这里写图片描述

    当θ是向量时,牛顿法可以使用下面式子表示:

    这里写图片描述

    其中H叫做海森矩阵,其实就是目标函数对参数θ的二阶导数。

    通过比较牛顿法和梯度下降法的迭代公式,可以发现两者及其相似。海森矩阵的逆就好比梯度下降法的学习率参数alpha。牛顿法收敛速度相比梯度下降法很快,而且由于海森矩阵的的逆在迭代中不断减小,起到逐渐缩小步长的效果。

    牛顿法的优缺点总结:

      优点:二阶收敛,收敛速度快;

      缺点:牛顿法是一种迭代算法,每一步都需要求解目标函数的Hessian矩阵的逆矩阵,计算比较复杂

    四、局部线性加权

    当数据的全局线性回归的性质不是那么完美时,线性回归中可能出现欠拟合问题。局部加权回归可以解决这种情况。在该算法中,我们给带预测点附近的每个点赋予一定的权重,越靠近预测点的数据点分配的权重越高,于分类算法kNN一样,此算法每次预测均需事先选取出对应的数据子集,算法代价高。我们用θ表示回归系数,w表示权重, 那么平方误差的表达式就变成:

     

    包含权重的平方误差


    用矩阵可表示为:

    矩阵表示


    对θ求导,令其等于0求极值得:

    \frac{\partial f(\Theta )}{\partial \Theta }=-2X^{T}W(\vec{y}-X\Theta )=0

    X^{T}W\vec{y}=X^{T}WX\Theta

    回归系数求解 \Theta =(X^{T}WX)^{-1}X^{T}W\vec{y}

    其中的W是一个矩阵,用来给每个数据点赋予权重。那我们怎么计算这个W呢?
    LWLR使用“核”(与支持向量机中的核类似)来对附近的点赋予更高的权重。核的类型可以自由选择,最常用的是高斯核,高斯核对应的权重如下:高斯核权重


    通过公式可以看到如果 x^{(i)} 距离x的距离越小,W^{(i)} 就会越大,其中参数 k 决定了权重的大小。k 越大权重的差距就越小,k 越小权重的差距就很大,仅有局部的点参与进回归系数的求取,其他距离较远的权重都趋近于零。如果 k 去进入无穷大,所有的权重都趋近于1,W也就近似等于单位矩阵,局部加权线性回归变成标准的无偏差线性回归,会造成欠拟合的现象;当k很小的时候,距离较远的样本点无法参与回归参数的求取,会造成过拟合的现象。

    五、岭回归

    如果数据的特征比样本点还多应该怎么办?或者说输入的数据矩阵不是满秩矩阵,是否还能用前面介绍的普通回归或者局部加权回归来做预测?我们在求回归系数的时候需要算出(X^{T}X)^{-1},当矩阵不是满秩矩阵的话是不能进行求逆运算的,所以之前的回归方法就不能用了,为了解决这个问题,我们需要对最初的标准线性回归做一定的变化使原先无法求逆的矩阵变得非奇异,使得问题可以稳定求解。我们可以通过缩减系数的方式来处理这些问题,例如岭回归和LASSO.
    简单的说,例如:对于矩阵X=[1,2,3;4,5,6]。它不是一个列满秩矩阵,我们计算一下 X^{T}X 的逆,计算结果为(X^{T}X)^{-1}=0。也就是说它的行列式正好为零。

           为了解决上述出现的问题,统计学家提出了岭回归的概念。简单来说岭回归就是在X^{T}X上加上一个 λE(其中E为m*m的单位矩阵)。在这种情况下,回归系数的计算公式会变为:

    \Theta =(X^{T}X+\lambda E)^{-1}X^{T}\vec{y}

          这里需要指明一下岭回归中的“岭”的含义。岭回归中使用了单位矩阵乘于常量λ,我们观察其中的单位矩阵E可以看到值1贯穿整个对角线,其余元素都是0,在0构成的平面上有一条1组成的“岭”就是岭回归中的“岭”的来由。

    LASSO回归

    LASSO(The Least Absolute Shrinkage and Selection Operator)是另一种缩减方法,将回归系数收缩在一定的区域内。LASSO的主要思想是构造一个一阶惩罚函数获得一个精炼的模型, 通过最终确定一些变量的系数为0进行特征筛选。

    LASSO的惩罚项为:

    \sum_{i=1}^{n}|\Theta_{j}|\leqslant t

    而岭回归的惩罚项:

     

    \lambda \sum_{i=1}^{n}\Theta_{j}^{2}

    我们可以看到,它俩唯一的不同点在于,这个约束条件使用绝对值代替了平方和。虽然约束形式只是稍作变化,但是相比岭回归可以直接通过矩阵运算得到回归系数相比,这细微的变化却极大的增加了计算复杂度。

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偏回归系数和回归系数