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    2021-12-09 11:25:56

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  • 偏导数 数学基础

    2021-12-28 22:45:32
    最近想复习一下数学知识,才看到偏导数就感到“温故而知新“了。以前学高数的时候经常求偏导数,到最后就光记住怎么算了,这里带着实际意义总结一下。 偏导数的的定义就不写了,看了一下百度百科的定义是这样写的...

      最近想复习一下数学知识,才看到偏导数就感到“温故而知新“了。以前学高数的时候经常求偏导数,到最后就光记住怎么算了,这里带着实际意义总结一下。

      偏导数的的定义就不写了,看了一下百度百科的定义是这样写的:

      感觉实在是没有什么意义……

      从简单(普通导数)开始。我们都知道,对于一元函数而言,比如y=ax+b, 显然对x求导可以得到函数的变化率。

      在上图这个函数中,只存在y随x的变化情况。对x求出的导数也就是y在x上的变化率。

      然而对于二元函数,比如z=f(x,y),我们知道z不仅随x变化,还随y变化,因此情况就复杂了很多。

      如上图,我们把二元函数想象成一个面。偏导数几何含义是这样的:

      求对x的偏导数:对于x求导,(在y值固定的情况下)就得到了平面上某一条曲线(比如图中平面上中间竖着的虚线)在x方向上的变化率,也就是对x轴的斜率。

      求对y的偏导数:对于y求导,(在x固定的情况下)就得到了平面上某一条曲线(比如图中平面上中间横着的虚线)在y方向上的变化率,也就是对y轴的斜率。    

      总而言之,对哪个值求偏导,就会得到函数在哪个轴上的变化率。若我们仅仅对x“求导“,得到的其实就是x的偏导数,它的含义是z在x方向上的变化率。

      偏导数的表达方式有很多种,以下几种都是对x求偏导数的写法:

        

      在一些机器学习公式推导或者是神经网络梯度下降的过程当中可能会遇到这些表达方式,熟悉一下,以后知道是偏导数即可。

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  • 深度学习的数学-导数和偏导数

    千次阅读 2020-03-08 16:15:46
    文章目录前言正文导数的定义导数的含义及常见函数导数导数的性质分数的求导导数和函数最小值的关系(重点)函数的增减表偏导数多变量函数偏导数的求解(重点)多变量函数的极值问题(重点)躲不掉的拉格朗日总结 ...

    前言

    本章主要记录机器学习里边比较重要且非常容易成为初学者拦路虎(没错就是博主我)的一个数学概念:导数和偏导数

    正文

    导数的定义

    对于一个函数 f(x),其导数的定义如下:

    其中 lim Δx->0,表示右侧表达式在 Δx 趋近0的时候,应该是一个什么样的结果,比如 f(x) = 3x 的导数求解过程如下

    已知函数f(x) ,求其 导函数 的过程叫做求导,当导函数的值存在的时候,称为函数f(x) 可导

    导数的含义及常见函数导数

    导数的含义在坐标系中表现为连续函数某一点的切线(l)的斜率,当Q无线接近于P的时候,PQ的斜率就无限接近切线l的斜率

    常见函数的导数公式:

    • ©’ = 0
    • (x)’ = 1
    • (x^2)’ = 2x
    • (x^3)’ = 3x^2
    • (e^x)’ = e^x
    • (e^(-x)) = - e^(-x)

    导数的性质

    导数具有线性的性质,即**“和的导数为导数的和,常数倍的导数为导数的常数倍”**,也就是如下图所示的公式

    举个栗子,用导数的性质来求一个函数f(x) = (2 - y)^2,如果不用导数公式与式子,直接用定义 f'(x) = (f(x + Δx) - f(x))/(Δx) 的话,得算一分钟(说的就是博主本人);
    但是拆分多项时候,配合性质,几乎是一眼就能看出答案,过程如下:

    分数的求导

    分数的求导涉及到一个公式,并且在函数相关的博客中提到的 sigmoid 函数就比较适合用这种方式置换求导

    注:f(x) != 0

    而著名的激活函数 sigmoid,其定义如下:

    可以用 f(x) = 1 + e^(-x) 带入到式子中,以分数求导的形式变换出如下格式的导数

    书中的变换过程如下,还是比较容易看懂的

    导数和函数最小值的关系(重点)

    由于导数表示函数 f(x) 在点 x 处的斜率,那么不难想到,f(x) 在导数 f'(x) = 0 时函数切线斜率为0,与x轴平行,只会是如下几种情况之一

    那么可以推算出 f'(a) = 0 就是 f(x)x=a 时最小值的必要条件

    必要条件的定义:已知命题p、q,由p可以推出q,则q称为p的必要条件。
    意思是 f’(a) = 0 的时候,函数值f(a)不一定是最小值,但是当 f(a)是最小值的时候,f’(a) 一定为0

    函数的增减表

    这时候,不知道各位脑海中是否还记得高中数学老师一再叮嘱的,求函数极值的时候一定要出现的一个表,叫 函数的增减表

    f(x) = 3*x^4-4*x^3-12*x^2+32 函数为例,根据公式很容易就求出其导数为

    根据导数的特点,不难看出当 x=0,x=-1,x=2 时,导数取0,再在不同区间内随意取值判断导数正负,得到如下增减表

    根据增减表,可以得出f(x)的大概图像如下

    于是乎,当 x=2 的时候 f(2) = 0 是整个函数的极小值

    偏导数

    前边的博文主要在讲述一个自变量 x 如何求导数,但是神经网络里边的输入、权重、偏置都是一个可以调整的变量,那么多个自变量应该怎么求导呢?

    多变量函数

    在了解偏导数之前,先看一下多变量函数,含有多个自变量的函数就叫做多变量函数,多变量函数很难直观化,特别是超过两个自变量的函数

    比如 z = x^2 + y^2 的图像长这样:

    偏导数的求解(重点)

    偏导数故名思意,就是存在多个自变量(如:x,y,z)时,针对某一个变量进行求导,其他变量统统视为常数得到的结果
    比如,关于函数 f(x,y),其关于x的偏导数 定义如下:

    关于y的偏导数定义如下:

    比如说 z=w1*x1 + w2*x2 + b 求关于 x1,w1,b 的偏导数,将非相关的变量都视作常数,很容易得到如下结果

    多变量函数的极值问题(重点)

    多变量的最小值与单变量的最小值有异曲同工之妙,也有一个类似的必要条件,在函数的极值点,每个自变量的偏导数都是0

    分别求偏导数,斜率均为0时,函数整体取极值

    比如 z = x^2+y^2,求关于 x,y 的偏导数如下,极值就会在 x=0,y=0 处,与图像相符

    躲不掉的拉格朗日

    以博主贫瘠的高数基础,拉格朗日就只知道这个很有名,但就是不知道到底是啥
    首先来看一波拉格朗日乘数法的介绍和定义

    在数学中的最优化问题中,拉格朗日乘数法(以数学家Joseph-Louis Lagrange命名)是一种寻找多元函数在其变量受到一个或多个条件的约束时的极值的方法。

    现在有一个变量约束条件,需要求一个函数的极值,比如

    当x2+y2=1时,求x+y的最小值。

    那么应该怎么求解呢,首先约束条件看可以看作一个函数 g(x,y) = x^2+y^2g(x,y) = C 的形式,求 f(x) = x + y 的极小值

    首先,按照下列规则构建一个函数 L,其中的 fx 就是期望求极小值的fx,gx就是约束条件 c 就是约束条件等于的常数项

    以前面一个式子为例,对构建的函数L关于 x,y 分别求偏导数,均令其等于0,得到两个式子,再通过 g(x,y) = C 得到第三个式子
    联立解出 x,y,λ即可
    书中的求解过程如下所示

    总结

    本篇主要介绍了导数和偏导数的特点和求解,以及导数与函数增减性和极值的联系,像延展出来的多变量函数的极值求解问题以及拉格朗日乘数法,在日后神经网络的计算中均会得到体现。

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  • 偏导数:函数(因变量对应实数值) 梯度:向量(向量的每一维对应偏导数) 方向导数:函数(因变量对应实数值) 梯度下降:一优化方法 二阶导数:函数(因变量对应实数值) 二阶方向导数:函数(因变量对应实...

    为了清晰理解,先对这几个术语对应的具体内容形式做了一个总结,如下:

    导数:函数(因变量对应实数值)

    偏导数:函数(因变量对应实数值)

    梯度:向量(向量的每一维对应偏导数)

    方向导数:函数(因变量对应实数值)

    梯度下降:一种优化方法

    二阶导数:函数(因变量对应实数值)

    二阶方向导数:函数(因变量对应实数值)

    然后开始对这几个术语进行详细解释~

    导数

    假设函数 y=f(x) ,其中 xy 都是实数。(此时函数只有一个输入)

    那么这个函数的导数记做 f'(x) 或者 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}

    偏导数

    如果函数有多个输入,就需要引入偏导数的概念。

    假设函数 y=f( \boldsymbol{x}) ,其中  y 是实数,\boldsymbol{x} 是向量。(此时函数有多个输入)

    那么  \frac{\partial }{\partial x_{i}} f(\boldsymbol{x})  就是偏导数。\boldsymbol{x} 有多少维,函数  f  就有多少个偏导数。

    梯度

    梯度是所有偏导数拼接成的一个向量。

    假设函数 y=f( \boldsymbol{x}) ,其中  y 是实数,\boldsymbol{x} 是向量。(此时函数有多个输入)

    那么  \frac{\partial }{\partial x_{i}} f(\boldsymbol{x})  就是偏导数。\boldsymbol{x} 有多少维,函数  f  就有多少个偏导数。 所有的偏导数拼起来形成一个向量,就是梯度,记做 \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 。

    方向导数

    在计算偏导数(自变量是多维时)时,实际上是固定自变量其他坐标轴不变,计算沿着某个自变量坐标轴的方向的导数,即偏导数。假设函数 f( \boldsymbol{x}) = f( {x_{1},x_{2}}) ,固定坐标轴 x_{1} 不变,f(\boldsymbol{x}) 在坐标轴 x_{2} 方向上的导数就是 \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x})

    那么函数沿着自变量维度空间内任意方向的导数,就是方向导数。我们可用数学表达式的形式表示一下方向导数的概念:

    假设用 \boldsymbol{u} 表示任意方向(\boldsymbol{u} 设为单位向量,并且 \boldsymbol{u} 的维度和自变量的维度相等)。根据导数的定义,函数 f 在\boldsymbol{u} 方向上的方向导数为   \boldsymbol{u}^{T}\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}),其中\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 是梯度。(推导可参考:方向导数公式的证明

    梯度下降

    假设函数 f 。为了最小化 f ,需要找到一个方向,使得沿着这个方向 f 下降的最快。

    当某个方向的方向导数为正时,沿着这个方向前进,f 会增大。方向导数越大, f 增大越快。

    当某个方向的方向导数为负时,沿着这个方向前进,f 会减小。 方向导数越小, f 减小越快。

    当某个方向的方向导数为 0 时,沿着这个方向前进,f 不变。

    使得  f 下降的方向是方向导数为负的方向。方向导数为负的方向中使得  f 下降的最快的方向是方向导数最小的方向。下式为方向导数的计算:

     式中的 \boldsymbol{\theta } 为\boldsymbol{u} 和 \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 之间的夹角,将 \boldsymbol{\theta } 为 180^{\circ} 时,方向导数达到最小。此时 \boldsymbol{u} 和 \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 反方向,即沿着与梯度相反的方向, f 下降的最快。

    几何解释(穿插)

    自变量维度为一维情况下:

    假设函数 f = x^{2} ,并且此时位于 A (1,1)点,有两个方向可供选择,\boldsymbol{v_{1}} 和 \boldsymbol{v_{2}} 。沿着 \boldsymbol{v_{2}} 方向移动的话 f 变大,沿着\boldsymbol{v_{1}} 方向移动的话 f 变小。为使 f 下降的最快,需沿着 \boldsymbol{v_{1}} 方向移动。 

    自变量维度为二维情况下:

    假设函数 f = x^{2}-y^{2} ,并且此时位于 A (2,1,3)点,有二维平面内无数个方向可供选择。其中 \boldsymbol{v_{1}} 是梯度的方向,沿着 \boldsymbol{-v_{1}} 也就是图中的 \boldsymbol{u} 的方向移动,使得  f 下降的最快。

    图中,\boldsymbol{v_{1}} 是梯度向量,\boldsymbol{u} 是与梯度向量方向相反的向量。粉色的平面是梯度向量的垂面,荧光绿色的线是粉色平面和蓝色平面相交的线。A点顺着荧光绿色的线往 \boldsymbol{u} 方向走,A点走一步,就会使得 f 下降。A点走一步迈的步子的大小,是学习率,学习率大,迈的步子大,学习率小,迈的步子小。

     

    二阶导数/偏导数

    当函数的自变量是一维时,二阶导数是导数的导数,函数只有一个二阶导。假设函数 y=f(x) ,其中 xy 都是实数。(此时函数只有一个输入)。那么这个函数的导数记做 f'(x) 或者 \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} ,二阶导数记做 f{}'{}'(x) 或者 \frac{d^{2}y}{dx^{2}} 。

    当函数的自变量是 n 维时,二阶导数是偏导数的偏导数,函数有 n^{2} 个偏导数。假设函数 y=f( \boldsymbol{x}) ,其中  y 是实数,\boldsymbol{x} 是向量。(此时函数有多个输入)。那么  \frac{\partial }{\partial x_{i}} f(\boldsymbol{x})  就是偏导数。\boldsymbol{x} 有多少维,函数  f  就有多少个偏导数。二阶偏导数记做 \frac{\partial^{2} }{\partial x_{i}\partial x_{j}} f(\boldsymbol{x})。二阶偏导数可以组成一个n\times n 的方阵(Hessian矩阵)。

    二阶方向导数

    函数沿着自变量维度空间内任意方向的二阶导数,就是二阶方向导数,我们可以根据一阶方向导数推导出二阶方向导数。

    假设用 \boldsymbol{u} 表示任意方向(\boldsymbol{u} 设为单位向量,并且 \boldsymbol{u} 的维度和自变量的维度相等)。我们知道,函数 f 在\boldsymbol{u} 方向上的一阶方向导数为   \boldsymbol{u}^{T}\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}),其中\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 是梯度。此时假设自变量的维度是2,假设 \boldsymbol{u} 为 [cos\alpha ,sin\alpha ],  \bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 为 [\frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}),\frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x})]。那么可把\boldsymbol{u}^{T}\bigtriangledown _{\boldsymbol{x}}f(\boldsymbol{x}) 展开为cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x}) ,这个式子就是一阶方向导数,可简化为f'_{u}(\boldsymbol{x})。接着求一阶方向导数的方向导数就是二阶方向导数:

    cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f'_{u}(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f'_{u}(\boldsymbol{x}) \\ \\ = cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} (cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x}))+ sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} (cos\alpha \frac{\partial }{\partial x_{1}} f(\boldsymbol{x}) + sin\alpha \frac{\partial }{\partial x_{2}} f(\boldsymbol{x})) \\ \\ = cos\alpha ^{2} \frac{\partial^2 }{\partial x_{1}\partial x_{1}}f(\boldsymbol{x})+cos\alpha sin\alpha \frac{\partial^2 }{\partial x_{1}\partial x_{2}}f(\boldsymbol{x})+cos\alpha sin\alpha \frac{\partial^2 }{\partial x_{2}\partial x_{1}}f(\boldsymbol{x})+sin\alpha ^{2} \frac{\partial^2 }{\partial x_{2}\partial x_{2}}f(\boldsymbol{x})

     二阶方向导数可用矩阵的形式表示为 \boldsymbol{u}^{T}\boldsymbol{H}\boldsymbol{u} ,其中 \boldsymbol{H} 为函数f 的 Hessian 矩阵。

    如有不正确的地方欢迎各位大佬留言吖~ 

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