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  • 多元函数中的偏导数导数以及隐函数

    万次阅读 多人点赞 2019-03-31 22:48:01
    偏导数导数 偏导数 由于是二元函数,有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导,如偏x导数、偏y导数。 高阶偏导数偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数...

    偏导数全导数

    偏导数

    由于是二元函数,有两个因变量。偏导数表示分别对某一个导数求导,如偏x导数、偏y导数。

    高阶偏导数

    对偏导数继续求导。以二元函数的二阶偏导数为例,偏x导数有两个偏导数、偏y导数有两个偏导数。
    在这里插入图片描述
    定理:如果二元函数的两个二阶混合偏导数连续,那么他们两个相等。

    全微分

    与一元函数类似,由于有两个变量,x或y的增量称为偏增量,单单对x或y的微分称为偏微分
    若x,y同时增加,称为全增量
    全微分定义见下图
    在这里插入图片描述

    定理
    1. 如果函数在该点可微分,那么其在该点的偏导数一定存在,且全微分中A、B分别等于偏x导数、偏y导数(叠加定理)
      (全微分存在,函数可微分,偏导数一定存在;偏导数存在,全微分不一定存在)
      在这里插入图片描述
    2. 如果函数在该点偏导数连续,那么函数在该点可微分

    多元复合函数求导

    一元函数与多元函数复合

    先对多元函数微分,再把每个函数看成一元函数进行求导
    在这里插入图片描述

    多元函数与多元函数复合

    如果对x求导,就先对所有函数微分,再把每个函数对x微分,最后相加。对y同理。
    在这里插入图片描述

    其他情形

    当多元函数与一元或者多元函数复合时,可能所导变量在某个函数中不存在
    在这里插入图片描述
    不管那种情况,都有一下规律:
    把最外层函数里的一个一个函数看过来,如果这个函数不存在所导变量,就不理他看下一个(微分后为0)。如果有,就先把最外层函数对其微分,如果里面这个函数是一元函数,就对变量求导;如果是多元,就对变量微分。

    多元函数二阶求导

    为方便起见,做出如下定义:有z=f(u,v)。f1’(u,v)=fu(u,v)——f对u求偏导;f2’=fv(u,v)——f对v求偏导;f12’’(u,v)=fuv(u,v)等等…
    先求一阶偏导,再根据公式求二阶偏导数。需要注意的是此处求出来的是一阶偏导对变量的微分。由于一阶偏导内涵中间变量u、v,因此要再进行微分将一阶偏导对变量的微分变成二阶偏导。

    隐函数求导

    在这里插入图片描述

    方程组

    在这里插入图片描述
    在求解的时候可以把行列式右边的常数和所求的变量前的系数代换,利用行列式法则求解。
    以下给出例题
    在这里插入图片描述

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  • 偏导数 方向导数

    2012-03-09 17:58:00
    偏导数在数学中,一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析微分几何中是很有用的。假设ƒ是一个多元函数。例如:。...

    偏导数

    数学中,一个多变量的函数的偏导数是它关于其中一个变量的导数,而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析微分几何中是很有用的。

    假设ƒ是一个多元函数。例如:

    a862ab80800a19d80f077ebd33fa828ba71e4665.jpg
    b5156087c9177f3ea43506b570cf3bc79e3d5660.jpgmagnify-clip.pngf = x2 + xy + y2的图像。我们希望求出函数在点(1, 1, 3)的对x的偏导数;对应的切线与xOz平面平行。

    因为曲面上的每一点都有无穷多条切线,描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线,并求出它的斜率。通常,最感兴趣的是垂直于y轴(平行于xOz平面)的切线,以及垂直于x轴(平行于yOz平面)的切线。

    085c470b19d8bc3e050cfc72828ba61ea9d34565.jpgmagnify-clip.png这是上图中y = 1时的图像片段。

    一种求出这些切线的好办法是把其他变量视为常数。例如,欲求出以上的函数在点(1, 1, 3)的与xOz平面平行的切线,我们把变量y视为常数。右图中显示了函数的图像以及这个平面。上图中显示了函数在平面y = 1上是什么样的。通过求出这个图中的切线,我们发现ƒ在点(1, 1, 3)的与xOz平面平行的切线的斜率是3。我们把它记为:

    ab21d9168a82b90140dd398b738da9773812ef71.jpg

    在点(1, 1, 3),或称“f在(1, 1, 3)的关于x的偏导数是3”。

    多变量函数的一个重要的例子,是欧几里德空间Rn(例如R2R3)上的标量值函数f(x1,...xn)。在这种情况下,f关于每一个变量xj具有偏导数∂f/∂xj。在点a,这些偏导数定义了一个向量:

    be698dec2e738bd4ab4c4889a18b87d6267ff97c.jpg

    这个向量称为f在点a梯度。如果f在定义域中的每一个点都是可微的,那么梯度便是一个向量值函数∇f,它把点a映射到向量∇fa)。这样,梯度便决定了一个向量场

    例子7aca4d83b9014a90fd4ebc05a9773912b21bee71.jpgmagnify-clip.png圆锥的体积与它的高度和半径有关

    考虑一个圆锥体积V;它与高度h半径r有以下的关系:

    e4d7ded9bc3eb13586c34d03a61ea8d3fc1f4465.jpg

    V关于r的偏导数为:

    c35b0e167f3e67090d01bf473bc79f3df9dc5560.jpg

    它描述了高度固定而半径变化时,圆锥的体积的变化率。V关于h的偏导数为:

    7d057b3fb13533fa34b26996a8d3fd1f40345b65.jpg

    它描述了半径固定而高度变化时,圆锥的体积的变化率。

    现在考虑V关于rh全导数。它们分别是:

    4aae4cd5b31c8701bbdb485e277f9e2f0608ff7c.jpg

    以及

    1be3a008c93d70cffdfb50b5f8dcd100bba12b60.jpg

    现在假设,由于某些原因,高度和半径的比k需要是固定的:

    ee5f7e004a90f6037fc066ff3912b31bb151ed71.jpg

    这便给出了全导数:

    dddc8d91f603738da43af69ab31bb051f919ec71.jpg

    含有未知函数的偏导数的方程,称为偏微分方程,它在物理学工程学,以及其它应用科学中经常会见到。

    方向导数

    方向导数(Directional derivative)是一个变量可微函数上的任意一点沿着某一矢量方向的瞬时变化率。

    6e0ca5d8f2d3572c402305658a13632760d0c3a1.jpg

     d2ddfdf23a87e950bdd56ad510385343f9f2b4ac.jpg

    fcffb50f0cf3d7ca11c8a7cff21fbe096a63a9a8.jpg

    1412fcc69f3df8dc3dea1628cd11728b45102897.jpgd4a30d8165380cd703263a54a144ad34588281aa.jpg

    b47fcbf531adcbefebe4e7bfacaf2edda1cc9f92.jpg

    方向导数:讨论函数z=f(x,y)在P沿某一方向的变化率问题 

    f3f6130635fae6cd776933d80fb30f2440a70f8c.jpg

    梯度:方向导数最大的方向。   (例如 电压递增方向)

    恒定值方向:方向导数为0的方向,与梯度成90度夹角,cos(90度)=0。(例如 恒转矩方向)


    转载于:https://www.cnblogs.com/iable/archive/2012/03/09/4206897.html

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  • 偏导数反应的某个方向的变化率:一个函数在某一点的偏导数描述了这个函数在这一点某个方向附近的变化率。 方向导数: 方向导数是函数沿各个方向的导数,梯度是一个向量,因此梯度本身是有方向的: 1、函数在梯度...

    导数:

    导数反应的变化率:一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近。

    偏导数:

    偏导数反应的某个方向的变化率:一个函数在某一点的偏导数描述了这个函数在这一点某个方向附近的变化率。

    方向导数:

    方向导数是函数沿各个方向的导数,梯度是一个向量,因此梯度本身是有方向的:

    1、函数在梯度这个方向的方向导数是最大的,换句话说,一个函数在各个方向都有方向导数,其中梯度这个方向的导数为最大;

    2、函数方向导数的最大值为梯度的模。

    梯度

    在微积分里面,对多元函数的参数求∂偏导数,把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来,就是梯度。

    梯度就是一个向量,这个向量的每个元素分别是多元函数关于每个自变量的偏导数。

    比如函数f(x,y), 分别对x,y求偏导数,求得的梯度向量就是(∂f/∂x, ∂f/∂y)T,简称grad f(x,y)或者▽f(x,y)。

    对于在点(x0,y0)的具体梯度向量就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T.或者▽f(x0,y0),如果是3个参数的向量梯度,就是(∂f/∂x, ∂f/∂y,∂f/∂z)T,以此类推。

    那么这个梯度向量求出来有什么意义呢?他的意义从几何意义上讲,就是函数变化增加最快的地方。

    具体来说,对于函数f(x,y),在点(x0,y0),沿着梯度向量的方向就是(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的方向是f(x,y)增加最快的地方。或者说,沿着梯度向量的方向,更加容易找到函数的最大值。反过来说,沿着梯度向量相反的方向,也就是 -(∂f/∂x0, ∂f/∂y0)T的方向,梯度减少最快,也就是更加容易找到函数的最小值。

    梯度下降法

    梯度下降法是一个用于寻找最小化成本函数的参数值的最优化算法。当我们无法通过分析计算(比如线性代数运算)求得函数的最优解时,我们可以利用梯度下降法来求解该问题。

    偏导数与方向导数比较

    偏导数只能表示多元函数沿某个坐标轴方向的导数,除开沿坐标轴方向上的导数,多元函数在非坐标轴方向上也可以求导数,这种导数称为方向导数。很容易发现,多元函数在特定点的方向导数有无穷多个,表示函数值在各个方向上的增长速度


    参考原文:https://www.jianshu.com/p/0cde85fbbfd1

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    基础知识 向量 点积 数量积

    1. 点积在数学中,又称数量积(dot product; scalar product),是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。
    2. 两个向量a = [a1, a2,…, an]和b = [b1, b2,…, bn]的点积定义为:a·b=a1b1+a2b2+……+anbn。
    3. 使用矩阵乘法并把(纵列)向量当作n×1 矩阵,点积还可以写为:
      a·b=(aT)*b,这里的aT指示矩阵a的转置。

    简化版教程

    1. 该教程提出导数的方向概念,导数可以认为是向量。但该教程没有考虑到方向导数射线的性质。导数是某一方向上的变化率。
      (转)导数、偏导数、方向导数、梯度、梯度下降

    知乎马同学教程

    1. 微分和导数
    2. 全微分
    3. 全导数
    4. 梯度

    向量函数的雅可比矩阵与链式法则

    1. 向量函数的雅可比矩阵与链式法则
    2. 雅克比矩阵用途 同时求多元函数偏导数,即矩阵相乘求梯度
    3. 链式法则作用 求多元复合函数

    个人总结

    1. 概念理解顺序 导数 偏导数 方向导数 梯度 微分 雅克比矩阵 链式法则
    2. 导数 偏导数 方向导数 梯度 都是向量,大小为函数在某一方向的变化率,向量方向为该方向。
    3. 梯度是最大的方向导数,由固定公式得出。梯度是导数的线性组合。
    4. 对标量求导数 等价于 对向量求梯度。导数是相对于标量来说的,梯度是相对于向量来说的
    5. 在这里插入图片描述

    1. 微分是增量的主要部分,增量的线性部分,微分由梯度定义 df = 梯度向量 点乘 自变量变化向量
    2. 一元函数微分几何概念为切线,二元函数微分几何概念为切面

    1. 当因变量为向量时,梯度组合为雅克比矩阵
    2. 向量遵循链式法则,一元函数中导数的概念转换为 梯度和雅克比矩阵
    3. 雅克比矩阵用途 同时求多元函数偏导数,即矩阵相乘求梯度
    4. 链式法则作用 求多元复合函数
    展开全文
  • 由于误差反向传播算法中采用梯度下降算法进行权重更新,因此需要先明白梯度是什么,而梯度的解释又要从导数讲起,因此本文先大致讲解一下导数导数偏导数、方向导数和梯度的物理意义。 1、导数 根据我们以前的学习...
  • 偏导数,方向导数和梯度

    千次阅读 2019-05-31 16:30:58
    偏导数就是在一个给定值(x0,y0)点初,先固定y的值,将y看成常数,对x求偏导相当于只有x一个自变量导数是一样的 再固定x ,将x看成常数,对y求偏导相当于只有y一个自变量导数是一样的 ……………………...
  • 偏导数与全导数

    千次阅读 2019-08-28 15:03:00
    1.偏导数 代数意义 偏导数是对一个变量求导,另一个变量当做数 对x求偏导的话y就看作一个数,描述的是x方向上的变化率 对y求偏导的话x就看作一个数,描述的是y方向上的变化率 几何意义 对x求偏导是曲面z=f(x,y)在x方向...
  • 导数偏导数、方向导数

    万次阅读 多人点赞 2018-03-23 00:45:20
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  • 偏导数与方向导数

    2018-09-10 19:48:00
    略。。。。。。。 转载于:https://www.cnblogs.com/bianjing/p/9622254.html
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  • 前言: 机器学习中的大部分问题都是... 提到梯度,就必须从导数(derivative)、偏导数(partial derivative)方向导数(directional derivative)讲起,弄清楚这些概念,才能够正确理解为什么在优化问题中使用...
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空空如也

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偏导数和导数的区别