一、连续，偏导数不一定存在

这个很容易理解，跟一元函数一样。
例如$f(x,y)=|x|$，在$(0,0)$连续，但$f_x(0,0)=\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x}$不存在。
再例如，$f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$，其在$(0,0)$点显然连续，但$$f_x(0,0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$$不存在，$f_y(0,0)$同理也不存在。
用Geogebra画图可以看出这个函数的图像是锥形，在$(0,0)$点是尖的：

二、偏导数存在，不一定连续

这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数，偏导数存在是很弱的条件，甚至连极限都有可能不存在。
例子：$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$它在$(0,0)$点的两个偏导数都存在：$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$但是它在$(0,0)$点的极限不存在，以$y=kx$的路径逼近$(0,0)$得$$\underset{x\to 0,y=kx}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2}$$随着$k$的变化而变化，所以$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }f(x,y)$$不存在。
画图看出这个函数在$(0,0)$点呈现一个很奇怪的样子：

三、可微，一定连续、偏导数存在

定理1（可微的必要条件） 设函数$z=f(x,y)$在$(x_0,y_0)$处可微，则
(1) $f$在$(x_0,y_0)$处连续；
(2) $f$在$(x_0,y_0)$处的两个偏导数都存在，且有$\text{d}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\text{d}x+f_y(x_0,y_0)\text{d}y$。
证明：
(1) 当$f$在$(x_0,y_0)$处可微时，存在常数$a_1,a_2$使得$\Delta z=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho )$，其中$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$。令$\rho \to 0$，即$\Delta x\to 0$且$\Delta y\to 0$，得$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\Delta z=0$$或$$\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\underset{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}{\lim }[f(x_0,y_0)+\Delta z]=f(x_0,y_0)$$因此$f$在$(x_0,y_0)$处连续。
(2) 由可微的定义，$f$满足$$f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho )$$取$\Delta y=0$，则有$\rho =|\Delta x|$，上式变为$$f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=a_1+o(|\Delta x|)$$两边除以$\Delta x$并取极限得$$\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\left[a_1+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\right]=a_1$$即$f_x(x_0,y_0)=a_1$。
同理，取$\Delta x=0$得$f_y(x_0,y_0)=a_2$。∎

从这里我们可以看出，可微是很强得条件，远比偏导数存在要强。

然而，这个条件仅仅是必要条件。我们举一个例子$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$它在$(0,0)$点连续，因为$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }|f(x,y)-f(0,0)|=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }|f(x,y)|\le \underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}=0$$两个偏导数也存在：$$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$$但不可微。因为如果可微，那么$\Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=o(\rho )$。然而$$\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{\Delta f}{\rho }=\underset{(x,y)\to (0,0)}{\lim }\frac{xy}{x^2+y^2}$$不存在。也就是说，满足定理1的条件不一定可微。
其函数图像如下：

四、偏导数连续，一定可微

定理2（可微的充分条件） 设函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$得的某个邻域内有定义，若$f(x,y)$的两个偏导数$f_x(x,y)$和$f_y(x,y)$均在点$(x_0,y_0)$处连续，则该函数在点$(x_0,y_0)$处可微。
证明：$$\begin{array}{rl}\Delta z& =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ & =[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\end{array}$$右边的每一项都是一元函数的改变量，故可以采用拉格朗日中值定理（$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$），即存在${\theta }_1,{\theta }_2\in (0,1)$使得$$\Delta z=f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)\Delta y$$由于$f_x(x,y)$在$(x_0,y_0)$连续，取极限$\rho =\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}\to 0$得$$\underset{\rho \to 0}{\lim }{f}_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)$$因此有$$f_x(x_0+{\theta }_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+{\alpha }_1(\rho )$$同理有$$f_y(x_0,y_0+{\theta }_2\Delta y)=f(x_0,y_0)+{\alpha }_2(\rho )$$其中${\alpha }_{1,2}(\rho )$是$\rho$的高阶无穷小。整理得$$\begin{array}{rl}\Delta z& =f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\ & =[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\\ & =[f_x(x_0,y_0)+{\alpha }_1(\rho )]\Delta x+[f(x_0,y_0)+{\alpha }_2(\rho )]\Delta y\\ & =f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+{\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y\end{array}$$只需证明后面两项是$\rho$的高阶无穷小。而$\Delta x\le \rho$，$\Delta y\le \rho$，所以$|{\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y|\le |{\alpha }_1(\rho )+{\alpha }_2(\rho )|\rho$，$$\underset{\rho \to 0}{\lim }\left|\frac{{\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y}{\rho }\right|=\underset{\rho \to 0}{\lim }{\alpha }_1(\rho )+{\alpha }_2(\rho )=o(\rho )$$于是${\alpha }_1(\rho )\Delta x+{\alpha }_2(\rho )\Delta y$是$\rho$的高阶无穷小。因此有$$\Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$$即$f$在$(x_0,y_0)$处可微。∎

注意：这只是充分条件。有些函数，例如$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}(x^2+y^2)\sin \frac{1}{x^2+y^2},& x^2+y^2\ne 0\\ 0,& x^2+y^2=0\end{array}$$它在$(0,0)$处可微，但$f_x(x,y)$与$f_y(x,y)$在$(0,0)$处间断。

另外，$f_x(x,y),f_y(x,y)$是二元函数，它们连续是指满足二元函数连续的条件，而不仅仅是在$x$方向或在$y$方向上连续。

五、偏导数连续，函数一定连续

这是定理1和定理2结合起来后一个很显然的推论。

六、可微，则沿任一方向的方向导数存在

定理3 若$f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$可微，则函数$f$在点$(x_0,y_0)$沿任意$\mathbf{l}$方向的方向导数均存在，且$${\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}|}_{x_0,y_0}=f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta$$其中$\mathbf{l}$方向上的单位向量是${\mathbf{e}}_l=(\cos \alpha ,\cos \beta )$。
证明：由定理1，当$(x,y)\to (0,0)$时，有$$f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho )$$令$(x,y)=(x_0,y_0)+t{\mathbf{e}}_l=(x_0,y_0)+(t\cos \alpha ,t\cos \beta )$，即$\Delta x=t\cos \alpha ,\Delta y=t\cos \beta ,|t|=\sqrt{(\Delta x{)}^2+(\Delta y{)}^2}$，可得$$f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)t\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)t\cos \beta +o(\rho )$$由方向导数的定义有$$\begin{array}{rl}{\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}|}_{x_0,y_0}& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+t\cos \alpha ,y_0+t\cos \beta )-f(x_0,y_0)}{t}\\ & =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)t\cos \beta +o(|t|)}{t}\\ & =f_x(x_0,y_0)\cos \alpha +f_y(x_0,y_0)\cos \beta \end{array}$$证毕。∎

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总结

综合以上所有讨论，我们将各个条件之间的关系理成下面这张图：

可以看出偏导数连续是最强的条件，可微是很强的条件，（任意方向）偏导数存在是很弱的条件。

多变量微积分里面有这么一个结论：

如果函数 的偏导数 、 在点 连续，那么函数在该点可微。

下面来解释这个结论，并且减弱这个结论的条件。

先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义，后面要用到。如果非常熟悉了，可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

1 连续的含义

通俗来说，用笔作画，不提笔画出来的曲线就是连续的：

1.1 没有缝隙

我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙：

如果把曲线看作一条道路的话，那么不管是蚂蚁、人还是自行车，都有能力从左边走到右边：

而不连续的曲线会有断裂：

蚂蚁通过能力太差，就没有办法跨过裂缝：

1.2 另一层含义

从代数上我们可以看到另外一层含义。假设 附近某点为 ，根据连续的性质有：

利用极限的性质可以得到：

因此上式表明， 与附近 的值相差非常小，这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

2 可微的含义

2.1 单变量函数的微分

一元的情况下，在 点可微指的是，在 点附近可以用直线来近似曲线，这根直线就是切线：

距离 越近，这种近似越好，体现为切线和曲线之间的相差越来越小：

令 ，那么 附近曲线与直线的近似可以表示为：

2.2 多变量函数的微分

多元的情况下，就要复杂一些。关于下面内容，想了解更详细的可以参看：

• 如何通俗的解释全微分？

• 多元函数中全微分与偏导数、偏微分的直观区别是什么？

• 如何理解全导数？

2.2.1 偏导数

首先要对偏导数有所了解。多变量的函数 可以是三维空间中的曲面

平面 是一系列平面，它们与曲面交于一条条曲线：

很显然，点在这些曲线上运动， 是不会变化的，只有 会变化：

偏导数 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度（变化率），对于 点，知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似，也就是这条曲线的切线，或者称为偏微分：

这种近似关系可以表示为：

同样的道理，偏导数 描述的是只有 值变化的曲线上的点的速度，假设这样的曲线为 ，其切线与之的近似关系可以表示为：：

2.2.2 微分

多变量的函数 在 点的微分，指的是在 点找到一个平面来近似曲面，这就是切平面：

切平面与曲面的近似可以表示为：

上面出现了 ，这是因为此点的邻域是一个平面（下面用圆来表示这个平面，实际上这个圆可以任意大小）：

此圆的半径可以表示为：

2.3 微分与偏微分的关系

很显然，过 点，并不是只有 方向的曲线（两个方向的曲线的切线就是偏微分）：

还有无数别的方向的曲线（随便画了两条）：

这些曲线的切线（假如有的话）要在同一个平面，这个平面就是切平面，才叫做可微（详情参考之前给出的参考文章）。

而偏微分只是无数切线中的两条，所以：

比如 就是偏导数存在，但是不可微。它的图像是：

在 点， 与 的交线是下面红色的直线，分别与 轴和 轴重叠：

因此，在 点的偏微分就是 轴和 轴。但是 与 的交线是：

在 点形成了一个尖点：

很显然此曲线的切线不存在（此曲线的左右切线由方向导数决定）。因此 在 点不可微（具体细节也请参看参考文章）。

3 偏导数连续推出可微

前面说了很多，就是为了得到下面这个表格：

下面讲解涉及的三维图像太复杂，不容易看清，所以把三维图像画到二维中，应该不会影响理解。

先给出 、 、 、 四个点，把它们的三维坐标也标出来：

 点的偏导数连续，分别为：

从 出发，运动到 ，很显然只有 方向有变化：

因此 点的值为：

继续往上走到 点：

因为偏导数连续，所以附近的偏导数也是存在的，假设 的偏导数为 ，那么可得：

这里就是关键了，因为偏导数连续，所以 、 偏导数差不多，有：

因此上式可以改写为：

至此，得到了 点可微的结论（上面的等价性没有证明，在一些《数学分析》书籍中，可微采用的是类似的定义）。

如果仔细看上面的证明，会发现只用到了 连续，因此条件可以减弱一些：

如果函数 的偏导数 、 在点 及其邻域存在，偏导数其中之一在邻域内连续，那么函数在该点可微。

最新版本可以参见： 为什么偏导数连续，函数就可微？