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  • 为什么偏导数连续,函数就可微

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏导数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...

    多变量微积分里面有这么一个结论:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 连续,那么函数在该点可微。

    下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

    先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

    如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

    而不连续的曲线会有断裂:

    蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

    1.2 另一层含义

    从代数上我们可以看到另外一层含义。假设f(x_0) 附近某点为f(x_0+\Delta x) ,根据连续的性质有:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)

    利用极限的性质可以得到:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    因此上式表明,f(x_0) 与附近f(x_0+\Delta x) 的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

    2 可微的含义

    2.1 单变量函数的微分

    一元的情况下,在(x_0,f(x_0)) 点可微指的是,在(x_0,f(x_0)) 点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

    距离(x_0,f(x_0)) 越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

    \Delta x=x-x_0 ,那么x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

    平面y=t,t\in\mathbb{R} 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:

    偏导数\frac{\partial f}{\partial x} 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

    这种近似关系可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    同样的道理,偏导数\frac{\partial f}{\partial y} 描述的是只有y 值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为f_y(x,y) ,其切线与之的近似关系可以表示为::

    \underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分,指的是在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

    切平面与曲面的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}

    上面出现了o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) ,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

    此圆的半径可以表示为:

    r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

    这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

    而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

    偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微

    比如f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} 就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

    (0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:

    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    (0,0,0) 点形成了一个尖点:

    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:

    \begin{array}{c|c}    \hline    \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\    \hline    \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\    \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\    \hline    \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\    \hline\end{array}

    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:

    A 点的偏导数连续,分别为:

    \frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}

    A 出发,运动到B ,很显然只有x 方向有变化:

    因此B 点的值为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)

    继续往上走到C 点:

    因为偏导数连续,所以附近的偏导数也是存在的,假设B 的偏导数为\frac{\partial f}{\partial y_b} ,那么可得:

    \begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点}    &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\    \\    &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}

    这里就是关键了,因为偏导数连续,所以A 、B 偏导数差不多,有:

    \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)

    因此上式可以改写为:

    \begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}

    至此,得到了A 点可微的结论(上面的等价性没有证明,在一些《数学分析》书籍中,可微采用的是类似的定义)。

    如果仔细看上面的证明,会发现只用到了\frac{\partial f}{\partial y} 连续,因此条件可以减弱一些:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 及其邻域存在,偏导数其中之一在邻域内连续,那么函数在该点可微。

    最新版本可以参见: 为什么偏导数连续,函数就可微?

    展开全文
  • 讨论多元函数连续偏导数存在可微之间的关系.doc
  • 多元函数中:连续在一元函数被欺负,变成了偏导连续,然后它深知可微的强大,直接认了可微做它的野爹,可微也没有辜负它的期望,不光帮它恢复成了函数连续,还帮它找到了它弟弟可偏导存在。 ...

    一元函数中:可微天下无敌,连续是个废物,所以可微可以推出连续,可导也可以推出连续,可微能推出可导,可导可以推出可微。

    多元函数中:连续在一元函数被欺负,变成了偏导连续,然后它深知可微的强大,直接认了可微做它的野爹,可微也没有辜负它的期望,不光帮它恢复成了函数连续,还帮它找到了它弟弟可偏导存在。在这里插入图片描述

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  • 连续偏导数可微

    2020-10-03 06:36:56
    1 连续的含义 通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的: ...首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面 https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/83310653 ...

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:
    在这里插入图片描述

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:
    在这里插入图片描述

    1.2 另一层含义

    在这里插入图片描述

    2 可微的含义

    可微可导的几何意义

    对于一元函数,可微的几何意义是该点处存在切线;对于二元函数,可微表示该点处存在切平面.
    一元函数可微与可导等同.在一点可微的几何意义是图形在该点有不与y轴平行的切线.二元函数在一点可微的几何意义是图形曲面在该点有不与z轴平行的切平面.
    对于可导的点来说,这一点得到数是切线的斜率,这时的切线就是唯一的一条不穿过曲线但和曲线只有一个交点的直线.

    2.1 单变量函数的微分

    在一元函数中的微分就是函数的切线
    在这里插入图片描述

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面
    在这里插入图片描述
    平面y=t,t ∈ R \in R R 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    在这里插入图片描述
    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ) ) (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) (x0,y0,f(x0,y0)) 点的微分,指的是在 ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ) ) (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) (x0,y0,f(x0,y0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    偏微分

    在一元函数中的微分就是函数的切线:
    在这里插入图片描述

    关于微分就是切线,我写的很多文章(比如我最近的如何通俗解释全微分?)都希望大家可以理解这一点,虽然要严格讲清楚需要微分几何、流型的知识,但是我认为掌握了这一点对于我们学习微积分很有帮助。

    我们发挥一下空间想象力,把它从平面中拽出来,进入三维空间:
    在这里插入图片描述
    之前是平面曲线,现在是空间曲线。切线仍然是切线,微分仍然是微分。

    我们再想象一下,其实这个空间曲线是y=0这个空间平面与f(x,y)这个空间曲面的交线:
    在这里插入图片描述
    我们就把这个切线称为f(x,y)对于x的偏微分。为什么是对于x的呢?因为这是y=0与f(x,y)的交线,在这条线上无论点怎么变化,都要满足y=0,即y是常数不会变化。

    你来玩玩下面这个互动操作就知道了,点在线上变化只会改变z和x:
    在这里插入图片描述
    理解了这个,就可以举一反三,所有y=C(C为常数)的平面与f(x,y)的交线都是满足刚才说的特点:
    在这里插入图片描述
    这些交线上的点的切线都是f(x,y)关于x的偏微分。

    当然,如果f(x,y)与x=C(C为常数)得到的交线,这些交线的切线就是f(x,y)关于y的偏微分。

    总结,偏微分就是:

    固定y,变换x得到的就是f(x,y)关于x的偏微分
    固定x,变换y得到的就是f(x,y)关于y的偏微分

    偏导数

    偏微分理解了偏导数就好理解了,就是偏微分的斜率,现在你应该可以明白为什么我们在求f(x,y)对于x的偏导数的时候,我们把y当作常数来看待了吧。

    只是有一点需要说明,在三维空间中角度可以有不同的定义,计算斜率的时候我们是看下面这个 α \alpha α角:
    在这里插入图片描述
    总结,偏导数就是偏微分的斜率。

    2.3 全微分

    其实,不光是y=C或者x=C这样的平面可以和f(x,y)相交得到交线,所有和xy平面垂直的平面都相交得到交线,这些交线都会有切线(微分):

    这个平面相交得到的交线:
    在这里插入图片描述

    这个平面也可以:
    在这里插入图片描述

    总之,应该是360°无死角,自己动手试试:
    在这里插入图片描述
    如果这些切线都存在,并且这些切线(无数条)还都在同一个平面上(平面不是曲面),那么得到的这个平面就是全微分(也叫做切平面,或者说切空间):
    在这里插入图片描述
    总结,全微分就是:
    360°微分都存在
    并且这些微分要共面,得到的就是全微分

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分)
    在这里插入图片描述
    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在(0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:
    在这里插入图片描述
    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    在这里插入图片描述
    在(0,0,0) 点形成了一个尖点
    在这里插入图片描述
    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。
    总结,全微分与偏导数、偏微分的关系:

    全微分存在偏导数、偏微分一定存在
    偏导数、偏微分存在全微分不一定存在

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:
    在这里插入图片描述
    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    3 全微分

    其实,不光是y=C或者x=C这样的平面可以和f(x,y)相交得到交线,所有和xy平面垂直的平面都相交得到交线,这些交线都会有切线(微分):

    这个平面相交得到的交线:

    马同学高等数学
    这个平面也可以:

    马同学高等数学
    总之,应该是360°无死角,自己动手试试:

    Created with GeoGebra
    如果这些切线都存在,并且这些切线(无数条)还都在同一个平面上(平面不是曲面),那么得到的这个平面就是全微分(也叫做切平面,或者说切空间):

    Created with GeoGebra
    总结,全微分就是:

    360°微分都存在
    并且这些微分要共面,得到的就是全微分

    https://www.matongxue.com/madocs/219
    https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/83310653

    展开全文
  • 对于二元函数而言:导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何...

    以二元函数为代表解释他们之间的关系。

    1>可导不一定连续,连续不一定可导。

    对于二元函数而言:可导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点,二元函数本身是一个平面型的,趋于某一定点是从四面八方的,而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况,所以可导不一定连续,同时也不能保证函数在这一点有极限,因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数,如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在(二元函数连续),也就是偏导数不存在。

    2>可微必连续,可微必可导。反之不成立。

    可微的性质最强,若二元函数的某一点可微,说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在,全微分是二元函数所有性质的综合,所以可微必连续,也必可导,但反之,连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件,所以不能通过连续与可导来断定可微。

    引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。

       

    f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴,这两条直线在(0,0)点满足连续可导。(图1)

    但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像,连续但是在(0,0)点不可导。(图2)所以在(0,0)点不可微。 

    3>一阶偏导数连续是可微的充分条件

    以下用可微的定义进行证明

    至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点(震荡间断点)的导函数。

    震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续,当函数具有这种“连续”的极限情况,我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。

    例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y).个人感觉了解即可,没必要深究。

     

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  • 第一节 重极限、连续偏导数、全微分 1、二元函数 2、二元函数的极限 例1 使用绝对值趋向于0,然后夹逼即可得到结论。 例2 [外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-HrJV2Dsg-...
  • 多元函数微分学之偏导数

    万次阅读 2018-07-23 17:26:10
    偏导数的概念 本质上就是求一元函数的导,只不过是把其他变量看作常数就行了。 在图像上显示可以想象下,例如z=f(x,y)这是一个三维 图形,然后对x求偏导其实就这一点所在的平行于zx平面的切面是投影到z,x上的...
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  • 文章目录前言一、极限和连续二、偏导数三、方向导数四、可微五、梯度六、链式法则七、Hessian矩阵 前言 多元函数 y对某一个变量的导数是偏导数偏导数的结果可以推广到任意方向,也就是方向导数; 方向导数只跟这...

空空如也

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