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  • 偏导数存在 可微 连续
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    2021-01-30 16:28:07

    1、如果函数z=f(x, y) 在(x, y)处的全增量Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)可以表示为 Δz=AΔx+BΔy+o(ρ),则该函数全微分存在,可以证明,此时A=?z/?x,B=?z/?y,因此.

    这类问题一般都是证明在某点处偏导数存在,注意这时切记不能使用求导公式,以一元函数为例,这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点,在间断点x0.

    对于z=f(x,y) 求x的偏导数 你就把另一个未知数y看作常数 然后判断偏导数时 就用导数的定义,lim(x0趋于0)[f(x+x0,y)-f(x,y)]/x0存在 偏导数就存在

    偏导数存在且连续是可微的充分条件可微必连续,可微必偏导数存在,反之不成立。连续和偏导数存在是无关条件偏导数存在且连续是连续的充分条件偏导数存在且连续是.

    分段函数f(x,y)=xy/(x平方+y平方)(x,y)不等于(0,0)。f(x,y)=0 (x,y)等于(0,0),偏导存在极限不存在。分段函数f(x,y)=根号下(x平方+y平方)(x,y)不等于(0,0)。f(x,y)=0 (x,y)等于(0,0),.

    对于一元函数来说,可导和可微是等价的,而对多元函数来说,偏导数都存在,也保证不了可微性,这是因为偏导数仅仅是在特定方向上的函数变化率,它对函数在某一点.

    多元函数,偏导数存在 函数不一定 连续 为什么? (一元函数,可导一定连续。

    把二元函数想像成平面上的函数,则连续需要在各个方向(横的,竖的,斜的)直线上都连续;而对x的偏导数存在只说明函数限制到每条横的直线(y=a)上后作为x的一.

    可微则偏导数存在 偏导数存在不一定可微 只有偏导数存在且连续 才能推出可微 给你个 偏导 可微 和函数连续的关系 偏导数存在并且偏导数连续==>可微==>函数连续 偏导.

    二元函zd数连续、偏导数存在、可微之间的关系1、若二元函数f在其定义域内某点可微,则二元函数f在该点偏导数存在,反过来则不一定成立。2、若二元专函数函数f在其.

    16.函数z=f (x,y)在点(a,b) 处连续是它在该点偏导数存在的:(A)必要而非充.

    这其实是连续的一个证明问题左右极限相等,则偏导存在。但此时的极限不一定等于该点的导数值,明白吗?证明偏导数连续,则是要证明左右极限相等并且要等于该点的.

    偏导数连续是偏导数存在的充分条件

    只能说明,二阶偏导数存在,如果说偏导函数连续,则可证明函数连续

    z在某点偏导数存在是只要关于x,y任意一个偏导存在就成立? 还是必须关于x和.

    dz=f1'dx+f2'[(dx/y)-(xdy/y2)]=[f1'+(f2'/y)]dx-xf2'dy/y2=?z/?xdx+?z/?ydy ?z/?x=f1'+(f2'/y) ?z/?y=xf2'/y2

    存在不一定可导,可导一定存在

    解:对于一个多元函数来说,偏导数存在且连续是针对偏导数的,说明这个多元函数存在偏导数偏导数也可以看做是一个函数,这里说的是偏导数是连续

    你好!·····可微分能得到偏导数存在,反之不成立 偏导数连续能得到可微分,反之不成立·· 至于偏导存在和连续没什么关系 极限存在←连续←可微分→偏导存在 .

    你好:必要条件 一维时是充分必要条件.高维时必要不充分,但是可以证明当对每一个变量偏导数都存在而且连续时函数可微.可微必定连续且偏导数存在 连续未必偏导数存.

    在一元的情况下,可导=可微->连续,可导一定连续,反之不一定。二元就不满足了 在二元的情况下,偏导数存在且连续,函数可微,函数连续;偏导数不存在,函数不可.

    沿任何方向的方向导数存在能否推出偏导数存在?——不能只能推出沿各坐标轴(例如x轴)方向的方向导数存在,但倘若沿x轴正半轴方向的方向导数与沿x轴负半轴方向.

    首先对于一维来说:某点连续的意思是指函数f(x),在该点x=x0处左右极限相等(形象地说就是没有断掉,在这点附近很好地连起来) 可导的话就是在这一点的切线存在且.

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  • 多元函数可微则偏导数一定存在,可微偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行。若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,...

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    函数可微则这个函数一定32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643066连续,但连续不一定可微.多元函数可微则偏导数一定存在,可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行。

    若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,则函数在该点必连续,该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

    设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

    △z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零.则称f在P0点可微。

    可微的充要条件是曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0,y0)可微,这个切面的方程应为Z-z=A(X-x0)+B(Y-y0)。

    扩展资料:

    可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此,可微函数的图像是相对光滑的,没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

    一般来说,若X是函数ƒ定义域上的一点,且ƒ′(X)有定义,则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在(X,ƒ(X))点有非垂直切线,且该点不是间断点、尖点。

    实践中运用的函数大多在所有点可微,或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

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  • 一、连续,偏导数不一定存在 ...二、偏导数存在,不一定连续 这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数,偏导数存在是很弱的条件,甚至连极限都有可能不存在。 例子:f(x,y)={xyx2+y2,x2+y2≠00,x2+y2=0f

    一、连续,偏导数不一定存在

    这个很容易理解,跟一元函数一样。
    例如 f ( x , y ) = ∣ x ∣ f(x,y)=|x| f(x,y)=x,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)连续,但 f x ( 0 , 0 ) = d ∣ x ∣ d x f_x(0,0)=\frac{\text{d}|x|}{\text{d}x} fx(0,0)=dxdx不存在。
    再例如, f ( x , y ) = x 2 + y 2 f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2} f(x,y)=x2+y2 ,其在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点显然连续,但 f x ( 0 , 0 ) = lim ⁡ x → 0 ∣ x ∣ x f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{|x|}{x} fx(0,0)=x0limxx不存在, f y ( 0 , 0 ) f_y(0,0) fy(0,0)同理也不存在。
    用Geogebra画图可以看出这个函数的图像是锥形,在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点是尖的:
    在这里插入图片描述

    二、偏导数存在,不一定连续

    这个性质跟一元函数有很大差异。对于二元函数,偏导数存在是很弱的条件,甚至连极限都有可能不存在。
    例子: f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≠ 0 0 , x 2 + y 2 = 0 f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases} f(x,y)={x2+y2xy,0,x2+y2=0x2+y2=0它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点的两个偏导数都存在: f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 fx(0,0)=fy(0,0)=0但是它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点的极限不存在,以 y = k x y=kx y=kx的路径逼近 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0) lim ⁡ x → 0 , y = k x x y x 2 + y 2 = k 1 + k 2 \lim_{x\to0,y=kx}\frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{k}{1+k^2} x0,y=kxlimx2+y2xy=1+k2k随着 k k k的变化而变化,所以 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) f ( x , y ) \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) (x,y)(0,0)limf(x,y)不存在。
    画图看出这个函数在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点呈现一个很奇怪的样子:
    在这里插入图片描述

    三、可微,一定连续、偏导数存在

    定理1(可微的必要条件) 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微,则
    (1) f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续;
    (2) f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处的两个偏导数都存在,且有 d f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) d x + f y ( x 0 , y 0 ) d y \text{d}f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\text{d}x+f_y(x_0,y_0)\text{d}y df(x0,y0)=fx(x0,y0)dx+fy(x0,y0)dy
    证明
    (1) 当 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微时,存在常数 a 1 , a 2 a_1,a_2 a1,a2使得 Δ z = a 1 Δ x + a 2 Δ y + o ( ρ ) \Delta z=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho) Δz=a1Δx+a2Δy+o(ρ),其中 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} ρ=(Δx)2+(Δy)2 。令 ρ → 0 \rho\to0 ρ0,即 Δ x → 0 \Delta x\to0 Δx0 Δ y → 0 \Delta y\to0 Δy0,得 lim ⁡ ρ → 0 Δ z = 0 \lim_{\rho\to0}\Delta z=0 ρ0limΔz=0 lim ⁡ Δ x → 0 , Δ y → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) = lim ⁡ Δ x → 0 , Δ y → 0 [ f ( x 0 , y 0 ) + Δ z ] = f ( x 0 , y 0 ) \lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)=\lim_{\Delta x\to0,\Delta y\to0}[f(x_0,y_0)+\Delta z]=f(x_0,y_0) Δx0,Δy0limf(x0+Δx,y0+Δy)=Δx0,Δy0lim[f(x0,y0)+Δz]=f(x0,y0)因此 f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续。
    (2) 由可微的定义, f f f满足 f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = a 1 Δ x + a 2 Δ y + o ( ρ ) f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)=a_1\Delta x+a_2\Delta y+o(\rho) f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)=a1Δx+a2Δy+o(ρ) Δ y = 0 \Delta y=0 Δy=0,则有 ρ = ∣ Δ x ∣ \rho=|\Delta x| ρ=Δx,上式变为 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) = a 1 + o ( ∣ Δ x ∣ ) f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)=a_1+o(|\Delta x|) f(x0+Δx,y0)f(x0,y0)=a1+o(Δx)两边除以 Δ x \Delta x Δx并取极限得 lim ⁡ Δ x → 0 f ( x 0 + Δ x , y 0 ) − f ( x 0 , y 0 ) Δ x = lim ⁡ Δ x → 0 [ a 1 + o ( ∣ Δ x ∣ ) Δ x ] = a 1 \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\left[a_1+\frac{o(|\Delta x|)}{\Delta x}\right]=a_1 Δx0limΔxf(x0+Δx,y0)f(x0,y0)=Δx0lim[a1+Δxo(Δx)]=a1 f x ( x 0 , y 0 ) = a 1 f_x(x_0,y_0)=a_1 fx(x0,y0)=a1
    同理,取 Δ x = 0 \Delta x=0 Δx=0 f y ( x 0 , y 0 ) = a 2 f_y(x_0,y_0)=a_2 fy(x0,y0)=a2。∎

    从这里我们可以看出,可微是很强得条件,远比偏导数存在要强。

    然而,这个条件仅仅是必要条件。我们举一个例子 f ( x , y ) = { x y x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≠ 0 0 , x 2 + y 2 = 0 f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases} f(x,y)={x2+y2 xy,0,x2+y2=0x2+y2=0它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)点连续,因为 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ f ( x , y ) − f ( 0 , 0 ) ∣ = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) ∣ f ( x , y ) ∣ ≤ lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x 2 + y 2 2 x 2 + y 2 = 0 \lim_{(x,y)\to(0,0)}|f(x,y)-f(0,0)|=\lim_{(x,y)\to(0,0)}|f(x,y)|\le\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2+y^2}{2\sqrt{x^2+y^2}}=0 (x,y)(0,0)limf(x,y)f(0,0)=(x,y)(0,0)limf(x,y)(x,y)(0,0)lim2x2+y2 x2+y2=0两个偏导数也存在: f x ( 0 , 0 ) = f y ( 0 , 0 ) = 0 f_x(0,0)=f_y(0,0)=0 fx(0,0)=fy(0,0)=0但不可微。因为如果可微,那么 Δ f − f x ( 0 , 0 ) Δ x − f y ( 0 , 0 ) Δ y = o ( ρ ) \Delta f-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y=o(\rho) Δffx(0,0)Δxfy(0,0)Δy=o(ρ)。然而 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) Δ f ρ = lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y x 2 + y 2 \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\Delta f}{\rho}=\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} (x,y)(0,0)limρΔf=(x,y)(0,0)limx2+y2xy不存在。也就是说,满足定理1的条件不一定可微。
    其函数图像如下:
    在这里插入图片描述

    四、偏导数连续,一定可微

    定理2(可微的充分条件) 设函数 z = f ( x , y ) z=f(x,y) z=f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)得的某个邻域内有定义,若 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)的两个偏导数 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx(x,y) f y ( x , y ) f_y(x,y) fy(x,y)均在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处连续,则该函数在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微。
    证明 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 + Δ y ) ] + [ f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] \begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\end{aligned} Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)=[f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0+Δy)]+[f(x0,y0+Δy)f(x0,y0)]右边的每一项都是一元函数的改变量,故可以采用拉格朗日中值定理( f ( b ) − f ( a ) = f ′ ( ξ ) ( b − a ) f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) f(b)f(a)=f(ξ)(ba)),即存在 θ 1 , θ 2 ∈ ( 0 , 1 ) \theta_1,\theta_2\in(0,1) θ1,θ2(0,1)使得 Δ z = f x ( x 0 + θ 1 Δ x , y 0 + Δ y ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 + θ 2 Δ y ) Δ y \Delta z=f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)\Delta x+f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)\Delta y Δz=fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)Δx+fy(x0,y0+θ2Δy)Δy由于 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx(x,y) ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)连续,取极限 ρ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 → 0 \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0 ρ=(Δx)2+(Δy)2 0 lim ⁡ ρ → 0 f x ( x 0 + θ 1 Δ x , y 0 + Δ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) \lim_{\rho\to0}f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0) ρ0limfx(x0+θ1Δx,y0+Δy)=fx(x0,y0)因此有 f x ( x 0 + θ 1 Δ x , y 0 + Δ y ) = f x ( x 0 , y 0 ) + α 1 ( ρ ) f_x(x_0+\theta_1\Delta x,y_0+\Delta y)=f_x(x_0,y_0)+\alpha_1(\rho) fx(x0+θ1Δx,y0+Δy)=fx(x0,y0)+α1(ρ)同理有 f y ( x 0 , y 0 + θ 2 Δ y ) = f ( x 0 , y 0 ) + α 2 ( ρ ) f_y(x_0,y_0+\theta_2\Delta y)=f(x_0,y_0)+\alpha_2(\rho) fy(x0,y0+θ2Δy)=f(x0,y0)+α2(ρ)其中 α 1 , 2 ( ρ ) \alpha_{1,2}( \rho) α1,2(ρ) ρ \rho ρ的高阶无穷小。整理得 Δ z = f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = [ f ( x 0 + Δ x , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 + Δ y ) ] + [ f ( x 0 , y 0 + Δ y ) − f ( x 0 , y 0 ) ] = [ f x ( x 0 , y 0 ) + α 1 ( ρ ) ] Δ x + [ f ( x 0 , y 0 ) + α 2 ( ρ ) ] Δ y = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y \begin{aligned}\Delta z&=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)\\&=[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0+\Delta y)]+[f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]\\&=[f_x(x_0,y_0)+\alpha_1(\rho)]\Delta x+[f(x_0,y_0)+\alpha_2(\rho)]\Delta y\\&=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y\end{aligned} Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0)=[f(x0+Δx,y0+Δy)f(x0,y0+Δy)]+[f(x0,y0+Δy)f(x0,y0)]=[fx(x0,y0)+α1(ρ)]Δx+[f(x0,y0)+α2(ρ)]Δy=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+α1(ρ)Δx+α2(ρ)Δy只需证明后面两项是 ρ \rho ρ的高阶无穷小。而 Δ x ≤ ρ \Delta x\le\rho Δxρ Δ y ≤ ρ \Delta y\le\rho Δyρ,所以 ∣ α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y ∣ ≤ ∣ α 1 ( ρ ) + α 2 ( ρ ) ∣ ρ |\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y|\le|\alpha_1(\rho)+\alpha_2(\rho)|\rho α1(ρ)Δx+α2(ρ)Δyα1(ρ)+α2(ρ)ρ lim ⁡ ρ → 0 ∣ α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y ρ ∣ = lim ⁡ ρ → 0 α 1 ( ρ ) + α 2 ( ρ ) = o ( ρ ) \lim_{\rho\to0}\left|\frac{\alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y}{\rho}\right|=\lim_{\rho\to0}\alpha_1(\rho)+\alpha_2(\rho)=o(\rho) ρ0limρα1(ρ)Δx+α2(ρ)Δy=ρ0limα1(ρ)+α2(ρ)=o(ρ)于是 α 1 ( ρ ) Δ x + α 2 ( ρ ) Δ y \alpha_1(\rho)\Delta x+\alpha_2(\rho)\Delta y α1(ρ)Δx+α2(ρ)Δy ρ \rho ρ的高阶无穷小。因此有 Δ z = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + o ( ρ ) \Delta z=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho) Δz=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ) f f f ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)处可微。∎

    注意:这只是充分条件。有些函数,例如 f ( x , y ) = { ( x 2 + y 2 ) sin ⁡ 1 x 2 + y 2 , x 2 + y 2 ≠ 0 0 , x 2 + y 2 = 0 f(x,y)=\begin{cases}(x^2+y^2)\sin{\frac{1}{x^2+y^2}},&x^2+y^2\ne0\\0,&x^2+y^2=0\end{cases} f(x,y)={(x2+y2)sinx2+y21,0,x2+y2=0x2+y2=0它在 ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处可微,但 f x ( x , y ) f_x(x,y) fx(x,y) f y ( x , y ) f_y(x,y) fy(x,y) ( 0 , 0 ) (0,0) (0,0)处间断。

    另外, f x ( x , y ) , f y ( x , y ) f_x(x,y),f_y(x,y) fx(x,y),fy(x,y)二元函数,它们连续是指满足二元函数连续的条件,而不仅仅是在 x x x方向或在 y y y方向上连续。

    五、偏导数连续,函数一定连续

    这是定理1和定理2结合起来后一个很显然的推论。

    六、可微,则沿任一方向的方向导数存在

    定理3 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)可微,则函数 f f f在点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)沿任意 l \bm l l方向的方向导数均存在,且 ∂ f ∂ l ∣ x 0 , y 0 = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \left.\frac{\partial f}{\partial\bm l}\right|_{x_0,y_0}=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta lfx0,y0=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ其中 l \bm l l方向上的单位向量是 e l = ( cos ⁡ α , cos ⁡ β ) \bm e_l=(\cos\alpha,\cos\beta) el=(cosα,cosβ)
    证明:由定理1,当 ( x , y ) → ( 0 , 0 ) (x,y)\to(0,0) (x,y)(0,0)时,有 f ( x , y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) Δ x + f y ( x 0 , y 0 ) Δ y + o ( ρ ) f(x,y)-f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y+o(\rho) f(x,y)f(x0,y0)=fx(x0,y0)Δx+fy(x0,y0)Δy+o(ρ) ( x , y ) = ( x 0 , y 0 ) + t e l = ( x 0 , y 0 ) + ( t cos ⁡ α , t cos ⁡ β ) (x,y)=(x_0,y_0)+t\bm e_l=(x_0,y_0)+(t\cos\alpha,t\cos\beta) (x,y)=(x0,y0)+tel=(x0,y0)+(tcosα,tcosβ),即 Δ x = t cos ⁡ α , Δ y = t cos ⁡ β , ∣ t ∣ = ( Δ x ) 2 + ( Δ y ) 2 \Delta x=t\cos\alpha,\Delta y=t\cos\beta,|t|=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} Δx=tcosα,Δy=tcosβ,t=(Δx)2+(Δy)2 ,可得 f ( x 0 , y 0 ) = f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ β + o ( ρ ) f(x_0,y_0)=f_x(x_0,y_0)t\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)t\cos\beta+o(\rho) f(x0,y0)=fx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosβ+o(ρ)由方向导数的定义有 ∂ f ∂ l ∣ x 0 , y 0 = lim ⁡ t → 0 f ( x 0 + t cos ⁡ α , y 0 + t cos ⁡ β ) − f ( x 0 , y 0 ) t = lim ⁡ t → 0 f x ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) t cos ⁡ β + o ( ∣ t ∣ ) t = f x ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ α + f y ( x 0 , y 0 ) cos ⁡ β \begin{aligned}\left.\frac{\partial f}{\partial\bm l}\right|_{x_0,y_0}&=\lim_{t\to0}\frac{f(x_0+t\cos\alpha,y_0+t\cos\beta)-f(x_0,y_0)}{t}\\&=\lim_{t\to0}\frac{f_x(x_0,y_0)t\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)t\cos\beta+o(|t|)}{t}\\&=f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta\end{aligned} lfx0,y0=t0limtf(x0+tcosα,y0+tcosβ)f(x0,y0)=t0limtfx(x0,y0)tcosα+fy(x0,y0)tcosβ+o(t)=fx(x0,y0)cosα+fy(x0,y0)cosβ证毕。∎


    总结

    综合以上所有讨论,我们将各个条件之间的关系理成下面这张图:

    可以看出偏导数连续是最强的条件,可微是很强的条件,(任意方向)偏导数存在是很弱的条件。

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  • 为什么偏导数连续,函数就可微

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏导数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...

    多变量微积分里面有这么一个结论:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 连续,那么函数在该点可微。

    下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

    先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

    如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

    而不连续的曲线会有断裂:

    蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

    1.2 另一层含义

    从代数上我们可以看到另外一层含义。假设f(x_0) 附近某点为f(x_0+\Delta x) ,根据连续的性质有:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)

    利用极限的性质可以得到:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    因此上式表明,f(x_0) 与附近f(x_0+\Delta x) 的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

    2 可微的含义

    2.1 单变量函数的微分

    一元的情况下,在(x_0,f(x_0)) 点可微指的是,在(x_0,f(x_0)) 点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

    距离(x_0,f(x_0)) 越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

    \Delta x=x-x_0 ,那么x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

    平面y=t,t\in\mathbb{R} 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:

    偏导数\frac{\partial f}{\partial x} 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

    这种近似关系可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    同样的道理,偏导数\frac{\partial f}{\partial y} 描述的是只有y 值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为f_y(x,y) ,其切线与之的近似关系可以表示为::

    \underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分,指的是在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

    切平面与曲面的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}

    上面出现了o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) ,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

    此圆的半径可以表示为:

    r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

    这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

    而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

    偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微

    比如f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} 就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

    (0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:

    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    (0,0,0) 点形成了一个尖点:

    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:

    \begin{array}{c|c}    \hline    \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\    \hline    \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\    \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\    \hline    \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\    \hline\end{array}

    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:

    A 点的偏导数连续,分别为:

    \frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}

    A 出发,运动到B ,很显然只有x 方向有变化:

    因此B 点的值为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)

    继续往上走到C 点:

    因为偏导数连续,所以附近的偏导数也是存在的,假设B 的偏导数为\frac{\partial f}{\partial y_b} ,那么可得:

    \begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点}    &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\    \\    &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}

    这里就是关键了,因为偏导数连续,所以A 、B 偏导数差不多,有:

    \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)

    因此上式可以改写为:

    \begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}

    至此,得到了A 点可微的结论(上面的等价性没有证明,在一些《数学分析》书籍中,可微采用的是类似的定义)。

    如果仔细看上面的证明,会发现只用到了\frac{\partial f}{\partial y} 连续,因此条件可以减弱一些:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 及其邻域存在,偏导数其中之一在邻域内连续,那么函数在该点可微。

    最新版本可以参见: 为什么偏导数连续,函数就可微?

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