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函数可微则这个函数一定32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643066连续，但连续不一定可微．多元函数可微则偏导数一定存在，可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微，但反推不行。
若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在，且均在这点连续，则该函数在这点可微。必要条件：若函数在某点可微，则函数在该点必连续，该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:
△z＝f(x0＋△x，y＋△y)－f(x0，y0)＝A△x＋B△y＋o(ρ)，其中A，B是仅与P0有关的常数，ρ＝〔(△x)＾2＋(△y)＾2〕＾0．5．o(ρ)是较ρ高阶无穷小量，即当ρ趋于零是o(ρ)／ρ趋于零．则称f在P0点可微。
可微的充要条件是曲面z＝f(x，y)在点P(x0，y0，f(x0，y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0，y0)可微，这个切面的方程应为Z－z＝A(X－x0)＋B(Y－y0)。
扩展资料：
可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此，可微函数的图像是相对光滑的，没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。
一般来说，若X是函数ƒ定义域上的一点，且ƒ′(X)有定义，则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在(X，ƒ(X))点有非垂直切线，且该点不是间断点、尖点。
实践中运用的函数大多在所有点可微，或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

	

在多元函数的领域里面，主要就是偏导的关系，所以我就为大家梳理了这些。同样那些定义定理我也不做证明，主要是说明一些不一定的反例。
同样在解释它们的关系之前我先说说这几个的定义。
偏导连续：先用定义求出该点的偏导数值c，再用求导公式求出不在该点时的偏导数  ，最后求  当(x,y)趋于该点时的极限，如果  ，即偏导数连续，否则不连续。
x方向的偏导.
设有二元函数 z=f(x,y) ，点  是其定义域D 内一点。把 y 固定在 而让 x 在  有增量 △x ，相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量) 
关于y方向的偏导我就不写了。
偏导存在：若二元函数在区域D上可微，则f在每个自变量的偏导都存在。
连续：设f为定义在点集  上的二元函数，  ,  只要  就有 
可微：(有图我就不打了，太浪费时间)
偏导存在不一定连续
连续不一定偏导存在
可微不一定偏导连续
最后再给大家补充几道题目方便大家理解熟悉。
参考资料：数学分析学习指导书·下册 、华师大数学分析下册、数学分析中的反例

作者：k_ys
链接：基础解系的理解_k_ys的博客-CSDN博客
以二元函数为代表解释他们之间的关系。
1>可导不一定连续，连续不一定可导。
对于二元函数而言：可导是指的是两个偏导数存在，偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值（仅仅是坐标轴平行的方向），但是连续是指函数以任何方向趋近于某一定点，二元函数本身是一个平面型的，趋于某一定点是从四面八方的，而平行于坐标轴仅仅是其中的一种情况，所以可导不一定连续，同时也不能保证函数在这一点有极限，因为可以想象一下某一立体三维图形平行于坐标轴的切线上的极限值并不能代表整个图形的极值。至于连续不一定可导可以借鉴一元函数，如若平行于坐标轴方向的函数导数不存在（二元函数连续），也就是偏导数不存在。
2>可微必连续，可微必可导。反之不成立。
可微的性质最强，若二元函数的某一点可微，说明过该点任意垂直于XY平面的切平面与该二元曲平面的交线函数在该点连续且在该点的导函数存在，全微分是二元函数所有性质的综合，所以可微必连续，也必可导，但反之，连续与偏导数存在仅仅是可微的部分条件，所以不能通过连续与可导来断定可微。
引用博客https://blog.csdn.net/weixin_40054912/article/details/79501962中的两幅立体图可很好理解一些疑问。
f(x,y)于x=0,及y=0的切平面的交线都是坐标轴，这两条直线在（0，0）点满足连续可导。（图1）
但是f(x,y)与y=x的切平面的交线是一个像y=|x|的函数图像，连续但是在（0，0）点不可导。（图2）所以在（0，0）点不可微。 
3>一阶偏导数连续是可微的充分条件
以下用可微的定义进行证明
至于为什么可微不一定连续可以稍微借鉴以下一元函数中的存在含有第二类间断点（震荡间断点）的导函数。
震荡虽然是间断的但是我们可以把他考虑成一种特殊的连续，当函数具有这种“连续”的极限情况，我们就可以得到可微但是偏导不连续的曲面。
例如函数f(x,y)=x^2sin(1/x)+y^2sin(1/y).个人感觉了解即可，没必要深究。

在讨论多元函数时，最最基础的就是这样的“三问”：连续否？可偏导否？可微分否？
先做一个引入吧，重新写一下偏导数和全微分的定义。如下：
对二元函数 

1）若极限 
 存在，则称该极限值为函数 
 在点 
 处关于 
 的
偏导数，记为 
 。同理定义关于 
 的偏导数。
2）若该二元函数的全增量 
 可以被表示为 
其中要说明的是 
 与 
 无关。那么我们就说这个二元函数是可微的。并说 
 是 
 在 
 的
全微分。 
上几个题康一康。
题1：证明 
 在 
 连续， 
 存在，但在 
 点不可微。
解答：由 
 我们知道 
则 
 在 
 连续得证。
由偏导数的定义， 
则 
 均存在。
若该二元函数可微， 
 ,即 
考虑点 
 沿着 
 趋近，
则 
 ,
假设不成立，得到结论，该二元函数不可微。
题2：设 
 ，证明 
 存在，该二元函数在 
 可微。
解答：当 
 ， 
当 
 时，由定义， 
则 
 存在，同理， 
 存在。
若该二元函数可微， 
 ，即 
可微得证，连续不言而喻。