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    2021-01-17

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    作文(composition)是经过人的思想考虑和语言组织,通过文字来表达一个主题意义的记叙方法。作文分为小学作文、中学作文、大学作文(论文)。作文体裁包括:记叙文、说明文、应用文、议论文。本站站今天...

    2021-01-16

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  • 包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。初学这些知识的时候,学生会明显觉得这些概念不难掌握,而且定义及计算公式也很容易记住,但总觉得差那么点东西,说又不知道从何说起。反正笔者是这种感觉。其实...

    本篇文章,探讨下多元函数微分学下的一些知识点之间的关系。包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。

    初学这些知识的时候,学生会明显觉得这些概念不难掌握,而且定义及计算公式也很容易记住,但总觉得差那么点东西,说又不知道从何说起。反正笔者是这种感觉。其实最根本的原因是没有理清这些知识间的关系,对这些知识并没有本质的理解。不妨现在就跟笔者一起再重新认识下它们,看看是否解开了你内心得些许疑惑。

    一、导数和微分到底是什么,以及为什么会有这些概念

    关于导数和微分到底是个什么玩意,笔者在探讨一元函数微分的时候有清晰的描述,现在再复述一遍,如下:

    导数和微分其实就是数学家创造的两个代数工具,是为了从代数的角度来描述函数图像在几何上的变化。说白了,就是每次描述函数图像变化,不用再画图了,有了这个,直接用算式算算就行了。因此导数和微分也是沟通几何和代数的重要桥梁之一。而导数描述的是函数在一点处的变化快慢的趋势,是一个变化的速率,微分描述的是函数从一点(移动一个无穷小量)到另一点的变化幅度,是一个变化的量。

    我们知道在一元函数中,函数从一点到另一点的变化只有一个方向,就是沿着函数曲线移动就行了。而且函数在某一点处的切线也只有一条,因此函数的变化快慢只由这个切线(的斜率)决定。然而多元函数就不同了,多元函数往往是一个面,这也是为什么多元函数的微分学会多出那么多东西,催生那么多概念。但是不要怕,其实多出的东西只是一元函数微分的拓展,本质都是一样的,不信请跟着笔者往下看,不难的,万变不离其宗。

    我们来看图1。现在跟着笔者,咱们一起像数学家一样来思考(其实学会从数学家的角度来思考问题,往往最能达到理解知识的本质的目的)。描述函数的变化,一个是描述函数的变化快慢,一个是描述函数变化多少。比如图1中,类似于一元函数的探讨,我想知道函数在A点变化的快慢趋势,以及从A点到B点变化的幅度是多少。另外我们多元函数的图像还有一个有意思的问题,就是函数可以固定一个变量,让另一个变量来变化,那么这又是与一元函数的十分不同的变化了,其实这是一个变化维度的问题。这些是数学家最兴趣的问题了。

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    好,到这里我们来总结下,我们想要全面的描述多元函数的变化,要考虑哪些方面呢,如下:

    (1)函数在A点的趋势变化。

    (2)函数从A到B的变化的量。

    (3)函数降维时候的变化,比如固定y,将二元函数看成一个一元函数来让x单独变化,又会产生什么变化。

    明确了我们要解决的问题,其实就是怎么用数学工具来描述上面的那些变化,就要动手来解决问题了。那么根据一元函数微分学的经验,描述变化快慢,就得看导数,即切线的斜率。描述变化的多少,就得看微分了。因此我们动手在上面按照这个目的画了画,得到了图2和图3.如下所示。

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    从图2可以看到,过A点有无数条曲线,相应的也必定有无数条切线。因此切线的斜率必定不止一个。从图3可以看到从A到B有无数条路径可以到达。那么摆在我们面前的问题就是,如何将一元函数的导数和微分的知识进行相应的拓展,来适应这些“无数”的问题?

    这点问题肯定难不倒数学家。于是就产生了多元函数微分学的那些概念。A点不是存在无数条切线吗?那好办,这些切线的斜率都是导数,那么就定义一个方向导数来表示他们。另外有无数条切线,就会有无个变化的方向,这里面哪个方向变化是最快的呢?于是梯度的定义就来了。数学家说,把变化最快的那个方向定义为梯度,所以梯度其实是一个向量,表示的是在A点变化趋势最大的那个方向。好了变化快慢的问题基本解决了。那么从A到B变化多少的问题怎么解决呢?这就是全微分的定义了。把从A到B的变化的多少定义为全微分。还剩下最后一个问题,就是如果函数降维度变化,比如固定了x,让y单独变化,这种变化怎么描述?没关系,就把他们定义为偏导数。好了,方向导数、梯度、全微分、偏导数的概念都已经出来了。当然了,真实情况肯定是数学家们经过大量的论证,才决定把A点无数条切线的变化方向称之为“方向导数”更加合适,而不是称之为“偏导”,我在这里这样子讲,是做了事后的诸葛亮而已。具体各个概念的定义及公式,也是经过数学家们大量的论证和证明才得到,可看相关教材。

    好了,废话好多。我们来总结下吧:

    (1)方向导数:本质就是函数在A点无数个切线的斜率的定义。每一个切线都代表一个变化的方向。

    (2)梯度:函数在A点无数个变化方向中变化最快的那个方向。

    (3)全微分:函数从A点到B点变化的量(其实是取一个无穷小的变化的量)。

    (4)偏导:多元函数降维时候的变化,比如二元函数固定y,只让x单独变化,从而看成是关于x的一元函数的变化来研究。

    再经过一番论证加证明得到了教材上关于他们的严格的数学表达式,从此数学家们拿着这套表达式开始在微分几何的领域叱咤风云了!!

    讲到这里,我们来回顾下,我们是怎么打通理解这些知识点的,其实就是把自己想象成一位数学家,想象成自己要解决这些问题,应该怎么办,然后结合已有的知识仔细琢磨,从而得到知识的本质理解。这就是思维是如何产生的过程。如果说的官方点,其实就是探寻那些概念的几何意义。

    二、相关概念的定义及公式回顾

    为了加深理解,笔者干脆用白话把这些概念写在这里供大家结合理解。

    2.1 偏导

    上面讲了,偏导其实就是多元函数的降维下的导数。那么就非常简单了,比如二元函数关于x的偏导,只需要模仿一元函数导数的定义即可。这里把y看成常量。如下:

    \[{f_x}(x{\rm{y}}) = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{f(x + \Delta x,y) - f(x,y)}}{{\Delta x}}\]

    同理,大家可以得出f关于y的偏导。

    2.2 方向导数

    比如二元函数f在A点沿一个方向L变化,这条切线L由点A和切线L上另外一点B所确定。其中A(x1,y1),B(x2,y2)。那么怎么求f沿L的方向导数呢?经过数学家们的论证,有如下公式:

    \[\begin{array}{l}

    \frac{{\partial f}}{{\partial L}} = {f_x}\cos \alpha + {f_y}\cos \beta \\

    \cos \alpha = \frac{{\overrightarrow {A{B_x}} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \cos \beta = \frac{{\overrightarrow {A{B_y}} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|}}\\

    \overrightarrow {AB} = ({x_1} - {x_2},{y_1} - {y_2})

    \end{array}\]

    2.3 梯度

    数学家们经过证明,发现函数只要每一个变量都沿着关于这个变量的偏导所指定的方向来变化,函数的整体变化就能达到最快(变化的绝对值最大)。因此函数在A处的梯度为(以三元函数为代表):

    \[gradA = ({f_x}(A),{f_y}(A),{f_z}(A))\]

    2.4 全微分

    全微分的定义书上有严格的数学语言。这里我就用大白话说简单点。数学家们发现,其实跟一元函数差不多,多元函数从A到B的变化可以用一个线性变化来进行逼近,毕竟非线性的东西太复杂了。只要取的变化区间无穷小,总能找到一个多元的线性函数对这种变化的量进行逼近,而且线性函数的系数不受从A到B的路径选择的影响,只跟变化的量(即\[\Delta x\]或者\[\Delta y\])有关。于是把这个线性函数定义为全微分。之所以称之为全微分,是针对偏微分而言的,偏微分这里不提,有兴趣可以查查。而且数学家还证明了,系数其实就是偏导。

    那么比如二元函数的全微分就是\[dz = {z_x}dx + {z_y}dy\]。

    在此提一句,别总是纠结\[\Delta x\]和dx的区别,你可以简单理解为取到无穷小就是dx。

    2.5 切平面

    在这里再啰嗦一句。其实大家可以顺着想一想什么是切平面。前面说过A点存在无数条切线,这些切线肯定在同一个平面中,这个面就是在A点的切平面。是不是就很好理解了。

    三、再啰嗦两句

    切记,导数和微分的本质含义。

    导数,即描述函数在一点处的变化快慢的趋势。

    微分,即描述函数在一点处发生一个无穷小区间的变化的量的线性逼近。

    相信通过这篇文章,大家对偏导、方向导数、梯度、以及全微分他们之间的区别和联系理解的更加透彻了。

    哦,对了,差点把全导数给忘记了。其实全导数本质上就是一元函数的导数。他是针对复合函数而言的定义。比如z=f(x,y),x=u(t),y=v(t)。那么z关于t的导数就是全导数。所以我说本质上就是个一元函数的导数,z本质上就是个一元函数。因此全导数没什么好说的。

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  • 这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容选取上,以国内的经典...相应地,我们补充了一些类似”利用泰勒公式推导二项式定理”、“零点定...

    这个系列文章讲解高等数学的基础内容,注重学习方法的培养,对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释。在内容选取上,以国内的经典教材”同济版高等数学“为蓝本,并对具体内容作了适当取舍与拓展。例如用ε-δ语言证明函数极限,以及教材中多数定理的详细证明过程,这些内容高等数学课程通常不要求掌握,因此在这个系列文章中不作过多介绍。相应地,我们补充了一些类似”利用泰勒公式推导二项式定理”、“零点定理的妙用“等具有一定趣味性的内容,作为对传统教材内容适度拓展。

    本系列文章适合作为大一新生初学高等数学时的课堂同步辅导,也可作为高等数学期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。文章中的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题,并适当选取了一些考研数学试题。所选题目难度各异,对于一些难度较大或对理解所学知识有帮助的“经典好题”,我们会详细讲解。

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    本节我们开始介绍偏导数,这是多元函数微分中的一个基础概念,本节先介绍多元函数偏导数的定义和计算方法。与一元函数的导数类似,二元函数的偏导数是利用二元函数极限概念(即二重极限)定义的,在计算偏导数时,只须把另一个变量看作常数,采用与一元函数求导完全类似的方法即可。本节中关于偏导函数的计算属于基本技能,必须熟练掌握,它们是以后学习全微分、多元复合函数求导、隐函数求导等内容的基础。(读者可先复习一元函数求导中的基本导数公式和求导法则。)由于公式较多,故正文采用图片形式给出。已发布的“高等数学入门”系列文章可以在“历史文章”菜单中查看,或者利用公众号内的搜索功能查找

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    偏导数连续证明方法:先用定义求出该点的偏导数值c,再用求导公式求出不在该点时的偏导数fx(x,y),最后求fx(,x,y)当(x,y)趋于该点时的极限,如果limfx(x,y)=c,即偏导数连续,否则不连续。

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    1、连续偏导数的含义

    偏导数是对二元或多元函数中的某一变量求导数,将其余变量看为常数。

    而偏导数实际上是指偏导数函数,应看作关于求导变量的函数。所以,连续偏导数是指其偏导数函数在定义域连续,也即没有间断点。

    2、偏导数存在、函数可微、函数连续的关系是什么

    在一元的情况下,可导=可微->连续,可导一定连续,反之不一定。二元就不满足了在二元的情况下,偏导数存在且连续,函数可微,函数连续;偏导数不存在,函数不可微,函数不一定连续。函数可微,偏导数存在,函数连续;函数不可微,偏导数不一定存在,函数不一定连续。函数连续,偏导数不一定存在,函数不一定可微;函数不连续,偏导数不一定存在,函数不可微。

    偏导数存在并且偏导数连续==>可微==>函数连续(这里的连续是指没求导的函数)。

    偏导数存在并且偏导数连续==>可微==>偏导数存在。

    以上所有关系倒推均不成立。

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  •  偏导数  方向导数  梯度  参考资料 导数 导数反映的是函数y=f(x)在某一点处沿x轴正方向的变化率。 比如y=x2,在x=1处的导数=2。 导数是通过极限来定义的,某一点的导数=tanψ,...
  • 包括全微分、偏导数、方向导数、梯度、全导数等内容。 初学这些知识的时候,学生会明显觉得这些概念不难掌握,而且定义及计算公式也很容易记住,但总觉得差那么点东西,说又不知道从何说起。反正笔者是这种感觉。...
  • 2.可微分定义判别法 3.全微分定理2中的有限增量公式(拉格朗日中值定理) 基础概念 二重极限: 求重极限: 初步判断看上下方幂:(最好还是代一下,记一般结论太随缘了。。) 证明判断是对的:取绝对值用夹逼...
  • 导数是通过极限来定义的,某一点的导数=tanψ,只是前提是△x趋近于0,此时tanψ=tanα=该点导数,公式如下: 注:下图是高数中的一张经典图,用于区分导数微分的概念,基本看着这张图就能全部想起来。 ...
  • [微积分] 常用定义公式

    千次阅读 2014-12-30 17:23:33
    函数、极限与连续性连续性导数微分全微分与偏导数:级数与中值定理级数
  • 主要内容部分讲课内容截图,视频内容更全面9.2_1 偏导数定义及求导方法9.2_2 偏导数的几何意义与高阶偏导数9.3_1 全微分定义9.3_2 可微的必要条件与充分条件9.3_3 全微分的计算9.4_1 多元复合函数求导9.4_2 多元...
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  •  其定义如上所示,某神经元误差为代价C(总误差)关于z的偏导数,其中l为神经网络的层数,j为第几个神经元;  这里的代价函数(损失函数)使用的是平方误差,因此C等于: BP1  此公式用于求神经网络最后一层神经...
  • 最近接触了一点雅克比的东西,以前学习...首先介绍定义,雅克比矩阵是一阶偏导数以一定的方式排列成的矩阵,当其实方阵时,行列式称为雅克比行列式。设有m个n元函数组成的函数组:,称之为函数组。我们对这个函数...
  • 文章目录前言正文神经单元误差梯度下降算法在实际应用中的难点神经单元误差的定义和含义神经单元误差关于权重和偏置的偏导数(重点)关于权重的偏导数推导偏置的偏导数推导公式一般化误差反向传播法输出层的神经单元...
  • 2.3.多元微积分 2.3.1.偏导数 二阶偏导数 2.3.2.多元复合函数的求导法则 ...根据最上面偏导数定义公式,把看成一个整体,可转换为: 由于,所以有 再看右边,,分
  • 文章目录Part 3 多元微分学记忆内容1 基本概念极限连续增量偏导数连续可偏导全微分连续性质三定理2 连续、可偏导、可微的关系3 连续可偏导的性质4 极限存在的充分必要条件5 全微分形式不变性5 克莱姆法则5 求导方法...
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空空如也

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