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  • 偏导数

    2019-12-23 14:12:01
    在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析和微分几何中是很有用的。 引入 在一元函数中,导数就是函数...

    本文引用与百度百科。

    简介

    在数学中,一个多变量的函数的偏导数,就是它关于其中一个变量的导数而保持其他变量恒定(相对于全导数,在其中所有变量都允许变化)。偏导数在向量分析微分几何中是很有用的。

    引入

    一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。

    在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

    在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴平行于 y 轴两个特殊方位变动时, f(x,y) 的变化率。

    偏导数的表示符号为:

    偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

    定义

    x方向的偏导

    设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

    如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f'x(x0,y0)或函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。

    y方向的偏导

    同样,把 x 固定在 x0,让 y 有增量 △y ,如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0,y0)。

    求法

    当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

    此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

    按偏导数的定义,将多元函数关于一个自变量求偏导数时,就将其余的自变量看成常数,此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

    几何意义

    表示固定面上一点的切线斜率

    偏导数 f'x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率;偏导数 f'y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

    高阶偏导数:如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f'x(x,y) 与 f'y(x,y) 仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy。

    注意:

    f"xy与f"yx的区别在于:前者是先对 x 求偏导,然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导;后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时,求导的结果与先后次序无关。

    展开全文
  • 多元函数求偏导问题是多元函数微分学中的一项重点和难点内容。在求解这类题目时, 既要严 格区分自变量与中间变量, 而且要注意不能丢掉偏导函数作为复合函数时的偏导数
  • 高数——偏导数

    万次阅读 多人点赞 2019-10-21 11:01:51
    偏导数 在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。 在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是...

    偏导数

    在一元函数中,导数就是函数的变化率。对于二元函数研究它的“变化率”,由于自变量多了一个,情况就要复杂的多。

    在 xOy 平面内,当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时,函数 f(x,y) 的变化快慢一般说来是不同的,因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。

    在这里我们只学习函数 f(x,y) 沿着平行于 x 轴和平行于 y 轴两个特殊方位变动时, f(x,y) 的变化率。

    偏导数的表示符号为:∂。

    偏导数反映的是函数沿坐标轴正方向的变化率。

    x方向的偏导

    设有二元函数 z=f(x,y) ,点(x0,y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0有增量 △x ,相应地函数 z=f(x,y) 有增量(称为对 x 的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

    偏导数如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在,那么此极限值称为函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)处对 x 的偏导数,记作 f’x(x0,y0)或。函数 z=f(x,y) 在(x0,y0)处对 x 的偏导数,实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后,一元函数z=f(x,y0)在 x0处的导数。
    在这里插入图片描述

    y方向的偏导

    同样,把 x 固定在 x0,让 y 有增量 △y ,如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x,y) 在 (x0,y0)处对 y 的偏导数。记作f’y(x0,y0)。

    相关求法

    当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f’x(x0,y0) 与 f’y(x0,y0)都存在时,我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导,那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。

    此时,对应于域 D 的每一点 (x,y) ,必有一个对 x (对 y )的偏导数,因而在域 D 确定了一个新的二元函数,称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

    按偏导数的定义,将多元函数关于一个自变量求偏导数时,就将其余的自变量看成常数,此时他的求导方法与一元函数导数的求法是一样的。

    几何意义

    表示固定面上一点的切线斜率。

    偏导数 f’x(x0,y0) 表示固定面上一点对 x 轴的切线斜率;偏导数 f’y(x0,y0) 表示固定面上一点对 y 轴的切线斜率。

    高阶偏导数:如果二元函数 z=f(x,y) 的偏导数 f’x(x,y) 与 f’y(x,y) 仍然可导,那么这两个偏导函数的偏导数称为 z=f(x,y) 的二阶偏导数。二元函数的二阶偏导数有四个:f"xx,f"xy,f"yx,f"yy。
    注意:

    f"xy与f"yx的区别在于:前者是先对 x 求偏导,然后将所得的偏导函数再对 y 求偏导;后者是先对 y 求偏导再对 x 求偏导。当 f"xy 与 f"yx 都连续时,求导的结果与先后次序无关。

    假设ƒ是一个多元函数。例如:
    在这里插入图片描述
    因为曲面上的每一点都有无穷多条切线,描述这种函数的导数相当困难。偏导数就是选择其中一条切线,并求出它的斜率。通常,最感兴趣的是垂直于y轴(平行于xOz平面)的切线,以及垂直于x轴(平行于yOz平面)的切线。

    在这里插入图片描述
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    本文转载自:https://www.jianshu.com/p/235495b42e59

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  • 我正在尝试在Matlab中实现不同的数值方法,而不使用内置函数,例如Gradient或Del2。到目前为止这是我的代码:clear allclose allx = [-1:0.1:1];y = [-2:0.1:2];vel = @(x,y) x+exp(-((x-x(1)).^2+(y-y(1)).^2));nx = ...

    我正在尝试在Matlab中实现不同的数值方法,而不使用内置函数,例如Gradient或Del2。到目前为止这是我的代码:

    clear all

    close all

    x = [-1:0.1:1];

    y = [-2:0.1:2];

    vel = @(x,y) x+exp(-((x-x(1)).^2+(y-y(1)).^2));

    nx = length(x);

    ny = length(y);

    derivx = zeros(nx-1,ny-1)

    % The partial derivative with respect to x

    for ii = 1:nx-1

    for jj = 1:ny-1

    derivx(ii,jj) = (vel(ii+1,jj) - vel(ii,jj))./(x(jj+1,ii)-x(jj,ii));

    end

    end

    % The partial with respect to y

    derivy = zeros(ny-1,nx-1)

    for ii = 1:ny-1

    for jj = 1:nx-1

    derivy(ii,jj) = (vel(ii+1,jj) - vel(ii,jj))./(y(jj+1,ii)-y(jj,ii));

    end

    end

    此代码无法处理表示矩阵索引已超过的错误消息。

    Index in position 1 exceeds array bounds (must not exceed 1).

    Error in untitled6 (line 13)

    derivx(ii,jj) = (vel(ii+1,jj) - vel(ii,jj))./(x(jj+1,ii)-x(jj,ii));

    我如何计算二阶偏导数,并对x和y进行重复(不是混合的)?

    提前谢谢你的帮助!

    展开全文
  • 第二节 偏导数

    2018-11-21 13:54:56
    教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。 教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多元函数的偏导数。 教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的...

    教学目的:学习偏导数的定义,学会求多元函数的偏导数和多阶偏导数。

    教学重点:偏导数的定义,判断二元函数偏导数的存在性,计算二元、多元函数的偏导数。

    教学难点:判断二元函数偏导数的存在性,计算多元函数的偏导数。

    教学内容:

    一、     偏导数的定义

    在研究一元函数时,我们从研究函数的变化率引入了导数概念.对于多元函数同样需要讨论它的变化率.但多元函数的自变量不止一个,因变量与自变量的关系要比一元函数复杂得多.在这一节里,我们首先考虑多元函数关于其中一个自变量的变化率.以二元函数为例,如果只有自变量变化,而自变量 固定(即看作常量),这时它就是 的一元函数,这函数对的导数,就称为二元函数对于的偏导数,即有如下定义:

    定义 设函数 =在点的某一邻域内有定义,当固定在处有增量时,相应地函数有增量

                   ,

    如果                                                            (1)

    存在,则称此极限为函数在点处对的偏导数,记作

            ,  ,   或   

    例如,极限(1)可以表示为

                    .                             (2)

    类似地,函数在点处对的偏导数定义为

                                                                     (3)

    记作        ,  ,   或     

    如果函数在区域D内每一点处对的偏导数都存在,那么这个偏导数就是的函数,它就称为函数对自变量的偏导数,记作

    ,    ,   或       

    类似地,可以定义函数对自变量的偏导数,记作

    ,   ,     或      

    由偏导数的概念可知,在点处对处对的偏导数显然就是偏导函数 在点处的函数值;就是偏导函数在点 处的函数值.就象一元函数的导函数一样,以后在不至于混淆的地方也把偏导函数简称为偏导数.

    至于实际求的偏导数,并不需要用新的方法,因为这里只有一个自变量在变动,另一个自变量是看作固定的,所以仍就是一元函数的微分法问题.求 时,只要把暂时看作常量而对求导数;求 时,则只要把 暂时看作常量而对求导数.

    偏导数的概念还可以推广到二元以上的函数.例如三元函数 =() 在点() 处对的偏导数定义为

    其中 ()是函数 的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.

    例8-9 求 在点(1, 2)处的偏导数.

    解  把看作常量,得

    把 看作常量,得

    将 (1, 2)代入上面的结果,就得

    例8-10 求的偏导数.

    解   

    例8-11  设,求证:

                     +

    证  因为    ,  ,

    所以  +=+

    例8-12  求 的偏导数.

    解  把 都看作常量,得

                  ==

    由于所给函数关于自变量的对称性,所以

    = , =.

    二、     偏导数的几何意义

    二元函数在点的两个偏导数有明显的几何意义:设为曲面上的一点,过作平面,截此曲面得一曲线,此曲线在平面上的方程为,则导数,  即偏导数,就是这曲线在点处的切线轴的斜率(见图8-6).同样,偏导数的几何意义是曲面被平面所截得的曲线在点处的切线轴的斜率.

    我们已经知道,如果一元函数在某点具有导数,则它在该点必定连续.但对于多元函数来说,即使各偏导数在某点都存在,也不能保证函数在该点连续.这是因为各偏导数存在只能保证点沿着平行于坐标轴的方向趋于时,函数值趋于,但不能保证点按任何方式趋于时,函数值都趋于 .例如,函数

    在点(0,0)对的偏导数为

    同样有

    但是我们在第一节中已经知道这函数在点(0,0)并不连续.

    三、       高阶偏导数

    设函数在区域内具有偏导数

       ,   ,

    那么在D内 都是的函数.如果这两个函数的偏导数也存在,则称它们是函数的二阶偏导数.按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数:

            = ,        =,

            = ,   =

    其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及阶偏导数.

    二阶及阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.

    例8-13  设,求 及 .

    解      = ,         = 

         =  ,                           = 

          =  ,        = 

          = 6

    我们看到上例中两个二阶混合偏导数相等,即 这不是偶然的.事实上,我们有下述定理.

    定理 如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

    换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.

    对于二元以上的函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.

    例8-14     验证函数 满足方程

                                          +=0 .

       证  因为,

    所以          =,   =,

    ==

    ==

    因此           

    +=+=0

     

    定理  如果函数的两个二阶混合偏导数 及 在区域D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.

    换句话说,二阶混合偏导数在连续的条件下与求导的次序无关.这定理的证明从略.

    对于二元以上的函数,我们也可以类似地定义高阶偏导数.而且高阶混合偏导数在偏导数连续的条件下也与求导的次序无关.

    例8-15    验证函数 满足方程

                                          +=0 .

       证  因为,

    所以          =,   =,

                          ==,

                          ==

    因此            +=+=0.

    小结:本节在一元函数微分学的基础上,讨论多元函数(以二元函数为重点)偏导数的定义及存在条件和求法,这是多元函数微分学的基础.

    作业:        

    1.求下列函数的偏导数:

    (1);     (2)

    (3);        (4)

    (5);               (6)

    (7);                       (8).

    展开全文
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