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  • 多元函数可微则偏导数一定存在,可微偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行。若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,...

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    函数可微则这个函数一定32313133353236313431303231363533e58685e5aeb931333433643066连续,但连续不一定可微.多元函数可微则偏导数一定存在,可微比偏导数存在要求强而偏导数连续可以退出可微,但反推不行。

    若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。必要条件:若函数在某点可微,则函数在该点必连续,该函数在该点对x和y的偏导数必存在。

    设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:

    △z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零.则称f在P0点可微。

    可微的充要条件是曲面z=f(x,y)在点P(x0,y0,f(x0,y0))存在不平行于z轴的切平面Π的充要条件是函数f在点P0(x0,y0)可微,这个切面的方程应为Z-z=A(X-x0)+B(Y-y0)。

    扩展资料:

    可微函数的图像在定义域内的每一点上必存在非垂直切线。因此,可微函数的图像是相对光滑的,没有间断点、尖点或任何有垂直切线的点。

    一般来说,若X是函数ƒ定义域上的一点,且ƒ′(X)有定义,则称ƒ在X点可微。这就是说ƒ的图像在(X,ƒ(X))点有非垂直切线,且该点不是间断点、尖点。

    实践中运用的函数大多在所有点可微,或几乎处处可微。但斯特凡·巴拿赫声称可微函数在所有函数构成的集合中却是少数。这表示可微函数在连续函数中不具代表性。

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  • 为什么偏导数连续,函数就可微

    万次阅读 多人点赞 2018-10-23 17:50:27
    如果函数 的偏导数 、 在点 连续,那么函数在该点可微。 下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。 先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后...

    多变量微积分里面有这么一个结论:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 连续,那么函数在该点可微。

    下面来解释这个结论,并且减弱这个结论的条件。

    先简单阐述下“连续”、“偏导数”、“可微”的意义,后面要用到。如果非常熟悉了,可以直接跳到最后一节“偏导数连续推出可微”。

    1 连续的含义

    通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的:

    1.1 没有缝隙

    我们对连续的函数曲线的直观感受是没有缝隙:

    如果把曲线看作一条道路的话,那么不管是蚂蚁、人还是自行车,都有能力从左边走到右边:

    而不连续的曲线会有断裂:

    蚂蚁通过能力太差,就没有办法跨过裂缝:

    1.2 另一层含义

    从代数上我们可以看到另外一层含义。假设f(x_0) 附近某点为f(x_0+\Delta x) ,根据连续的性质有:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)

    利用极限的性质可以得到:

    \lim_{\Delta x\to 0}f(x_0+\Delta x)=f(x_0)\implies f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    因此上式表明,f(x_0) 与附近f(x_0+\Delta x) 的值相差非常小,这层含义也是没有“缝隙”的另外一种阐述。

    2 可微的含义

    2.1 单变量函数的微分

    一元的情况下,在(x_0,f(x_0)) 点可微指的是,在(x_0,f(x_0)) 点附近可以用直线来近似曲线,这根直线就是切线:

    距离(x_0,f(x_0)) 越近,这种近似越好,体现为切线和曲线之间的相差越来越小:

    \Delta x=x-x_0 ,那么x_0 附近曲线与直线的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0)+f'(x_0)\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    2.2 多变量函数的微分

    多元的情况下,就要复杂一些。关于下面内容,想了解更详细的可以参看:

    2.2.1 偏导数

    首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面

    平面y=t,t\in\mathbb{R} 是一系列平面,它们与曲面交于一条条曲线:

    很显然,点在这些曲线上运动,y 是不会变化的,只有x 会变化:

    偏导数\frac{\partial f}{\partial x} 所求的也就是在这些曲线上运动的点的速度(变化率),对于(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,知道它的偏导数就可以得到这条曲线在此点的线性近似,也就是这条曲线的切线,或者称为偏微分:

    这种近似关系可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta x)}_{代表非常小的值}

    同样的道理,偏导数\frac{\partial f}{\partial y} 描述的是只有y 值变化的曲线上的点的速度,假设这样的曲线为f_y(x,y) ,其切线与之的近似关系可以表示为::

    \underbrace{f(x_0,y_0+\Delta y)}_{曲线}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{切线}\quad+\quad\underbrace{o(\Delta y)}_{代表非常小的值}

    2.2.2 微分

    多变量的函数f(x,y) 在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点的微分,指的是在(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点找到一个平面来近似曲面,这就是切平面:

    切平面与曲面的近似可以表示为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)}_{曲面}\quad=\quad\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y}_{平面}\quad+\quad\underbrace{o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}_{代表非常小的值}

    上面出现了o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}) ,这是因为此点的邻域是一个平面(下面用圆来表示这个平面,实际上这个圆可以任意大小):

    此圆的半径可以表示为:

    r=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}

    2.3 微分与偏微分的关系

    很显然,过(x_0,y_0,f(x_0,y_0)) 点,并不是只有x,y 方向的曲线(两个方向的曲线的切线就是偏微分):

    还有无数别的方向的曲线(随便画了两条):

    这些曲线的切线(假如有的话)要在同一个平面,这个平面就是切平面,才叫做可微(详情参考之前给出的参考文章)。

    而偏微分只是无数切线中的两条,所以:

    偏导数存在\mathrel{\rlap{\hskip .5em/}}\Longrightarrow 可微

    比如f(x,y)= \frac{x y}{\sqrt{x^2+y^2}} 就是偏导数存在,但是不可微。它的图像是:

    (0,0,0) 点,f(x,y) 与x=0,y=0 的交线是下面红色的直线,分别与x 轴和y 轴重叠:

    因此,在(0,0,0) 点的偏微分就是x 轴和y 轴。但是f(x,y) 与y=x 的交线是:

    (0,0,0) 点形成了一个尖点:

    很显然此曲线的切线不存在(此曲线的左右切线由方向导数决定)。因此f(x,y) 在(0,0,0) 点不可微(具体细节也请参看参考文章)。

    3 偏导数连续推出可微

    前面说了很多,就是为了得到下面这个表格:

    \begin{array}{c|c}    \hline    \quad 连续 \quad&\quad f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+o(\Delta x)\quad\\    \hline    \quad 偏导数 \quad&\quad f(x_0+\Delta x,y_0)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)\quad\\    \quad \quad&\quad f(x_0,y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\Delta y)\quad\\    \hline    \quad 多元可微 \quad&\quad f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\quad\\    \hline\end{array}

    下面讲解涉及的三维图像太复杂,不容易看清,所以把三维图像画到二维中,应该不会影响理解。

    先给出A 、B 、C 、D 四个点,把它们的三维坐标也标出来:

    A 点的偏导数连续,分别为:

    \frac{\partial f}{\partial x}\quad \frac{\partial f}{\partial y}

    A 出发,运动到B ,很显然只有x 方向有变化:

    因此B 点的值为:

    \underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}=\underbrace{f(x_0,y_0)}_{A点}+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)

    继续往上走到C 点:

    因为偏导数连续,所以附近的偏导数也是存在的,假设B 的偏导数为\frac{\partial f}{\partial y_b} ,那么可得:

    \begin{aligned}\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)}_{C点}    &=\underbrace{f(x_0+\Delta x,y_0)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)\\    \\    &=\underbrace{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+o(\Delta x)}_{B点}+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta y)    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y_b}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\end{aligned}

    这里就是关键了,因为偏导数连续,所以A 、B 偏导数差不多,有:

    \underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_b}}_{B点偏导}=\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y}}_{A点偏导}+o(\Delta x)

    因此上式可以改写为:

    \begin{aligned}f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\underbrace{\frac{\partial f}{\partial y_1}}_{\frac{\partial f}{\partial y}+o(\Delta x)}\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+\underbrace{o(\Delta x)\Delta y+o(\Delta x)+o(\Delta y)}_{等价于o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})}\\    \\    &=f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial f}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\\\end{aligned}

    至此,得到了A 点可微的结论(上面的等价性没有证明,在一些《数学分析》书籍中,可微采用的是类似的定义)。

    如果仔细看上面的证明,会发现只用到了\frac{\partial f}{\partial y} 连续,因此条件可以减弱一些:

    如果函数z=f(x,y) 的偏导数\frac{\partial z}{\partial x} 、\frac{\partial z}{\partial y} 在点(x_0,y_0) 及其邻域存在,偏导数其中之一在邻域内连续,那么函数在该点可微。

    最新版本可以参见: 为什么偏导数连续,函数就可微?

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  • 方向导数,可微,偏导存在的基本关

    千次阅读 2021-01-14 15:31:41
    f(x,y)在(0,0)偏导数存在说明沿x,y轴的正,负方向导数存在.那么(x,y)在任意点处偏导数存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?那么偏导数不存在和任意方向的方向导数存在是什么关系?那么方向导数和可的关系又是...

    方向导数

    ,

    可微

    ,

    偏导存在的基本关系

    !!

    f(x,y)

    (0,0)

    偏导数存在说明沿

    x,y

    轴的正

    ,

    负方向导数存在

    .

    那么

    (x,y)

    在任意点处偏导数存在和任意方向的方向导数存在是什么关系

    ?

    那么偏导数不存在和任意方向的方向导数存在是什么关系

    ?

    那么方向导数和可微的关系又是什么

    ?

    2

    李的新东方

    2004

    考研

    flash

    29-2

    节说

    f(x,y)

    在某点可微

    ===

    f(x,y)

    在某点沿任何方向存在方向导数

    ==

    f(x,y)

    在某点存在偏导数

    但是

    660

    (

    2006

    版)题

    210

    407

    函数

    z=(x^2+y^2)^(1/2)

    在点(

    0

    0

    )

    这个函数在

    (0,0)

    偏导不存在,

    但是在这点处任意方向的方向导数存在(答案这么说的)

    那么跟

    f(x,y)

    在某点沿任何方向存在方向导数

    ==

    f(x,y)

    在某点存在偏导数

    是否矛盾,哪个对?

    2.

    以二元函数为例

    ,f(x,y)

    (x,y)

    处关于

    x(

    y)

    可偏导的充要条件是

    :f(x,y)

    沿着

    x

    轴的正方向和负方向的方向导数都存在且为相反数

    .

    1.

    这只是我个人的想法哦

    ,

    仅供参考

    :

    "

    沿任何方向的方向导数存在

    "

    的条件虽然很强

    ,

    但并不能保证沿着某个

    方向及其相反方向的方向导数互为相反数

    ,

    因此不能保证偏导数存在

    ;

    样偏导数存在也不能保证在任何方向上方向导数都存在

    .

    1.

    M0

    点沿任何方向的方向导数存在

    不能推出

    M0

    点偏导数存在

    2.M0

    点偏导数存在

    不能推出在

    M0

    点沿任何方向的方向导数存在

    3.

    M0

    点沿坐标轴方向的方向导数存在

    不能推出

    M0

    点偏导数存在

    4.M0

    点偏导数存在

    一定有在

    M0

    点沿坐标轴方向的方向导数存在

    1

    3

    的反例

    f(x,y)=|x|

    展开全文
  • 《数学分析,欧阳光中版》第 159页说:由一元函数可导必定连续的结论可知,若 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 关于 $x$(或 $y$)可导,则 $f(x,y)$ 在点 $(x,y)$ 关于 $x$(或 $y$)连续.不过要注意,此时并不能推出 $f(x,y)$ 关于两...
  • 3 2.3 二元函数可微偏导数存在之间的关系……………………………………………… 3 2.4 二元函数可微与偏导数连续之间的关系……………………………………………… 4 二元函数连续、 偏导数、 可微的关系图……...
  • 1、如果函数z=f(x, y) 在(x, y)...这类问题一般是证明在某点处偏导数存在,注意这时切记不能使用求导公式,以一元函数为例,这是因为用求导公式计算出来的导函数f'(x)往往含有间断点,在间断点x0.对于z=f(x,y) 求...
  • 3 2.3 二元函数可微偏导数存在之间的关系 ………………………………………………3 2.4 二元函数可微与偏导数连续之间的关系 ………………………………………………4 二元函数连续、偏导数、可微的关系 图 …………...
  • 讨论多元函数连续、偏导数存在可微之间的关系.doc
  • 二元函数的连续偏导数可微之间的关系 目 录 摘要……………………………………………………………………………………………1 关键词…………………………………………………………………………………………1 ...
  • 注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。 为什么函数 在原点导...
  • 多元函数中:连续在一元函数被欺负,变成了偏导连续,然后它深知可微的强大,直接认了可微做它的野爹,可微也没有辜负它的期望,不光帮它恢复成了函数连续,还帮它找到了它弟弟可偏导存在。 ...
  • 可微时,偏导数并不一定导,即: { 偏 导 数 导 ⇒ 连 续 连 续 ⇏ 偏 导 数 导 \begin{cases} 偏导数可导\Rightarrow连续\\ 连续\nRightarrow偏导数可导 \end{cases} {偏导数可导⇒连续连续⇏偏导数可导...
  • 注:多元函数的偏导数在一点连续是指, 偏导数在该点的某个邻域内存在,于是偏导数在这个邻域内有定义,而且这个偏导函数在该点连续。理解这一点,才能理解后面的充分条件。
  • 请参考:多元函数中可微导的直观区别是什么、全微分 对于一元函数,可微和可导是一回事 对于多元函数来讲,可微指的是全...所以偏导数存在不一定存在全微分,但是反过来,如果多元函数可微,就一定导。 ...
  • 连续、偏导数可微

    2020-10-03 06:36:56
    1 连续的含义 通俗来说,用笔作画,不提笔画出来的曲线就是连续的: ...首先要对偏导数有所了解。多变量的函数f(x,y) 可以是三维空间中的曲面 https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/83310653 ...
  • 对于二元函数而言:导是指的是两个偏导数存在,偏导数是把某一自变量看作一个常数时的导数。偏导数的存在只能保证与坐标轴平行的方向上函数的极限值等于函数值(仅仅是坐标轴平行的方向),但是连续是指函数以任何...
  •  即设y=f(x)是一个单变量函数, 如果y在x=x0处存在导数y′=f′(x),则称y在x=x[0]处可导。  如果一个函数在x0处可导,那么它一定在x0处是连续函数。 函数可导定义: (1)设f(x)在x0及其附近有定义,则当a趋向于0时...
  • 结论(一元函数范畴内) 导与连续的关系:导必连续,连续不一定导; 可微与连续的关系:可微导...很显然函数连续,导,可微偏导数连续的关系可以从图中看出 函数连续不一定的函数可微(例子:y=|x|...
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  • 原标题:如何理解多元函数可微可偏导的关系?谈到多元函数可微可偏导时,相信不少人头皮有点发麻。一元函数中,可微导是等价的,但是在多元函数中,可微可偏导之间的关系就没那么简单了,这是为什么呢?...
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  • 04 积分 - 偏导数

    2019-09-06 16:59:55
    对于二元函数z = f(x,y) 如果只有自变量x 变化,而自变量y固定 这时它就是x的一元函数,这函数对x的导数,就称为二元函数z = f(x,y)对于x的偏导数。 对于二元函数z = f(x,y) 如果只有自变量x 变化,而自变量y固定...
  • 对于任给的正数 ,总存在相应的正数 ,只要 ,就有 则称 关于集合 在点 连续。简称 在点 处连续。注:二元函数连续性的定义与一元函数连续性的定义有所不同,在一元函数的连续性的定义中,要求函数 必须在 的某一...
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  • 导数与偏导数的推导过程

    千次阅读 2019-09-03 08:21:39
    1、导数 其实求导数是为了方便我们后来求极值,导数的几何意义指该函数曲线在这一点上的切线...如果当△x→ 时,△y/△x 之比的极限存在 则成为 y = f(x)在x₀处可导,并且该极限值称为函数f(x)在点x₀处的...

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