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  • 对二元函数z=f(x,y),称它在点(x,y)可导指它在点(x,y)处两个一阶偏导数都存在,则二元函数的连续,可导及可微的关系多元函数的可导既不能推得连续,也不能推得可微。题型一:讨论二元函数的可微性讨论函数的可微...

    对二元函数z=f(x,y),称它在点(x,y)可导是指它在点(x,y)处两个一阶偏导数都存在,则二元函数的连续,可导及可微的关系是

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    多元函数的可导既不能推得连续,也不能推得可微。

    题型一:讨论二元函数的可微性

    讨论函数的可微性常用以下三种方法:

    (1)利用可微的定义

    (2)利用可微的必要条件:可微函数必可导,换言之,不可导的函数一定不可微;

    (3)利用可微的充分条件:有连续的一阶偏导数的函数一定可微

    以上三种办法中,方法一利用可微的定义判断可微性最常用,此时分以下两步进行:

    1. 考察f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数是否都存在,如果f(x,y)在(x0,y0)处的偏导数中至少有一个不存在,则函数在(x0,y0)处不可微;如果都存在,则进行以下第二步;
    2. 考察如下极限是否成立?
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    若上述极限成立,则函数在(x0,y0)处可微,否则就不可微。

    例1:

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    分析:利用定义证明。

    证明:

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    总结:本例给出一个两个一阶偏导数都不连续但函数可微的例子。

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  • 考研数学中,不论一元函数,还是多元函数,需要掌握判断函数连续、可可微的关系的方法。今天就给大家带来有关函数函数连续、可可微的关系判断的解题绝招。对于一元函数而言,函数连续、可可微的关系...

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    考研数学中,不论是一元函数,还是多元函数,都需要掌握判断函数连续、可导、可微的关系的方法。今天就给大家带来有关函数函数连续、可导、可微的关系判断的解题绝招。e679220ab7e93b5afa86c07eeb81071f.gif对于一元函数而言,函数连续、可导、可微的关系如下图所示。

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    一元函数的关系判断简单易懂,相信大家都没有大的问题,接下来有关多元函数的内容才是硬骨头,我会在容易弄错的地方给大家举例说明,大家结合例子来记忆。

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    多元函数连续、可导、可微、方向导数的定义在书上很容易找到,我就不再赘述了。我在这里就用通俗易懂的语言给大家说一说连续、可导、可微、方向导数到底是什么样子的,便于大家理解。

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    在一点连续:

    可以想象成一个不漏水的曲面容器,但是它可能不是光滑的。

    在一点可导:

    想象一个曲面,这个曲面沿着X方向、Y方向分别切一刀,切出来的两条曲线在指定点是光滑的。但是这个曲面可能是漏水的。

    在一点可微:

    可以想象成一个不漏水的沿任意方向都光滑的曲面容器。

    在一点的指定方向的方向导数存在:

    一个曲面,从指定点处处,沿着指定方向的射线切一刀,切出来的射曲线在指定点处是光滑的,但是沿着射线的反方向是未知的。一定注意是射线!

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    有了以上的理解,就可以很容易的先把多元函数连续、可导、可微的关系判断出来,因为:①不漏水的光滑曲面容器一定不漏水,所以可微一定连续。不漏水的光滑曲面容器一定沿X方向、Y方向光滑,所以可微一定可导。

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    接下来再举例说明任意方向的方向导数与可微的关系:想象一个圆锥面,在尖点处,沿任意射线方向,射线导数都存在,但是很明显,在尖点处不可微。故任意方向的方向导数存在,不一定可微。

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    最后给大家列图展实,一目了然。注意,偏导数连续与可微的关系大家只需要记住结论就好,不用追究来龙去脉。

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    最后,大家一定要把这副图烂熟于心,不仅极大的提升你做此类题的正确率,而且有利于加深对于多元函数的理解。6235325cc160547db9325ae744c510e7.gif
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  • 导数导数(英语:Derivative)是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近[1]。定义:设有定义域和取值在实数...

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    三年没看高数了,关于导数的一些概念有点记不清了,今天又重新复习。

    导数

    导数(英语:Derivative)是微积分学中重要的基础概念。一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。导数的本质是通过极限的概念对函数进行局部的线性逼近[1]。

    定义:设有定义域和取值都在实数域中的函数

    。若
    在点
    的某个邻域内有定义,则当自变量
    处取得增量
    (点
    仍在该邻域内)时,相应地
    取得增量
    ;如果
    之比当
    时的极限存在,则称函数
    在点
    处可导,并称这个极限为函数
    在点
    处的导数,记为

    注意:导数虽然有正有负,但导数是一个标量!

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    向量值函数

    当函数

    的取值不再是实数,而是一般的
    中的向量时,仍然可能对其求导。这时的函数值是:
    。每个
    都是一个实数值的函数。因此,对
    求导实际上是对每个分量函数
    求导:

    的一组基,那么对函数:
    , 其导函数为:

    偏导数

    如果有函数

    其自变量不是单个实数,而是多于一个元素,例如:
    , 这时可以把其中一个元素(比如
    )看做参数,那么
    可以看做是关于另一个元素的参数函数:
    . 也就是说,对于某个确定的
    ,函数
    就是一个关于
    的函数。在
    固定的情况下,可以计算这个函数
    关于
    的导数:
    . 这个表达式对于所有的
    都对。这种导数称为偏导数,一般记作:
    .

    一般地,一个多元函数

    在点
    处对
    的偏导数定义为:

    注意:偏导数的实质仍然是一元函数的导数。

    梯度

    对于一个多元函数:

    ,即一个从
    映射到
    的标量函数
    , 在这种情况下,
    关于每一个变量
    都有偏导数
    , 在点
    ,这些偏导数定义了一个向量:

    这个向量称为

    在点
    的梯度。 如果
    在定义域中的每一个点都是可微的,那么梯度便是一个向量值函数
    ,它把点
    映射到向量
    。这样,梯度便决定了一个向量场。

    注意:梯度是一个向量!!!

    方向导数

    方向导数是比偏导数更加广泛的概念。导数的本质是函数值增量与自变量增量之比的极限。在多元函数

    中,可以选定一个确定的方向(以这个方向上的单位向量
    表示),并考虑函数在这个方向上的增量:
    。这个增量为关于
    的一元函数。函数
    的方向导数定义为这个增量与
    的比值在
    趋于0时的极限,记为

    中,如果将向量
    选为正规基
    之中的一个,如
    ,那么方向导数就是关于
    的偏导数。

    如果函数f在点

    处可微,则沿著任意非零向量
    的方向导数都存在。则有:

    注意:方向导数表示了函数从某点开始在某个方向上的变化率。方向导数虽然带有“方向”,但它仍然是一个标量!!!

    [1]导数

    [2]梯度

    [3]方向导数

    [4]偏导数

    [5]导数、方向导数与梯度

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  • 1.全微分的定义设函数在点的某邻域内有定义.若函数在点处的全增量可表示为其中仅与点有关,而与无关的常数,.则称函数在点处可微分;...可微的充分条件(a)若函数在点的某邻域内偏导数都存在,且、在点处连续...

    1.全微分的定义

    设函数在点的某邻域内有定义.若函数在点处的全增量可表示为其中是仅与点有关,而与无关的常数,.则称函数在点处可微分;并称线性函数为函数在点处的全微分,记作 ,即对于二元函数,规定自变量的增量为自变量的微分:于是

    2.可微的必要条件

    若函数在点可微,则

    (a)函数在点处连续;

    (b)函数在点处的偏导数都存在,且有

    3.可微的充分条件

    (a)若函数在点的某邻域内偏导数都存在,且在点处连续,则函数在点处可微.

    (b)若在点处的两个偏导数都存在,在点处满足

    处可微,且

    可微的充分条件可以弱化为:两个偏导数之一连续,函数就可微.

    4.一阶全微分形式的不变性

    可微,也可微,则函数与复合函数的微分相等.即不论作为的自变量; 还是作为复合函数的中间变量,均有这一性质称为「一阶全微分形式的不变性」.利用一阶全微分形式不变性,可以证明不论是自变量还是中间变量,下列全微分的四则运算法则都成立:

    可微分,则亦可微分,且有

    1. ;
    2. ;
    我们常常是在不知不觉中就用到了一阶全微分形式不变性.

    5.方向导数

    如果函数在点可微分那么函数在该点沿任一方向的方向导数都存在,且有

    其中是方向的方向余弦.

    对于三元函数来说,它在空间一点沿的方向导数为如果函数在点可微分,则函数在该点沿着方向的方向导数为

    其中是方向的方向余弦.

    6.二元函数连续、可微、偏导数存在的一般性的关系

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    资料来源:北洋数学研究社·学研部

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空空如也

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偏导数都存在是可微的