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  • 常微分方程和偏微分方程

    千次阅读 2018-12-28 13:31:03
    常微分方程 未知函数是只有一个自变量的方程 偏微分方程 拉普拉斯方程(调和方程) 拉普拉斯方程是一个二阶的偏微分方程。满足拉普拉斯方程的解被称为调和函数。该方恒存在于电磁学,热力学,表面张力,引力学等...

    常微分方程

    未知函数是只有一个自变量的方程
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    落体运动
    是一个一阶的常微分方程
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    阻尼振动
    是一个二阶的常微分方程
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    偏微分方程

    • 拉普拉斯方程(调和方程)
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      拉普拉斯方程是一个二阶的偏微分方程。满足拉普拉斯方程的解被称为调和函数。该方恒存在于电磁学,热力学,表面张力,引力学等多个领域。
      如果等号右边不是0,则该方程称为柏松方程
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      引力场:
      在这里插入图片描述
      V为引力势。ρ为该点的密度。
      静电场:
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      ρ为自由电荷的密度。

    • 声场的波动方程

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    • 电磁场的波动方程
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  • 常微分方程ODEs和偏微分方程PDEs的MATLAB数值解法-常微分方程和偏微分方程的MATLAB数值解法.rar [希望大家用的着 常微分方程的: Figure12.jpg 常微分方程的MATLAB数值解法 ...
  • 常微分方程和偏微分方程的区别

    千次阅读 2019-12-30 10:11:45
    凡含有参数,未知函数未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的...

           凡含有参数,未知函数和未知函数导数 (或微分) 的方程,称为微分方程,有时简称为方程,未知函数是一元函数的微分方程称作常微分方程,未知数是多元函数的微分方程称作偏微分方程.微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数,称为微分方程的阶.定义式如下: F(x, y, y¢, ., y(n)) = 0

           如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程;如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数,或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程就是偏微分方程.

           常微分方程,描述的是一个量随一个自变量变化的规律,如位置随时间的变化规律.偏微分方程组,描述的是一个量随着2个或更多自变量变化的规律.比如温度随着时间位置的变化.这样就需要4个(分别是时间,和三个空间维度)

           常微分方程是求带有导数的方程,比如说y'+4y-2=0这样子的,偏微分方程是解决带有偏导数的方程.常微分方程比较简单,只是研究带有导数的方程、方程组之类的通解、特解,现实生活中的很多问题与常微分方程有关系,所以研究起来很有必要.但是对于很多高尖端的问题都是偏微分方程,比如很多著名的物理方程:热传导方程、拉普拉斯方程等等,这就是的偏微分方程很难,它不仅仅是研究方程解的一门学科,因为有些方程很难,根本就求不出解,或者常规方法求解十分困难,所以偏微分方程还着重研究解的分布、状态等等.  

            定义2 任何代入微分方程后使其成为恒等式的函数,都叫做该方程的解.若微分方程的解中含有任意常数的个数与方程的阶数相同,且任意常数之间不能合并,则称此解为该方程的通解(或一般解).当通解中的各任意常数都取特定值时所得到的解,称为方程的特解.

      一般地说,n 阶微分方程的解含有 n个任意常数.也就是说,微分方程的解中含有任意常数的个数和方程的阶数相同,这种解叫做微分方程的通解.通解构成一个函数族.

      如果根据实际问题要求出其中满足某种指定条件的解来,那么求这种解的问题叫做定解问题,对于一个常微分方程的满足定解条件的解叫做特解.对于高阶微分方程可以引入新的未知函数,把它化为多个一阶微分方程组.


    常微分方程
           常微分方程的概念、解法、和其它理论很多,比如,方程和方程组的种类及解法、解的存在性和唯一性、奇解、定性理论等等.下面就方程解的有关几点简述一下,以了解常微分方程的特点.   

           求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标,一旦求出通解的表达式,就容易从中得到问题所需要的特解.也可以由通解的表达式,了解对某些参数的依赖情况,便于参数取值适宜,使它对应的解具有所需要的性能,还有助于进行关于解的其他研究.

      后来的发展表明,能够求出通解的情况不多,在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解.当然,通解是有助于研究解的属性的,但是人们已把研究重点转移到定解问题上来.

      一个常微分方程是不是有特解呢?如果有,又有几个呢?这是微分方程论中一个基本的问题,数学家把它归纳成基本定理,叫做存在和唯一性定理.因为如果没有解,而我们要去求解,那是没有意义的;如果有解而又不是唯一的,那又不好确定.因此,存在和唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的.

      大部分的常微分方程求不出精确的解,而只能得到近似解.当然,这个近似解的精确程度是比较高的.另外还应该指出,用来描述物理过程的微分方程,以及由试验测定的初始条件也是近似的,这种近似之间的影响和变化还必须在理论上加以解决.

    常微分方程实例
      下下列方程都是微分方程 (其中 y, v, q 均为未知函数).

      (1) y'= kx, k 为常数;   (2) ( y - 2xy) dx + x2 dy = 0;   (3) mv(t) = mg - kv(t);
     

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  • 原出处:公众号:数学经纬网原作者:星火原链接:网页链接​mp.weixin.qq.com方程对于学过中学数学的人来说,是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程,比如,有线性方程、二次...微分方程的路径在实际工作...

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    原出处:公众号:数学经纬网

    原作者:星火

    原链接:

    网页链接mp.weixin.qq.com
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    方程对于学过中学数学的人来说,是比较熟悉的。在初等数学中就有各种各样的方程,比如,有线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是把要研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来,列出包含某个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式,然后去求方程的解。

    微分方程的路径

    在实际工作中,常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题。比如:

    物质在一定条件下运动变化,要寻求它的运动、变化的规律;

    某个物体在重力作用下自由下落,要寻求下落距离随时间变化的规律;

    火箭在发动机推动下在空间飞行,要寻求它飞行的轨道(在空间中的一条曲线),等等。

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    物质运动和它的变化规律在教学上是用函数关系来描述的,因此,这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知的函数。也就是说,凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值,而是要求一个或者几个未知的函数。

    解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似,也是要把所研究的问题中巳知函数和未知函数之间的关系找出来,从列出包含未知函数的一个或者几个方程中去求得未知函数的表达式。但是无论在方程的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面,都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。

    在数学上,解这类方程,还要用到微分和导数的知识,因此,凡是表示未知函数和未知函数的导教以及自变量之间的关系的方程,叫做微分方程。

    微分方程差不多是和微积分同时先后产生的,苏格兰数学家耐普尔(1550-1617)创立对数的时候,就已求出微分方程d(a-y)/dt=y的近似解了。牛顿也在建立微积分学的同时,对最简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅科布。贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛(1713-1765)、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。

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    牛顿研究天体力学和机械力学的时候,利用了微分方程这个工具。正是他研究天体运动的微分方程,从理论上得到行星运动规律。后米,法国天文学家勒维烈(1811-1877)和英国天文学家亚当斯(1819-1892)使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家愈益深信微分方程在认识自然改造自然方面的巨大力量。

    微分方程的理论逐步完善的时候,利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律,只要列出相应的微分方程,有了解(数值地或者定性地)方程的方法,就可以把这种或那种运动应该如何处置提供了办法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支之一。

    什么是偏微分方程?

    前面已经讲述了什么是微分方程,大家也已经知道,如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量,这个方程叫做常微分方程,也简称微分方程。这里要介绍的是,如果在一个微分方程中出现有多元函数的偏导数;或者说如果未知函数和几个变量有关,而且方程中出现未知函数对几个变量的导数,那么这种微分方程叫做什么呢?这就叫做偏微分方程

    在科学技术日新月异地发展的过程中,人们研究的许多问题用一个变量的函数来描述已经显得不够了,不少问题要用多个变量的函数来描述。比如,从物理角度来说,物理量有不同的性质,温度、密度等是用数值来描述的叫做纯量;速度、电场的引力等,不仅在数值上有所不同,而且还具有方向,这些量叫做向量;物体在一点的张力状态的描述出的量叫做张量,等等。这些最不仅和时间t有关系,而且和空间坐标x、y、z也有联系,这就要用多个变量的的函数来表示。

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    应该指出,对于所有可能的物理现象用某些多个变量的函数来表示,只能是理想化的,如介质的密度,实际上“在一点”的密度是不存在的。而我们把在一点的密度看作是物质的质量和体积的比当体积无限缩小的时候的极限,这就是理想化的。介质的温度也是这样。这样就产生了研究某些物理现象的理想的多个变量的函数方程,这种方程就是偏微分方程。

    偏微分方程这门学科产生于十八世纪,欧拉在他的著作中最早提出了弦振动的二阶方程,随后不久,法国数学家达朗贝尔也在他的著作《论动力学》中提出了特殊的偏微分方程。这些著作当时没有引起多大注意。1746年,达朗贝尔在他的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》中,提议证明无穷多种和正弦曲线不同的曲线是振动的模式。这样就由对弦振动的研究开创了偏微分方程这门学科。

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    后来,和欧拉同时代的瑞士数学家丹尼尔·贝努利(1700-1782)也研究了数学物理方面的问题,提出了解弹性系振动问题的一般方法,对偏微分方程的发展起了比较大的影响。拉格朗日也讨论了一阶偏微分方程,丰富了这门学科的内容。

    偏微分方程得到迅速发展是在十九世纪,那时候,数学物理问题的研究繁荣起来,许多数学家都对数学物理问题的解决作出了贡献。这里应该提一提法国数学家傅立叶(1768一1830),他年轻的时候就是一个出色的数学学者,他在从事热流动的研究中,写出了《热的解析理论》,在文章中他提出了三维空间的热方程,也就是一种偏微分方程。他的研究对偏微分方程的发展的影响是很大的。

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  • 题主想问的是常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)的数值方法区别呢还是微分方程这个领域微分方程数值解领域的区别呢?按照前面@赵永峰 的回答,我也按照前者理解吧。毕竟后者的一些区别是显而易见的。先说一点共性。...

    题主想问的是常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)的数值方法区别呢还是微分方程这个领域和微分方程数值解领域的区别呢?按照前面@赵永峰 的回答,我也按照前者理解吧。毕竟后者的一些区别是显而易见的。

    先说一点共性。微分方程的数值方法,无论是ODE还是PDE,都是将连续的、无限未知数的问题近似为离散的、有限未知数的问题求解。从经典数值分析的角度,通常会关心下面一些问题:相容性、稳定性、收敛性、收敛阶、计算量等等。相容性是指格式在局部是不是做出了正确的近似;稳定性是说局部的近似误差会不会随着计算而积累放大;收敛性是说当离散尺度无穷小的时候数值解是否会趋向于真实解;收敛阶则刻画了收敛的速度,高阶的格式可以用较大的离散尺度获得较好的数值结果,但是代价通常是单步下稍多的计算量。因此数值方法的最终表现需要在误差和计算量之间找到一个平衡。

    先说说ODE。在这个领域里,无论是初值问题还是边值问题,有限差分方法都是最常用的方法,比如说著名的Runge-Kutta方法。最常用的RK4方法就有稳定性条件比较宽泛、收敛阶很高(4阶)、计算量较小的优点。ODE数值方法中,差分方法是绝对的主流。尽管有限元方法、谱方法等等也可以用于解ODE,但是差分法依然更受欢迎。即便是边值问题,基于差分法的打靶法也比有限元更受欢迎。

    由于ODE的解行为通常比较好,只要右端项满足一定的Lipschitz连续性,解就存在唯一,对初值参数连续依赖。所以ODE数值方法的特点是有限差分法是一种适用面非常广泛的方法。也就是说,如果你是一个工程师,对数值方法并不熟悉。你在实际工作用需要求解一个(规模不太大的)ODE,那么你闭着眼睛把这个方程扔给一个RK4标准程序,效果一般不会太差……

    实际应用中ODE数值方法面临的最主要问题是刚性。简单说,如果把方程组理解为一组粒子的运动,那么这些粒子的运动存在时间尺度的分离,而你的数值方法应该要抓住最小的时间尺度,这就意味着超大的计算量。这种问题在分子动力学模拟(MD)中特别常见。本来MD就要计算10^6量级的粒子,再有很强的刚性就会使得模拟几乎无法进行。实际中,无论是从理论上做渐近分析或是平均化(averaging)抑或是数值上构造稳定性条件更加宽松的数值格式都是非常有挑战性的工作。

    ODE数值解面对的另一个困难时长时间模拟。再好的数值格式也会有误差,误差总会随着时间积累,时间充分长之后总会让数值解变得不可信。尤其是如果方程的解包含周期结构的时候数值误差很容易在长时间上破坏解的周期性(一个典型的例子是用Euler法求解地球轨道方程,数值解最终会远离太阳而去)。因此一个很有挑战性的问题就是如何在长时间的计算中保持数值解的某种结构,比如说能量守恒。如何构造这种满足特殊要求的数值格式同时还能尽量保持高精度是需要仔细设计的。实际中如果面对超大规模方程的长时间模拟,计算量的限制使得高阶格式都难以应用的时候,其结果的可信度基本属于玄学……

    除此之外,ODE数值解还有一些具体的问题。比如说不适定问题的求解、方程在临近分岔时的精确求解等等。总的来说,ODE数值解的领域相对成熟,理论比较完善,有一些可以作为标准方法的解法。实际应用中,可以根据实际问题的特点在这些标准方法上做出改进。

    说到PDE数值解,那简直就是天坑……这个领域太大了,即便你说PDE数值解就是全部的计算数学,错的也不算离谱。教授们如果不注意维护自己的个人主页,很容易发现一所高校计算数学系教授的研究兴趣都是偏微分方程数值解……

    还是简单说几句好了。从方法构造上,前面@赵永峰 的答案中提到的有限差分法、有限元方法和谱方法确实是最主要的几种方法。有限差分法依然是最基础的。差分法有直观清楚、构造简单、易于编程的优点,对于没有受过专门数值方法训练的工程师来说,差分法依然是最好的选择。精心构造的差分方法可以非常高效。比如在求解流体力学方程的时候,守恒型差分格式有非常成熟的理论和方法。有限差分法的缺点主要是只能用于比较规则的区域,对于复杂区域边界的处理不但困难,而且很容易损失精度,进而影响数值解在全局的精度。

    一种改进的方式是有限体积法(Finite Volume Method)。有限体积法的做法是将微分方程写成积分方程,在每一个小区域中用数值积分来近似精确积分,进而求解方程组。因为数值积分的方法比较灵活,有限体积法对于区域的要求宽松许多,并且可以选择合适的积分法来保持方程的物理性质。缺点则是如果使用较高阶的数值积分方法,那么计算量将非常大,甚至需要求解非线性方程组;而如果使用较低阶的数值积分法,又不如差分法简洁。

    差分法的思想是在局部用差商代替微商,这是一个局部的近似。从全局看,差分法相当于用分片常数近似导数,也就是用分片线性函数近似精确解。而分片线性函数在全局其实是不可导的,所以我们通常在连续函数的最大值范数下来考察收敛性。而有限元方法(Finite Element Method)则是用分片多项式来近似精确解,我们不但可以在整体上考虑函数值的收敛性,还可以考虑导数的收敛性。有限元方法的优点在于可以用于不规则的一般区域,原则上可以构造出非常高阶的格式,收敛性和收敛阶有比较成熟的理论,缺点则是有限元的构造比较困难,也不容易写程序。在一些汉译文献中经常混淆有限体积法和有限元方法两个术语,需要特别注意。(一个特别有名的例子,LeVeque的名著“Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems”就被翻译成了有限元方法……)

    谱方法则是一种无网格方法。它不像差分法和有限元那样需要首先将区域做剖分,而是将解按照一组正交基做展开(也就是广义的Fourier展开),截取有限项作为近似,需要求解的是对应的Fourier系数。谱方法的好处是高精度,以及搭配一些快速算法(比如快速Fourier变换)计算速度很快,缺点则是一般只适用于非常规则的区域,并且对边界条件有比较苛刻的限制。此外,将谱方法和有限元方法结合起来的谱元法也是当下比较热门的领域。

    可以看到,和ODE不同,PDE数值解没有一种占绝对优势地位的方法乃至于框架。一般来说,我们需要针对不同的方程设计不同的数值方法。所以PDE方程的数值求解是一件技术含量比较高的事情。如果你是一个对数值方法不熟悉的工程师,在实际应用中需要求解一个PDE,那么最好还是找一本书简单学习一下。即便是最简单的方程、最简单的差分法,也需要一些知识来设计合适的格式(举两个学生作业中常见的例子,对流方程的差分格式需要满足CFL条件,对流占优的对流扩散方程也需要仔细设计格式来避免数值耗散对解的污染,即便这些方程都是常系数的)。

    PDE数值解的困难主要在于PDE的解表现出的行为太丰富了。很多时候,我们对要求解的方程性质都缺少基本的认识,更说不上根据方程的特点设计有效的算法。实际中我们只能针对一类方程来设计一类格式,这一类格式对另一类方程很可能根本就不灵。我们都知道,

    一个符号之差就是两种完全不一样的方程。适用于前者的格式根本就解不了后者。

    ODE中我们提到的困难对于PDE都存在,比如刚性,比如长时间行为。但是这都不是PDE数值解的主要问题。因为PDE的数值解还远到不了讨论这么精细问题的程度,当务之急还是在有限的计算时间内解出来。对ODE数值解要求4、5阶的精度不算过分,但是PDE数值解能有时空2阶精度就非常令人满意了。

    和ODE相比,PDE的数值解更加强调对方程物理性质的保持。因为PDE问题通常都来自物理背景。计算流体力学中要求保持物理量的守恒性,还要能够准确的捕捉激波。既要利用数值粘性来避免数值振荡,还要尽量减小数值粘性来保持解的守恒性。这些使得某一种PDE的数值求解都变成一门需要深入研究的学问。泛泛的谈PDE的数值解通常是谈不出什么来的。

    PDE数值解的另一个巨大困难就是维数灾难(curse of dimensionality)。一般的说,PDE需要求解的未知数数量是随着问题维数指数增加的。这就意味着合理的计算量根本处理不了高维的问题。现今,无论是差分法、有限元还是谱方法,一般都只能处理三维以下的问题。超过三维,如果没有可以利用的对称性,基本可以宣告放弃了。然而高维的PDE求解在统计物理中随处可见。即便要求解Boltzmann方程,也是7维的,远远超出了传统方法的能力范围。

    对于一类特殊的PDE,我们可以将它视作是某个随机变量的期望,然后利用Monte Carlo方法来计算这个期望。众所周知,Monte Carlo方法的优点就是计算量对维数的增加不敏感,可以针对少量特殊点求解方程而不必在全局解出整个解,可并行化程度高,是求解高维PDE的一种很有吸引力的方法。当然,Monte Carlo方法的缺点也很多。比如说收敛慢(通常只有半阶)、精度低、随机误差不可避免、对问题形式要求严苛等等。

    总的来说,PDE的求解通常是根据具体问题设计具体方法的,泛泛地说PDE的数值方法很难深入下去。PDE求解的问题和困难非常之多,如果说解ODE的时候闭着眼睛上RK4是个不算糟糕的方案,那么解PDE就一定要对待求解的方程和数值方法理论本身都有基本的认识。

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    2019-12-16 21:03:51
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  • 收集最能看得懂的,讓大家一起來學會它吧。 本人也還在研究中 謝謝
  • §1.1微分方程概述Overview of...我们在应用中最常接触的就是一阶常微分方程二阶常微分方程。一阶常微分方程一阶常微分方程中会出现的导数最高阶为一阶导数。 ,导函数就是解函数的变化率,它反映了解函数随着时间...
  • (iii)人口数量的变化是封闭的,即人口数量的增加减少只取决于人口中个体的生育死亡,且每一个体都具有同样的生育能力死亡率 建模求解 于是得 解得       阻滞增长模型(Logistic模型) ...
  • 偏微分方程求解.rar

    2021-02-05 10:12:21
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  • 这可是把我这个半吊子吓坏了哦……也是因为这个,学院安排了一些额外的学习任务(大雾),而这一系列的文章也是抓大放小,主要关注方法论实用性。诸如微分方程数值解法,其实是有套路可循的,而掌握这一...
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  • 常微分方程

    2009-12-31 00:26:00
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  • COMSOL求解常微分方程

    万次阅读 2018-01-10 21:40:16
    COMSOL Multiphysics多物理场仿真软件也提供了求救常微分方程(ODE)和偏微分方程(PDE)的接口,下面详细介绍一下。 (1)建立模型,选择模型向导–>零维–>数学–>全局常微分和微分代数方程(ge),选择研究,选择...

空空如也

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偏微分和常微分