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  • n个自变量的一阶线性偏微分方程的一般形式为 ∑j=1nbj∂u∂xj+cu=f(7) \sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial u}{\partial x_j}+cu=f \tag{7} j=1∑n​bj​∂xj​∂u​+cu=f(7) 其中,bj=bj(x1,x2,...,xn),j=1,2,...,n,c=c...

    n个自变量的一阶线性偏微分方程(n2n\geq2

    n个自变量的一阶线性偏微分方程的一般形式为
    j=1nbjuxj+cu=f(7) \sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial u}{\partial x_j}+cu=f \tag{7}
    其中,bj=bj(x1,x2,...,xn),j=1,2,...,n,c=c(x1,x2,..,xn),f=f(x1,x2,...,xn)b_j=b_j(x_1,x_2,...,x_n),j=1,2,...,n,c=c(x_1,x_2,..,x_n),f=f(x_1,x_2,...,x_n)是已知的区域DRnD\subset \bold R^n上的连续函数。

    n2n-2时一样,先来求解相应的齐次方程
    j=1nbjφxi=0(8) \sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial \varphi}{\partial x_i}=0 \tag{8}
    为此,引入特征方程组
    dx1b1=dx2b2==dxnbn(9) \frac{ dx_1}{b_1}=\frac{dx_2}{b_2}=···=\frac{dx_n}{b_n} \tag{9}
    如选定变量x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n中的某一个(如xax_a)作为自变量,特征方程(9)是n-1个一阶常微分方程dxjdxn=bjbn(j=1,2,...,n1)\frac{dx_j}{dx_n}=\frac{b_j}{b_n}(j=1,2,...,n-1)组成的方程组,等价于一个n-1阶的常微分方程。它的解是n维空间中的曲线,称此积分曲线为一阶线性偏微分方程(7)的特征曲线。

    如果引入参数t,特征方程组(9)可改写成
    dxjdt=bj(x1,x2,...,xn),j=1,2,...,n \frac{dx_j}{dt}=b_j(x_1,x_2,...,x_n),\quad j=1,2,...,n
    积分曲线可表示为Γ:{xj=xj(t),j=1,2,...,n}\Gamma:\{x_j=x_j(t), \quad j=1,2,...,n\}。如果能将特征方程组(9)中的某些方程凑成一个全微分形式的方程dφ(x1,x2,...,xn)=0d\varphi(x_1,x_2,...,x_n)=0,则积分得到的关系式φ(x1,x2,...,xn)=h\varphi(x_1,x_2,...,x_n)=h(常数)称为常微分方程组(9)的一个首次积分。由常微分方程理论,一个n-1阶常微分方程存在且最多存在n-1个相互独立的首次积分。这n-1个独立的首次积分φj(x1,x2,...,xn)=hj(j=1,2,...,n1)\varphi_j(x_1,x_2,...,x_n)=h_j(j=1,2,...,n-1)的联立即以隐函数的形式给出了(9)式的隐式通解(积分曲线族)。当n=2时,特征方程(9)只有一个独立的首次积分,即为积分曲线族。类似于n=2的情形,偏微分方程(8)的解与特征方程组(9)的首次积分之间有确定的关系。

    定理:若φ(x1,x2,...,xn)=h\varphi(x_1,x_2,...,x_n)=h是特征方程组(9)在DRnD\subset \bold R^n内的一个首次积分,则ξ=φ(x1,x2,...,xn)\xi=\varphi(x_1,x_2,...,x_n)是一阶线性偏微分方程(8)在D上的一个解。

    证明:设φ(x1,x2,...,xn)=h\varphi(x_1,x_2,...,x_n)=h是特殊方程组(9)的一个首次积分,则沿着(9)式的任一条积分曲线Γ:{xj=xj(t),j=1,2,...,n}\Gamma:\{x_j=x_j(t),j=1,2,...,n\}
    dφ(x1(t),x2(t),...,xn(t))=0 d\varphi(x_1(t),x_2(t),...,x_n(t))=0
    即有
    φx1dx1dt+φx2dx2dt++φxndxndt=b1φx1+b2φx2++bnφxn=0 \frac{\partial \varphi}{\partial x_1}\frac{dx_1}{dt}+\frac{\partial \varphi}{\partial x_2}\frac{dx_2}{dt}+···+ \frac{\partial \varphi}{\partial x_n}\frac{d x_n}{dt}=b_1\frac{\partial \varphi}{\partial x_1}+b_2\frac{\partial \varphi}{\partial x_2}+···+b_n\frac{\partial \varphi}{\partial x_n}=0
    由于过D内任一点有且仅有一条积分曲线,上式对于D内任一点成立,故ξ=φ(x1,x2,xn)\xi=\varphi(x_1,x_2···,x_n)是偏微分方程(8)在D上的解。

    现在,求解一阶线性偏微分方程(7)。

    由上述定理知,如果找到特征方程组(9)的n-1个独立的首次积分φj(x1,x2,,xn)=hj(j=1,2,,n1)\varphi_j(x_1,x_2,···,x_n)=h_j(j=1,2,···,n-1)作自变量的变量代换
    {ξj=φj(x1,x2,,xn),j=1,2,,n1ξn=φn(x1,x2,,xn)(10) \begin{cases} \xi_j=\varphi_j(x_1,x_2,···,x_n),\quad j=1,2,···,n-1 \\ \xi_n=\varphi_n(x_1,x_2,···,x_n) \end{cases} \tag{10}
    其中,φn(x1,x2,,xn)\varphi_n(x_1,x_2,···,x_n)任取,使在D上
    J(φ1,φ2,,φn)=(φ1,φ2,,φn)(x1,x2,,xn)=φ1x1φ2x2φnxnφ2x1φ2x2φnx2φnx1φnx2φnxn0 J(\varphi_1,\varphi_2,···,\varphi_n)=\frac{\partial(\varphi_1,\varphi_2,···,\varphi_n)}{\partial(x_1,x_2,···,x_n)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1} & \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_n} \\ \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1} & \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_1} & \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_2} & \cdots & \frac{\partial \varphi_n}{\partial x_n} \end{vmatrix} \neq 0
    代入(7),由链式法则得
    j=1nbjuxj=j=1nbj(k=1nφkxjuξk)=k=1n(j=1nbjφkxi)uξk \sum_{j=1}^n b_j\frac{\partial u}{\partial x_j}=\sum_{j=1}^nb_j(\sum_{k=1}^n\frac{\partial \varphi_k}{\partial x_j}\frac{\partial u}{\partial \xi_k})=\sum_{k=1}^n(\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial \varphi_k}{\partial x_i})\frac{\partial u}{\partial \xi_k}
    由定理1知,当k=1,2,,n1k=1,2,···,n-1时,有j=1nbjφkxj=,u=u(x1,,xn)\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial \varphi_k}{\partial x_j}=, u=u(x_1,···,x_n)的方程(7)变成u=u(ξ1,ξ2,,ξn)u=u(\xi_1,\xi_2,···,\xi_n)的方程
    (j=1nbjφnxj)uξn+cu=f(11) (\sum_{j=1}^nb_j\frac{\partial \varphi_n}{\partial x_j})\frac{\partial u}{\partial \xi_n}+cu=f \tag{11}
    ξn\xi_n积分,可得(11)式的通解。再代会原来的自变量(x1,x2,,xn)(x_1,x_2,···,x_n),便得原方程(7)的通解。

    特别地,当c(x1,x2,,xn)=f(x1,x2,,xn)0c(x_1,x_2,···,x_n)=f(x_1,x_2,···,x_n)\equiv 0时,方程(7)即为方程(8),变量代换(10)式后的新方程为
    uξn=0 \frac{\partial u}{\partial \xi_n}=0
    积分得通解
    u=g(ξ1,ξ2,,ξn1)=g(φ1(x1,x2,,xn),φ2(x1,x2,xn),,φn1(x1,x2,,xn)), u=g(\xi_1,\xi_2,···,\xi_{n-1})=g(\varphi_1(x_1,x_2,···,x_n),\varphi_2(x_1,x_2,···x_n),···,\varphi_{n-1}(x_1,x_2,···,x_n)),
    其中为任意n1n-1C1C^1函数。

    如果再给出未知函数在n维空间的一条曲线(非特征线)上的值,定出函数g,可得到特解。遗憾的是,一般而言,实际找出常微分方程的首次积分和确定函数关系g并非易事。

    例1:求解初值问题
    {xux+yuy+zuz=0uz=1=xy \begin{cases} \sqrt{x}\frac{\partial u}{\partial x}+\sqrt{y}\frac{\partial u}{\partial y}+z\frac{\partial u}{\partial z}=0 \\ u|_{z=1}=xy \end{cases}
    :特征方程为
    dxx=dyu=dzz \frac{dx}{\sqrt x}=\frac{dy}{\sqrt u}=\frac{dz}{z}
    有两个独立的首次积分xy=c1\sqrt{x}-\sqrt{y}=c_12ylnz=c22\sqrt{y}-lnz=c_2,故齐次方程的通解为
    u=g(xy,2ulnz) u=g(\sqrt x-\sqrt y,2\sqrt u-lnz)
    代入初始条件
    ux=1=g(xy,2y)=xy u|_{x=1}=g(\sqrt x-\sqrt y,2\sqrt y)=xy
    为了确定函数g,不妨令p=xyp=\sqrt x-\sqrt yq=2yq=2\sqrt y,解得
    y=14q2,x=(p+12q)2 y=\frac{1}{4}q^2,\quad x=(p+\frac{1}{2}q)^2

    g(p,q)=14q2(p+12q)2 g(p,q)=\frac{1}{4}q^2(p+\frac{1}{2}q)^2
    上述定解问题的解为
    u=(y12lnz)2(x12lnz)2 u=(\sqrt y-\frac{1}{2}lnz)^2(\sqrt x-\frac{1}{2}lnz)^2
    例2:求解初值问题
    {ut=xux+yuy+u+xyut=0=φ(x,y) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}=x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y}+u+xy \\ u|_{t=0}=\varphi(x,y) \end{cases}
    :特征方程为
    dt1=dxx=dyy \frac{dt}{1}=-\frac{dx}{x}=-\frac{dy}{y}
    积分得首次积分xet=c1,yet=c2xe^t=c_1,ye^t=c_2。作变量代换
    ξ=xet,η=yet,τ=t \xi=xe^t,\quad \eta=ye^t, \quad \tau=t
    方程变为一阶常微分方程
    uτ=u(ξ,η,τ)+ξηe2τ \frac{\partial u}{\partial \tau}=u(\xi,\eta,\tau)+\xi \eta e^{-2\tau}
    积分得通解
    u=eτ[ξηe2τeτdτ+g(ξ,η)]=13ξη2τ+g(ξ,η)eτ=13xy+g(xet,yet)et u=e^{\tau}[\int \xi \eta e^{-2\tau}·e^{-\tau}d\tau+g(\xi,\eta)]\\ =-\frac{1}{3}\xi \eta^{-2\tau}+g(\xi,\eta)e^{\tau}=-\frac{1}{3}xy+g(xe^t,ye^t)e^t
    代入初始条件
    ut=0=13xy+g(x,y)=φ(x,y)g(x,y)=13xy+φ(x,y) u|_{t=0}=-\frac{1}{3}xy+g(x,y)=\varphi(x,y) \\ g(x,y)=\frac{1}{3}xy+\varphi(x,y)
    得该定解问题的解
    u=13xy+et[13xye2t+φ(xet,yet)] u=-\frac{1}{3}xy+e^t[\frac{1}{3}xye^{2t}+\varphi(xe^t,ye^t)]

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  • 二阶线性偏微分方程

    万次阅读 2016-08-22 23:01:46
    一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异,往往可以从对这三类方程的研究中得到。 一维弦振动方程是双曲型的,一维热传导方程是抛物型的,二维拉普拉斯方程是椭圆型的。 以上三种方程描述的自然现象的...

    弦振动方程、热传导方程与拉普拉斯方程。

    这三类方程的形状很特殊,它们是二阶线性偏微分方程的三个典型代表

    一般形式的二阶线性偏微分方程之间的共性和差异,往往可以从对这三类方程的研究中得到。


    一维弦振动方程是双曲型的,一维热传导方程是抛物型的,二维拉普拉斯方程是椭圆型的。

    以上三种方程描述的自然现象的本质不同,其解的性质也各异。

    这也从侧面说明了我们对二阶线性偏微分方程所进行的分类是有其深刻的原因的。


     三类典型方程在数学性质上的差异往往是相应的物理现象的本质差异在数学上的表现。

    下面我们以三类典型方程(波动方程、热传导方程和拉普拉斯方程)为例来叙述其差别。

    对于一般的变系数方程,情况更复杂一些,但类似结论仍然成立。

    解的光滑性

        对于不同类型的方程来说,解的光滑性可以很不相同。对于弦振动方程来说,如果初始条件中高阶的导数不存在,那么解的高阶导数也就不存在;对于热传导方程,只要初始条件是有界的,那么其解是无穷可微的;对于拉普拉斯方程,它的解的光滑性更好,其解在定义域内都是解析函数。

    解的极值性质

        热传导方程和拉普拉斯方程都存在极值原理,但它们所采取的形式是有区别的。拉普拉斯方程解的极值只可能存在于边界。至于热传导方程,区域内部的最大值不能超过区域初始时刻和边界面上的最大值。双曲型方程通常不存在极值原理,这是因为波在叠加时可以出现扰动增大的情况。

    影响区和依赖区

        从影响区和依赖区来看,三类方程也有很大区别。波动方程的扰动是以有限速度传播的,因而其影响区和依赖区是锥体状的。对热传导方程而言,其扰动传播进行的十分迅速,某个点的其影响区是该点以上的整个上半平面,依赖区是整个初始值区间。拉普拉斯方程表示定常状态或平衡状态,因此不存在扰动传播的问题。

    关于时间的反演

         一物理状态的变化是否可逆,在数学上反映为所归结出来的方程关于时间变量是否是对称的,即以-t代替t后方程是否不变化。

          拉普拉斯方程不存在此问题,双曲型方程是可逆的,热传导方程是不可逆的。


    定解问题的提法

    椭圆型方程:定解问题中只有边界条件而没有初始条件。故一般不提初边值问题和柯西问题。

    抛物型方程:可以提初边值问题和柯西问题,其初始条件只需给出一个。

    双曲型方程:可以提初边值问题和柯西问题,其初始条件需要给出两个。





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     常常看到有人抛出偏微分方程的问题, 明明求数值解,一定要写成符号形式,

    初边值条件也都写成符号形式, 比如


    初值条件写成 u(x,0)=0; 

    边值条件写成 u(0,t)= f(t), u(L,t)=g(t)


    然后, 求k1,k2


    偏微分方程问题很多数值求解都困难, 如果加上符号变量, 则必须精确解或解析解存在才可能解答;

    从数值解到符号解,大大提高了难度, 可能让有解的问题变成无解;


    采用不确定的函数作为边值条件更加容易导致问题.

    这个问题初始的PDE是有符号解的;


    从而易知不是所有的初边值情况都会有解的, 必须满足上式方可;

    所以, 平白把问题复杂化了;


    看到这种提问的, 实在不想回答, 这是自己完全不通, 只想找个现成答案的伸手党的陋习; 

    今天的大学培养了数量巨大的大学生研究生,不少数理的基础并不扎实, 所以, 沦为伸手党. 这种弊病其实很容易改,

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  • 圆柱坐标系统中亥姆霍兹方程

    千次阅读 2020-07-15 17:11:23
    亥姆霍兹方程(英语:Helmholtz equation)是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程,以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。其基本形式如下: 其中 ∇是哈密顿算子,k是波数,A是振幅。(来源:百度百科) 为将矢量亥姆霍兹...

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    《微波与光电子学中的电磁理论》读书笔记1

    亥姆霍兹方程:

    亥姆霍兹方程(英语:Helmholtz equation)是一个描述电磁波的椭圆偏微分方程,以德国物理学家亥姆霍兹的名字命名。其基本形式如下:
    在这里插入图片描述其中 ∇是哈密顿算子,k是波数,A是振幅。(来源:百度百科)

    为将矢量亥姆霍兹方程化简为标量亥姆霍兹方程,这里采用了波格尼斯位函数法:(或许会在另一篇博客中专门写)
    找到两个标量函数U(x),V(x), 使得E3只是U的函数,H3只是V的函数,各场分量与U,V有如下关系(此关系在本推导中未用到):在这里插入图片描述
    U和V满足二阶偏微分方程:
    在这里插入图片描述
    \nabla2T为u1,u2的拉普拉斯运算:
    在这里插入图片描述
    在柱坐标系统中,令u3为z,只讨论U的方程,用分离变量法,在这里插入图片描述
    代入上面关于U的二阶偏微分方程,除以U,分离变量,得到
    在这里插入图片描述
    圆柱坐标系统中,
    在这里插入图片描述
    因此原式
    在这里插入图片描述
    在这里成为式(1):
    在这里插入图片描述
    分离变量
    (分离变量)
    代入式(1),得:
    在这里插入图片描述
    因此有(v为分离常数,物理意义是角量子数?):
    在这里插入图片描述
    结合之前的Z的方程:
    在这里插入图片描述
    解以上三个方程即可给出圆柱坐标中亥姆霍兹方程一般解:
    在这里插入图片描述

    NB: 本人并不是光学专业,博文中如有哪部分理解阐释不到位,还希望各位积极斧正,和您的交流也是学习和巩固的过程。
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空空如也

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偏微分方程形式解