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  • 偏微分方程形式解
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    2019-03-31 10:29:24

    博主在这段时间将不断更新用微分方程数值解的一些理论和算法问题,并以python为工具写一些算法实现。在理论这块课本上已经够详细与专业了,那就写的简单易懂一点吧ƪ(˘⌣˘)ʃ

    直通链接:
    常微分方程系列:
    【微分方程数值解】常微分方程(一)欧拉方法和改进欧拉方法(附python算例,封装类)
    偏微分方程系列:
    python与有限差分法(二)弦平衡问题(两点边值问题)内容梳理、算法求解与数值分析.
    未完待续…

    1.微分方程的种类

    恩格斯是这样来定义数学的:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学 。”现实世界的东西一定程度上来说可以用数学上的方程来表示。

    但在现实世界中,类似x^2 -x +1 =0这样的方程能对应的现实问题基本没有。大多数问题的数学建模是和所研究对象的变化率有关系的,例如弹性棉坐垫的弹力涉及到对位移的变化率,热的传导涉及到对时间的变化率。这个“变化率”在数学里的定义就是导数,所以就有了一类涉及到导数来描述问题的这类方程,这就是微分方程。理论上来说只要一个物体的状态在变化,它的变化过程都是可以用微分方程描述刻画的。

    微分方程(model)是描述未知函数及其导数关系的方程。

    如果现在建立了一个方程,它本身的状态是没有任何约束和说明的。但是我们知道,大部分研究都应该要有一个初始值:400米赛跑有起跑点和赛道,不是大家从各个地方乱跑400米就完了;研究导弹轨迹有初始坐标,在地上发射和山上发射是不一样的。。。这就是对研究对象的状态做一个事先的“约束与说明”。

    又例如由弦的平衡方程导出的两点边值问题可以由下偏微分方程刻画:

    u x x = f , a < x < b u_{xx}=f ,a<x<b uxx=f,a<x<b
    u ( a ) = α , u ( b ) = β u(a)=\alpha,u(b)=\beta u(a)=α,u(b)=β

    这个方程就给出了u在a处和b处空间的约束。同理,对时间也可以进行约束和说明。

    初值问题:约束调节涉及到时间
    边值问题:约束条件涉及到边界。根据对边界的约束不同又可以细分为很多种,以后在讲到。

    再进一步,若所研究对象同时和多个自变量相关,那么这个对象的变化率自然也有多个,这时候方程涉及到“偏导数”,也就有了偏微分方程:

    常微分方程(ODE)是指微分方程的自变量只有一个的方程。
    偏微分方程(PDE)相比常微分方程其自变量存在两个或以上,也就是说方程所要求解的是一个多元函数,刻画的是未知函数及其偏导数的关系。

    偏微分方程中二阶最为典型常见,有椭圆形、抛物型、双曲型三种,下给出这三种偏微分方程最简形式:

    • 椭圆型方程
      u x x + u y y = f ( x , y ) u_{xx}+u_{yy}=f(x,y) uxx+uyy=f(x,y)
    • 抛物型方程
      u t = a u x x u_t=au_{xx} ut=auxx
    • 双曲型方程
      u t t = a 2 u x x u_{tt}=a^2u_{xx} utt=a2uxx

    注1:二阶微分方程中也存在混合问题,在不同区域为不同的方程类型,这里不做讨论
    注2:椭圆方程不含时间变量只含空间变量,而抛物和双曲既含时间变量也含空间变量

    2.用数值解的目的

    假设前面的一切工作:建模、约束都准备好了,但是对于一个给定的微分方程,只有极少数的情况能直接获得其解析解,也就是说要直接通过数学手段求解这些微分方程是很困难的,所以就有了数值方法这一求解手段,这就是计算数学专业所干的。

    我们在用数值方法求解微分方程时,由于计算机不能处理连续的数学方程,所以在用计算机处理问题时,必须先将一个无限的连续问题通过一些特殊的方法离散化,使之成有限形式的线性代数方程组,再将这个线性代数方程组交给计算机求解以达到我们的目的。

    常微分方程的数值解法

    • 欧拉法。由此思想衍生出后退欧拉法和改进欧拉法
    • 龙格库塔方法。

    偏微分方程的数值解法

    • 有限差分法(FDM,finite difference method)。偏微分方程数值解法中理论、思想都最好理解的方法,本质是用差商刻画偏导数。重点在差分格式的选择。系列会在专栏里更新
    • 有限元法(FEM,finite element method)。理论体系已经基本完善,学习需要一定的理论准备工作。此方法广泛应用在工程领域,是机械产品动、静、热特性分析的重要手段。在国内由冯康前辈开创。待更新
    • 有限体积法:和有限元法有些类似。待更新
    • 谱方法。

    3.如何衡量一种数值方法的优良?

    衡量一个数值方法得到的解好不好,一是要看它和正确解的逼近程度,差太多了自然不行,这个“差的多”在数学里有一套度量的方法;另外一个要看他的运算时间,要是有方法A能一分钟算对,方法B算一天算对,那B当然要拿出去枪毙了。

    对数值方法来说可以用【解的对】和【解的快】两个词来衡量其优劣。

    “解的对”是数值解方法的前提,如果得到的解不是收敛于真解的,那数值解得到的结果毫无意义,建立在数值解方法理论不出错的前提才能再讨论算法速度。

    • 收敛性讨论:考虑算法在数学理论上是否正确,能否收敛于真解。这种【是否收敛】以及【收敛的好与坏】一般用范数来估计。
    • 稳定性讨论:在出现一个小的“干扰”的情况下,这个小干扰带来的影响是否会扩大?讨论这个小干扰是必要的,因为类似截断、四舍五入这类方法一定会带来小干扰(也就是误差,因为丢掉了一些东西),这个小干扰本身并不大但是一定会产生,并且如果这个干扰还会扩大的话(例如运算涉及到迭代),他就会对结果产生巨大的影响。 稳定性一般在需要迭代的时候要讨论。如果不稳定,那么这个小干扰会随着迭代的过程越来越大。

    “解的快”考虑收敛的速度、算法的复杂度。两种方法的结果一样,当然是算的越快的方法越好。

    3.1 如何在程序中验证算法的“对”与“快”?主要有以下几种方法。
    • 图像:通过matplotlib绘图看看数值解是否趋于真解。算法理论得到的解是否正确和绘图对比之间是可以相互验证的。
    • 数值表:通过数值解与对应位置真解的差可以刻画收敛速度or收敛阶。同样,算法理论的收敛阶和该数值表是可以相互验证的。
    • 实际算法运行的时长比较
    3.2 如何对数值解进行优化?
    • 从数学理论的角度:一般来说提高精度的代价是提高复杂度,可以考虑如何在不损耗太多精度的情况下,降低复杂度(例如非常多次的迭代运算就是复杂度高的体现)。典型例子是后退欧拉法向改进欧拉法的过渡。
    • 从程序的角度:降低代码逻辑层面的运算量

    4.将会用到的python库

    • numpy:科学计算的基础包。提供了高效的数组(array)对象
    • SciPy:是一个用于数学、科学、工程领域的常用软件包,可以处理插值、积分、优化、图像处理、常微分方程数值解的求解等问题。
    • pandas:使python成为强大数据分析工具的重要因素之一,提供了精细的索引功能来进行选取数据子集的操作。
    • Matplotlib:最流行的绘制数据图表的python库
    • fealpy :湘潭大学魏华祎老师开发的有限元法开源库。国内的开源有限元程序做的非常少。feon有限元库为python2.7,不知道更新没有。科研且想用python,魏老师的fealpy是最好的选择,工业计算可能还是不合适。

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    先求通解再确定特解,是求常微分方程定解问题采用的方法,都某些偏微分方程,也能通过积分求出通解,进而确定出满足定解条件的特解。

    两个自变量的一阶线性偏微分方程

    今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。
    a ( x , y ) ∂ u ∂ x + b ( x , y ) ∂ u ∂ y + c ( x , y ) u = f ( x , y ) (1) a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=f(x,y) \tag{1} a(x,y)xu+b(x,y)yu+c(x,y)u=f(x,y)(1)
    其中,系数 a ( x , y ) , b ( x , y ) , c ( x , y ) a(x,y),b(x,y),c(x,y) a(x,y),b(x,y),c(x,y)是平面区域 D ⊂ R 2 D\subset \bold R^2 DR2上的连续函数,且 a ( x , y ) , b ( x , y ) a(x,y),b(x,y) a(x,y),b(x,y)不同时为零, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D上连续,称为方程的非齐次项。若 f ( x , y ) ≡ 0 f(x,y)\equiv 0 f(x,y)0,方程为齐次的。

    思路:将两个自变量的方程化为求一个自变量的方程

    情况1:如果在D上, a ( x , y ) ≡ 0 , b ( x , y ) ≠ 0 a(x,y)\equiv 0,b(x,y)\neq 0 a(x,y)0,b(x,y)=0,方程(1)改写为
    ∂ u ∂ x + c ( x , y ) b ( x , y ) u = f ( x , y ) b ( x , y ) (2) \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{c(x,y)}{b(x,y)}u=\frac{f(x,y)}{b(x,y)} \tag{2} xu+b(x,y)c(x,y)u=b(x,y)f(x,y)(2)
    利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解。
    u ( x , y ) = e x p ( − ∫ c ( x , y ) b ( x , y ) d y ) ⋅ [ ∫ e x p ( ∫ c ( x , y ) b ( x , y ) ) f ( x , y ) b ( x , y ) d y + g ( x ) ] u(x,y)=exp(-\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)}dy)·[\int exp(\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)})\frac{f(x,y)}{b(x,y)}dy+g(x)] u(x,y)=exp(b(x,y)c(x,y)dy)[exp(b(x,y)c(x,y))b(x,y)f(x,y)dy+g(x)]
    其中, g ( x ) g(x) g(x)为任意C函数。

    情况2:如果在D上, a ( x , y ) b ( x , y ) ≠ 0 a(x,y)b(x,y)\neq 0 a(x,y)b(x,y)=0,方程(1)不能直接积分求解,试作待定的自变量代换
    { ξ = φ ( x , y ) η = ψ ( x , y ) (a) \begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} \tag{a} {ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)(a)
    要求其雅可比(Jacobi)行列式
    J ( φ , ψ ) = ∂ ( φ , ψ ) ∂ ( x , y ) = ∣ ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ x ∂ ψ ∂ y ∣ ≠ 0 J(\varphi,\psi)=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0 J(φ,ψ)=(x,y)(φ,ψ)=xφxψyφyψ=0
    以保证新变量 ξ , η \xi,\eta ξ,η的相互独立性,利用链式法则
    ∂ u ∂ x = ∂ u ∂ ξ ∂ ξ ∂ x + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ x = ∂ φ ∂ x ∂ u ∂ ξ + ∂ ψ ∂ x ∂ u ∂ η ∂ u ∂ y = ∂ u ∂ ξ ∂ ξ ∂ y + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ y = ∂ φ ∂ y ∂ u ∂ ξ + ∂ ψ ∂ y ∂ u ∂ η \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \eta} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \eta} xu=ξuxξ+ηuxη=xφξu+xψηuyu=ξuyξ+ηuyη=yφξu+yψηu
    u = u ( x , y ) u=u(x,y) u=u(x,y)的方程(1)变为 u = u ( x ( ξ , η ) , y ( ξ , η ) ) = u ( ξ , η ) u=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))=u(\xi,\eta) u=u(x(ξ,η),y(ξ,η))=u(ξ,η)的新方程
    ( a ∂ φ ∂ x + b ∂ φ ∂ y ) ∂ u ∂ ξ + ( a ∂ ψ ∂ x + b ∂ ψ ∂ y ) ∂ u ∂ η + c u = f (3) (a\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \xi}+(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{3} (axφ+byφ)ξu+(axψ+byψ)ηu+cu=f(3)
    若取 ξ = φ ( x , y ) \xi=\varphi(x,y) ξ=φ(x,y)是齐次一阶线性偏微分方程
    a ( x , y ) ∂ φ ∂ x + b ( x , y ) ∂ φ ∂ y = 0 (4) a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \tag{4} a(x,y)xφ+b(x,y)yφ=0(4)
    的解,则新方程(3)称为(2)型的方程
    ( a ∂ ψ ∂ x + b ∂ ψ ∂ y ) ∂ u ∂ η + c u = f (b) (a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{b} (axψ+byψ)ηu+cu=f(b)
    η \eta η积分便可求出通解。

    以下求解一阶线性偏微分方程(4),它的解对应与相应的常微分方程
    a ( x , y ) d y − b ( x , y ) d x = 0 (5) a(x,y)dy-b(x,y)dx=0 \tag{5} a(x,y)dyb(x,y)dx=0(5)
    亦即
    d x a ( x , y ) = d y b ( x , y ) (6) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} \tag{6} a(x,y)dx=b(x,y)dy(6)
    的解之间存在确定的关系。

    定理:若 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h(常数)是一阶常微分方程(5)在区域D内的隐式通解(积分曲线族),则 ξ = φ ( x , t ) \xi=\varphi(x,t) ξ=φ(x,t)是一阶线性偏微分方程(4)在区域D上的一个解。

    证明:设 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h是方程(5)在D内的隐式通解,则过D内一点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)有一条积分曲线 Γ 0 : φ ( x , y ) = φ ( x 0 , y 0 ) = h 0 \Gamma_0:\varphi(x,y)=\varphi(x_0,y_0)=h_0 Γ0:φ(x,y)=φ(x0,y0)=h0,此隐式解满足方程
    d x a ( x , y ) = d y b ( x , y ) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} a(x,y)dx=b(x,y)dy
    又沿此积分曲线 Γ 0 \Gamma_0 Γ0,有
    ∂ φ ∂ x d x + ∂ φ ∂ y d y = 0 \frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0 xφdx+yφdy=0
    故在 Γ 0 \Gamma_0 Γ0上,有
    a ( x , y ) ∂ φ ∂ x + b ( x , y ) ∂ φ ∂ y = 0 a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 a(x,y)xφ+b(x,y)yφ=0
    由于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是D内任意一点,故 ξ = φ ( x , y ) \xi=\varphi(x,y) ξ=φ(x,y)是一阶线性偏微分方程(4)在D上的解。

    定题的逆命题也成立。

    由常微分方程理论,一阶常微分方程(5)在区域D内存在且仅存在一族独立的积分曲线。如果求出了方程(5)的积分曲线族 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h,再任取函数 ψ ( x , y ) \psi(x,y) ψ(x,y),使在D上 J ( φ , ψ ) ≠ 0 J(\varphi,\psi)\neq 0 J(φ,ψ)=0,以此 φ \varphi φ ψ \psi ψ作变量代换(a)式,一阶线性偏微分(1)便可化为可积分求通解的方程(b)。

    特别地,当 c ( x , y ) = f ( x , y ) ≡ 0 c(x,y)=f(x,y)\equiv 0 c(x,y)=f(x,y)0时,方程(1)即为方程(4),相应的新方程(b)为 ∂ u ∂ η = 0 \frac{\partial u}{\partial \eta}=0 ηu=0,其通解为 u = g ( ξ ) , g ( ξ ) u=g(\xi),g(\xi) u=g(ξ),g(ξ)为任意C函数。代回原自变量,得方程
    a ( x , y ) ∂ u ∂ x + b ( x , y ) ∂ u ∂ y = 0 a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 a(x,y)xu+b(x,y)yu=0
    的通解 u = g ( φ ( x , y ) ) u=g(\varphi(x,y)) u=g(φ(x,y))。这里, φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h是常微分方程(5)的隐式通解, g ( ξ ) g(\xi) g(ξ)是任意C函数。

    如果给定u在某一曲线 Γ : γ ( x , y ) = d \Gamma:\gamma(x,y)=d Γ:γ(x,y)=d上的值,则需求解定解问题
    { a ( x , y ) ∂ u ∂ x + b ( x , y ) ∂ u ∂ y = 0 u ∣ γ ( x , y ) = d = θ ( y ) \begin{cases} a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ u|_{\gamma(x,y)=d}=\theta(y) \end{cases} {a(x,y)xu+b(x,y)yu=0uγ(x,y)=d=θ(y)
    用定解条件定出通解中的任意函数 g ( ξ ) g(\xi) g(ξ)即可。

    这种求解定解问题的方法称之为通解法。常微分方程(5)或等价的方程(6)称为一阶线性偏微分方程(1)的特征方程,其积分曲线称之为特征曲线

    例1:求解右行单波方程的初值问题
    { ∂ u ∂ t + a ∂ u ∂ x = 0 , t > 0 , − ∞ < x < + ∞ u ∣ t = 0 = φ ( x ) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0,\quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x) \end{cases} {tu+axu=0,t>0,<x<+ut=0=φ(x)
    其中, a > 0 a>0 a>0为常数。

    :特征方程 d x − a d t = 0 dx-adt=0 dxadt=0特征线族 x − a t = h x-at=h xat=h

    ξ = x − a t , η = x \xi=x-at, \eta=x ξ=xat,η=x,则方程化为
    ∂ u ∂ η = 0 \frac{\partial u}{\partial \eta}=0 ηu=0
    η \eta η积分得通解 u = g ( ξ ) = g ( x − a t ) u=g(\xi)=g(x-at) u=g(ξ)=g(xat),其中, g ( ξ ) g(\xi) g(ξ)是任意C函数。由初始条件
    u ∣ t = 0 = g ( x ) = φ ( x ) u|_{t=0}=g(x)=\varphi(x) ut=0=g(x)=φ(x)
    得该初值问题的解 u ( t , x ) = φ ( x − a t ) u(t,x)=\varphi(x-at) u(t,x)=φ(xat)

    ( x , u ) (x,u) (x,u)平面上看(图1.3.1), t = 0 t=0 t=0 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x),对每个固定时刻 t > 0 , u = φ ( x − a t ) ] t>0,u=\varphi(x-at)] t>0u=φ(xat)],其图形相当于曲线 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)向右移动了 a t at at,波形的传播速度为 a a a。称这样的解为右行波解

    ( x , t , u ) (x,t,u) (x,t,u)空间看(图1.3.2),波形沿特征线传播。在特征线 x − a t = h x-at=h xat=h上, u = φ ( x − a t ) = φ ( h ) u=\varphi(x-at)=\varphi(h) u=φ(xat)=φ(h),故当观察者沿某条特征线前行时,看到的波形始终不变。如果初始扰动 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)只发生在区间 h 1 ≤ x ≤ h 2 h_1\leq x\leq h_2 h1xh2内,则这个扰动沿着 ( x , t ) (x,t) (x,t)平面上的特征条形域 h 1 ≤ x − a t ≤ h 2 h_1\leq x-at\leq h_2 h1xath2传播。

    在这里插入图片描述

    本例中初始条件给在非特征线的直线 t = 0 t=0 t=0上,从通解可唯一确定特解。如果初始条件给在一条特征线 x − a t = h 0 x-at=h_0 xat=h0上,初始条件 u ∣ x − a t = h 0 = g ( x − a t ) ∣ x − a t = h 0 = g ( h 0 ) = φ ( x ) u|_{x-at=h_0}=g(x-at)|_{x-at=h_0}=g(h_0)=\varphi(x) uxat=h0=g(xat)xat=h0=g(h0)=φ(x),当 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)为非常值函数时无解,当 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)为常数 φ 0 \varphi_0 φ0时有无穷多个解 g ( ξ ) g(\xi) g(ξ),只要 g ( h 0 ) = φ 0 g(h_0)=\varphi_0 g(h0)=φ0

    对于左行单波方程 ∂ u ∂ t − a ∂ u ∂ x = 0 \frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x}=0 tuaxu=0,同样可求得其通解为左行波 u = g ( x + a t ) u=g(x+at) u=g(x+at) g g g为任意 C 1 C^1 C1函数(一阶连续导数)。

    展开全文
  • 线性偏微分方程的通 之前我们介绍的如波动方程、扩散方程等二阶偏微分方程都是线性偏微分方程,也就是说,在方程中只出现对于末知函数的线性运算。引进线性算符 L^\hat{L}L^ 的记号,则线性偏微分方程都可以写成 L...

    线性偏微分方程的通解

    观前提示:此章内容笔者写的不是很好,可以结合教材相关内容观看,本文主要介绍了线性算符以及线性偏微分方程的解,对理解此类方程以及线性算符很有帮助,但跳过此篇继续观看也不会造成后续内容不理解。

    之前我们介绍的如波动方程、扩散方程等二阶偏微分方程都是线性偏微分方程,也就是说,在方程中只出现对于末知函数的线性运算。引进线性算符 L ^ \hat{L} L^ 的记号,则线性偏微分方程都可以写成
    L ^ [ u ] = f \hat{L}[u]=f L^[u]=f
    的形式,其中 u u u 是末知函数, f f f 是已知函数,称为方程的非齐次项。若 f ≡ 0 f \equiv 0 f0,则称方程是齐次的。我们所用到的方程常见算符见下表,
     方 程 类 型   方 程   线 性 算 符  L ^  波动方程  ∂ 2 u ∂ t 2 − a 2 ∇ 2 u = f L ^ ≡ ∂ 2 ∂ t 2 − a 2 ∇ 2  热传导方程  ∂ u ∂ t − κ ∇ 2 u = f L ^ ≡ ∂ ∂ t − κ ∇ 2  Poisson 方程  ∇ 2 u = f L ^ ≡ ∇ 2  Helmholtz 方程  ∇ 2 u + k 2 u = f L ^ ≡ ∇ 2 + k 2 \begin{array}{llll} \hline \text { 方 程 类 型 } & \text { 方 程 } & \text { 线 性 算 符 } \hat{L} \\ \hline \text { 波动方程 } & \frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \nabla^{2} u=f & \hat{L} \equiv \frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}}-a^{2} \nabla^{2} \\ \hline \text { 热传导方程 } & \frac{\partial u}{\partial t}-\kappa \nabla^{2} u=f & \hat{L} \equiv \frac{\partial}{\partial t}-\kappa \nabla^{2} \\ \hline \text { Poisson 方程 } & \nabla^{2} u=f & \hat{L} \equiv \nabla^{2} \\ \hline \text { Helmholtz 方程 } & \nabla^{2} u+k^{2} u=f & \hat{L} \equiv \nabla^{2}+k^{2} \\ \hline \end{array}       波动方程  热传导方程  Poisson 方程  Helmholtz 方程    t22ua22u=ftuκ2u=f2u=f2u+k2u=f 线    L^L^t22a22L^tκ2L^2L^2+k2
    根据线性算符的定义
    L ^ [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 L ^ [ u 1 ] + c 2 L ^ [ u 2 ] ( c 1 , c 2 为 常 数 ) \hat{L}\left[c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}\right]=c_{1} \hat{L}\left[u_{1}\right]+c_{2} \hat{L}\left[u_{2}\right] \quad\left(c_{1}, c_{2}\right. 为常数 ) L^[c1u1+c2u2]=c1L^[u1]+c2L^[u2](c1,c2)
    由线性代数的知识,我们可以得到以下推论:

    1. u 1 u_{1} u1 u 2 u_{2} u2 都是齐次方程 L ^ [ u ] = 0 \hat{L}[u]=0 L^[u]=0 的解, L ^ [ u 1 ] = 0 , L ^ [ u 2 ] = 0 \hat{L}\left[u_{1}\right]=0, \quad \hat{L}\left[u_{2}\right]=0 L^[u1]=0,L^[u2]=0 ,则它们的线性组合 c 1 u 1 + c 2 u 2 c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2} c1u1+c2u2 也是该齐次方程的解,

    L ^ [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = 0. \hat{L}\left[c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}\right]=0 . L^[c1u1+c2u2]=0.

    1. u 1 u_{1} u1 u 2 u_{2} u2 都是同一个非齐次方程 L ^ [ u ] = f \hat{L}[u]=f L^[u]=f 的解, L ^ [ u 1 ] = f , L ^ [ u 2 ] = f \hat{L}\left[u_{1}\right]=f, \quad \hat{L}\left[u_{2}\right]=f L^[u1]=f,L^[u2]=f,则它们的差 u 1 − u 2 u_{1}-u_{2} u1u2 一定是相应的齐次方程的特解, L ^ [ u 1 − u 2 ] = 0 \hat{L}\left[u_{1}-u_{2}\right]=0 L^[u1u2]=0。方程的解 = 非齐次方程的一个特解 + + + 齐次方程的解。
    2. u 1 u_{1} u1 u 2 u_{2} u2 分别满足非齐次方程 L ^ [ u 1 ] = f 1 , L ^ [ u 2 ] = f 2 \hat{L}\left[u_{1}\right]=f_{1}, \quad \hat{L}\left[u_{2}\right]=f_{2} L^[u1]=f1,L^[u2]=f2,则它们的线性组合 c 1 u 1 + c 2 u 2 c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2} c1u1+c2u2 满足非齐次方程 L ^ [ c 1 u 1 + c 2 u 2 ] = c 1 f 1 + c 2 f 2 \hat{L}\left[c_{1} u_{1}+c_{2} u_{2}\right]=c_{1} f_{1}+c_{2} f_{2} L^[c1u1+c2u2]=c1f1+c2f2

    在数学物理方程中,我们以两个自变量的线性偏微分方程为例,讨论方程的特解和通解。这类线性偏微分方程的普遍形式可以写为
    A 0 ∂ n u ∂ x n + A 1 ∂ n u ∂ x n − 1 ∂ y + ⋯ + A n ∂ n u ∂ y n + B 0 ∂ n − 1 u ∂ x n − 1 + ⋯ + M ∂ u ∂ x + N ∂ u ∂ y + P u = f ( x , y ) , A_{0} \frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n}}+A_{1} \frac{\partial^{n} u}{\partial x^{n-1} \partial y}+\cdots+A_{n} \frac{\partial^{n} u}{\partial y^{n}}+B_{0} \frac{\partial^{n-1} u}{\partial x^{n-1}}+\cdots+M \frac{\partial u}{\partial x}+N \frac{\partial u}{\partial y}+P u=f(x, y), A0xnnu+A1xn1ynu++Anynnu+B0xn1n1u++Mxu+Nyu+Pu=f(x,y),
    或者引进简写符号 D ^ x ≡ ∂ / ∂ x , D ^ y ≡ ∂ / ∂ y \hat{D}_{x} \equiv \partial / \partial x, \hat{D}_{y} \equiv \partial / \partial y D^x/x,D^y/y, 而将方程写成
    L ^ ( D ^ x , D ^ y ) u ≡ ( A 0 D ^ x n + A 1 D ^ x n − 1 D ^ y + ⋯ + A n D ^ y n + B 0 D ^ x n − 1 + ⋯ + M D ^ x + N D ^ y + P ) u = f ( x , y ) \begin{aligned} \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) u \equiv &\left(A_{0} \hat{D}_{x}^{n}+A_{1} \hat{D}_{x}^{n-1} \hat{D}_{y}+\cdots+A_{n} \hat{D}_{y}^{n}+B_{0} \hat{D}_{x}^{n-1}\right.\\ &\left.+\cdots+M \hat{D}_{x}+N \hat{D}_{y}+P\right) u=f(x, y) \end{aligned} L^(D^x,D^y)u(A0D^xn+A1D^xn1D^y++AnD^yn+B0D^xn1++MD^x+ND^y+P)u=f(x,y)
    其中 A 0 , A 1 , ⋯   , A n , B 0 , ⋯   , M , N , P A_{0}, A_{1}, \cdots, A_{n}, B_{0}, \cdots, M, N, P A0,A1,,An,B0,,M,N,P 都是 x , y x, y x,y 的已知函数,称为方程的系数。我们只讨论最简单的情形,即常系数的线性偏微分方程 (方程的系数均为常数),以及能化为常系数线性偏微分方程的方程。

    若讨论两个自变量的常系数线性齐次偏微分方程,则 f ( x , y ) = 0 f(x,y)=0 f(x,y)=0

    L ^ ( D ^ x , D ^ y ) \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) L^(D^x,D^y) D ^ x , D ^ y \hat{D}_{x}, \hat{D}_{y} D^x,D^y 的齐次式,则 P = 0 P=0 P=0,方程为
    ( A 0 D ^ x n + A 1 D ^ x n − 1 D ^ y + A 2 D ^ x n − 2 D ^ y 2 + ⋯ + A n D ^ y n ) u = 0. \left(A_{0} \hat{D}_{x}^{n}+A_{1} \hat{D}_{x}^{n-1} \hat{D}_{y}+A_{2} \hat{D}_{x}^{n-2} \hat{D}_{y}^{2}+\cdots+A_{n} \hat{D}_{y}^{n}\right) u=0 . (A0D^xn+A1D^xn1D^y+A2D^xn2D^y2++AnD^yn)u=0.
    这时,线性算符 L ^ ( D ^ x , D ^ y ) \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) L^(D^x,D^y) 可以分解成为 n n n 个线性算符的乘积
    L ^ ( D ^ x , D ^ y ) = A 0 ( D ^ x − α 1 D ^ y ) ( D ^ x − α 2 D ^ y ) ⋯ ( D ^ x − α n D ^ y ) , \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right)=A_{0}\left(\hat{D}_{x}-\alpha_{1} \hat{D}_{y}\right)\left(\hat{D}_{x}-\alpha_{2} \hat{D}_{y}\right) \cdots\left(\hat{D}_{x}-\alpha_{n} \hat{D}_{y}\right), L^(D^x,D^y)=A0(D^xα1D^y)(D^xα2D^y)(D^xαnD^y),
    其中 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} α1,α2,,αn 也都是常数。
    取试探解为 u = ϕ ( y + α x ) u=\phi(y+\alpha x) u=ϕ(y+αx),则
    D ^ x k u = α k ϕ ( k ) ( y + α x ) , D ^ y k u = ϕ ( k ) ( y + α x ) , D ^ x r D ^ y s u = α r ϕ ( r + s ) ( y + α x ) , \hat{D}_{x}^{k} u=\alpha^{k} \phi^{(k)}(y+\alpha x), \quad \hat{D}_{y}^{k} u=\phi^{(k)}(y+\alpha x), \quad \hat{D}_{x}^{r} \hat{D}_{y}^{s} u=\alpha^{r} \phi^{(r+s)}(y+\alpha x), D^xku=αkϕ(k)(y+αx),D^yku=ϕ(k)(y+αx),D^xrD^ysu=αrϕ(r+s)(y+αx),

    D ^ x k u \hat{D}_{x}^{k} u D^xku表示对 u u u n n n阶偏导

    代入方程即得
    ( A 0 α n + A 1 α n − 1 + ⋯ + A n ) ϕ ( n ) ( y + α x ) = 0. \left(A_{0} \alpha^{n}+A_{1} \alpha^{n-1}+\cdots+A_{n}\right) \phi^{(n)}(y+\alpha x)=0 . (A0αn+A1αn1++An)ϕ(n)(y+αx)=0.
    设代数方程 (称为附加方程,auxiliary equation)
    A 0 α n + A 1 α n − 1 + ⋯ + A n = 0 A_{0} \alpha^{n}+A_{1} \alpha^{n-1}+\cdots+A_{n}=0 A0αn+A1αn1++An=0
    的解是 α 1 , α 2 , ⋯   , α n \alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n} α1,α2,,αn, 且互不相等,则齐次方程的通解为
    u = ϕ 1 ( y + α 1 x ) + ϕ 2 ( y + α 2 x ) + ⋯ + ϕ n ( y + α n x ) u=\phi_{1}\left(y+\alpha_{1} x\right)+\phi_{2}\left(y+\alpha_{2} x\right)+\cdots+\phi_{n}\left(y+\alpha_{n} x\right) u=ϕ1(y+α1x)+ϕ2(y+α2x)++ϕn(y+αnx)
    其中 ϕ i , i = 1 , 2 , ⋯   , n \phi_{i}, i=1,2, \cdots, n ϕi,i=1,2,,n 是 (互相独立的) 任意 ( n n n 次可微) 函数。

    举例: 求方程 ∂ 2 u ∂ x 2 − a 2 ∂ 2 u ∂ y 2 = 0 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}=0 x22ua2y22u=0 的通解, a a a 为常数。
    解:因附加方程 α 2 − a 2 = 0 \alpha^{2}-a^{2}=0 α2a2=0 的解 α = ± a \alpha=\pm a α=±a,故方程的通解为
    u = ϕ 1 ( y + a x ) + ϕ 2 ( y − a x ) . u=\phi_{1}(y+a x)+\phi_{2}(y-a x) . u=ϕ1(y+ax)+ϕ2(yax).

    为了更好的掌握相关知识点,建议亲自动手计算此例题

    α \alpha α 是重根,例如是二重根, ( D ^ x − α D ^ y ) 2 u = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right)^{2} u=0 (D^xαD^y)2u=0,则通解为
    u = x ϕ 1 ( y + α x ) + ϕ 2 ( y + α x ) . u=x \phi_{1}(y+\alpha x)+\phi_{2}(y+\alpha x) . u=xϕ1(y+αx)+ϕ2(y+αx).
    α \alpha α n n n 重根,即 ( D ^ x − α D ^ y ) n u = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right)^{n} u=0 (D^xαD^y)nu=0,则方程的通解为
    u = x n − 1 ϕ 1 ( y + α x ) + x n − 2 ϕ 2 ( y + α x ) + ⋯ + x ϕ n − 1 ( y + α x ) + ϕ n ( y + α x ) . u=x^{n-1} \phi_{1}(y+\alpha x)+x^{n-2} \phi_{2}(y+\alpha x)+\cdots+x \phi_{n-1}(y+\alpha x)+\phi_{n}(y+\alpha x) . u=xn1ϕ1(y+αx)+xn2ϕ2(y+αx)++xϕn1(y+αx)+ϕn(y+αx).
    举例:方程 ( D ^ x 2 − 2 D ^ x D ^ y + D ^ y 2 ) u = 0 \left(\hat{D}_{x}^{2}-2 \hat{D}_{x} \hat{D}_{y}+\hat{D}_{y}^{2}\right) u=0 (D^x22D^xD^y+D^y2)u=0 的通解为
    u = x ϕ ( x + y ) + ψ ( x + y ) . u=x \phi(x+y)+\psi(x+y) . u=xϕ(x+y)+ψ(x+y).
    L ^ ( D ^ x , D ^ y ) \hat{L}\left(\hat{D}_{x}, \hat{D}_{y}\right) L^(D^x,D^y) 不是 D ^ x , D ^ y \hat{D}_{x}, \hat{D}_{y} D^x,D^y 的齐次式,则首先考虑一阶偏微分方程
    ( D ^ x − α D ^ y − β ) u = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}-\beta\right) u=0 (D^xαD^yβ)u=0
    前面已经求出此方程在 β = 0 \beta=0 β=0 时的通解 u = ϕ ( y + α x ) u=\phi(y+\alpha x) u=ϕ(y+αx)。当 β ≠ 0 \beta \neq 0 β=0 时可设解为
    u ( x , y ) = f ( x ) ϕ ( y + α x ) . u(x, y)=f(x) \phi(y+\alpha x) . u(x,y)=f(x)ϕ(y+αx).
    代入方程,有
    ( D ^ x − α D ^ y − β ) [ f ( x ) ϕ ( y + α x ) ] = f ( x ) ( D ^ x − α D ^ y ) ϕ ( y + α x ) + ϕ ( y + α x ) ( D ^ x − β ) f ( x ) = 0. \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}-\beta\right)[f(x) \phi(y+\alpha x)]=f(x)\left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right) \phi(y+\alpha x)+\phi(y+\alpha x)\left(\hat{D}_{x}-\beta\right) f(x)=0 . (D^xαD^yβ)[f(x)ϕ(y+αx)]=f(x)(D^xαD^y)ϕ(y+αx)+ϕ(y+αx)(D^xβ)f(x)=0.
    因为 ( D ^ x − α D ^ y ) ϕ ( y + α x ) = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}\right) \phi(y+\alpha x)=0 (D^xαD^y)ϕ(y+αx)=0,就得到 f ( x ) f(x) f(x) 满足的常微分方程
    f ′ ( x ) − β f ( x ) = 0. f^{\prime}(x)-\beta f(x)=0 . f(x)βf(x)=0.
    解之得 f ( x ) = e β x f(x)=\mathrm{e}^{\beta x} f(x)=eβx。因此,非齐次方程的通解就是
    u ( x , y ) = e β x ϕ ( y + α x ) . u(x, y)=\mathrm{e}^{\beta x} \phi(y+\alpha x) . u(x,y)=eβxϕ(y+αx).
    举例: 求方程 ∂ 2 u ∂ x 2 − ∂ 2 u ∂ x ∂ y − 2 ∂ 2 u ∂ y 2 + 2 ∂ u ∂ x + 2 ∂ u ∂ y = 0 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}-2 \frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+2 \frac{\partial u}{\partial x}+2 \frac{\partial u}{\partial y}=0 x22uxy2u2y22u+2xu+2yu=0 的通解.
    解: 容易看出,
    ( D ^ x 2 − D ^ x D ^ y − 2 D ^ y 2 + 2 D ^ x + 2 D ^ y ) u = ( D ^ x + D ^ y ) ( D ^ x − 2 D ^ y + 2 ) u = 0 \left(\hat{D}_{x}^{2}-\hat{D}_{x} \hat{D}_{y}-2 \hat{D}_{y}^{2}+2 \hat{D}_{x}+2 \hat{D}_{y}\right) u=\left(\hat{D}_{x}+\hat{D}_{y}\right)\left(\hat{D}_{x}-2 \hat{D}_{y}+2\right) u=0 (D^x2D^xD^y2D^y2+2D^x+2D^y)u=(D^x+D^y)(D^x2D^y+2)u=0
    故方程的通解为
    u = ϕ ( x − y ) + e − 2 x ψ ( y + 2 x ) . u=\phi(x-y)+\mathrm{e}^{-2 x} \psi(y+2 x) . u=ϕ(xy)+e2xψ(y+2x).
    注意: 若有重复性因子, 例如 ( D ^ x − α D ^ y − β ) 2 z = 0 \left(\hat{D}_{x}-\alpha \hat{D}_{y}-\beta\right)^{2} z=0 (D^xαD^yβ)2z=0, 则通解为
    z = x e β x ϕ ( y + α x ) + e β x ψ ( y + α x ) .  z=x \mathrm{e}^{\beta x} \phi(y+\alpha x)+\mathrm{e}^{\beta x} \psi(y+\alpha x) \text {. } z=xeβxϕ(y+αx)+eβxψ(y+αx)

    下一章节:波动方程的行波解

    想要直接看分离变量法的同学:分离变量法

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    F ( x , u , ∂ u ∂ x 1 , ∂ u ∂ x 2 , . . . , ∂ u ∂ x n , . . . , ∂ m u ∂ x 1 m 1 ∂ x 2 m 2 . . . ∂ x n m n ) = 0 F(\bold x,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n},...,\frac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}...\partial x_n^{m_n}})=0 F(x,u,x1u,x2u,...,xnu,...,x1m1x2m2...xnmnmu)=0
    其中,最高阶导数的阶数 m = m 1 + m 1 + . . . + m n m=m_1+m_1+...+m_n m=m1+m1+...+mn
    方程的阶

    线性偏微分方程:偏微分方程中与未知函数有关的部分是 u u u u u u的偏导数的线性组合(系数与 u u u u u u的偏导数无关)。

    常系数线性微分方程:方程中u和u的偏导数的系数是常数

    意义:偏微分方程反映了变量u及多个自变量 x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) \bold x=(x_1,x_2,...,x_n) x=(x1,x2,...,xn)间的相互制约关系。

    数学物理方程:从物理问题中导出的偏微分方程称为数学物理中的偏微分方程。有时还包括常微分方程和积分方程。

    偏微分方程的定解问题:泛定方程+定解条件

    • 泛定方程
    1. 波动方程 : ∂ 2 u ∂ t 2 = a 2 Δ u + f ( t , x → ) , a = T ρ , f ( t , x → ) = g ( t , x → ) ρ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),a=\sqrt{\frac{T}{\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{\rho} t22u=a2Δu+f(t,x ),a=ρT ,f(t,x )=ρg(t,x )

    2. 扩散方程: ∂ u ∂ t = a 2 Δ u + f ( t , x → ) ,   a = κ c ρ , f ( t , x → ) = g ( t , x → ) c ρ \frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),\space a=\sqrt{\frac{\kappa}{c\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{c\rho} tu=a2Δu+f(t,x ), a=cρκ ,f(t,x )=cρg(t,x )

    3. 场位方程: Δ u = − f ( x ) x = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) , n = 1 , 2 , 3 \Delta u=-f(x) \quad \bold x=(x_1,x_2,...,x_n),\quad n=1,2,3 Δu=f(x)x=(x1,x2,...,xn),n=1,2,3

    • 定解条件
    1. 初始条件(历史情况的影响)

    2. 边界条件(周围环境对边界的影响)

      第I类边界条件(给顶端点值): u ∣ x = x i = μ i ( t ) u|_{x=x_i}=\mu_i(t) ux=xi=μi(t)

      第II类边界条件(给定端点梯度): ∂ u ∂ n ∣ x = x i = f i ( t ) \frac{\partial u}{\partial n}|_{x=x_i}=f_i(t) nux=xi=fi(t)

      第III类边界条件(混合I&II): [ a i u + β i ∂ u ∂ n ] x = x i = F i ( t ) [a_iu+\beta_i\frac{\partial u}{\partial n}]_{x=x_i}=F_i(t) [aiu+βinu]x=xi=Fi(t)

    3. 衔接条件(系统内部边界)

    实际应用:找出泛定方程+定解条件,然后利用多种方法解偏微分方程

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  • 偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种:有限差分方法(FDM)、有限元方法(FEM)、有限体积方法(FVM),本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。一.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟...
  • Python小白的数学建模课-11.偏微分方程数值解法

    千次阅读 多人点赞 2021-08-17 14:10:06
    偏微分方程可以描述各种自然和工程现象, 是构建科学、工程学和其他领域的数学模型主要手段。 本文采用有限差分法求解偏微分方程,通过案例讲解一维平流方程、一维热传导方程、二维双曲方程、二维抛物方程和二维椭圆...
  • PDE
  • 计算出来用数学软件可以模拟出来分析的情况,满足何种性态 双方采取相同战略时 由k值判断情况 混合战斗时
  • 偏微分方程的基本概念

    千次阅读 2022-01-06 10:16:47
    特别的,在非线性偏微分方程中,关于未知数的所有最高阶偏导数都是线性的偏微分方程称为拟线性偏微分方程。在拟线性偏微分方程中,由最高阶偏导数组成的部分叫做主部。如果主部的系数都是常数或是自变量的已知函数的...
  • 从微分到积分:连续的弱形式 从无限到有限:离散的弱形式 从无限到有限:数值积分 总结 上面通过弱形式(变分)把偏微分方程转化为代数方程的方法统称为Galerkin方法。 偏微分数值计算方法就是为解决偏微分方程模型...
  • 微分方程模型——偏微分方程

    千次阅读 2021-07-14 23:50:56
    偏微分方程(PDE) 偏微分方程理论: 物理/工程问题————翻译(建模)/物理工程规律————》数学问题(PDE) 物理/工程问题————求解/数学理论————》数学结果 物理/工程问题————分析————》...
  • 图神经网络解偏微分方程系列(一)1. 标题和概述Learning continuous-time PDEs from sparse(稀疏) data with graph neural networks 使用图神经网络从稀疏数据中学习连续时间偏微分方程这篇文章是使用图神经网络从...
  • 这是在使用Julia解偏微分方程时相关的软件包的简要列表。 该信息主要从软件包存储库或已发布的报告或文章中收集。 如果 你以为错过了什么 您想修改或补充信息,或者 您希望不包含您的软件, 提出问题,甚至更好,使...
  • 【Python偏微分方程

    2022-05-24 08:57:59
    偏微分方程(PDE)是多元微分方程,方程中的导数是偏导数。处理ODE和PDE所需的计算方法大不相同,后者对计算的要求更高。 数值求解PDE的大多数技术都基于将PDE问题中的每个因变量离散化的思想,从而将微分问题变换为...
  • 一般地,n个自变量的二阶线性偏微分方程可表示为 ∑i,j=1naij(x1,⋅⋅⋅,xn)∂2u∂xi∂xj+∑j=1nbj(x1,⋅⋅⋅,xn)∂u∂xj+c(x1,⋅⋅⋅,xn)u=f(x1,⋅⋅⋅,xn)(1) \sum_{i,j=1}^na_{ij}(x_1,···,x_n)\frac{\partial...
  • 偏微分方程的数值(一):定问题 & 差分解法

    万次阅读 多人点赞 2019-04-30 11:59:42
    偏微分方程的数值系列博文: 偏微分方程的数值(一):定问题 & 差分解法 偏微分方程的数值(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程的数值(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...
  • MATLAB偏微分方程

    2021-04-18 04:59:50
    4.8.2 偏微分方程在自然科学的很多领域内,都会遇到微分方程初值问题,特别是偏微分方程,它的定问题是描述自然界及科学现象的最重要的工具。可以说,几乎自然界和各种现象都可以通过微分方程(特别是偏微分方程)来...

空空如也

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偏微分方程形式解