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  • 一、龙格-库塔法解微分方程在比赛中,... 希望能够确定系数 使在 前提下使得: Step1:将 在 做泰勒展开: Step2:将 带入第一步得: Step3:将 与 在 点处的泰勒展开比较: 带入 得到: 有三个方程,四个个未知量...

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    一、龙格-库塔法解微分方程

    在比赛中,我们经常会遇到不可解的微分方程,此时对微分方程求数值解就很有必要。因此,介绍微分方程的一般解法——龙格库塔法。

    1.基本思想

    考察以下格式,其中

    为步长。

    希望能够确定系数

    使在
    前提下使得:

    Step1:

    做泰勒展开:

    Step2:将

    带入第一步得:

    Step3:

    点处的泰勒展开比较:

    带入

    式得到:

    有三个方程,四个个未知量,因此可以根据情况确定。

    以上介绍的是龙格库塔的基本思想,下面介绍常用的四阶龙格库塔法

    2.四阶龙格-库塔法

    类似的,使用不同点值进行组合得到

    最常用的是四阶经典龙格库塔法

    3.编程实现

    考虑

    很容易解得:

    python如下编程:

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    
    class ode_RK_4:
        def __init__(self, func, T_span, Y0, Nt):
            """
            初始化函数
            :param func:需要计算的导函数即f(x,y)
            :param T_span: x的范围
            :param Y0: Y的初始值
            :param Nt: 需要分割的个数
            """
            self.func = func
            self.T = T_span
            self.Y0 = Y0
            self.Nt = Nt
            self.t_array = np.linspace(T_span[0], T_span[1], Nt)
            self.y_array = np.zeros(Nt)
            self.y_array[0] = Y0
            self.h = (T_span[1] - T_span[0]) / (Nt - 1)
    
        def main(self):
            """
            龙格库塔计算函数
            :return: 返回x的列表与y的列表
            """
            for i in range(0, self.Nt - 1):
                K1 = self.func(self.t_array[i], self.y_array[i])
                K2 = self.func(self.t_array[i] + self.h / 2, self.y_array[i] + self.h / 2 * K1)
                K3 = self.func(self.t_array[i] + self.h / 2, self.y_array[i] + self.h / 2 * K2)
                K4 = self.func(self.t_array[i] + self.h, self.y_array[i] + self.h * K3)
                self.y_array[i + 1] = self.y_array[i] + self.h / 6 * (K1 + 2 * K2 + 2 * K3 + K4)
            return self.t_array, self.y_array
    
    
    if __name__ == '__main__':
        def func(x, y): return np.exp(x) + y
    
    
        a = ode_RK_4(func, [0, 2], 1, 10)
        t, y = a.main()
    
        plt.plot(t, y,lw=2, label="'RK-4's result")
        plt.plot(t, np.exp(t) * (t + 1), '-.', label="Real")
        plt.xlabel('x')
        plt.ylabel('y')
        plt.legend()
        plt.show()
    

    得到的结果如下:

    可以看出结果是很精确地。

    c7cfa7c8fa47e5647052c947c5852a0e.png

    4.一阶方程组与高阶方程组数值解

    方程与高阶方程只需要考虑向量形式就好:

    记为

    如果太过于复杂,我建议使用库函数:scipy.integrate.solve_ivp 函数官方文档

    5.高阶方程组具体例子

    物理运动双复摆的微分方程:

    这个二阶微分方程显然没有数值解。

    编程内容如下图

    class Double_P():
        """
        这是双复摆的一个类
        """
    
        def __init__(self, m1, m2, l1, l2, g):
            A = m1 * l1 ** 2 / 6 + m2 * l1 ** 2 / 2
            B = m2 * l2 ** 2 / 6
            C = m2 * l1 * l2 / 2
            E = l1 * (m1 + 2 * m2) * g / 4
            F = l2 * m2 * g / 4
            M = np.array([[A / E, C / (2 * (E * F) ** 0.5)], [C / (2 * (E * F) ** 0.5), B / F]])
            result = np.linalg.eig(M)
            # 下面是一些物理值的计算,在今天的代码中使用不到
            lamb1, lamb2 = result[0]
            print('lmd1,lmd2')
            print(lamb1, lamb2)
            omega1, omega2 = 1 / (lamb2) ** 0.5, 1 / (lamb1) ** 0.5
            print('omega1,omega2:')
            print(omega1, omega2)
            print('lambda1,lambda2:')
            print((lamb1 - A / E) * 2 * E / C, (lamb2 - A / E) * 2 * E / C)
            # 在self中储存一些参量
            self.lambda1 = (lamb1 - A / E) * 2 * E / C
            self.lambda2 = (lamb2 - A / E) * 2 * E / C
            self.omega1 = omega1
            self.omega2 = omega2
            self.att = [m1, m2, l1, l2, g]
    
        def no_OF(self, t, y):
            """
            这是没有外力情况下的纽扣函数
            :param t: float
            :param y: 当前状态量
            :return: ddtheta, ddphi, dtheta, dphi
            """
            m1, m2, l1, l2, g = self.att
            dtheta, dphi, theta, phi = y
            coefficient_matrix = np.array([[m1 * l1 ** 2 / 3 + m2 * l1 ** 2, m2 * l1 * l2 * np.cos(theta - phi) / 2],
                                           [m2 * l1 * l2 * np.cos(theta - phi) / 2, m2 * l2 ** 2 / 3]])
            result_matrix = np.array(
                [-l1 * (m1 + 2 * m2) * g * np.sin(theta) / 2 - m2 * l1 * l2 * dphi ** 2 * np.sin(theta - phi) / 2
                    ,
                 -l2 * m2 * g * np.sin(phi) / 2 + m2 * l1 * l2 * dtheta ** 2 * np.sin(theta - phi) / 2])
            ddtheta, ddphi = line_s.solve(coefficient_matrix, result_matrix)
            return ddtheta, ddphi, dtheta, dphi
    
        def sol_ode(self, t_max, y0, step, func, args=None, return_Q=False):
            """
            this is func to cal double_bai's theta and phi with time going
            :param t_max: the max_t
            :param y0: ini_attribute:dtheta0, dphi0, theta0, phi0
            :param step: time_step in ode
            :param attribute: m1,m2,l1,l2,g
            :return: a array like array_t np.arange(0, t_max, step)
            """
            t_span = [0, t_max]
            t_eval = np.arange(0, t_max, step)
            result = sci_int.solve_ivp(func, t_span=t_span, y0=y0, max_step=0.01, t_eval=t_eval,
                                       method='DOP853', args=args)
            return result.y[:, :], t_eval

    解得画图结果:

    640ba646f55d28e96361a3efb4be0371.png
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  • 未知函数是多元函数的,叫做偏微分方程。常微分方程有时也简称方程。微分方程是一门复杂的学科,对于常微分方程来说,可以使用特征值和特征向量的知识求解。相关前置知识: 泰勒公式在0点展开的原因:多项式函数能够...

    微分方程指含有未知函数及其导数的关系式,解微分方程就是找出未知函数。未知函数是一元函数的,叫常微分方程;未知函数是多元函数的,叫做偏微分方程。常微分方程有时也简称方程。微分方程是一门复杂的学科,对于常微分方程来说,可以使用特征值和特征向量的知识求解。相关前置知识:

    泰勒公式在0点展开的原因:多项式函数能够拟合非线性问题原理
        求行列式:行列式和代数余子式
        特征值和特征向量:特征值和特征向量
        矩阵对角化:矩阵的对角化和方幂

    常微分方程的一般解法


    根据概念构造一个常微分方程:

    f69fc4847964a33d3f6315dd9aa2a0ac.png

      目标是求得原函数u=u(t)的具体形式。通过积分求解:

    a851c0cf2e7cc455b2a3dda37f143c7e.png

      这就是最终答案的通解,C是任意常数。实际上这种解法就是利用了不定积分的知识:

    89be4dbaf3fee7649b5f97469fb062ca.png


      如果

    ,可以使用分离变量法的求解方式:

    9ffdaaea6121777ec461e3afcdee0ad9.png

      也就是说,当函数的导数是函数本身的时候,这个函数就是型如

    的函数,由于
    是任意常数,所以经常用C代替A,写成
    的形式。

      同理,对于
    ,微分方程的解是
    。当t=0时:

    1c0b17be27f5d6ff7b11b4b208050b6a.png


      由于C是任意常数,因此可以取C=u(0),得到

    ,这样做可以去掉常数C。在实际问题中,u可以表示关于时间t的函数,对于时间来说,通常可以把t=0看作初始条件。

    常微分方程与矩阵

     现在将常微分方程扩展为常微分方程组,

    ,初始条件是t=0,初始值是
    u(0)=(1,0),求解微分方程:

    e1a806cfcda9575cbb9a1c8d0fba1cb4.png

      可以把微分方程组写成向量矩阵的形式:

    61ca970ec2eaa308fddb999050d85190.png

      相当于将常微分方程中转换成了

    的线性形式。


    常微分方程的线性代数解法

    对于

    来说,
    之间存在耦合(没有耦合就没必要写成方程组了),A表示它们的耦合关系:

    8b68cf276361cd16061b1229af4d7f86.png

    A可以用特征值和特征向量对角化,因此方程的解和矩阵A的特征值和特征向量存在关联关系。先求矩阵A的特征值。

      或许你可以马上看出A是个奇异矩阵,因此一个特征值是

    。特征值之和是矩阵的迹,迹是矩阵主对角线元素和,因此可以求得另一个特征值是

      当然也可以用正统的方法求解:

    46670fd91c32f307f210724de0d9842a.png

      接下来根据特征方程求得特征向量。

    7d9e07460a855eb8b2c3d3725ed88594.png


    1、特解

     微分方程组有两组特解:

    ad41c1a1c734b70f411c4ca62dec66e5.png

      这是两个纯指数解的组合。需要注意的是,这里

    都是二维向量,因此
    也是二维的。

      来验证一下

    ,如果u=
    是方程的解,把
    代入原方程:

    80232483d5675991513d09658aed4c17.png


      只要验证①=②是否成立就可以了,假设等式成立:

    b2e9c2ed87b755187e36abc5efdfd319.png

    的一组特征向量和特征值,因此①=②成立,
    是微分方程的解。同理,
    也是微分方程的解。


    2、通解

     对于du/dt = Au来说,如果

    是方程的解,那么它们的线性组合也是方程的解,因此微分方程的通解是:

    4e3d2a8452d3a06db0a53f4761ba9c10.png

      验证的方法和验证特解类似:

    f29a010210005bbeeb91074590d00c85.png

      只要验证③=④是否成立就可以了,假设等式成立:

    f769f4fd1b34acb13d5927b93e635dae.png

    的一组特征向量和特征值,因此⑤成立。同理,⑥也成立,因此通解成立。

      最后将λ和x的值代入通解:

    ceb138d83e66bbc3aa812784f4159f15.png


      如果没有初始条件,到这里就结束了,这就是u(t)的形态。本例给出了初始值,可以由此继续计算出

    0acc24af68ca70a8a57fa9af19c59623.png


      当t→∞时:

    39667e65dbebd3c2c8a2ea710eb209fc.png


      随着t的增加,u(t)逐渐收敛到一个定值,我们称u(t)为稳态。

      通解指出了当A是2×2矩阵时u(t)达到稳态的条件:A的其中一个特征值是0,且另一个特征值小于0(如果是复数,则复数的实部小于0)。如果

    ,u(t)是发散的。


    3、解耦

    回顾上一节的内容,在通过初始值求解C的时候:

    1f9c4be02c613da6d3902cba2a4dd42e.png


      如果用S表示特征向量矩阵,则上式可以写成Sc=u(0),即通过Sc=u(0)可以求得c。

    484a7a4f65478eedf3555527bb0ef0e5.png


      常微分方程组

    是两个互相耦合的未知函数,
    A表明了它们的耦合关系,求解微分方程组的关键是如何解耦,而解耦的方式正是利用特征值和特征向量。现在的问题是,能否把微分方程的解表示成S和Λ的形式(Λ是特征值矩阵,参考上一章内容)?

      既然u是通过A耦合的,A又能通过S和Λ对角化

    ,因此
    u可以用特征向量矩阵S解耦,令u=Sv,v(t)是某个未知的常微分方程组:

    8a04dd09447d96331704f5d3cf677dc3.png


      S是常矩阵,因此:

    e114b05d2bbc974e939f1f92db3d792a.png


      根据上一章矩阵对角化的内容:

    7c0018191ae3f00f3da77f37a7706510.png


      这实际上是得到了没有耦合的新方程组:

    ac9e62ab44b12c2629fed4f858f90ff7.png


      每个方程都可以套用一开始讲过的内容:du/dt=λu,微分方程的解是

    ,再代入初始条件t=0,

    fa6a5bf073e65b53218b5a5bf599a26f.png


      将二者合并:

    591fffc40f3fb60a0ef8690763c91e51.png

    v(0)的具体值我们不知道也不关心,只知道是个常向量,Sc=u(0),c是任意常向量,设c=v(0):

    696004c8cef02581941746c51bd8e999.png


      更进一步:

    648c4cc4488a85e1755b87465d645330.png


      接下来解释为什么会得到这个结论。


    矩阵指数exp(At)

     A是矩阵,

    是以矩阵为指数的表达式,它代表什么意思呢?

      我们知道f(x)在x=0点处的泰勒展开式:

    4c456fb898f3f71c59dad12d1c56e33e.png

    点处的泰勒展开式是:

    88f113949a063fb079acced23a00003c.png


      0的阶乘是1。展开式是收敛的,越靠后的项对总体的影响越小,越接近于0。证明起来较为容易:

    cb25470c48ce2e3873badb4e00b9dceb.png


      因此

    是收敛的。

      同样,
    点处进行泰勒展开,注意这里的
    OA的同阶零矩阵,
    等于单位矩阵:

    e07605ec1aa8a4a66860452e385004d9.png

    也是收敛的。

      上一章已经讲过矩阵的对角化:

    841705708ab4debd2ad5b24e9eaf4e00.png


      代入到

    中:

    84317dbb72ffadc8564bc753884f4312.png


      中间的一大堆正好是

    的泰勒展开式,因此
    最终可以写成:

    510e9414aebe0cd11dada01b367a7d7a.png


      这就是矩阵指数的公式,当然,上式成立的前提是A可以对角化,即

    存在n个独立的特征向量。

      最后再来看看
    是什么。

    35dc6bef67baa2975567c881e3aeba71.png


      和通解的形式一致,如果有初始值,可以根据初始值计算出具体的C。


    二阶常微分方程

    现在有一个二阶常微分方程:

    0902553ca684b1d83a897fe317fcb1e7.png


      求解时需要把方程转换成矩阵的形式:

    f300f2f4fc1ea7caa8e4228ed6db873a.png


      这就又变成了du/dt=Au的形式,可以用矩阵直接求解。


    综合示例


    求解三阶常微分方程并构建

    cb5b9aa26cf11f723ebda72e726f9fae.png


      接下来需要求得A的特征值和特征矩阵。根据特征方程可得到:

    2b8d0a1a2e8be5ac938659a57f327bf0.png


      接下来通过3个特征值求的特征向量:

    bc693e458db2076c79e8a13153e202b1.png


      第1个特征向量的特解是:

    e54856aabc75bf24268c31d679fda5ff.png


      类似的方式求得另外两个特征向量:

    3b49a9db138c2585c63d112d81d63473.png


      u(t)的通解:

    3d03e7010682f438cedf496ac889e08f.png


      最后来构建

    b15734c8a464ad8e528e7971e1f5b840.png
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  • 在解组件特性相关的方程式时,大多数的时候都要去解偏微分或积分,才能求得其正确的解。依照求解方法的不同,可以分成以下两类:解析解和数值解。 解析解(analytical solution)就是一些严格的公式,给出任意的自...

    在解组件特性相关的方程式时,大多数的时候都要去解偏微分或积分式,才能求得其正确的解。依照求解方法的不同,可以分成以下两类:解析解和数值解。

    解析解(analytical solution)就是一些严格的公式,给出任意的自变量就可以求出其因变量,也就是问题的解, 他人可以利用这些公式计算各自的问题.
    所谓的解析解是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式。
    用来求得解析解的方法称为解析法〈analytic techniques〉,解析法即是常见的微积分技巧,例如分离变量法等。
    解析解为一封闭形式〈closed-form〉的函数,因此对任一独立变量,我们皆可将其带入解析函数求得正确的相应变量。
    因此,解析解也被称为闭式解(closed-form solution)

    数值解(numerical solution)是采用某种计算方法,如有限元的方法, 数值逼近,插值的方法, 得到的解.别人只能利用数值计算的结果, 而不能随意给出自变量并求出计算值.
    当无法藉由微积分技巧求得解析解时,这时便只能利用数值分析的方式来求得其数值解了。数值方法变成了求解过程重要的媒介。
    在数值分析的过程中,首先会将原方程式加以简化,以利后来的数值分析。
    例如,会先将微分符号改为差分符号等。然后再用传统的代数方法将原方程式改写成另一方便求解的形式。
    这时的求解步骤就是将一独立变量带入,求得相应变量的近似解。
    因此利用此方法所求得的相应变量为一个个分离的数值〈discrete values〉,不似解析解为一连续的分布,而且因为经过上述简化的动作,所以可以想见正确性将不如解析法来的好。

    数值解是在特定条件下通过近似计算得出来的一个数值,而解析解为该函数的解析式。
    解析解就是给出解的具体函数形式,从解的表达式中就可以算出任何对应值; 数值解就是用数值方法求出解,给出一系列对应的自变量和解。

    参考:http://deeplearning.stanford.edu/wiki/index.php/Softmax%E5%9B%9E%E5%BD%92

    https://www.cnblogs.com/ljy2013/p/5129294.html
    泰勒展开的概念:
    数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。如果函数足够平滑的话,在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下,泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

    泰勒展开:已知一个函数的在某个已知点的值,以及在该点的一阶、二阶值,那么可以通过泰勒展开求取函数在该点邻域的值;很强大!!!
    上述中某个点在实际中,既可能只包含一个元素的点(即一维的点);也可能是包含多个元素的点(即多维的点);

    引入牛顿法:(牛顿法的前提其实是泰勒展开)

    当点是一维的时候,很简单的计算形式,就可以求出X(k+1)与X(k)满足的迭代关系(注意,我们之前,通过令导数为0,求诸如一元二次方程的解,求出来的直接是函数取得极值时的点;现在是我们不能通过求的极值等闭合解的形式求取出解,我们需要借助数值解的形式,找出函数在取所有点时的输出来确定函数;因此,可以通过这样一个策略:首先,我们知道一个初始点;然后,我们可以知道该点的迭代方向(前提是必须保证点沿着这个方向迭代我们想得到的函数值一定往收敛的方向跑);最后,一直这样迭代求函数值下去,知道函数值达到我们的最小值;

    当点是二维(或者大于二维的时候),我们可以通过同样的方式求解,只不过,求一阶导的时候增加了维度;求二阶导就变成了海森矩阵;由于海森矩阵非奇异,因此可以求逆,这样可以直接求得二维或者多维的点的迭代方向(按理说应该是一个向量);这样依次迭代下去,按同样的思路可以求得极值。

    由于牛顿法的过程中,没有迭代的步长因子,因此,对于二次项收敛(即,函数最高为二次项)的函数,一步迭代即可;而对于非二次项(比如三次项,用二次项的迭代方向有可能达不到想要的效果),其定长迭代会导致函数取值偏差很大,因此,牛顿法有上述缺点。

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