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  • 偏微分方程特征值问题
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    2020-05-03 01:24:02

    先求通解再确定特解,是求常微分方程定解问题采用的方法,都某些偏微分方程,也能通过积分求出通解,进而确定出满足定解条件的特解。

    两个自变量的一阶线性偏微分方程

    今有两个自变量的一阶线性偏微分方程。
    a ( x , y ) ∂ u ∂ x + b ( x , y ) ∂ u ∂ y + c ( x , y ) u = f ( x , y ) (1) a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}+c(x,y)u=f(x,y) \tag{1} a(x,y)xu+b(x,y)yu+c(x,y)u=f(x,y)(1)
    其中,系数 a ( x , y ) , b ( x , y ) , c ( x , y ) a(x,y),b(x,y),c(x,y) a(x,y),b(x,y),c(x,y)是平面区域 D ⊂ R 2 D\subset \bold R^2 DR2上的连续函数,且 a ( x , y ) , b ( x , y ) a(x,y),b(x,y) a(x,y),b(x,y)不同时为零, f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)在D上连续,称为方程的非齐次项。若 f ( x , y ) ≡ 0 f(x,y)\equiv 0 f(x,y)0,方程为齐次的。

    思路:将两个自变量的方程化为求一个自变量的方程

    情况1:如果在D上, a ( x , y ) ≡ 0 , b ( x , y ) ≠ 0 a(x,y)\equiv 0,b(x,y)\neq 0 a(x,y)0,b(x,y)=0,方程(1)改写为
    ∂ u ∂ x + c ( x , y ) b ( x , y ) u = f ( x , y ) b ( x , y ) (2) \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{c(x,y)}{b(x,y)}u=\frac{f(x,y)}{b(x,y)} \tag{2} xu+b(x,y)c(x,y)u=b(x,y)f(x,y)(2)
    利用一阶线性常微分方程的求解方法得其通解。
    u ( x , y ) = e x p ( − ∫ c ( x , y ) b ( x , y ) d y ) ⋅ [ ∫ e x p ( ∫ c ( x , y ) b ( x , y ) ) f ( x , y ) b ( x , y ) d y + g ( x ) ] u(x,y)=exp(-\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)}dy)·[\int exp(\int \frac{c(x,y)}{b(x,y)})\frac{f(x,y)}{b(x,y)}dy+g(x)] u(x,y)=exp(b(x,y)c(x,y)dy)[exp(b(x,y)c(x,y))b(x,y)f(x,y)dy+g(x)]
    其中, g ( x ) g(x) g(x)为任意C函数。

    情况2:如果在D上, a ( x , y ) b ( x , y ) ≠ 0 a(x,y)b(x,y)\neq 0 a(x,y)b(x,y)=0,方程(1)不能直接积分求解,试作待定的自变量代换
    { ξ = φ ( x , y ) η = ψ ( x , y ) (a) \begin{cases} \xi=\varphi(x,y) \\ \eta=\psi(x,y) \end{cases} \tag{a} {ξ=φ(x,y)η=ψ(x,y)(a)
    要求其雅可比(Jacobi)行列式
    J ( φ , ψ ) = ∂ ( φ , ψ ) ∂ ( x , y ) = ∣ ∂ φ ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ ψ ∂ x ∂ ψ ∂ y ∣ ≠ 0 J(\varphi,\psi)=\frac{\partial (\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}= \begin{vmatrix} \frac{\partial \varphi}{\partial x} & \frac{\partial \varphi}{\partial y} \\ \frac{\partial \psi}{\partial x} & \frac{\partial \psi}{\partial y} \end{vmatrix} \neq 0 J(φ,ψ)=(x,y)(φ,ψ)=xφxψyφyψ=0
    以保证新变量 ξ , η \xi,\eta ξ,η的相互独立性,利用链式法则
    ∂ u ∂ x = ∂ u ∂ ξ ∂ ξ ∂ x + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ x = ∂ φ ∂ x ∂ u ∂ ξ + ∂ ψ ∂ x ∂ u ∂ η ∂ u ∂ y = ∂ u ∂ ξ ∂ ξ ∂ y + ∂ u ∂ η ∂ η ∂ y = ∂ φ ∂ y ∂ u ∂ ξ + ∂ ψ ∂ y ∂ u ∂ η \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial x}=\frac{\partial \varphi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial x}\frac{\partial u}{\partial \eta} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial \xi}\frac{\partial \xi}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \eta}\frac{\partial \eta}{\partial y}=\frac{\partial \varphi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \xi}+\frac{\partial \psi}{\partial y}\frac{\partial u}{\partial \eta} xu=ξuxξ+ηuxη=xφξu+xψηuyu=ξuyξ+ηuyη=yφξu+yψηu
    u = u ( x , y ) u=u(x,y) u=u(x,y)的方程(1)变为 u = u ( x ( ξ , η ) , y ( ξ , η ) ) = u ( ξ , η ) u=u(x(\xi,\eta),y(\xi,\eta))=u(\xi,\eta) u=u(x(ξ,η),y(ξ,η))=u(ξ,η)的新方程
    ( a ∂ φ ∂ x + b ∂ φ ∂ y ) ∂ u ∂ ξ + ( a ∂ ψ ∂ x + b ∂ ψ ∂ y ) ∂ u ∂ η + c u = f (3) (a\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b\frac{\partial \varphi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \xi}+(a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{3} (axφ+byφ)ξu+(axψ+byψ)ηu+cu=f(3)
    若取 ξ = φ ( x , y ) \xi=\varphi(x,y) ξ=φ(x,y)是齐次一阶线性偏微分方程
    a ( x , y ) ∂ φ ∂ x + b ( x , y ) ∂ φ ∂ y = 0 (4) a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 \tag{4} a(x,y)xφ+b(x,y)yφ=0(4)
    的解,则新方程(3)称为(2)型的方程
    ( a ∂ ψ ∂ x + b ∂ ψ ∂ y ) ∂ u ∂ η + c u = f (b) (a\frac{\partial \psi}{\partial x}+b\frac{\partial \psi}{\partial y})\frac{\partial u}{\partial \eta}+cu=f \tag{b} (axψ+byψ)ηu+cu=f(b)
    η \eta η积分便可求出通解。

    以下求解一阶线性偏微分方程(4),它的解对应与相应的常微分方程
    a ( x , y ) d y − b ( x , y ) d x = 0 (5) a(x,y)dy-b(x,y)dx=0 \tag{5} a(x,y)dyb(x,y)dx=0(5)
    亦即
    d x a ( x , y ) = d y b ( x , y ) (6) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} \tag{6} a(x,y)dx=b(x,y)dy(6)
    的解之间存在确定的关系。

    定理:若 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h(常数)是一阶常微分方程(5)在区域D内的隐式通解(积分曲线族),则 ξ = φ ( x , t ) \xi=\varphi(x,t) ξ=φ(x,t)是一阶线性偏微分方程(4)在区域D上的一个解。

    证明:设 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h是方程(5)在D内的隐式通解,则过D内一点 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)有一条积分曲线 Γ 0 : φ ( x , y ) = φ ( x 0 , y 0 ) = h 0 \Gamma_0:\varphi(x,y)=\varphi(x_0,y_0)=h_0 Γ0:φ(x,y)=φ(x0,y0)=h0,此隐式解满足方程
    d x a ( x , y ) = d y b ( x , y ) \frac{dx}{a(x,y)}=\frac{dy}{b(x,y)} a(x,y)dx=b(x,y)dy
    又沿此积分曲线 Γ 0 \Gamma_0 Γ0,有
    ∂ φ ∂ x d x + ∂ φ ∂ y d y = 0 \frac{\partial \varphi}{\partial x}dx+\frac{\partial \varphi}{\partial y}dy=0 xφdx+yφdy=0
    故在 Γ 0 \Gamma_0 Γ0上,有
    a ( x , y ) ∂ φ ∂ x + b ( x , y ) ∂ φ ∂ y = 0 a(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial \varphi}{\partial y}=0 a(x,y)xφ+b(x,y)yφ=0
    由于 ( x 0 , y 0 ) (x_0,y_0) (x0,y0)是D内任意一点,故 ξ = φ ( x , y ) \xi=\varphi(x,y) ξ=φ(x,y)是一阶线性偏微分方程(4)在D上的解。

    定题的逆命题也成立。

    由常微分方程理论,一阶常微分方程(5)在区域D内存在且仅存在一族独立的积分曲线。如果求出了方程(5)的积分曲线族 φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h,再任取函数 ψ ( x , y ) \psi(x,y) ψ(x,y),使在D上 J ( φ , ψ ) ≠ 0 J(\varphi,\psi)\neq 0 J(φ,ψ)=0,以此 φ \varphi φ ψ \psi ψ作变量代换(a)式,一阶线性偏微分(1)便可化为可积分求通解的方程(b)。

    特别地,当 c ( x , y ) = f ( x , y ) ≡ 0 c(x,y)=f(x,y)\equiv 0 c(x,y)=f(x,y)0时,方程(1)即为方程(4),相应的新方程(b)为 ∂ u ∂ η = 0 \frac{\partial u}{\partial \eta}=0 ηu=0,其通解为 u = g ( ξ ) , g ( ξ ) u=g(\xi),g(\xi) u=g(ξ),g(ξ)为任意C函数。代回原自变量,得方程
    a ( x , y ) ∂ u ∂ x + b ( x , y ) ∂ u ∂ y = 0 a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 a(x,y)xu+b(x,y)yu=0
    的通解 u = g ( φ ( x , y ) ) u=g(\varphi(x,y)) u=g(φ(x,y))。这里, φ ( x , y ) = h \varphi(x,y)=h φ(x,y)=h是常微分方程(5)的隐式通解, g ( ξ ) g(\xi) g(ξ)是任意C函数。

    如果给定u在某一曲线 Γ : γ ( x , y ) = d \Gamma:\gamma(x,y)=d Γ:γ(x,y)=d上的值,则需求解定解问题
    { a ( x , y ) ∂ u ∂ x + b ( x , y ) ∂ u ∂ y = 0 u ∣ γ ( x , y ) = d = θ ( y ) \begin{cases} a(x,y)\frac{\partial u}{\partial x}+b(x,y)\frac{\partial u}{\partial y}=0 \\ u|_{\gamma(x,y)=d}=\theta(y) \end{cases} {a(x,y)xu+b(x,y)yu=0uγ(x,y)=d=θ(y)
    用定解条件定出通解中的任意函数 g ( ξ ) g(\xi) g(ξ)即可。

    这种求解定解问题的方法称之为通解法。常微分方程(5)或等价的方程(6)称为一阶线性偏微分方程(1)的特征方程,其积分曲线称之为特征曲线

    例1:求解右行单波方程的初值问题
    { ∂ u ∂ t + a ∂ u ∂ x = 0 , t > 0 , − ∞ < x < + ∞ u ∣ t = 0 = φ ( x ) \begin{cases} \frac{\partial u}{\partial t}+a \frac{\partial u}{\partial x}=0,\quad t>0,-\infty<x<+\infty \\ u|_{t=0}=\varphi(x) \end{cases} {tu+axu=0,t>0,<x<+ut=0=φ(x)
    其中, a > 0 a>0 a>0为常数。

    :特征方程 d x − a d t = 0 dx-adt=0 dxadt=0特征线族 x − a t = h x-at=h xat=h

    ξ = x − a t , η = x \xi=x-at, \eta=x ξ=xat,η=x,则方程化为
    ∂ u ∂ η = 0 \frac{\partial u}{\partial \eta}=0 ηu=0
    η \eta η积分得通解 u = g ( ξ ) = g ( x − a t ) u=g(\xi)=g(x-at) u=g(ξ)=g(xat),其中, g ( ξ ) g(\xi) g(ξ)是任意C函数。由初始条件
    u ∣ t = 0 = g ( x ) = φ ( x ) u|_{t=0}=g(x)=\varphi(x) ut=0=g(x)=φ(x)
    得该初值问题的解 u ( t , x ) = φ ( x − a t ) u(t,x)=\varphi(x-at) u(t,x)=φ(xat)

    ( x , u ) (x,u) (x,u)平面上看(图1.3.1), t = 0 t=0 t=0 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x),对每个固定时刻 t > 0 , u = φ ( x − a t ) ] t>0,u=\varphi(x-at)] t>0u=φ(xat)],其图形相当于曲线 u = φ ( x ) u=\varphi(x) u=φ(x)向右移动了 a t at at,波形的传播速度为 a a a。称这样的解为右行波解

    ( x , t , u ) (x,t,u) (x,t,u)空间看(图1.3.2),波形沿特征线传播。在特征线 x − a t = h x-at=h xat=h上, u = φ ( x − a t ) = φ ( h ) u=\varphi(x-at)=\varphi(h) u=φ(xat)=φ(h),故当观察者沿某条特征线前行时,看到的波形始终不变。如果初始扰动 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)只发生在区间 h 1 ≤ x ≤ h 2 h_1\leq x\leq h_2 h1xh2内,则这个扰动沿着 ( x , t ) (x,t) (x,t)平面上的特征条形域 h 1 ≤ x − a t ≤ h 2 h_1\leq x-at\leq h_2 h1xath2传播。

    在这里插入图片描述

    本例中初始条件给在非特征线的直线 t = 0 t=0 t=0上,从通解可唯一确定特解。如果初始条件给在一条特征线 x − a t = h 0 x-at=h_0 xat=h0上,初始条件 u ∣ x − a t = h 0 = g ( x − a t ) ∣ x − a t = h 0 = g ( h 0 ) = φ ( x ) u|_{x-at=h_0}=g(x-at)|_{x-at=h_0}=g(h_0)=\varphi(x) uxat=h0=g(xat)xat=h0=g(h0)=φ(x),当 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)为非常值函数时无解,当 φ ( x ) \varphi(x) φ(x)为常数 φ 0 \varphi_0 φ0时有无穷多个解 g ( ξ ) g(\xi) g(ξ),只要 g ( h 0 ) = φ 0 g(h_0)=\varphi_0 g(h0)=φ0

    对于左行单波方程 ∂ u ∂ t − a ∂ u ∂ x = 0 \frac{\partial u}{\partial t}-a\frac{\partial u}{\partial x}=0 tuaxu=0,同样可求得其通解为左行波 u = g ( x + a t ) u=g(x+at) u=g(x+at) g g g为任意 C 1 C^1 C1函数(一阶连续导数)。

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  • 偏微分方程基础

    千次阅读 2021-05-25 09:31:28
    第50篇 偏微分方程 一个偏微分方程(PDE)包含两个或多个自变量的导数。这与之前描述的常微分方程(ODE)相反,后者只涉及一个自变量。 工程和科学中的许多现象都是用偏微分方程描述的。例如,一个因变量,如压力或温度...

    第五十篇 偏微分方程

    一个偏微分方程(PDE)包含两个或多个自变量的导数。这与之前描述的常微分方程(ODE)相反,后者只涉及一个自变量。
    工程和科学中的许多现象都是用偏微分方程描述的。例如,一个因变量,如压力或温度,可以作为时间(t)和空间(x, y, z)的函数变化。
    求解偏微分方程的两种最著名的数值方法是有限差分法和有限元法。这里仅仅做一个简单的介绍,因为有很多书都详细地描述了这两种方法,,而且在我的第二大板块也会进行有限元理论和编程的讲解。
    本篇是让大家熟悉偏微分方程,并对它们所描述的物理现象的类型给予深入的了解。然后将通过简单的示例解决这些问题。

    偏微分方程(PDE)的定义和类型

    考虑以下两个自变量的二阶偏微分方程
    在这里插入图片描述
    注意“混合”导数的存在,例如与系数b相关的导数。
    如果a, b, c,…当g仅为x和y的函数时,方程是“线性的”,但如果这些系数包含u或其导数,则方程是“非线性的”。
    偏微分方程的次是最高阶导数的次,因此上式为一次。本文只讨论一次方程。
    研究二阶偏微分方程时经常遇到的一种简化符号是‘拉普拉斯’算子
    在这里插入图片描述
    另一种是“双调和算子”
    在这里插入图片描述
    下表总结了一些常见的偏微分方程和它们所代表的工程应用类型。
    在这里插入图片描述

    一阶方程

    虽然大多数工程应用都涉及二阶偏微分方程,但我们首先考虑一阶方程,因为这样可以方便地介绍“特性法”。
    考虑一阶方程
    在这里插入图片描述
    a b c可以是x y u的函数,但不能是u的导数。
    下面的替换可以简化代数
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    上面一阶方程的一个“解”是在x, y平面内任意一点上u的估值。为了在这个解域中找到u的值,需要一些“初始条件”。
    如下图所示,令u在解域中沿直线I的初值已知。现在考虑一条与初始线I相交的任意直线C。
    在这里插入图片描述
    考虑沿直线C在点D和点E之间的微小变化。
    这就引出了一个等式
    在这里插入图片描述
    当δx→0和δy→0的极限将变成
    在这里插入图片描述
    或者,从前面方程
    在这里插入图片描述
    重新排列得到
    在这里插入图片描述
    这个命题对任意直线C都成立,但如果我们选择C,使其沿其长度的所有点,满足下面的条件
    在这里插入图片描述
    q也可以从方程中消去,得到
    在这里插入图片描述
    结合上面方程得到
    在这里插入图片描述
    因此,原始偏微分方程被简化为沿选定的线C的常微分方程(ODE),这被称为“特征”。可以证明,在解域内,存在一系列的特征线,沿这些特征线,偏微分方程简化为常微分方程。沿着这些“特征”,常微分方程的解技术可以被使用,如之前描述的方法。详情可见
    得到一对一阶常微分方程
    在这里插入图片描述
    其中初始条件(x0, y0)、(x0, u0)分别对应于特征线C与初始条件线I交点处的x、y、u的值。
    因此,如果我们知道u0在任意初始点(x0, y0)的值,可以求出上面方程常微分方程的解,

    计算实例

    已知一阶线性偏微分方程
    在这里插入图片描述
    在初始条件u(x, 0) = x2的情况下,计算u(3,19)
    方程是线性的,因此在这种情况下可以用解析解。根据‘特征’
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    对第一个方程积分得到y = x
    3 + k,它代表了特征线族。我们具有点(3,19)的‘特征’,因此
    在这里插入图片描述
    也就是直线C的方程。
    将y代入第二个方程得到
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    初始值线I与如下图所示的x轴重合,与C相交于(2,0)处,u = 4
    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述
    因此,当x = 3时,u = 14.75。

    计算实例

    给出一阶非线性偏微分方程
    在这里插入图片描述
    在给定初始条件u(x, 0) = 1的情况下,求‘特征’通过点(1,0)时u的值。
    沿着特征
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    对于这样的非线性方程,数值解可能更方便。我们要求u(1.1)沿着这一特征,这样之前篇章中描述的初值问题的程序都可以使用。利用此篇常微分方程的一步法程序和步长h = 0.1的四阶龙格-库塔法,得到u(1.1) = 0.9111, y(1.1) = 0.0931。

    二阶方程

    在工程分析中,大多数偏微分方程都是二阶的。前面介绍的特征线的概念是一个好的起点,因为它引出了对二阶方程进行分类的一个重要手段。
    考虑一般方程,但没有一阶导数项,或包括u的项,因此
    在这里插入图片描述
    现在假设这个方程是线性的,即a b c g是关于x和y的函数而不是关于u或它的导数。
    下面的替换可以简化代数
    在这里插入图片描述
    因此
    在这里插入图片描述
    考虑p和q关于x和y的微小变化,可以这样写
    在这里插入图片描述
    从上面消去r和t得到
    在这里插入图片描述
    乘以dy/dx后得到什么
    在这里插入图片描述
    仅剩的偏导数s可以通过在满足的解域中选择曲线或特征线来消除
    在这里插入图片描述
    根据上面方程的根,可以将三种不同类型的偏微分方程分为:
    (a) b2−4ac < 0方程为椭圆型
    没有真正的特征线存在。
    拉普拉斯方程在这里插入图片描述
    泊松方程在这里插入图片描述
    在两种情况下,b = 0, a = c = 1,因此b**2−4ac =−4
    (b) b2−4ac = 0方程为抛物型
    特征线是一致的。
    热扩散方程或土壤固结方程
    在这里插入图片描述
    在这种情况下,a = cy, b = c = 0,因此b2−4ac = 0
    © b2−4ac > 0方程为双曲式
    有两类特征线。
    波动方程在这里插入图片描述
    在本题中,a = 1, b = 0, c =−1/k2,因此b2−4ac = 4/k2
    特性法可以用于双曲型偏微分方程,其中本质上可以再次使用与一阶方程相同的“沿特征积分”技术。
    偏微分方程的数值解最常用的方法是有限差分法和有限元法。
    有限差分法已经常微分方程的解的篇章中讨论过,并将在下一篇推广到偏微分方程。
    有限元法是一种更强大的方法,但它也更复杂。因此,只做了简单介绍,但会在下一大板块中进行详细的介绍。关于常微分方程,可见去看本人的常微分方程的一步法
    常微分方程基础线性常微分方程的-theta法
    预测-修正法解常微分方程
    二阶常微分方程的打靶法

    展开全文
  • 对于偏微分方程的求解,一般需要有两个限制 边界条件 初始条件 同时这个等式有多个解满足条件,可以是等式左右两边相等 傅里叶对这个方程求解的三种方法 因为正弦曲线比其他复杂函数容易处理,很多时候数学家会将...

    针对上一节推导的热传导方程

    我们来看看如何解这个方程

    在这里插入图片描述
    对于偏微分方程的求解,一般需要有两个限制

    边界条件

    初始条件

    在这里插入图片描述
    同时这个等式有多个解满足条件,可以是等式左右两边相等
    在这里插入图片描述
    傅里叶对这个方程求解的三种方法
    在这里插入图片描述
    因为正弦曲线比其他复杂函数容易处理,很多时候数学家会将复杂函数拆分成正弦函数
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    将温度函数写成正弦函数
    在这里插入图片描述
    x代表空间上的每一点
    在这里插入图片描述
    这在实际中不可能发生,但数学就是先从理想情况入手,寻求一般解,从而应用到实际情况

    在这里插入图片描述

    热方程的右边是关于这个函数的二次求导,就是sin(x)的二次求导
    在这里插入图片描述
    第一次求导得到cos(x)
    在这里插入图片描述
    第二次求导得到-sin(x)

    在这里插入图片描述
    在这里插入图片描述

    在这里插入图片描述
    这里主要说明变化量和本身的值成正比

    可以这样理解,因为最后都要达到中间的一个值(从正弦函数图像来说最后回归到y=0,即与x轴重合),所以波峰和波谷的变化最多

    在这里插入图片描述
    所以正弦图像的值区间会慢慢缩小
    ![在这里插入图片描述](https://img-blog.csdnimg.cn/20210630151139114.png?x-oss-process=image/watermark,type_ZmFuZ3poZW5naGVpdGk,shadow_10,text_aHR0cHM6Ly9ibG9nLmNzZG4ubmV0L3dlaXhpbl80MTQ3OTY3OA==,size_16,color_FFFFFF,t_70
    当变化量和本身的值成正比时,就可以用指数函数表示

    在这里插入图片描述
    之前学习过指数导数的性质
    在这里插入图片描述

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    对x求两次导数:
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    对t求两次导数:
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    这样我们就确定了这个偏微分方程为空间上的正弦曲线和时间上的指数衰变

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    我们来思考

    在这种情况下,直线也是一种解
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    我们知道这并不符合现实的情况,因此,我们需要确定边界条件

    再用有限的点来思考边界问题

    边界的两个端点只有一个相邻的点,那么它的值会逐渐趋近与相邻的一个点,变化速率与相邻点的差值成正比
    边界
    再回到无限当两端上的两个点靠的足够进的话,导数必然趋于0
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    确定了这个边界条件,就可以排除一部分不合理的解

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    而余弦函数的图像值x=0处的斜率是水平的
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    我们需要cos图像的右边的斜率也等于0 ,需要调整图像的频率(就是把L端的斜率也等于0)
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    添加一个参数欧米伽来调整频率
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    右边二次求导得到:
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    另右边端点的长度为 π / L \pi/L π/L
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    找满足边界条件的频率,其实是在寻债谐波

    (右边端点的斜率为0 ,就是右边要落在波峰或波谷的位置)在这里插入图片描述

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    这个我们就找到了有无限个解,并且满足边界条件的表达式
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  • 微分方程模型——偏微分方程

    千次阅读 2021-07-14 23:50:56
    偏微分方程(PDE) 偏微分方程理论: 物理/工程问题————翻译(建模)/物理工程规律————》数学问题(PDE) 物理/工程问题————求解/数学理论————》数学结果 物理/工程问题————分析————》...

    1. 简介

    微分方程:描述自然界中存在的物理现象和普遍规律。

    • 常微分方程(ODE)
    • 偏微分方程(PDE)

    偏微分方程理论:

    • 物理/工程问题————翻译(建模)/物理工程规律————》数学问题(PDE)
    • 物理/工程问题————求解/数学理论————》数学结果
    • 物理/工程问题————分析————》数学公式/物理意义

    偏微分方程的基本概念:

    • 定义:未知函数及其偏导数所满足的方程;F(x, u(x), Du, D2u,…, Dnu) = 0;
    • 阶数:偏微分方程中偏导数的最高阶数,有n阶就为n。
    • 线性偏微分方程:方程中的未知函数或其偏导数的项都是一次项
    • 齐次方程:每项都含有未知函数或未知函数(定义的u = u(x, y))的偏导数。

    导出微分方程的基本步骤:

    1. 明确研究的物理量
    2. 明确物理量遵守的物理规律
    3. 按物理规律写出微分方程(泛定方程)
    4. 微元法:划出一个微元,分析临近部分和ta的相互作用

    微分方程解决的主要问题:

    • 描述对象特征随时间变化的过程
    • 分析对象特征的变化规律
    • 预报对象特征的未来形态
    • 研究控制对象特征的手段

    常用的物理定律概述

    1. 牛顿第二定律:F = ma;
    2. 胡克定律,在弹性限度内,弹性体的张应力和弹性体的形变量成正比:张应力 = 杨氏模量 * 相对伸长,
    3. 热传导的傅立叶定律:在dt时间内,通过面积元dS流入一个小体积元的热量dQ,与沿着面积元法线方向的温度梯度成正比,也与dS和dt成正比:(k是导热系数,由材料决定)
    4. 牛顿冷却定律:单位时间内从周围介质,传到边界上单位面积的热量,与表面和外界的温度差成正比:(这里u1是外界媒质的温度,h为比例系数)
    5. 扩散定律(斐克定律):单位时间流过某横截面的杂质量dm与该横截面积S和浓度梯度成正比:(式中D为扩散系数,负号是指杂质浓度在减少)

    2. 栗子——香烟过滤嘴的作用

    问题:

    • 过滤嘴的作用和ta的材料与长度有什么关系;
    • 人体吸入的毒品量和哪些因素有关,因素的影响程度怎么样

    模型分析:

    • 分析吸烟时毒物进入人体的模型,建立吸烟过程模型;
    • 假设一个机器人持续吸烟,并且环境不变

    模型假设(假设的变量都在这儿哦):

    • 烟草长 l1,过滤嘴长 l2,总长度 l = l1 + l2,假设毒品均匀分布;
    • 毒物进入空气和沿香烟穿行的数量比:a’ : a, a’ + a = 1;
    • 未点燃烟草和过滤嘴的吸收率(过滤程度)分别为b和ß;
    • 烟雾沿着香烟的穿行速度为常速v,香烟的燃烧速度为u,v >> u;
    • Q为毒物进入人体的总量
    • q(x, t)为毒物的流量,w(x, t)为毒物密度

    模型建立:

    • 建立毒物进入身体的总量:Q = ƒ0T q(l, t)dt, T = l1 / u;

    • 求q(x, 0) = q(x)——流量守恒

      q(x) - q(x + ∆x) = bq(x)∆∂, 0 ≤ x ≤ l1;

      q(x) - q(x + ∆x) = ßq(x)∆∂, l1 ≤ x ≤ l2;

      (∆∂ = ∆x / v)

      同时假设:

      • q(0) = aH0;(香烟毒物被吸入的量)
      • H0 = uw0;(香烟毒物的减少量)

      可得到

      dq/dx = -b/v * q(x), 0 ≤ x ≤ l1;

      dq/dx = -ß/v * q(x), l1 ≤ x ≤ l2;

      &

      q(x) = aH0e-bx/v, 0 ≤ x ≤ l1;

      q(x) = aH0e-bx/ve-ß(x-l1)/v, l1 ≤ x ≤ l2;

    • 目标是求q(l, t),假设t时刻,香烟燃烧到了x = ut;

      将q(x)中的H0拓展为H(t),x随时间会变成x-ut,l1会变成l1 - ut

      可以求得:

      q(x, t) = aH(t)e-b(x-ut)/v,ut ≤ x ≤ l1;

      q(x, t) = aH(t)e-b(l1-ut)/ve-ß(x-l1)/v,l1 ≤ x ≤ l;

    • 求w(ut, t)求∆t内毒物密度的增量。

      w(x, t + ∆t) - w(x, t) = b(q(x, t))/v * ∆t(单位长度烟雾被吸收的部分)

      我们已知:

      • q(x, t) = aH(t)e-b(x-ut)/v;
      • H(t) = uw(ut, t);(H0的拓展公式)

      结果可得到:

      w(ut, t) = w0/a’ * (1 - ae-a’but/v), a’ = 1 - a;

    • 计算Q,吸入一致烟毒物进入人体的总量;

      根据求出来的 w(x, t) 和 q(l, t) 可以代入Q = ƒ0T q(l, t)dt, T = l1 / u;求出现在的Q = aM e-ßl2/v µ®, r = a’bl1/v, µ® = 1 - e-r / r;

    结果分析:

    1. Q和a,M成正比,aM是毒物集中在x = l处的吸入量;

    2. e-ßl2/v是过滤嘴的因素;

    3. µ®是烟草的吸收作用;

    4. 判断与不带过滤嘴的香烟比较

      Q1和Q2的差别为b和ß;

      我们已知:

      • 带滤嘴:Q1 = (aw0v / a’b) e-ßl2/v(1 - e-a’bl1/v);
      • 不带滤嘴:Q~12 = (aw0v / a’b) e-bl2/v(1 - e-a’bl1/v);

      所以明显是滤嘴提高了吸收能力

    特点:

    • 引入两个基本函数:流量q(x,t)和密度w(x,t),运用物理学的守恒定律建立微分方程,构造动态模型。

    3. 偏微方程的导出

    3.1. 波动方程的导出

    • 传输线方程(电报方程 )
    • 均匀薄膜的微小横振动方程
    • 流体力学与声学方程
    • 电磁波方程

    ta们的物理本质根本不同,但这些方程的数学形式与弦振动方程和杆纵振动方程完全一样:

    3.2. 扩散方程的导出

    3.2.1. 细杆热传导

    现象描述:导热细杆各点的温度是不均匀的,热量由高到低传导。

    目的:求出细杆中温度的变化方程。

    定律:

    • 热传导的傅立叶定律:q = -k∆u(单位时间内流过单位时间的热量q与温度的梯度成正比,k为热传导系数);
    • 热量守恒定律:热量变化 = 边界流入 + 热源放出;

    第一种情况(系统无热源):

    (热传导仅由物体内部温度不均引发)

    u(x, t)为x处t时刻的温度。

    一维情况下热传导的傅立叶定律有: q = -k∂u/∂x;(q为热流强度)

    在x方向上(微元法):

    • dt时间流入左表面的热量为:q|x Adt;
    • dt时间流出右表面的热量为:q|x+dx Adt;
    • 所以净流入为:q|x Adt - q|x+dx Adt = -∂q/∂xAdxdt =(然后把q换掉再整合)= kuxxAdxdt;

    因为热量Q = c(øAdx)[u|t - u|t+dt] = c(øAdx)utdt;(假设ø为密度)

    所以更具热量守恒定律得到kuxxAdxdt = c(øAdx)utdt;

    结果:ut - a2uxx = 0, a2 = k/cp(这就得到了均匀物体内部无热源时的热传导方程)

    第二种情况(系统内有热源):

    比第一问不过就是多个热源,也就是加一个热量呗(设F(x, t)为单位时间,单位体积内产生的热量:kuxxAdxdt + F(x, t)Adxdt = c(øAdx)utdt;

    得到:ut - a2uxx = F(x, t) / cp = f(x, t);(ƒ(x, t)为热源强度)

    三维情况下就是:ut - a2∆u = f(x, t);

    3.2.2. 扩散问题

    扩散现象:系统浓度不均用时,物质从高浓度转移向低浓度的现象。

    目的:建立空间各点浓度u(x, y, z, t)的方程。

    物理规律:扩散定律和粒子数守恒定律

    • 扩散定律(裴克定律):单位时间内流过单位面积的分子数或质量,与浓度的梯度成正比:(D为扩散系数)

      沿着n方向的大小:

    • 粒子数守恒定律:单位时间流入一定体积粒子数流出同一体积粒子数的差,等于该体积单位时间内粒子数的增加量。

      同样是微元法,划出一个小立方体v分析浓度变化规律。

      • 计算单位时间沿x-方向的净流入量(负号是表示和浓度梯度的方向相反):(利用两个平面的流入流出的积分)
      • 同理可以求出y方向和z方向的净流入量:
      • 所以总的净流入量为
      • 单位时间的粒子增加数为:
      • 根据粒子数守恒定律就可以得到:

      我们在前面得到过这样的结果:

      所以我们将扩散定律代入就可以得到三维扩散方程

      我们484看到了吗有很多D,如果扩散是均匀的,D就是一个常数,我们可以令D = a2,则有

      那如果这个空间里面有扩散源,也就是扩散是从这儿来的,那么我们可以将ta们相等得到公式:

    3.3. 稳定场方程

    3.3.1. 热传导方程

    如果边界条件与热源内不随时间变化,一定时间后,内部温度会达到稳态。

    u = u(x, y, z), ∂u/∂t = 0;

    so

    ut - a2∆u = f(x, y, z, t) -> ∆u = -f(x, y, z)泊松方程

    3.3.2. 静电场下的泊松方程和Laplace方程

    从高斯定理出发,我们可以结合扩散定律简单的得到:

    我们可以得到

    还因为

    我们可以得到两个方程:

    • 泊松方程:
    • Laplace方程(当的时候):

    4. PDE导出总结

    系统的物理状态除了取决于自己状态,还取决于系统环境的状态。

    • 物理、工程在t>0时刻的系统环境,在数学中称为边界条件;
    • 物理、工程在t=0时刻的系统状态,在数学中称为初始条件;

    定解条件:是边界条件和初始条件的总体,反映了问题的个性。

    泛定方程:不带边界和初始条件的方程,反映问题的个性。

    4.1. 初始条件 ——描述系统的初始状态

    • 波动方程:含有时间的二阶导数,所以需要两个初始条件
      1. u|t=0 = u(x) 系统各点的初始位移
      2. ∂u/∂t|t=0 = v(x) 系统各点的初始速度
    • 热传导方程:含有时间的一阶导数
      1. u(x, t)|t=0 = u(x)初始时刻的温度分布
    • 泊松方程和拉普拉斯方程:不含时间的倒数,不需要初始条件

    注意:初始条件给的是初始状态下物理量的分布,而不是指某一位置

    4.2. 边界条件

    未知函数在边界满足条件:

    1. 第一类Dirchlet边界条件:已知未知函数在边界上的函数值:

      基本形式:u(x, y, z, t)| = ƒ(M, t);

    2. 第二类Neumann:已知未知函数在边界上法线方向的导数值;
      基本形式:∂u(x, t)/∂n|x0 = ƒ(x0, t);

    3. 第三类Robin混合边界条件:混合牛顿冷却定律、傅立叶实验定律(一维);

      牛顿冷却定律:

      q = h(u - ø)n,u为物体表面温度,ø是周围介质温度,h是热交换系数。一维条件下简化为q = h(u - ø)。

      牛顿冷却定律可以得出流出热量与外界温差成正比。


      傅立叶实验定律:

      q|x=a = -k∂u/∂x|x=a

      基本形式:(u + H∂u/∂n)| = ƒ(x0, y0, z0, t);

    4.3. 小结

    5. 偏微分方程的求解

    5.1. 达朗贝尔公式:行波解

    基本思想:

    1. 求PDE的通解;
    2. 用定解求特解

    关键步骤:通过变量变换,将波动方程化为齐次二阶偏微分方程。(所以也叫做波动方程的初始问题,或者柯西问题)

    求解问题:

    我们根据式1可以拆分得到,变换变量也就可以转换为

    通过复合求导我们可以得到:
    ——》

    一些不要的东西删了:

    求通解:

    对两个创建的变量进行积分:

    积分得到

    再积分得到

    我们的通解就是

    其中ƒ1, ƒ2 是连续可微的一元函数。

    ƒ1(x - at)和ƒ2(x + at)的意义?

    • x - at为正方向运动的行波
    • x + at为反方向运动的行波

    确定待定函数形式,求特解:

    我们已经有初始条件:中的后两条。

    我们可以根据之前的条件可以进行两个公式的化简:

    1. image-20210714150847740
    2. image-20210714150921073

    所以可以得到我们求出的达朗贝尔公式:
    image-20210714151011495

    5.2. 分离变量法

    基本思想:将偏微分方程通过分离变量变成一个常微分方程!

    关键步骤:求特征值问题

    适用问题:有界域上的波动方程、热传导方程、稳定场方程等

    求解问题:

    特征值问题:含有未知常数的常微分方程,求非零解的问题;

    特征值:是方程有非零解的常数值;

    特征函数:和特征值相对于的非零解

    5.3. Fourier变换法(傅立叶变换法)

    基本思想:将偏微分方程通过Fourier变换变成一个常微分方程~

    关键步骤:求常微分方程定解问题和ta的解的方法,Fourier逆变换

    适用问题:无界域上的波动方程、热传导方程等

    求解问题:

    Fourier变换法基本步骤:

    1. 对偏微分方程与初始条件中实行傅立叶变换,转化为常微分方程;
    2. 解常微分方程的定解问题,得到相应的傅立叶变换式;
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