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  • 偏微分方程的边界条件有
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    2018-02-09 11:23:52

          研究具体的物理系统,需要考虑研究对象所处的特定的“环境”,而周围环境的影响体现在边界上的物理状况,即边界条件

          常见的线性边界条件,数学上分为三类:第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的数值;第二类边界条件,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上导数的数值;第三类边界条件,规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

    (未完待续……)

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    们针对一个实际问题,对其进行数学抽象,此时可能会用一个偏微分方程来表示。当然实际问题应该在空间上和时间上有一定边界,那么所列的偏微分方程将涉及到对空间和时间的偏导。

    这里需要注意的是,数学上的偏微分方程,并没有在抽象中做到与实际物理问题的完全等价。我们在对实际问题抽象时,只对该问题的普遍情况进行了抽象。这里的普通情况,针对的是该物理实体内部某一时刻的一般情形,所列的偏微分方程只是与这个一般情形相对应。而物理问题的边界(时间上的初始时刻、空间上的实体边缘)并没有列微分方程与之对应。

    因为没有完全对应,所列微分方程对实际问题的描述也就不充分。因而直接求解微分方程,得到的解并不是实际问题的解。要想得到实际问题的解,就需要在实际问题内部数学描述(微分方程)的基础上,再加上边界数学描述。这就是所谓的定解条件了。

    偏微分方程的定解条件包括初值条件边界条件。以偏微分方程
    x x x
    为例,

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    (一)几何方程

    按照惯例,先请出我们的笛卡尔坐标系。

    如上图,在笛卡尔坐标中选取一个小小的弹性体ABCDEFGH,边长分别为dx、dy、dz,在力的作用下经过的位移伸缩膨胀等变形变成了A′B′C′D′E′F′G′H′。我们取其中的对角线EC,变形前长度为dr,变形后为E′C′长度为dr′。

    如上图所示:在运动的过程中产生位移矢量u,E点的位矢量uE,C点的位矢量uC,两个位矢量的差值du = uC-uE,而且满足du = u·dr,∇为哈密顿算子 

     

    用图表示如下:

    于是有:

    定义:

    G称为格林应变张量,由于∇u·u∇很小可以忽略。因此,得应变张量的几何方程:

    且有

        

    (二)平衡方程

    以上完成了应变方程,也就是几何方程的推导,下面是应力方程,也就是平衡方程的推导。    

    如上图,依然在我们熟悉的笛卡尔坐标系中取一个弹性体,T(n)表示其表面力,表示其体积力,由于整个弹性体处于平衡状态,于是有:

    由于T(n) σ·n其中,

    为六面体应力张量。

    根据散度定理:

    得:            ∇·σ + F = 0 

    于是我们得到了应力平衡方程。

    (三)本构方程

    剩下最后一个方程:本构方程。

    我们们假定弹性体是线性的,而且是各向同性的。

    由于

    令C为弹性张量,为四阶张量,其分量满足:

    上面通过微分表达式推出了弹性张量,但是我们关心的是应力与应变关系应该满足的具体方程。有一个办法是直接对上述的微分表达式直接积分,于是我们可以得到这个方程:σ = C :ε 但是这个方程组涉及到四阶张量,而且看起来形态差一些。我们需要一个类似以上几何方程和平衡方程一样更加实用一点的。

    由于 σ、ε都是对称张量,由于材料又是各向同性的线性材料,各向同性线性材料的本构函数关系满足:σ =b E +ε ,其中,为单位张量,b、k 为常数标量。

    最普遍的各向同性的弹性张量有一个很好的性质,它可以写成如下表达式:

    其中,若i =j,则δij = 1,否则δij= 0,λ、μ、γ为常数。

    则可得到:

    上式转化成张量形式得:

    σ =λJ(εE + 2με

    其中,σ为应力张量,E为单位张量,ε为应变张量,J(ε为应变张量第一主不变量。

    (四)弹性力学偏微分方程组

    通过以上的推导,我们得到了三个重要的方程:

    以上便是弹性力学的几何方程、弹性力学教程王敏中文档下载平衡方程和本构方程。联立以上三个方程可进一步得到以位移矢量表示的偏微分方程:

    其中∆ =2为拉普拉斯算子 ν 为泊松比。

    (五)方程边界条件

    有了方程组,还不完善,我们还需要它的边界条件,弹性力学偏微分方程的边界同样的有三个。

    u = u0

    n·σ = T

    n·σ + ku= 0

    以上三个边界条件分别称为第一类边界条件(Dirichlet边界条件)、第二类边界条件(Neumann边界条件)、第三类边界条件。

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    jruvn

    2018.07.30

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    调用pdetool

    在Command Window当中输入pdetool,按回车,即可弹出图示界面。可以看到它是图形界面的,我们可以通过在操作区域内直接画图的方式设定求解的二维区域。

    画图

    下面图中给出了画矩形、椭圆、多边形的工具,画图的方式与普通画图没有什么区别。但有些画多边形的简单作图方法可以节省工作量。

    比如在这一幅图中,先画一个大的矩形R1【自动标注的】,再在它的边界附近画一个小矩形R2。我们看到最开始的状态是两个矩形重叠的。

    在圈中所示的set formula里面可以修改两个(多个)图形的重叠方式。比如我们把公式修改为R1-R2。

    现在我们可以通过打开“边界模式”的方式来查看修改了重叠方式之后的效果。点击菜单栏的Boundary菜单,在下拉框中点击Boundary Mode。

    可以看到,在下面这幅图中,R1和R2的边界的重叠部分被删除了,剩下了没有重叠的部分。这种方式可以用来画一些外形比较复杂但是有一定规律的图形。

    图中的每个边界还有一个箭头标识,他们构成一个闭合的回路,代表着求解时边界的正方向。还可以通过菜单对每条边界进行编号,这里不赘述了。

    设置问题的类型。

    图,选择菜单中的options,下拉菜单中选择application。可以看到偏微分方程适用几乎所有常见数学问题类型。选择你想要求解的一类【这个

    一定要选择,因为后面的方程类型和边界条件,matlab都会按照你选择的类型帮你做好初始化,你只需要动手改改参数就可以了。】

    设置方程的类型

    选择菜单中的PDE菜单,下拉菜单中选择PDE specification。弹出下面第二幅图中的对话框。这里面给出了四种基本的方程类型,每种分别展示的参数的初始值和具体方程。根据需要选择一种。

    设置边界条件

    点击菜单中的Boundary,在下拉菜单中选择specify boundary conditions。弹出下面第二幅图中的对话框。边界条件也分两种,狄利克雷和纽曼条件【不做解释】。选择好,填好边界值。

    划分区域

    为是数值解法,要将求解区域划分成一个一个的小格子。图中圈出的两个按钮就是自动划分区域的。左边那一个稀疏一些,划分的格子较大,一方面用于初步划分,

    另一方面如果划分的太细了,可以用它来初始化。右边那个是进一步做细分的,显然分得越细做出来的图越好看,但是分得太细会导致计算量过大,可能会等很久才

    能出结果。

    开始求解

    点击最上方红圈中的按钮,设置作图要求。如果需要画3D的图,点击中间红圈中的选框。其他如坐标轴设置、颜色设置等都可以在这里选择。设置没问题之后点击最下方的plot,开始画图。

    查看效果

    这就是画出来的3D图。

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