精华内容
下载资源
问答
  • 当然实际问题应该在空间上和时间上一定边界,那么所列的偏微分方程将涉及到对空间和时间的偏导。 这里需要注意的是,数学上的偏微分方程,并没有在抽象中做到与实际物理问题的完全等价。我们在对实际问题抽象时,...

    们针对一个实际问题,对其进行数学抽象,此时可能会用一个偏微分方程来表示。当然实际问题应该在空间上和时间上有一定边界,那么所列的偏微分方程将涉及到对空间和时间的偏导。

    这里需要注意的是,数学上的偏微分方程,并没有在抽象中做到与实际物理问题的完全等价。我们在对实际问题抽象时,只对该问题的普遍情况进行了抽象。这里的普通情况,针对的是该物理实体内部某一时刻的一般情形,所列的偏微分方程只是与这个一般情形相对应。而物理问题的边界(时间上的初始时刻、空间上的实体边缘)并没有列微分方程与之对应。

    因为没有完全对应,所列微分方程对实际问题的描述也就不充分。因而直接求解微分方程,得到的解并不是实际问题的解。要想得到实际问题的解,就需要在实际问题内部数学描述(微分方程)的基础上,再加上边界数学描述。这就是所谓的定解条件了。

    偏微分方程的定解条件包括初值条件边界条件。以偏微分方程
    xx
    为例,

    展开全文
  • 研究具体的物理系统,需要考虑研究对象所处的特定的“环境”,而周围环境的影响体现在边界上的物理状况,即边界条件。 常见的线性边界条件,数学上分为三类:第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的...

          研究具体的物理系统,需要考虑研究对象所处的特定的“环境”,而周围环境的影响体现在边界上的物理状况,即边界条件

          常见的线性边界条件,数学上分为三类:第一类边界条件,直接规定了所研究的物理量在边界上的数值;第二类边界条件,规定了所研究的物理量在边界外法线方向上导数的数值;第三类边界条件,规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值。

    (未完待续……)

    展开全文
  • 偏微分方程:指含有多元未知函数u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)u=u(x),x=(x1​,x2​,...,Xn​)及其若干阶偏导数的关系式 F(x,u,∂u∂x1,∂u∂x2,...,∂u∂xn,...,∂mu∂x1m1∂x2m2...∂xnmn)=0 ...

    偏微分方程:指含有多元未知函数u=u(x),x=(x1,x2,...,Xn)u=u(x),x=(x_1,x_2,...,X_n)及其若干阶偏导数的关系式
    F(x,u,ux1,ux2,...,uxn,...,mux1m1x2m2...xnmn)=0 F(\bold x,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n},...,\frac{\partial^m u}{\partial x_1^{m_1}\partial x_2^{m_2}...\partial x_n^{m_n}})=0
    其中,最高阶导数的阶数m=m1+m1+...+mnm=m_1+m_1+...+m_n
    方程的阶

    线性偏微分方程:偏微分方程中与未知函数有关的部分是uuuu的偏导数的线性组合(系数与uuuu的偏导数无关)。

    常系数线性微分方程:方程中u和u的偏导数的系数是常数

    意义:偏微分方程反映了变量u及多个自变量x=(x1,x2,...,xn)\bold x=(x_1,x_2,...,x_n)间的相互制约关系。

    数学物理方程:从物理问题中导出的偏微分方程称为数学物理中的偏微分方程。有时还包括常微分方程和积分方程。

    偏微分方程的定解问题:泛定方程+定解条件

    • 泛定方程
    1. 波动方程 :2ut2=a2Δu+f(t,x),a=Tρ,f(t,x)=g(t,x)ρ\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),a=\sqrt{\frac{T}{\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{\rho}

    2. 扩散方程:ut=a2Δu+f(t,x), a=κcρ,f(t,x)=g(t,x)cρ\frac{\partial u}{\partial t}=a^2\Delta u+f(t,\overrightarrow x),\space a=\sqrt{\frac{\kappa}{c\rho}},f(t,\overrightarrow x)=\frac{g(t,\overrightarrow x)}{c\rho}

    3. 场位方程:Δu=f(x)x=(x1,x2,...,xn),n=1,2,3\Delta u=-f(x) \quad \bold x=(x_1,x_2,...,x_n),\quad n=1,2,3

    • 定解条件
    1. 初始条件(历史情况的影响)

    2. 边界条件(周围环境对边界的影响)

      第I类边界条件(给顶端点值):ux=xi=μi(t)u|_{x=x_i}=\mu_i(t)

      第II类边界条件(给定端点梯度):unx=xi=fi(t)\frac{\partial u}{\partial n}|_{x=x_i}=f_i(t)

      第III类边界条件(混合I&II):[aiu+βiun]x=xi=Fi(t)[a_iu+\beta_i\frac{\partial u}{\partial n}]_{x=x_i}=F_i(t)

    3. 衔接条件(系统内部边界)

    实际应用:找出泛定方程+定解条件,然后利用多种方法解偏微分方程

    展开全文
  • 该方法可以快速有效地求解具有初始边界值(IBVP)的线性和非线性偏微分方程。 根据边界条件,将初始条件扩展为傅立叶级数。 之后,将IBVP转换为K域中的迭代关系。 可以得到级数解或精确解。 通过比较FDTM获得的结果...
  • Matlab偏微分方程快速上手:使用pdetool工具箱求解二维偏微分方程,适用于数学建模、数学实验,简单的偏微分方程数值计算与工程问题。

    注:本人使用MatlabR2020a版本。

    1.pdetoolbox的调用

    打开MatlabR2020a,在命令行键入pdetool,进入pdetoolbox。
    输入pdetool进入pdetoolbox

    2.绘制定解区域(解的定义域)

    由图形界面可知,解的定义域是x,yx,y二维坐标构成的平面空间。我们必须设置自己的定解区域,才能定义自己的方程:
    导航栏下方的前5个按钮,分别对应绘制矩形求解区域、绘制按中心生成的矩形求解区域、绘制椭圆形(圆形)定解区域、绘制按中心生成的椭圆形(圆形)定解区域、绘制多边形求解区域。使用时,只需要点击后在绘图区域拖拽(多边形除外,多边形区域是在绘图区域点点以确定顶点),就可以生成定解区域了。
    这是前五个按钮
    上面这是前五个按钮。
    在这里,作者随意绘制了一个椭圆形区域,和一个矩形区域。操作的时候用鼠标拖动操作柄拖拽就可以。(也可以画好几个叠起来)
    在这里,作者随意绘制了一个椭圆形区域,和一个矩形区域
    真的是“随便”画一个就可以哦,因为在matlab下,求解区域的位置坐标精度达到了101610^{-16}左右,手动画几乎不可能画准。所以下一步教大家怎么细致地调节边界的坐标。

    3.手动调整定解区域的大小

    双击刚刚绘制好的区域,弹出一个对话框,里面是我们的定解区域的边界坐标信息(注意不全是坐标),我们可以在这里手动调整定解区域的位置(以矩形区域为例):
    刚刚打开时的样子
    这就是刚刚打开时的样子。因为这个区域是作者随便画的,所以坐标信息就像随机数一样。下面我们输入精确的数值:Left: -1, Bottom: -1, Width: 2, Height: 2, Name 就用默认的就好。
    输入参数

    参数的意义:Left:左边界的坐标(x左),Bottom:底边界的坐标(y底),Width:区域宽度,Height:区域高度。这样就得到了x[1,1],y[1,1]x\in[-1,1],y\in[-1,1]的矩形求解区域。调整好的求解区域显示效果如下。绘制好的区域

    4.调整绘图窗口的显示区域(调整显示坐标限)

    有时候我们会发现我们的定解区域太大了,绘图窗口显示不下;或者定解区域太小了,看上去非常不协调。上一个例子中作者的纵坐标显然非常吻合,但是横坐标多出来了(显示了左右两边的白框),那么我强烈建议大家调整完定解区域的坐标以后,再调整一下绘图窗口的显示区域。
    点击导航栏Options,再点击Axes Limits…(意为调整坐标限),可以手动设置坐标限。这里作者勾选了Auto,这样matlab将自动帮我们调整坐标限,使得定解区域位于界面中央。Options还有其他操作,大家可以自己尝试一下,这里就不介绍了。调整坐标限

    调整后的效果如下。

    调整效果

    5.确定边界条件

    点击导航栏下方第6个按钮(Ω\partial \Omega,意为Ω\Omega的边界条件),它用来显示边界。下面仍然以矩形区域为例。

    这个按钮
    双击边界

    此时显示了4个边界。双击任意一个边界,会弹出边界条件对话框,可以在这里随意设置边界条件。

    对话框

    在这里可以设置Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和Robin边界条件(分别是第一、第二、第三边界条件),其中Robin边界条件和Neumann边界条件集成到一起了。按提示输入对应的系数就可。

    在这里作者使用了如下的边界条件:
    x=±1,u=0;y=±1,un=0.x=\pm1,u=0;y=\pm1,\frac{\partial u}{\partial n }=0.
    如果用了Dirichlet边界条件,边界将显示为红色;Neumann、Robin边界条件将显示蓝色,效果如下。

    边界条件

    6.确定偏微分方程的形式

    点击第7个图标(显示PDE字样),按提示输入偏微分方程的系数即可。在这里笔者求解波动方程:2u2t=u.\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}=\nabla u.

    在这里插入图片描述

    工具箱提供的方程通式如下:
    1.椭圆型Elliptic,通用数学形式为(cu)+au=f;-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ;
    2.抛物型Parabolic,通用数学形式为dut(cu)+au=f;d\frac{\partial u}{\partial t}-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ;
    3.双曲型Hyperbolic,通用数学形式为d2u2t(cu)+au=f;d\frac{\partial^2 u}{\partial^2 t}-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=f ;
    4.特征值方程Eigenmodes,若λ\lambda为特征值,则数学形式为(cu)+au=λdu.-\nabla \cdot(c\nabla u)+au=\lambda d u .

    也可以自行指定求解的方程类型,比如比较常见的热传导、扩散等方程,可以在下面图示的下拉菜单中选择,但是仍然要按上面讲的方法手动设置系数。

    手动设置方程类型

    7.三角剖分

    由于Matlab pdetoolbox使用有限元方法求解,所以需要三角剖分。点击第8个图标(1个三角形图样)可以初始化剖分,点击第9个图标(4个三角形图样)可以增加剖分密度,这样可以提高计算精度,但是密度过高内存可能会爆掉,使用要谨慎。
    三角剖分

    8.设置初始条件,准备求解

    点击导航栏Solve,再点击Parameters…,进入求解参数设置器。在这里,第一行Time我们可以设置tt的求解范围及步长,默认情况下是不显示步长的(默认显示0:10意为从0求解到10,步长为1),我们按照Maltab等差数列的生成方法 a:j:b 就可以设置时间步长j了。

    第二行u(t0)、第三行u’(t0)表示t0t_0时刻的两个初始条件。这里作者使用了如下的初始条件。

    初始条件
    第四行和第五行表示相对容差和绝对容差,笔者查看了Matlab帮助中心,大概了解到这两个参数似乎与浮点数0的截断精度有关,太小的话会延长计算时间,如果你想了解更多,笔者把链接提供上来Absolute tolerance - MATLAB & Simulink - MathWorks 中国,假如我们对计算精度没有要求的话,使用默认值就可以了。这里笔者为了演示使用了0.001和0.0001。如果想跟着一起做,那么笔者把方程的代码也放上来:第一个是atan(cos(pi/2*x)),第二个是3*sin(pi*x).*exp(cos(pi*y))

    9.求解

    点击导航栏下方按钮(一个“==”字样的按钮,就是增加三角剖分密度右边那个按钮),这个按钮表示开始求解。如果求解完成的话会显示这个图。在这里可以点击“放大镜”按钮寻找感兴趣的区域放大来观察细节(放大之后想要缩小就要用上面步骤4的方法重新设置坐标限了,没有找到缩小的快捷键)。求解结果
    它直接显示了t=10t=10uuΩ求解区域\Omega的图像。这样的输出缺乏直观性,我们点击导航栏下方一个长得像matlab的logo的按钮(就是“==”按钮右边那个),调整绘图格式。

    输出格式窗口
    这个窗口有许多功能,作者就不再一一详述了。大家可以自行调试。比较常用的有“Contour”绘制等高线图,“Arrows”绘制向量场,“Height(3-D plot)”按3D模式输出(这个比较常用),“Animation”按动画形式输出(2D\3D都支持),此选项勾选后右边的Option选项会变亮,我们可以点进去在里面设置1秒显示的帧数、重复播放的次数。这里作者按照25阶变色、‘jet’ Colormap、向量场为u-\nabla u的形式静态输出t=0.5t=0.5时的结果,如下图所示。
    在这里插入图片描述

    这就是matlab pdetool工具箱的主要使用方法,本人也是小白一枚,所以欢迎大家批评指正,可以在评论区留下你的想法。

    参考:偏微分方程(姜礼尚《数学物理方程讲义》第三版)(更新完毕,附课件)来自于西北大学数统学院的马老师的数理方程视频课,是按数学系的讲法讲的数理方程,里面有那么两三个视频是讲如何用Matlab求解偏微分方程,如果你懂偏微分方程的话进去听一遍就会了。
    感觉应该是疫情期间这位老师的网课视频?那么西北大学的学生们也太幸福了,因为马老师讲的真的很好!人也很好玩哈哈,还去b站里别的老师的微分几何课程下面评论,正巧那个被评论的老师的同学就在b站讲拓扑哈哈,那个老师讲的也特别细我还给听完了(浙江理工庄老师)。扯远了!但是还是安利!!!

    展开全文
  • 偏微分方程的数值解系列博文: 偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...
  • [数学]偏微分方程的离散化方法4偏微分方程的离散化方法 一、离散化的概念 油藏是非均质的,岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的,建立的偏微分方程一般是非线性的,求解偏微分方程的解析解比较困难,常用数值...
  • 偏微分方程的数值解系列博文: 偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...
  • 1. 简介 微分方程:描述自然界中存在的物理现象和普遍规律。 常微分方程(ODE) 偏微分方程(PDE) 偏微分方程理论: 物理/工程问题————翻译...阶数:偏微分方程中偏导数的最高阶数,n阶就为n。 线性偏微分
  • 偏微分方程的数值解系列博文: 偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...
  • 4.8.2 偏微分方程在自然科学的很多领域内,都会遇到微分方程初值问题,特别是偏微分方程,它的定解问题是描述自然界及科学现象的最重要的工具。可以说,几乎自然界和各种现象都可以通过微分方程(特别是偏微分方程)来...
  • 有限差分法解第二类边界条件的椭圆形偏微分方程 clear clc ax=[0,1]; ay=[0,1]; x1=0.1; xh=ax(1):x1:ax(2);%保持步长相同 yh=ay(1):x1:ay(2); n1=length(xh); %下面输入第二类边界条件,即neumann边界条件,为了保证...
  • 泛定方程:反映系统内部作用导出的偏微分方程 定解条件:确定运动的制约条件。 初始条件(历史情况的影响) 边界条件(周围环境对边界的影响) 第I类边界条件(给顶端点值):u∣x=xi=μi(t)u|_{x=x_i}=\m...
  • python求解偏微分方程

    2020-04-23 19:33:53
    python求解偏微分方程,画图,容易修改。
  • 偏微分方程数值模拟常用的方法主要三种:有限差分方法(FDM)、有限元方法(FEM)、有限体积方法(FVM),本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。一.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟...
  • 文章目录(1)偏微分方程的类型(二阶)(2)抛物线型1.显式法2.Crank-Nicholson隐式算法 (3)双曲线型(4)椭圆型 (1)偏微分方程的类型(二阶) a∂2u∂x2+b∂2u∂y∂x+c∂2u∂x2+d∂u∂x+e∂u∂y+fu+g=0a\frac{\partial^2u}{\...
  • 有限差分法求解偏微分方程

    万次阅读 多人点赞 2016-11-06 14:23:03
    偏微分方程在工程技术(甚至图像处理)中重要应用。差分方法又称为有限差分方法或网格法,是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。本文主要介绍利用有限差分(涉及Jacobi迭代和Gauss-Siedel迭代)...
  • matlab使用杂谈4-偏微分方程求解之pdede函数使用

    千次阅读 多人点赞 2020-02-19 17:51:37
    偏微分方程求解之pdede函数使用偏微分方程求解偏微分方程的数值方法Matlab解偏微分方程pdepe()函数pdepe函数使用示例PDE方程求解格式PDE方程初始条件格式PDE边界条件格式Matlab代码求解偏微分方程总结 偏微分方程 ...
  • 4.8.2 偏微分方程在自然科学的很多领域内,都会遇到微分方程初值问题,特别是偏微分方程,它的定解问题是描述自然界及科学现象的最重要的工具。可以说,几乎自然界和各种现象都可以通过微分方程(特别是偏微分方程)来...
  • 针对一类由半线性抛物型偏微分方程描述的分布参数系统,考虑系统边界为Robin或混合边界条件的情况,提出基于边界控制的控制策略,并研究其镇定问题.首先,根据无穷维抽象发展方程理论和Lumer-Phillips理论证明闭环系统的...
  • matlab使用有限元方法求解偏微分方程
  • 结合分离变量法的适用条件和使用要求,在对偏微分方程是否齐次、边界条件是否齐次,边界形状是否规则等各方面进行综合分析后,运用分离变量法对偏微分方程进行了求解,并对偏微分方程求解的过程进行了比较全面的阐述...
  • 偏微分方程的有限差分法的 MATLAB 和 Python 实现 这些代码实现了有限差分法的数值方法来求解 Heat PDE 和 Black-Scholes PDE。 具体而言,Black-Scholes PDE 的代码旨在为普通期权定价,例如欧洲和美国的看涨和看跌...
  • MATLAB偏微分方程求解题目:用MATLAB求解偏微分方程 主讲人: 班级 : 时间 : 基础知识预习 微分方程的MATLAB求解包含 1:常微分方程的MATLAB求解(上 节课已经讲过)这里不再赘述。 2:偏微分方程...
  • 常微分方程边值问题 偏微分方程数值解 隐式格式 六点差分格式 理查森格式 第二类边界条件-理查森格式 更高维度 椭圆型
  • 本文参考的是来自mooc上北京师范大学彭芳麟老师的计算物理基础基础知识偏微分方程的三种类型椭圆型 初始条件:无抛物型 初始条件:初始温度分布双曲型初始条件:初始位移与初始速度边界条件Dirchlet边界条件区域边界...
  • 偏微分方程,再加上边界条件、初始条件构成的数学模型,只有在很特殊情况下才可求得解析解。随着计算机技术的发展,采用数值计算方法,可以得到其数值解。下面的几个简单例子,将为大家介绍如何利用Matlab中的PDE...
  • MATLAB偏微分方程数值解视频课程

    千次阅读 2019-05-17 10:07:44
    结合MATLAB偏微分方程数值解工具箱介绍偏微分方程的求解,分GUI和MATLAB函数两种实现方式进行介绍。 【课程收益】 MATLAB偏微分方程数值解工具箱的使用 有限单元法 用GUI和MATLAB编程两种方式求解PDE问题 第一...
  • MatLab偏微分方程工具箱使用手册

    热门讨论 2009-07-28 09:56:42
    MatLab偏微分方程工具箱提供了实用的求解偏微分方程的函数,但是这些函数的接口参数都比较复杂。比如需要生成网格数据和确定复杂的边界条件。 还好MatLab提供了一个GUI工具,在MatLab命令行上输入pdetool就可以通过...

空空如也

空空如也

1 2 3 4 5 ... 20
收藏数 2,639
精华内容 1,055
关键字:

偏微分方程的边界条件有