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    [数学]偏微分方程的离散化方法4

    偏微分方程的离散化方法 一、离散化的概念 油藏是非均质的,岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的,建立的偏微分方程一般是非线性的,求解偏微分方程的解析解比较困难,常用数值求解。 目前工程上应用的离散化方法有:有限差分法、有限元法、边界元法、变分法等。 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理,而每个小单元的形状是规则的,并可以认为是均质的,从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均质的问题——非线性问题线性化。 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高,则需要划分的单元就越多,计算工作量相应就越大,反之,单元划分得少些,计算工作量就小,但精度变差些。 微分方程离散化,主要在空间和时间两方面被离散化 (1)离散空间:把所研究的空间划分成某种类型的网格,大的空间转化为若干小单元组成,网格之间动态连接,通常采用矩形网格(正方体)。 (2)离散时间:把研究的时间域分成若干小的时间段,在每个时间段内,对问题求解,时间段之间有机连接。步长大小取决于所要解决的实际问题。 1、网格系统 它有x,y两个自变量,在平面上用平行线分割成许多网格,如考虑时间,则。编号:x→i,y→j,t→n。为步长(对三维z→k)。 节点:网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格节点,把他们连成折线Sh,Sh所围成的区域记为Dh,Dh内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。 2、 等距网格就是指建立差分网格时,所采用的步长都是相等的,反之称为不等距网格。 3、网格类型 常规网格系统: (1)块中心网格:用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 (2)点中心网格:用节点的坐标来表示小块的坐标 块中心网格和点中心网格的离散点数不同,但最终形成一样的差分方程,只有在处理边界条件时各有方便之处,块中心网格比较容易处理定流量边界,点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统: (1)局部网格加密 (2)混合网格 (3)多边形网格 二、有限差分法----导数的差商逼近 三、有限差分方程的建立 四、边界条件的处理 (二)、外边界条件处理 封闭边界:常取块中心网格并在边界网格外虚拟一排网格,并令其相邻两个网格压力相等。 定压边界:常取点中心网格,由于边界点的压力一定,因此,只需求内部节点压力。 * * 离散空间 t P 离散时间 无效网格 有效网格 点中心网格 块中心网格 x y y z x 局部网格加密 模拟区网格图(井位、边界、断层) 五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图 五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图 r z 混合网格 P x Δx1 Δx2 Δx (一)、内边界条件处理 *

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  • 偏微分方程离散化方法研究》由会员分享,可在线阅读,更多相关《偏微分方程离散化方法研究(30页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。1、偏微分方程的,一、离散化的概念,油藏是非均质的,岩石和流体性质伴随时间...

    《偏微分方程的离散化方法研究》由会员分享,可在线阅读,更多相关《偏微分方程的离散化方法研究(30页珍藏版)》请在人人文库网上搜索。

    1、偏微分方程的,一、离散化的概念,油藏是非均质的,岩石和流体性质伴随时间常常是发生变化的,建立的偏微分方程一般是非线性的,求解偏微分方程的解析解比较困难,常用数值求解。 目前工程上应用的离散化方法有:有限差分法、有限元法、边界元法、变分法等。 离散化的核心是把整体分成若干单元来处理,而每个小单元的形状是规则的,并可以认为是均质的,从而把形状不规则的非均质的问题转化为形状规则的均质的问题非线性问题线性化。 计算过程中可以控制精度。要求的精度越高,则需要划分的单元就越多,计算工作量相应就越大,反之,单元划分得少些,计算工作量就小,但精度变差些。 微分方程离散化,主要在空间和时间两方面被离散化,1)离。

    2、散空间:把所研究的空间划分成某种类型的网格,大的空间转化为若干小单元组成,网格之间动态连接,通常采用矩形网格(正方体)。 (2)离散时间:把研究的时间域分成若干小的时间段,在每个时间段内,对问题求解,时间段之间有机连接。步长大小取决于所要解决的实际问题,离散空间,t,P,离散时间,1、网格系统 它有x,y两个自变量,在平面上用平行线分割成许多网格,如考虑时间,则。编号:xi,yj,tn。为步长(对三维zk)。 节点:网格的交点叫网格节点。取一些与边界s接近的网格节点,把他们连成折线Sh,Sh所围成的区域记为Dh,Dh内的节点为内部节点、边界上的节点为边界节点。 2、 等距网格就是指建立差分网格。

    3、时,所采用的步长都是相等的,反之称为不等距网格,3、网格类型 常规网格系统: (1)块中心网格:用网格小块的几何中心来表示小块的坐标 (2)点中心网格:用节点的坐标来表示小块的坐标 块中心网格和点中心网格的离散点数不同,但最终形成一样的差分方程,只有在处理边界条件时各有方便之处,块中心网格比较容易处理定流量边界,点中心网格比较容易处理定压边界。 非常规网格系统: (1)局部网格加密 (2)混合网格 (3)多边形网格,无效网格,有效网格,点中心网格,块中心网格,x,y,y,局部网格加密,模拟区网格图(井位、边界、断层,五点法注水开发5年后XW3层含水饱和度分布图,五点法注水开发20年后XW3层含水饱和度分布图,混合网格,二、有限差分法-导数的差商逼近,三、有限差分方程的建立,四、边界条件的处理,一)、内边界条件处理,二)、外边界条件处理 封闭边界:常取块中心网格并在边界网格外虚拟一排网格,并令其相邻两个网格压力相等。 定压边界:常取点中心网格,由于边界点的压力一定,因此,只需求内部节点压力。

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  • 偏微分方程的数值解系列博文: 偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...

    偏微分方程的数值解系列博文:

    偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法


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    1 图形界面解法简介       

    2 图形界面解法的使用步骤


    1 图形界面解法简介

    对于一般的区域,任意边界条件的偏微分方程,我们可以利用 MATLAB 中 pdetool 提供的偏微分方程用户图形界面解法。 图形界面解法步骤大致上为:

    (1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。

    (2)产生离散化之点,并将原 PDE 方程式离散化。

    (3)利用有限元素法(finite element method;FEM)求解并显示答案。

    在说明此解法工具之前,先介绍此 PDE 图形界面的菜单下方的功能图标(icon)按 钮

    2 图形界面解法的使用步骤

    要利用 pdetool 接口求解之前,需先定义 PDE 问题,其包含三大部份:

    (1)利用绘图(draw)模式,定义 需要求解的问题的空间范围(domain)Ω

    (2)利用 boundary 模式,指定边界条件

    (3)利用 PDE 模式指定 PDE 系数,即输入 c,a,f 和 d 等 PDE 模式中的系数。

    在定义 PDE 问题之后,可依以下两个步骤求解

    (1)在 mesh 模式下,产生 mesh 点,以便将原问题离散化。

    (2)在 solve 模式下,求解

    (3)最后,在 Plot 模式下,显示答案。

    注意:

    1. MATLAB 会以图形的方式展示结果,使用者亦可点选 plot 下之“parameters”功 能,选择适当的方式显示图形及数据。例如用 3D 方式显示求解结果。参数设置见图 10, 显示结果见图 11。

    2. 另外,若使用者欲将结果输出到命令窗口中,以供后续处理,可利用 solve 功能 项下之“export solution”指定变量名称来完成。

    3. 如果求抛物型或双曲型方程的数值解,还需要通过“solve”菜单下的 “parameters…”选项设置初值条件。

    4. 在上面定义边界条件和初始条件时,可以使用一些内置变量。

    (1)在边界条件输入框中,可以使用如下变量: 二维坐标 x 和 y,边界线段长度参数(s s 是以箭头的方向沿边界线段从 0 增加到 1), 外法向矢量的分量 nx 和 ny(如果需要边界的切线方向,可以通过 tx=-ny 和 ty=nx 表示), 解 u。

    (2)在初值条件的输入框中,也可以输入用户定义的 MATLAB 可接受变量(p, e,t,x,y)的函数。


    例 11 使用 PDETOOL 重新求例 8 的数值解。

                    例8  求解正方形区域{(x, y) | −1 ≤ x, y ≤ 1}上的热传导方程

    边界条件为Dirichlet条件u = 0。

    解 这里是抛物型方程,其中c = 1, a = 0, f = 0, d = 1。

    1)定义 PDE 问题,包括二维空间范围,边界条件以及 PDE 系数等。我们这里就 省略了。

    2)区域剖分以后,通过“Mesh”菜单下的“Export Mesh…”选项可以把 p,e,t 三个参数分别输出到工作间。

    3)然后编写函数 fun1(x,y)如下:

    function f=fun1(x,y);
    f=zeros(length(x),1);
    ix=find(x.^2+y.^2<0.16);
    f(ix)=1; 

    其中的变量 x,y 是 MATLAB 可接受的内置变量。 设置“solve”菜单下的“parameters…”选项如下:

    时间框中输入:linspace(0,0.1,20);

    初值框中输入:fun1。

    4)设置“plot"菜单下的“parameters…”选项如下:选择 Height(3-D plot) 和 Animation 两项。

    5)用鼠标点一下工具栏上的“=”按钮,就可以画出数值解的 3-D 图形。


     

     


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    偏微分方程的数值解系列博文:

    偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应装置内温度及转换率的分布

    偏微分方程的数值解(四): 化工应用————扩散系统之浓度分布

    偏微分方程的数值解(五): 二维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法

    偏微分方程的数值解(六): 偏微分方程的 pdetool 解法


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    3.1 工具箱命令介绍

    3.2 求解一维偏微分方程

    例 2 试解以下之偏微分方程式

    例 3 试解以下联立的偏微分方程系统


    3.1 工具箱命令介绍

    MATLAB 提供了一个指令 pdepe,用以解以下的 PDE 方程式

     

    其中 x 为两端点位置,即a 或b

    用以解含上述初始值及边界值条件的偏微分方程的 MATLAB 命令 pdepe 的用法如 下:

     sol = pdepe(m, pdepe,icfun,bcfun, xmesh,tspan,options)

    注:

    1.  MATLAB PDE 求解器 pdepe 的算法,主要是将原来的椭圆型和拋物线型偏微分 方程转化为一组常微分方程。此转换的过程是基于使用者所指定的 mesh 点,以二阶空 间离散化(spatial discretization)技术为之(Keel and Berzins,1990),然后以 ode15s 的指令 求解。采用 ode15s 的 ode 解法,主要是因为在离散化的过程中,椭圆型偏微分方程被 转化为一组代数方程,而拋物线型的偏微分方程则被转化为一组联立的微分方程。因而, 原偏微分方程被离散化后,变成一组同时伴有微分方程与代数方程的微分代数方程组, 故以 ode15s 便可顺利求解。

    2.  x 的取点(mesh)位置对解的精确度影响很大,若 pdepe 求解器给出“…has difficulty finding consistent initial considition”的讯息时,使用者可进一步将 mesh 点取密 一点,即增加 mesh 点数。另外,若状态u 在某些特定点上有较快速的变动时,亦需将 此处的点取密集些,以增加精确度。值得注意的是 pdepe 并不会自动做 xmesh 的自动取 点,使用者必须观察解的特性,自行作取点的操作。一般而言,所取的点数至少需大于 3 以上。

    3.  tspan 的选取主要是基于使用者对那些特定时间的状态有兴趣而选定。而间距(step size)的控制由程序自动完成。

    4. 若要获得特定位置及时间下的解,可配合以 pdeval 命令。使用格式如下:

    [ uout, duoutdx ] = pdeval(m, xmesh,ui, xout)

    其中 m 代表问题的对称性。m =0 表示平板;m =1 表示圆柱体;m =2 表示球体。其意 义同 pdepe 中的自变量m 。

    ref. Keel,R.D. and M. Berzins,“A Method for the Spatial Discritization of Parabolic Equations in One Space Variable”,SIAM J. Sci. and Sat. Comput.,Vol.11,pp.1-32,1990.

    以下将以数个例子,详细说明 pdepe 的用法。

    3.2 求解一维偏微分方程

    例 2 试解以下之偏微分方程式

    解 下面将叙述求解的步骤与过程。当完成以下各步骤后,可进一步将其汇总为一 主程序 ex20_1.m,然后求解。

    步骤 1 将欲求解的偏微分方程改写成如式的标准式

    步骤 2 编写偏微分方程的系数向量函数

    function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx) 
    c=pi^2;
    f=dudx;
    s=0;
     

    步骤 3 编写起始值条件。

    function u0=ex20_1ic(x)
    u0=sin(pi*x);

    步骤 4 编写边界条件

    在编写之前,先将边界条件改写成标准形式,如式(37), 找出相对应的 p(⋅) 和 q(⋅) 函数,然后写出 MATLAB 的边界条件函数,例如,原边界条 件可写成

    因而,边界条件函数可编写成

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=ul;
    ql=0;
    pr=pi*exp(-t);
    qr=1; 

    步骤 5 取点。例如

    x=linspace(0,1,20); %x 取 20 点
    t=linspace(0,2,5); %时间取 5 点输出

    步骤 6 利用 pdepe 求解。

    m=0; %依步骤 1 之结果
    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t); 

    步骤 7 显示结果。

    u=sol(:,:,1);
    surf(x,t,u)
    title('pde 数值解')
    xlabel('位置')
    ylabel('时间' )
    zlabel('u')

    若要显示特定点上的解,可进一步指定 x 或 t 的位置,以便绘图。例如,欲了解时 间为 2(终点)时,各位置下的解,可输入以下指令(利用 pdeval 指令):

    figure(2); %绘成图 2
    M=length(t); %取终点时间的下标
    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置
    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);
    plot(xout,uout); %绘图
    title('时间为 2 时,各位置下的解')
    xlabel('x')
    ylabel('u') 

    综合以上各步骤,可写成一个程序求解例 2。其参考程序如下

    function ex20_1
    %************************************
    %求解一维热传导偏微分方程的一个综合函数程序
    %************************************
    m=0;
    x=linspace(0,1,20); %xmesh
    t=linspace(0,2,20); %tspan
    %************
    %以 pde 求解
    %************
    sol=pdepe(m,@ex20_1pdefun,@ex20_1ic,@ex20_1bc,x,t);
    u=sol(:,:,1); %取出答案
    %************
    %绘图输出
    %************
    figure(1)
    surf(x,t,u)
    title('pde 数值解')
    xlabel('位置 x')
    ylabel('时间 t' )
    zlabel('数值解 u')
    %*************
    %与解析解做比较
    %*************
    figure(2)
    surf(x,t,exp(-t)'*sin(pi*x));
    title('解析解')
    xlabel('位置 x')
    ylabel('时间 t' )
    zlabel('数值解 u')
    %*****************
    %t=tf=2 时各位置之解
    %*****************
    figure(3)
    M=length(t); %取终点时间的下表
    xout=linspace(0,1,100); %输出点位置
    [uout,dudx]=pdeval(m,x,u(M,:),xout);
    plot(xout,uout); %绘图
    title('时间为 2 时,各位置下的解')
    xlabel('x')
    ylabel('u')
    %******************
    %pde 函数
    %******************
    function [c,f,s]=ex20_1pdefun(x,t,u,dudx)
    c=pi^2;
    f=dudx;
    s=0;
    %****************** 
    %初始条件函数
    %******************
    function u0=ex20_1ic(x)
    u0=sin(pi*x);
    %******************
    %边界条件函数
    %******************
    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_1bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=ul;
    ql=0;
    pr=pi*exp(-t);
    qr=1;

    例 3 试解以下联立的偏微分方程系统

    解 步骤 1:改写偏微分方程为标准式

     

    步骤 2:编写偏微分方程的系数向量函数

    function [c,f,s]=ex20_2pdefun(x,t,u,dudx)
    c=[1 1]';
    f=[0.024 0.170]'.*dudx;
    y=u(1)-u(2);
    F=exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);
    s=[-F F]';

    步骤 3:编写初始条件函数

    function u0=ex20_2ic(x)
    u0=[1 0]';

    步骤 4:编写边界条件函数

    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_2bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=[0 ul(2)]';
    ql=[1 0]';
    pr=[ur(1)-1 0]';
    qr=[0 1]'; 

    步骤 5: 取点。 由于此问题的端点均受边界条件的限制,且时间t 很小时状态的变动很大(由多次求 解后的经验得知),故在两端点处的点可稍微密集些。同时对于t 小处亦可取密一些。例 如,

    x=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.995 1];
    t=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2]; 

    以上几个主要步骤编写完成后,事实上就可直接完成主程序来求解。此问题的参考 程序如下:

    function ex20_2
    %*************************************** 
    %求解一维偏微分方程组的一个综合函数程序
    %***************************************
    m=0;
    x=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.2 0.5 0.7 0.9 0.95 0.99 0.995 1];
    t=[0 0.005 0.01 0.05 0.1 0.5 1 1.5 2];
    %*************************************
    %利用 pdepe 求解
    %*************************************
    sol=pdepe(m,@ex20_2pdefun,@ex20_2ic,@ex20_2bc,x,t);
    u1=sol(:,:,1); %第一个状态之数值解输出
    u2=sol(:,:,2); %第二个状态之数值解输出
    %*************************************
    %绘图输出
    %*************************************
    figure(1)
    surf(x,t,u1)
    title('u1 之数值解')
    xlabel('x')
    ylabel('t')
    %
    figure(2)
    surf(x,t,u2)
    title('u2 之数值解')
    xlabel('x')
    ylabel('t')
    %***************************************
    %pde 函数
    %***************************************
    function [c,f,s]=ex20_2pdefun(x,t,u,dudx)
    c=[1 1]';
    f=[0.024 0.170]'.*dudx;
    y=u(1)-u(2);
    F=exp(5.73*y)-exp(-11.47*y);
    s=[-F F]';
    %****************************************
    %初始条件函数
    %****************************************
    function u0=ex20_2ic(x)
    u0=[1 0]';
    %****************************************
    %边界条件函数
    %****************************************
    function [pl,ql,pr,qr]=ex20_2bc(xl,ul,xr,ur,t)
    pl=[0 ul(2)]';
    ql=[1 0]';
    pr=[ur(1)-1 0]';
    qr=[0 1]';

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  • 偏微分方程的弱形式

    2020-06-03 09:24:29
    偏微分方程的弱形式 COMSOL 官网中有几篇介绍偏微分方程的弱形式文章,作者Chien Liu,讲的比较清晰。 1.弱形式概述 2.在 COMSOL Multiphysics 中执行弱形式 3.弱形式方程的离散化 另外,新浪博客有一位博主也写了一...
  • 偏微分方程

    2020-02-16 22:12:08
    微分方程的典型特性,描述系统从一个时刻到另一个时刻的变化情况,比直接描述一个时刻的整体情况更容易 下图中只要调整每个单独向量的大小和方向,加起来就能绘制任何图像。 回到热传导问题 第一步建立热传导...
  • 偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法

    万次阅读 多人点赞 2019-04-30 11:59:42
    偏微分方程的数值解系列博文: 偏微分方程的数值解(一):定解问题 & 差分解法 偏微分方程的数值解(二): 一维状态空间的偏微分方程的 MATLAB 解法 偏微分方程的数值解(三): 化工应用实例 ----------触煤反应...
  • 的非线性特性,产生的偏微分方程组也是非线性的。 为了在每个时间步逼近解,我们使用经典的牛顿迭代方案,其中利用了 MRST 的自动微分能力。 可以在以下位置找到三种说明性场景的使用示例: 渗水1D.m 水渗透3D.m 水...
  • 机器之心原创作者:蒋思源微分方程真的能结合深度神经网络?真的能用来理解深度神经网络、推导神经网络架构、构建深度生成模型?本文将从鄂维南、董彬和陈天琦等研究者的工作中,窥探微分方程与深度学习联袂前行的...
  • 我们开发了一个新的变分框架来解决偏微分方程 (PDE),该偏微分方程控制连续时间随机系统的联合概率密度函数的流动。 这是 Fokker-Planck-Kolmogorov PDE 的原型求解器,用于模拟专门的一维和二维系统的密度传播。 ...
  • 近十年多来,偏微分方程(PDEs)的理论和方法在图像处理各领域的应用越来 越引起了人们的关注。本文在现有基于偏微分去噪模型的基础上,对模型的线性扩散、 非线性扩散和保真项进行了具体的研究,结合“自蛇”(self...
  • 此提交包含使用矩阵方法离散化分布式阶微分方程所需的基本函数和演示。 它提供了以下书籍的附录 4-6 中的 Matlab 代码: [1] 郑。 焦瑜青Chen, I. Podlubny:“分布式有序动态系统:稳定性、模拟、应用和前景”,...
  • 1.2 数值求解微分方程的基本思路是将时间和空间离散化,然后将微分转化为差分,推导出差分递推式,从而利用边界条件和初始条件进行求解。 2 常微分方程的差分求解 一般的,一阶微分方程为 首先将连续变量y和t离散...
  • 提出了在一个空间维度上求解一般线性抛物型偏微分方程(PDE)的新方法。 这些方法结合了用于空间离散化的二次样条搭配和用于时间离散化的经典有限差分(例如Crank-Nicolson)。 最有效方法的主要计算要求是在每个...
  • 显示如何通过命令行解决边界值问题的... MATLAB椭圆求解器与待解偏微分方程的匹配系数4. 在几何域中离散化 PDE 和 BC 5.解决BC问题并做后处理 这些代码需要MATLAB PDE Toolbox 作者:蔡红学 (h-cai@northwestern.edu)
  • 偏微分方程数值模拟常用的方法主要有三种:有限差分方法(FDM)、有限元方法(FEM)、有限体积方法(FVM),本文将对这三种方法进行简单的介绍和比较。一.有限差分方法有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟...
  • 在北京智源大会的“人工智能的数理基础专题论坛”上,北京大学副教授、智源学者董彬做了题为《Learning and Learning to Solve PDEs》的主题演讲(编者注:PDE,Partial Differential Equation,偏微分方程)。...
  • 有限差分方法、有限元方法、有限体积方法 I.... 有限差分方法(Finite Difference Methods)是数值模拟偏微分...其次,利用Taylor级数展开等方法将偏微分方程中的导数项在网格节点上用函数值的差商代替来进行离散
  • 求解偏微分方程开源有限元软件deal.II学习--Step 48 Posted on 2016-11-29  | In computational material science  | 暂无评论 引子 本例提供了一个框架来应用MatrixFree类,既包括求解非线性偏微分...
  • 我们研究了交替方向隐式 (ADI) 时间离散化方法在图形处理单元 (GPU) 上的并行实现,该方法用于求解具有混合空间导数的三个空间维度上的时间相关抛物偏微分方程 (PDE),在各种应用中计算金融。 均匀网格上的有限差分...
  • 求解偏微分方程开源有限元软件deal.II学习--Step 9 Posted on 2016-09-15 | In computational material science  | 暂无评论 引子 本例将要完成以下目标: 求解对流方程β⋅∇u=f 使用多...

空空如也

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