给定一组样本$(X_i,Y_i)$,模型$Y_i={\beta }_0{X}_i+{\mu }_i$的离差形式为：
$$y_i=Y_i-\overline{Y}={\beta }_1{x}_i+({\mu }_i-\overline{\mu })$$
样本回归函数的离差形式：
$${\hat{y}}_i={\hat{\beta }}_1{x}_i$$
所以
$$\begin{gathered} \sum e_i^2=\sum (y_i-{\hat{y}}_i{)}^2=\sum [({\beta }_1-{\hat{\beta }}_1)x_i+({\mu }_i-{\overline{\mu }}_i){]}^2 \\ =\sum ({\beta }_1-{\hat{\beta }}_1{)}^2{x}_i^2+\sum ({\mu }_i-\overline{\mu }{)}^2+2\sum ({\beta }_1-{\hat{\beta }}_1)x_i({\mu }_i-{\overline{\mu }}_i)] \\ =\sum ({\beta }_1-{\hat{\beta }}_1{)}^2{x}_i^2+\sum ({\mu }_i-\overline{\mu }{)}^2-2\sum (\sum k_i{\mu }_i)x_i(u_i-\overline{\mu }) \\ =\sum ({\beta }_1-{\hat{\beta }}_1{)}^2{x}_i^2+\sum ({\mu }_i-\overline{\mu }{)}^2-\sum x_i{\mu }_i\sum k_i{\mu }_i+2\overline{\mu }\sum x_i\sum k_i{\mu }_i \\ =\sum ({\beta }_1-{\hat{\beta }}_1{)}^2{x}_i^2+\sum ({\mu }_i-\overline{\mu }{)}^2-2\sum x_i{\mu }_i\frac{\sum x_i{\mu }_i}{\sum x_i^2} \end{gathered}$$
其中第一项的期望
$$E[\sum ({\beta }_1-{\hat{\beta }}_1{)}^2{x}_i^2]=\sum x_i^2\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}({\hat{\beta }}_1)=\sum x_i^2\frac{{\sigma }^2}{\sum x_i^2}={\sigma }^2$$
第二项：
$$\begin{gathered} E[\sum ({\mu }_i-\overline{\mu }{)}^2]=E[\sum {\mu }_i^2+\sum {\overline{\mu }}^2-2\overline{\mu }\sum {\mu }_i] \\ =E[\sum {\mu }_i^2-n{\overline{\mu }}^2]=(n-1){\sigma }^2 \end{gathered}$$
第三项：
$$E[\frac{(\sum x_i{\mu }_i{)}^2}{\sum x_i}]=E[\frac{\sum x_i^2{\mu }_i^2+2{\sum }_{i\ne j}(x_i{x}_j)({\mu }_i{\mu }_j)}{\sum x_i^2}]={\sigma }^2$$
所以
$$E(e_i^2)={\sigma }^2+(n-1){\sigma }^2-2{\sigma }^2=(n-2){\sigma }^2$$
从而
$$E(\frac{\sum e_i^2}{n-2})={\sigma }^2$$

(1)杂散干扰主要是由于接收机的灵敏度不高造成的。发射机输出信号通常为大功率信号，在产生大功率信号的过程中会在发射信号的频带之外产生较高的杂散。如果杂散落入某个系统接收频段内的幅度较高，则会导致接收系统的输入信噪比降低，通信质量恶化。杂散干扰是由发射机产生的，包括功放产生和放大的热噪声、系统的互调产物，以及接收频率范围内收到的其他干扰。

杂散干扰是一个系统频段外的杂散辐射落入到另外一个系统的接收频段内造成的干扰，杂散干扰直接影响了系统的接收灵敏度，要想减弱杂散干扰的影响，要么在发射机上过滤干扰，要么远离干扰。

若杂散落入某个系统接收频段内的幅度较高，被干扰系统接收机系统是无法滤除该杂散信号的，因此必须在发信机的输出口加滤波器来控制杂散干扰。通过干扰分析可以计算出干扰对系统的影响降低到适当程度所需要的隔离度，即灵敏度不明显降低时的干扰水平。在POI合路方案中选择多系统间最大的隔离度要求作为工程需要。

杂散干扰是由发射机产生的，包括功放产生和放大的热噪声、系统的互调产物，以及接收频率范围内收到的其他干扰。

(2)互调干扰是两个或多个信号作用在通信设备的非线性器件上，产生同有用信号频率相近的频率，从而对通信系统构成干扰的现象。在移动通信系统中产生的互调干扰主要有发射机互调、接收机互调及外部效应引起的互调。

互调干扰，是指当两个或多个干扰信号同时加到接收机时，由于非线性的作用，这两个干扰的组合频率有时会恰好等于或接近有用信号频率而顺利通过接收机，其中三阶互调最严重。

三阶互调干扰

三阶互调是指当两个信号在一个线性系统中，由于非线性因素存在使一个信号的二次谐波与另一个信号的基波产生差拍（混频）后所产生的寄生信号。比如F1的二次谐波是2F1，他与F2产生了寄生信号2F1-F2。由于一个信号是二次谐波（二阶信号），另一个信号是基波信号（一阶信号），他们俩合成为三阶信号,其中2F1-F2被称为三阶互调信号，它是在调制过程中产生的。又因为是这两个信号的相互调制而产生差拍信号，所以这个新产生的信号称为三阶互调失真信号。产生这个信号的过程称为三阶互调失真。由于F2，F1信号比较接近，也造成2F1-F2，2F2-F1会干扰到原来的基带信号F1，F2。这就是三阶互调干扰。既然会出现三阶，当然也有更

高阶的互调，这些信号不也干扰原来的基带信号么？其实因为产生的互调阶数越高信号强度就越弱，所以三阶互调是主要的干扰，考虑的比较多。不管是有源还是无源器件，如放大器、混频器和滤波器等都会产生三次互调产物。这些互调产物会降低许多通信系统的性能。 所表明的是确切含义是，一个线性系统所包含的非线性系数的大小。这个指标对于大动态放大器是一个非常重要的技术指标。测试这项指标使用的测试仪器主要是频谱分析仪。对于不同指标要求的三阶互调失真，需使用不同性能的频谱分析仪，对三阶互调失真要求越高，对频谱分析仪的要求就越高。在60-70dB的三阶互调失真，用Agilent的8591就可以分析。

定量分析

为了提高频道利用率，移动通信系统通常采用多频道共用的组网方式，由M个移动台共用N个频道(M＞＞N)，移动台通过基地台选择的某个空闲频道进行通信，当一个移动通信系统岸N个等间隔配置工作频道时，整个系统的互调干扰大致可分为：由移动台接收机形成的互调干扰；由基地台接收机形成的互调干扰；由基地台发射机互耦形成的互调干扰；由移动台发射机互耦形成的互调干扰；由移动台、基地台发射机互耦、在移动台发射机形成的互调产物对移动台接收的干扰；由基地台、移动台发射机互耦、在基地台发射机形成的互调产物对基地台接收的干扰。下面就上述六类互调干扰做简要的定量分析。

（A）由移动台接收机形成的互调干扰

当基地台几个频道同时发信时，由移动台收信部分前端电路的非线性所产生的互调干扰属于同频干扰。

（B）由基地台接收机形成的互调干扰

当两个或两个以上移动台在临近基地台的区域内同时发信时，同样会使基地台接收机形成互调干扰。这类干扰的EI和EC无关，而式(2)中的D(N，P)项可以不考虑。当EI=EIMAX、EC=ECMIN时，例如有M1、M2、M3和M4四个移动台同时工作，其中M1、M2、M3在基地台附近，而M4在服务区边缘(ECMIN≈ES，ES为接收机的灵敏度指标)，

（C）由基地台发射机互耦形成的互调干扰

此类干扰对于本系统移动台属于同频干扰。如果系统的所有频道都在工作，只要互调产物比信号低15dB以上，干扰产物对移动台接收机输出信扰比影响就不大。但若有某个频道不工作，例如对N=4的系统，fBT1、fBT2、fBT3工作，fBT4不工作，三阶互调Ⅱ型产物：fBT2+fBT3-fBT1=fBT4=fMR4，有可能造成移动台接收机错停频道及呼损。对于相邻系统来说，此类干扰属于杂散辐射，必须比在波功率低60dB以上(或小于25uw)。 （4）由移动台发射机互耦形成的互调干扰

设基地台附近有两个移动台、在系统服务区边缘有一个移动台同时工作(如图2所示)。由基地台附近的两个移动台发射机互耦形成的互调产物有可能影响基地台对来自服务区边缘的那个移动台信号的正常接收。此类干扰时一种瞬间随机干扰，当移动台较少时，影响不大。

（D）移动台、基地台发射机互耦，在移动台发射机形成的互调产物对移动台接收的干扰

（E）由基地台、移动台发射机互耦、在基地台发射机形成的互调产物对基地台接收的干扰

总之，较严重的干扰是（A）、（B）、（D）类干扰，在进行工程设计时必须认真进行定量分析。

(3)阻塞干扰当一个较大干扰信号进入接收机前端的低噪放大器时，由于低噪放大器的放大倍数是根据放大微弱信号所需要的整机增益来设定的，强干扰信号电平在超出放大器的输入动态范围后，可能将放大器推入到非线性区，导致放大器对有用的微弱信号的放大倍数降低，甚至完全抑制，从而严重影响接收机对微弱信号的放大能力，影响系统的正常工作。在多系统设计时，只要保证到达接收机输入端的强干扰信号功率不超过系统指标要求的阻塞电平，系统就可以正常工作。

在实际操作现场测试定位干扰源的更具体点的TD-LTE杂散干扰、阻塞干扰、互调干扰排查测试定位方法及工具：
1）由于TD-LTE是时分双工的系统，上下行均采用相同频段，需要准备可以不关闭周边基站可以同步系统并区分，单独测量上下行频谱的TDD频谱仪（如 东莞纳萨斯 的 DONA 无线干扰检测仪），定向天线。
2）到达受干扰站点天面现场采用上行测量模式或无线干扰底噪测量模式进行测量，并设置到受干扰频带起止干扰频带。（若采用非时TDD分频谱仪表，则需要测试前关闭该区域所有TD-LTE基站，不建议用）
3）无线干扰底噪频谱特征显示 若干扰信号 落入受干扰系统工作频带，且呈越接近干扰源工作频率的频率受干扰越大，称为 杂散干扰。本质是由于干扰源的非工作频带杂散抑制能力差或出问题导致干扰了TD-LTE的工作频带，往往与有源器件有关。
4）若干扰源落入工作频带，且为非联系的干扰，特点呈窄带柱状干扰，且符合干扰源源自两个或以上带外频点，符合互调是 2个信号互相作用，会在其他的频点产生的新的信号，比如3阶就在2F1-F2和2F2-F1,5阶就在3F1-2F2和3F2-2F1等等，属于互调干扰，往往与干扰扰源无源器件有关。
5）若检测结果在工作频带内没有受到干扰，但工作频带邻频有很强信号，且受干扰系统的反向频谱呈受干扰特点，且通信的质量受影响，效果降低。符合接收灵敏度损失。称之为阻塞干扰。本质原因为受干扰系统亢阻塞能力不强，可改造或增加与干扰源隔离度解决。

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一, 什么是共模与差模

电器设备的电源线，电话等的通信线，与其它设备或外围设备相互交换的通讯线路，至少有两根导线，这两根导线作为往返线路输送电力或信号，在这两根导线之外通常还有第三导体,这就是"地线"。

电压和电流的变化通过导线传输时有两种形态，一种是两根导线分别做为往返线路传输，我们称之为"差模"；另一种是两根导线做去路，地线做返回传输，我们称之为"共模"。

  如上图，蓝色信号是在两根导线内部作往返传输的，我们称之为"差模"；而黄信号是在信号与地线之间传输的，我们称之为"共模"。

任何两根电源线或通信线上所存在的干扰，均可用共模干扰和差模干扰来表示：
**1，共模干扰

  共模干扰在导线与地（机壳）之间传输，属于非对称性干扰，它定义为任何载流导体与参考地之间的不希望有的电位差；**

  共模干扰的电流大小不一定相等，但是方向（相位）相同的。电气设备对外的干扰多以共模干扰为主，外来的干扰也多以共模干扰为主，共模干扰本身一般不会对设备产生危害，但是如果共模干扰转变为差模干扰，干扰就严重了，因为有用信号都是差模信号。
2，差模干扰
  差模干扰在两导线之间传输，属于对称性干扰,它定义为任何两个载流导体之间的不希望有的电位差。
  在一般情况下，共模干扰幅度大、频率高，还可以通过导线产生辐射，所造成的干扰较大。差模干扰幅度小、频率低、所造成的干扰较小。

  差模干扰的电流大小相等，方向（相位）相反。由于走线的分布电容、电感、信号走线阻抗不连续，以及信号回流路径流过了意料之外的通路等，差模电流会转换成共模电流。

二， 共模干扰产生原因

1、电网串入共模干扰电压。

2、辐射干扰（如雷电，设备电弧，附近电台，大功率辐射源）在信号线上感应出共模干扰，原因是交变的磁场产生交变 的电流，地线－零线回路面积与地线－火线回路面积不相同，两个回路阻抗不同等原因造成电流大小不同。

3、接地电压不一样，简单的说就电位差而造就了共模干扰。

4、设备内部的线路对电源线造成的共模干扰。

三， 共模干扰电流

共模干扰一般是以共模干扰电流存在的形式出现的，一般情况下共模干扰电流产生的原因有三个方面:

1、外界电磁场在电路走线中的所有导线上感应出来电压（这个电压相对于大地是等幅和同相的），由这个电压产生的电流；

2、由于电路走线两端的器件所接的地电位不同，在这个地电位差的驱动下产生的电流；

3、器件上的电路走线与大地之间有电位差，这样电路走线上会产生共模干扰电流。

器件如果在其电路走线上产生共模干扰电流，则电路走线会产生强烈的电磁辐射，对电子、电气产品元器件产生电磁干扰，影响产品的性能指标；另外，当电路不平衡时，共模干扰电流会转变为差模干扰电流，差模干扰电流对电路直接产生干扰影响。

对于电子、电气产品电路中的信号线及其回路而言：差模干扰电流流过电路中的导线环路时，将引起差模干扰辐射，这种环路相当于小环天线，能向空间辐射磁场，或接收磁场。

四， 如何识别共模干扰

1，从干扰源判断：
雷电、附近发生的电弧、附近的电台或其它大功率辐射装置在电缆上产生的干扰为共模干扰。

2，从频率上判断：

共模干扰主要集中在1MHz以上。 这是由于共模干扰是通过空间感应到电缆上的，这种感应只有在较高频率时才容易发生。但有一种例外，当电缆从很强的磁场辐射源(例如，开关电源)旁边通过时，也会感应到频率较低的共模干扰。
3， 仪器测量：

只要有一台频谱分析仪和一只电流卡钳就可以进行测量、判断了，判断的步骤如下：
a. 将电流卡钳分别卡在信号线或地线(火线或零线)上，记录下某个感应频率(f1)的干扰强度；
b.将电流卡钳同时卡住信号线和地线，若能观察到(f1)处的干扰，则(f1)干扰中包含共模干扰成份，要判断是否仅含共模 干扰成份，进行步骤c的判别；
c.将卡钳分别卡住信号线和地线，若两根线上测得的(f1)干扰的幅度相同，则(f1)干扰中仅含共模干扰成份;若不相同，则(f1)干扰中还包含差模干扰成份。

**五， 如何抑制共模干扰

共模干扰作为EMC干扰中最为常见且危害较大的干扰，我们抑制它最直接的方法就是滤波，这是抑制和防止共模干扰的一项重要措施。**
滤波器的功能就是允许某一特定频率的信号顺利通过，而其它频率的信号则要受到较大的抑制，它实质上是一个选频电路，它切断了电磁干扰沿信号线或电源线传播的路径，另外它还是压缩干扰频谱的一种有效方法，当干扰频谱不同于有用信号的频带时，可以用滤波器将无用的干扰信号滤除。
因此，恰当地选择和正确地使用滤波器对抑制共模干扰是十分重要的。
如果有用信号是差模信号而干扰信号是共模信号，可使用共模电感来抑制干扰信号：

六， 共模电感的原理和抑制干扰

在电路中串入共模电感，当有共模干扰电流流经线圈时，由于共模干扰电流的同向性，会在线圈内产生同向的磁场而增大线圈的感抗，使线圈表现为高阻抗，产生较强的阻尼效果，以此衰减共模干扰电流，达到滤波的目的。

当电路中的正常差模电流流经共模电感时，电流在同相绕制的共模电感线圈中产生反向的磁场而相互抵消，因而对正常的差模电流基本没有衰减作用。
1、USB 信号上的共模干扰抑制方法

USB 传输线上的信号是差分信号而干扰源是共模干扰信号，在传输线上串上共模电感能较好的抑制共模干扰，而对有用的差分信号没有任何衰减。
电路中加入滤波器－共模电感后共模干扰信号得到有效抑制
2、共模电容抑制干扰信号方法
如果共模干扰源是在电源回路，可使用共模电容来抑制干扰信号。

在电路中引入共模电容，则共模电容提供最短的路径使共模干扰信号被旁路，从而抑制共模干扰的产生 。
3、差模电容抑制干扰方法
如果电源回路同时还存在差模干扰，使用差模电容来抑制干扰。

在电路中引入差模电容，则差模电容提供最短的路径使差模干扰信号被旁路，从而抑制差模干扰的产生 。

关于滤波器的数值选取：

　　Le为共模扼流圈，由于LC的两个线圈绕向一致，当电源输人电流流过LC时，所产生的磁场可以互相抵消，不会引起磁芯的饱和，因此，它使用导磁率高的磁芯。Le对共模噪声来说，相当于一个很大电感量的电感，故它能有效地抑制共模传导噪声。负载输入端分别对地并接的电容Cy对共模噪声起旁路作用。共模扼流圈两端并联的电容CX对差模噪声起抑制作用。R为CX的放电电阻，它是VDE-0806和IEC-380安全技术条件标准所推荐的。图中各元件的参数范围：Cx=0.1_2pF;Cy=2233nF;Le=几~几十mH，随工作电流不同而取不同的参数值。如电流为25A时，Le=1，8mH;电流为0.3A;Le=47mH。扼流圈一般用高磁导率棒状磁芯材料，对于消除高频干扰效果很好，但对于大工作电流之情况，扼流圈的体积比较庞大，用以避免磁饱和。

七， 写在最后

共模干扰作为EMC干扰中最为常见且危害很大的干扰，抑制它的方法除了滤波外，还可以通过对信号线路进行屏蔽，在PCB 板上大面积铺地降低地线阻抗来减少共模信号强度等方法。