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  • 该软件为数学中的标准差公式,可以通过添加数组计算出平均值以及标准差
  • 从两组的 n、均值和标准差计算合并的 n、均值和标准差(要计算为N个组(N> 2),请重复N-1次) [npool,meanpool,stdpool] = pooledmeanstd(n1,mean1,std1,n2,mean2,std2) 基于...
  • 所以这个就是对这个概念需要理解的一个点: 这里计算的是样本的标准偏差,总体标准偏差公式是基于正态分布推导而来,所以总体标准差公式是除以N,而在应用中,不是数学统计的意义,只能以有限的样本序列去近似描述...

    [导读] 遇到一些朋友说信号处理真难,学是很辛苦的学了,就是不知道怎么用。学而不能致用,如此辛苦的学习就有点费时费力了。当然本文也并非想说学必致用,有的东西学了还真不见得能用上。只不过学过的,想用的要会用则达到学的目的了。此言:学以致用,学能致用!谨与诸君共勉!

    很多时候,为什么学而不能致用呢?没有用的需求,当然就不说了。往往不会用,是因为不知道怎么去用,而不知道怎么用,个人觉得很重要的原因是因为很多基础的概念没有理解到位,对于工程技术人员而言,对于基础概念的理解把握,往往决定了解决问题的方向、思路、深度。以信号处理来说,里面就有大量的基础概念需要真正去理解。本文就来聊聊如何去描述度量信号的几个概念。

    均值

    信号处理中一个最为简单的概念就是均值(Mean),和你想的一样,加起来除以样本数量:

    在学习DSP时,要习惯各种数学表示的方案,比如这里 就是表示求和, 表示从 开始求和。为了让都能看懂,这个公式换一个表达形式:

    所以 就是更为简洁的描述求和的数学语言。

    对于这个公式在延申一下,这里是离散信号,如果是离散概率序列 ,对于确定的 其概率为 ,则这样的离散概率分布序列,其均值则为:

    其实,对于前一公式也可以用概率均值去理解,看成N个样本集合,则每一个样值其概率就是

    那么研究均值有啥意义呢?其实一般对于原始样本直接计算均值可能意义不是特别大,但是基于均值衍生的其他统计量则非常有价值,比如接下来要说的标准偏差,简称为标准差

    平均偏差

    在谈标准差之前,先谈谈平均偏差。何为平均偏差,严格讲应该称为平均绝对偏差(Average Absolute Deviation),在谈平均绝对偏差前,先谈谈绝对偏差,绝对偏差,从字面意义上理解,很容易可以想到其计算这样是这样得来,由某样本与均值的差的绝对值:

    那么平均绝对偏差,所差的就是一个平均了:

    来试着理解一下这个公式, 是任一样本 与该样本集均值的差的绝对值,表示的是该样本 与均值的偏离程度,每个样本与均值的偏离程度之和再求平均,则就是字面意思了,所有样本与平均值的偏离程度,故称为平均偏差。

    平均偏差可以反应样本点与均值的平均偏离程度。

    标准偏差

    标准偏差(Standard Deviation)与平均偏差(Average Deviation)类似,也是基于平均值的统计量。所不同的是,标准差是利用样本与均值绝对偏差的平方和求取的。

    标准差反应信号相对平均值的波动程度。标准差数值越小,反应信号数值分布更靠近平均值,反之越大则表示信号相对平均值更分散

    标准偏差根据样本是研究样本的总体,还是只是收集的部分样本而分为两种情况:

    • 总体标准偏差

    • 样本标准偏差

    总体标准偏差

    如果仅将数据视为总体,则可以将其各点绝对偏差之和除以数据点总数N,而后开平方:

    样本标准偏差

    如果待研究的数据看成待研究系统数据的部分,则可以将其各点绝对偏差之和除以数据点总数N-1,而后开平方:

    看到这个公式,有的盆友或许会问,为啥除的是N-1?而不是N!所以这个就是对这个概念需要理解的一个点:

    这里计算的是样本的标准偏差,总体标准偏差公式是基于正态分布推导而来,所以总体标准差公式是除以N,而在应用中,不是数学统计的意义,只能以有限的样本序列去近似描述总体的特征,除以N-1是一种无偏估计,所谓无偏估计,是指无偏性,无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差。在多次重复下,它们的平均数接近所估计的参数真值。

    我们计算这个参数,就是想利用这个参数去反应样本序列集的客观特征,所计算的样本序列往往可能只是截取的数据段,并非所有的数据样本。在信号处理中,我们拿到的数据一般而言都是系统的部分样本,所以实际使用中应该使用样本标准差进行计算。

    对于标准偏差的理解,还有一层需要理解透,它的量纲仍然是原样本的量纲,比如研究的是电压信号,单位为伏,则计算而得的标准偏差依然是伏。

    有趣的栗子

    在国外网站上看到一组有趣的图片,可以更好的帮助理解:

    https://www.mathsisfun.com/data/standard-deviation.html

    假设有这样几种可爱的狗狗:其身高分别为:600mm, 470mm, 170mm, 430mm, 300mm.

    则其均值为:

    所以上图中用绿色线标识下身高均值:

    从而每个狗相对均值的偏差如下图:

    从而,其标准差则为:

    然后再标识一下每个狗的身高

    上图可看出第2、4、5个狗的身高与均值的偏差在一个标准差内,而第1、3只狗身高与均值超出了一个标准差。标准差概念也经常用来衡量产品的生成品质,比如你常听到的说法,这个零件的加工偏差是否在一个标准差内,这里的标准差就是标准偏差的意思。

    上面的公式如果不开平方,这就是常说的方差了,类似有两种概念:

    • 样本方差:

    • 总体方差:

    再来个栗子

    前面说标准差,常用来衡量数据的分布情况:

    标准差反应信号相对平均值的波动程度。标准差数值越小,反应信号数值分布更靠近平均值,反之越大则表示信号相对平均值更分散

    为啥这样说,看看下面这个栗子就好理解了:

    假设有这样三组数据,假定这三组数据来自三个同类型传感器的采样值,对相同的外界多次采样(这里为了说明问题,请不用考虑数据本身的合理性),我们来计算一下其均值、平均偏差、样本标准差。

    135791113151719
    24578913151324
    35577810121330

    三组数据连同其均值绘制成曲线:

    第1组:

    第2组:

    第3组:

    从曲线图我们可以很直观的看出第1个传感器表现更好,那么如何用一个特征值来区分呢?如用平均绝对偏差显然并不能很好的描述,三组数据均值相同,无法区分三个传感器的表现,因为计算出平均绝对偏差相同。如用样本标准差进行度量,则可以得出:

    其物理含义,表示第1组数据分布程度相对更为靠近平均值。

    总结一下

    均值、平均偏差、标准偏差、方差是信号处理几个基础概念,尤其标准差、方差在很多复杂的滤波算法、估计算法中是重要的理论基础概念。所以准确的理解这些概念,也是能理解更为复杂的算法的基础。所谓基础不牢、地动山摇!

    END

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  • 算法 A 求稳健平均稳健标准差

    千次阅读 2021-06-05 22:38:00
    稳健性是估计算法的特点,而不是其产生的估计值的特点,因此严格来说,称由此算法计算的平均和标准差是稳健的是不确切的。然而,为避免使用繁琐的术语,“稳健均值”“稳健标准差”应理解为利用稳健算法计算的...

    文章目录


    本文主要参考 ISO 13528 的附件 C 的 3 条款。

    算法原理

    应用此算法计算得到数据平均值和标准差的稳健值。稳健性是估计算法的特点,而不是其产生的估计值的特点,因此严格来说,称由此算法计算的平均值和标准差是稳健的是不确切的。然而,为避免使用繁琐的术语,“稳健均值”和“稳健标准差”应理解为利用稳健算法计算的总体均值和总体标准差的均值估计。

    设数据为 x i , i ∈ ( 1 , 2 , ⋯   , n ) x_i, i\in(1,2,\cdots,n) xi,i(1,2,,n),记稳健平均值为 x ∗ , s ∗ x^*, s^* x,s,首先是计算初始值:
    x ∗ = med ⁡ x i s ∗ = 1.483 × med ⁡ ∣ x i − x ∗ ∣ \begin{array}{c} x^{*}=\operatorname{med} x_{i} \\ s^{*}=1.483 \times \operatorname{med}\left|x_{i}-x^{*}\right| \end{array} x=medxis=1.483×medxix
    对每个 x i x_i xi,有:
    x i ∗ = { x ∗ − δ ,  若  x i < x ∗ − δ x ∗ + δ ,  若  x i > x ∗ + δ x i ,  其他  x_{i}^{*}=\left\{\begin{array}{cc} x^{*}-\delta, & \text { 若 } x_{i}<x^{*}-\delta \\ x^{*}+\delta, & \text { 若 } x_{i}>x^{*}+\delta \\ x_{i}, & \text { 其他 } \end{array}\right. xi=xδ,x+δ,xi,  xi<xδ  xi>x+δ 其他 
    其中: δ = 1.5 s ∗ \delta=1.5 s^{*} δ=1.5s,再次计算:
    x ∗ = ∑ x i ∗ / p s ∗ = 1.134 ∑ ( x i ∗ − x ∗ ) 2 / ( p − 1 ) \begin{array}{c} x^{*}=\sum x_{\mathrm{i}}^{*} / p \\ s^{*}=1.134 \sqrt{\sum\left(x_{\mathrm{i}}^{*}-x^{*}\right)^{2} /(p-1)} \end{array} x=xi/ps=1.134(xix)2/(p1)

    重复:
    x i ∗ = { x ∗ − δ ,  若  x i < x ∗ − δ x ∗ + δ ,  若  x i > x ∗ + δ x i ,  其他  x_{i}^{*}=\left\{\begin{array}{cc} x^{*}-\delta, & \text { 若 } x_{i}<x^{*}-\delta \\ x^{*}+\delta, & \text { 若 } x_{i}>x^{*}+\delta \\ x_{i}, & \text { 其他 } \end{array}\right. xi=xδ,x+δ,xi,  xi<xδ  xi>x+δ 其他 

    直到 s ∗ s^* s 的 第三位有效数字和 x ∗ x^* x 的对应数字在连续两次迭代中不变。

    代码

    # -*- coding: utf-8 -*-
    import pandas as pd
    import numpy as np
    
    def location_corresponding(x_str, s_str):
        '''
        s 的第三位有效数字,以及对应 x 的相应的数字
        '''
        digit_location = s_str.find('.') 
        if digit_location >= 3:
            # 如果小数点在字符串的第 4 位或大于第四位,也即数字至少在 100 以上
            # 此时第三位有效数字,肯定在小数点前。
            significant_num = s_str[2]
            # 有效位数于小数点的相对位置
            # 0 代表在小数点前, 3-1 是指从小数点前数起的位数
            # sig_loc 的第一位表示有效数字在小数点前,还是后
            # 第二位代表有效数字在小数点的“距离”
            str_len = len(s_str[:digit_location])
            sig_loc = (0, str_len-3-1)
            
        elif s_str[0] == '0':
            # 若整数部分是0,则有效数字的位置在小数点后
            # 刨除整数和小数点部分
            s_without_int = s_str[digit_location:]
            # 若小数点后有 0,则不将 0 计入有效数字位
            if '.0' in s_without_int:
                digit_location += 1
                while '.00' in s_without_int:
                    # 若小数点后有多个0,也不计入
                    s_without_int = s_without_int.replace('.00', '.0')
                    digit_location += 1
            try:
                # 若位数不够,如 0.0,则有效数字为 0、
                significant_num = s_str[digit_location+3]
            except:
                significant_num = '0'
            # 1 表示有效数字在小数点后
            sig_loc = (1, 3)
            
        elif digit_location == -1 and len(s_str) >= 3:
            # 若只有整数,没有小数部分,且整数部分大于 100,即有超过三位数
            # 则直接取第三位
            str_len = len(s_str)
            sig_loc = (0, str_len-3)
            significant_num = s_str[2]
        elif digit_location == -1 and len(s_str) < 3:
            # 若小于 100,则有效数字为0
            significant_num = '0'
        else:
            # 若整数部分小于 2 位,且整数部分大于 0
            sig_loc = (1, 3-digit_location)
            significant_num = s_str[sig_loc[1]+digit_location]
        
        # x 对应的数字 
        x_digit_location = x_str.find('.') 
        if sig_loc[0] == 0:
            if x_digit_location == -1 and len(x_str) >= 3:
                x_significant_num = x_str[2]
            elif x_digit_location == -1 and len(x_str) < 3:
                x_significant_num = '0'
            else:
                x_significant_num = x_str[x_digit_location-sig_loc[1]]
                print(sig_loc[1])
                print('前')
        else:
            try:
                x_significant_num = x_str[x_digit_location+sig_loc[1]]
            except:
                x_significant_num = '0'
                
        return x_significant_num, significant_num
    
    def coverage_critiria(x_list, s_list):
        '''
        收敛准则
        其中 s_list 是一个长度为 3 的 list, 包含当前迭代的 s* 和之前两个迭代的 s*
        其中 x_list 也一样
        
        难点在于:如何找出 s 的第三位有效数字,对应 x 的数位呢?
                这里的解决办法是:找出 s 三位有效数字,在小数点的位置,从而应用于 x 中
        '''
    
        s_numbers = []
        x_numbers = []
        for i in range(3):
            # 连续两位不变,故需要进行 3 此迭代。
            s = s_list[i]
            # s 的字符串
            s_str = str(s)
    
            x = x_list[i]
            # x 的字符串
            x_str = str(x) 
            # 找出 s* 的第三位有效数字,和 x* 对应的数字。
            x_sig_num, s_sig_num = location_corresponding(x_str, s_str)
            s_numbers.append(s_sig_num)
            x_numbers.append(x_sig_num)
        
        # 稳健标准差的第三位有效数字,连续两次不变,且稳健平均值的对应数字亦连续两次不变,则判断为收敛
        # 函数返回 True。否则返回 False
        s_equal_flag = (s_numbers[0] == s_numbers[1]) and (s_numbers[0] == s_numbers[2])
        x_equal_flag = (x_numbers[0] == x_numbers[1]) \
                            and (x_numbers[0] == x_numbers[2])
        
        if s_equal_flag and x_equal_flag:
            return True
        else:
            return False
        
    def perform_algorithm_A(x):
        '''
        x 是一个向量
        '''
        if type(x) is list:
            x = np.array(x)
        
        # 稳健平均和稳健标准差初始值
        x_star = np.median(x)
        x_diff = np.absolute(x-x_star)
        s_star = 1.483*np.median(x_diff)
        
        # 上界和下界的初始值
        delta = 1.5*s_star
        higher_bound = x_star + delta
        lower_bound =  x_star - delta
        
        x_list = []
        s_list = []
        while True:
            x_tmp = np.copy(x)
            x_tmp[x_tmp>higher_bound] = higher_bound
            x_tmp[x_tmp<lower_bound] = lower_bound
            x_star = np.mean(x_tmp)
            s_star = 1.134*np.std(x_tmp)
            
            x_list.append(x_star)
            s_list.append(s_star)
            
            if len(x_list) == 4:
                x_list.pop(0)
                s_list.pop(0)
                # 达到收敛条件
                if coverage_critiria(x_list, s_list):
                    return x_tmp, x_list[2], s_list[2], higher_bound, lower_bound
                    
    
            # 计算上下界
            delta = 1.5*s_star
            higher_bound = x_star + delta
            lower_bound =  x_star - delta
            
        
    if __name__ == '__main__':
        x = [927,952,977,995,915,962,966,950,969,949,961,940,1002,956,960,943]
        x, x_star, s_star, higher_bound, lower_bound = perform_algorithm_A(x)
        print('算法 A 收敛后,数据变为: ', x)
        print('稳健平均值: ', x_star)
        print('稳健标准差: ', s_star)
    
    

    运行结果如下:
    在这里插入图片描述

    展开全文
  • Cpk:制程能力指标 Cp: 技术能力指标 k: 管理能力指标 Mean:平均值 s: 标准差,值越大,数据越散乱 USL:规格上限 LSL:规格下限
  • 今天小编就为大家分享一篇Python求均值,方差,标准差的实例,具有很好的参考价值,希望对大家有所帮助。一起跟随小编过来看看吧
  • 标准误/标准误和标准差的区别

    万次阅读 2019-10-25 13:40:00
    标准误概念:即样本均数的标准差,可用于衡量抽样误差的大小。 通常σ未知,用s(标准差)来估计,计算标准误: ----> 通过增加样本含量n来降低抽样误差。 标准误的特点: 当样本例数n一定时,标准误与...

    标准误概念:即样本均数的标准差,可用于衡量抽样误差的大小。

    通常σ未知,用s(标准差)来估计,计算标准误:

      ---->    通过增加样本含量n来降低抽样误差。

     

    标准误的特点:

    当样本例数n一定时,标准误与标准差呈正比;

    当标准差一定时,标准误与样本含量n的平方根呈反比。

    意义:反映样本均数间离散程度。反映抽样误差的大小。标准误越小,抽样误差越小,用样本均数估计总体均数的可靠性越大。

     

    标准差和标准误的差别:

    标准误:反映抽样误差 用于总体均数、置信区间、进行统计学检验

    标准差:反映个体变异 用于计算参考值范围、计算标准误、CV

    联系:当n一定时,标准差越大,标准误越大

    展开全文
  • 移动标准差以及移动平均值(movstd、movmean) 最近在工作中遇到这样一个问题: 有一个序列长度为 nnn 的序列 T=[t0,t1,…,tn−1]T=[t_0, t_1, \dots, t_{n-1}]T=[t0​,t1​,…,tn−1​],给定一个窗大小 m(m<=n)m ...

    移动标准差以及移动平均值(movstd、movmean)

    最近在工作中遇到这样一个问题:
    有一个序列长度为 n n n 的序列 T = [ t 0 , t 1 , … , t n − 1 ] T=[t_0, t_1, \dots, t_{n-1}] T=[t0,t1,,tn1],给定一个窗大小 m ( m < = n ) m (m <= n) m(m<=n),下标从0开始,计算窗大小的均值和标准差,即计算T[0:m-1]、T[1:m]、T[2:m+1]…T[n-m+1:n] 的平均值和标准差

    暴力解法

    最简单的无脑的方法就是暴力循环了,很明显这种方法特别慢,时间复杂度为 O ( n ∗ m ) O(n*m) O(nm)

    下面为你呈现暴力代码

    import numpy as np
    import time 
    
    # generate time sequence
    n = 1000 * 1000
    m = 1000
    T = np.random.rand(n)
    
    # brute force
    means = np.zeros(n - m + 1)
    stds = np.zeros(n - m + 1)
    
    start_time = time.time()
    for i in range(n - m + 1):
        means[i] = np.mean( T[i:i+m] )
    end_time = time.time()
    print('Running time of brute force for mean is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    start_time = time.time()
    for i in range(n - m + 1):
        stds[i] = np.std( T[i:i+m] )
    end_time = time.time()
    print('Running time of brute force for std is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    Running time of brute force for mean is 5.774143934249878s
    Running time of brute force for std is 20.721827030181885s
    

    movmean

    有没有办法进行优化呢?这里介绍移动标准差(movstd)和移动平均值(movmean)

    先从移动平均值(movmean)开始,它很简单并且符合直觉:在滑动的过程中,有很多重叠部分,我们可以利用重叠的部分,从而节约计算时间

    如上图所示,计算时可以利用前一个均值,这样就避免了不必要的加法操作,平均值的计算复杂度降低为 O ( n ) O(n) O(n)
    μ i ∗ m = ( t i + t i + 1 + ⋯ + t i + m − 1 ) \mu_i*m = (t_i + t_{i+1} + \dots + t_{i+m-1}) μim=(ti+ti+1++ti+m1)

    μ i + 1 ∗ m = μ i ∗ m − t i + t m \mu_{i+1}*m = \mu_i*m - t_i + t_m μi+1m=μimti+tm

    下面代码显示了如何实现 movmean

    def movmean(T, m):
        assert(m <= T.shape[0])
        n = T.shape[0]
        
        sums = np.zeros(n - m + 1)
        sums[0] = np.sum(T[0:m])
        
        cumsum = np.cumsum(T)
        cumsum = np.insert(cumsum, 0, 0) # 在数组开头插入一个0
        
        sums = cumsum[m:] - cumsum[:-m]
        return sums/m
    
    start_time = time.time()
    means_2 = movmean(T, m)
    end_time = time.time()
    print('Running time of movmean is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    Running time of movmean is 0.009449005126953125s
    

    movstd

    在介绍移动标准差之前,我们先回顾下标准差计算公式:
    σ = 1 m ∑ i = 1 m ( t i − u ) 2 \sigma = \sqrt{\frac{1}{m} \sum_{i=1}^m(t_i - u)^2} σ=m1i=1m(tiu)2

    假设有一个长度为 3 的序列 [a, b, c],我们来计算一下它的标准差

    首先计算均值:
    μ = 1 m ( a + b + c ) \mu = \frac{1}{m}(a+b+c) μ=m1(a+b+c)

    然后标准差:
    σ = 1 3 ( ( a − μ ) 2 + ( b − μ ) 2 + ( c − μ ) 2 ) = 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 − 2 a μ − 2 b μ − 2 c μ + μ 2 ) = 1 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − ( 1 3 ( a + b + c ) ) 2 \begin{array}{l} \sigma &= \sqrt{ \frac{1}{3} ((a-\mu)^2 + (b-\mu)^2 + (c-\mu)^2)} \\ &= \sqrt{ \frac{1}{3} (a^2 + b^2 + c^2 -2a\mu - 2b\mu - 2c\mu + \mu^2)} \\ &= \sqrt{ \frac{1}{3}(a^2+b^2+c^2) - (\frac{1}{3}(a+b+c))^2 } \\ \end{array} σ=31((aμ)2+(bμ)2+(cμ)2) =31(a2+b2+c22aμ2bμ2cμ+μ2) =31(a2+b2+c2)(31(a+b+c))2

    我们可以发现,标准差的计算可以用累计和来表示,而累加和是可以在 O ( n ) O(n) O(n)时间内完成,这就是 movstd

    下面的代码展示了如何计算 movstd

    def movstd(T, m):
        n = T.shape[0]
        
        cumsum = np.cumsum(T)
        cumsum_square = np.cumsum(T**2)
        
        cumsum = np.insert(cumsum, 0, 0)               # 在数组开头插入一个0
        cumsum_square = np.insert(cumsum_square, 0, 0) # 在数组开头插入一个0
        
        seg_sum = cumsum[m:] - cumsum[:-m]
        seg_sum_square = cumsum_square[m:] - cumsum_square[:-m]
        
        return np.sqrt( seg_sum_square/m - (seg_sum/m)**2 )
    
    start_time = time.time()
    stds_2 = movstd(T, m)
    end_time = time.time()
    print('Running time of movstd is {}s'.format((end_time - start_time)))
    
    Running time of movstd is 0.03198814392089844s
    

    总结

    通过提前计算好累计和,移动平均和移动标准差以空间换时间,算法速度比起暴力方法提升了几个数量级

    展开全文
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平均差和标准差公式