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  • 统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。”一般我们讲的平均数即算术平均数,计算起来很简单,就是将一组数据中所有数据求和后再除以这组数据的个数就能得到。简单来说,...

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    ​本章内容目录:

    1、什么是方差?

    2、什么是平均数?

    3、方差和平均数的有关结论有哪些?

    一、什么是方差?什么是平均数?

    “方差是在概率论和统计方差衡量随机变量或一组数据时离散程度的度量。统计中的方差(样本方差)是每个样本值与全体样本值的平均数之差的平方值的平均数。”

    一般我们讲的平均数即算术平均数,计算起来很简单,就是将一组数据中所有数据求和后再除以这组数据的个数就能得到。

    简单来说,平均数就是把n个数的总和除以n,所得的商叫做这n个数的算术平均数。

    (1)平均数的计算公式:

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    (2)方差的计算公式:

    统计学中常采用下面的做法:

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    温馨提示:我们在解答有关平均数和方差的题目时,需要先记住平均数和方差的大致计算公式。这样一来,才能够进行下一步的计算。

    二、有关方差和平均数的5个重要结论

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    三、解题技巧总结

    1、我们在使用这5个公式的时候,需要简单看一下这些公式的运算和推导过程,这样在具体做题的时候,才知道具体题目隐含的条件有哪些。

    2、在解题的时候,需要看清楚每一项的系数是多少,即弄清楚参数“m”、参数“a”的正负号和具体数值。这样才能一一对应起来,最终的答案才不会错。

    3、本文分享的5个公式一般用于选择题、填空题等小题当中。如果我们记住了这5个公式,那么在做小题的时候,就可以秒杀解题,速度很快,得分率也很高。

    四、具体题目解析

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    这道题目的话,就需要用到我们上面所分享的几个公式。

    根据公式,我们来解题。

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    对这种题目的解题技巧总结:

    对于这种选择题,在解题的时候,首先要想到是不是可以用公式来去秒杀。因为对选择题来说,不可能花费大量的时间去把具体的公式给推导出来。

    这种公式都是提前记在大脑之中的。

    所以说,如果你提前知道了具体的公式,那么在解题的时候,一眼看到题干的条件,就应该及时的把大脑中所记忆的公式给调取出来。

    这样的话,解题速度才能迅速提高啊!

    而且,可以留出很多时间去解答大题、压轴题!

    所以,学习高中数学的话,首先要尽可能多记忆数学公式和定理模板,记住了模板,就能够又快有准的把正确答案给写出来!

    奥利给,加油!

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  • 运用工具有:平均数、中位数、众数、几何平均数、调和平均数、方差、标准等。例如箱线图就可以很好反映其中部分重点统计值。二、推断统计学:根据样本数据推断总体数据特征。相比描述统计学,大家对推断统计学...

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    统计学可以分为:描述统计学与推断统计学

    一、描述统计学:使用特定的数字或图表来体现数据的集中程度和离散程度。

    运用的工具有:平均数、中位数、众数、几何平均数、调和平均数、方差、标准差等。

    例如箱线图就可以很好反映其中部分重点统计值。

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    二、推断统计学:根据样本数据推断总体的数据特征。

    相比描述统计学,大家对推断统计学可能会相对陌生一点。首先用一个例子来简单说明一下为什么会有推断统计学。比如,你想去调查东北地区成年男性的平均身高和体重,首先想到的最直接的方法就是把所有东北成年男性都测量一遍,然后计算出平均身高和体重。但是这种方法仔细想想,虽然直接,但是既不可行也不可取。那么另外一种方法就是随机抽样,抽取一定数量的东北成年男性进行身高和体重的测量,然后根据样本的值估算出总体的值。那这种方法运用到的就是推断统计学。

    推断统计包括两方面的内容:参数估计和假设检验。

    1、参数估计:

    参数估计是根据从总体中抽取的样本估计总体分布中包含的未知参数的方法。它是统计推断的一种基本形式,分为点估计和区间估计两部分。

    还是用如上调查东北成年男性身高、体重的例子,例如抽样测量了10000人的身高体重,得到10000人的平均身高、平均体重,那么可以用10000个样本的平均身高、平均体重来估计整体(整个东北地区成年男性)的平均身高、体重。这就是一个点估计的例子。

    但是,需要注意,以上例子容易让人误解,以为点估计就是完全将总体的计算方法移到样本上进行计算。但是实际上,对于各项指标(平均数、方差等),样本和总体的计算公式是可能存在差异的。

    用样本均值

    估计总体均值
    ,

    用样本方差

    估计总体方差
    ,

    从上两个式子可以看出,均值的计算方法在样本和总体上是相同的。但是方差的计算方法,样本方差计算公司的分子为n-1(样本总数-1),而总体方差计算公式的分子为N(总体总数)。这个差异简单来理解可以认为是在均值确定的基础上,样本的自由度其实是(n-1)。当然公式也可以推理得来,此处不再赘述。但是推理过程的基础很重要,值得一提:

    点估计的估计量要满足三个要求:无偏性(unbiased),有效性(efficient),一致性(consistent)。
    无偏性:在重复抽样的前提下,所选统计量的期望值应当等同于真实参数值,即

    有效性:如果有两个统计量都是无偏估计量,那么应当选择变异性(variation)最小的那个作为点估计量。
    一致性:当样本容量增大时,点估计值应当不断逼近真实的参数值。

    前面已经看到,点估计是利用样本数据估计出一个具体的数值,那么区间估计是通过样本数据,在可信度下前提下得到一个估计的区间。

    在具体说明区间估计之前,我们需要明确一个概念,那就是总体数据的分布会影响样本的分布情况,进而会影响区间估计的分布选择,具体如下表所示:

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    同样,举例说明,东北成年男性身高例子,我们假设身高符合正态分布、方差未知,已经样本数量为大样本(10000个),那么此时可以选择t分布或者z分布进行估计。

    t分布:区间估计公式为:

    z分布:区间估计公式为:

    其中上两式子中

    为样本均值,
    为样本标准差,n为样本数量。
    是根据置信度查表得到的值。
    也叫做标准误。
    标准差 = 一次抽样中个体分数间的离散程度,反映了个体分数对样本均值的代表性,用于描述统计。
    标准误 = 多次抽样中样本均值间的离散程度,反映了样本均值对总体均值的代表性,用于推论统计。

    假定总体分布为正态分布,方差未知。样本数量为11。那么根据上文的表格,应该选定t分布对样本进行估计。

    假设样本的均值为1.7,标准差为0.8,置信度为99%,双尾检验。那么查表(置信度99%,自由度为样本数量-1=10,那么查表得到3.169。因此区间估计

    为(1.7-3.169*0.8/3.3166,1.7+3.169*0.8/3.3166),其中3.3166为根号11的数值。

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    t分布表

    2、假设检验:

    假设检验是用来判断样本与样本、样本与总体的差异是由抽样误差引起还是本质差别造成的统计推断方法。

    假设检验一般包括如下几个步骤:

    1)设假设:需要设定一个原假设,一个备择假设(两个假设加起来是全集),等号一般放在原假设中。一般把想要证明的内容放到备择假设中。

    2)画出分布;

    3)计算检验统计量test-statistics

    4)根据分布,判断检验统计量与临界值的大小

    5)判断是否拒绝假设,得出结论。

    通过一个例子说明:假设癌症病人去世的时间满足如下正态分布(均值为10,标准差为2),某药企发明了一种药,声称能够延长癌症病人的寿命。我们选取一名服用该药物的人员,该人员去世时间为12个月。我们想判断该药物是否能延长癌症病人寿命。我们可以用假设检验的方法来进行检验:

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    总体满足正态分布

    1)设假设:

    原假设:此药不能延长寿命;寿命<=8

    备择假设:此药能延长寿命;寿命>8

    2)总体样本满足正态分布,方差已知,选择z分布。

    3)计算检验统计量:x=12,对应的z值为(12-8)/2=2。

    4)当置信度选择97.5%,此时为单尾检验,临界值为1.96。

    5)由于2>1.96,因此认为此事件为小概率事件,拒绝原假设,接受备择假设。得出结论:该药物确实能延长癌症病人寿命。

    如上例子仅仅选取了一个样本来进行检验,下面再用一个例子说明:

    假设对于某一个器件,国家标准要求:平均值要低于20。

    某公司制造出10个器件,相关数值如下:15.6 16.2 22.5 20.5 16.4 19.4 16.6 17.9 12.7 13.9

    运用假设检验判断该公司器件是否符合国家标准:

    1)设假设:

    原假设:器件平均值>=20;

    备择假设:器件平均值<20;

    2)总体为正态分布,方差未知,样本为小样本,因此采用t分布。

    3)计算检验统计量:样本平均值17.17,样本标准差2.98,检验统计量为

    (注意此处检验统计量的计算公式)

    4)当置信度选择97.5%,自由度为9,此时为单尾检验,临界值为2.262。

    5)由于-3.0031<-2.262,拒绝原假设,因此接受备择假设,该器件满足国家标准。

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  • 同济桥博士:我刚刚在知乎上面搜索了一下ATR ATR是一个比较有名指标,中文叫平均真实波幅,英文叫做Average True Range。实际知乎上搜索结果排到前几,有好几篇都讲到了海龟交易法则以及ATR指标在海龟交易法中...

    量化分析海龟训练营学员:能简单介绍下ATR这个指标吗?

    同济桥博士:我刚刚在知乎上面搜索了一下ATR  ATR是一个比较有名的指标,中文叫平均真实波幅,英文叫做Average True Range。实际知乎上的搜索结果排到前几的,有好几篇都讲到了海龟交易法则以及ATR指标在海龟交易法中的应用。

    量化分析海龟训练营学员:感谢桥博士,ATR这个指标如何计算呢?

    同济桥博士:这里要详细的说一下,它求的是什么值。ATR是求三个数值里面的最大值。哪三个数值呢?一个是最高价减去最低价之间的差。这是什么意思?比如说我们拿最近的一天的K线来看,K线最上面是最高价,最下面是最低价,这之间的差就是这第一个值。第二个是前一天的收盘价减去最高价,第三个是前一天的收盘价减去最低价。 

    然后我们在这三个值里面取最大值,这个最大值叫波幅,再去过去一段时间内的平均值,就是ATR了。ATR它这个名字起得比较好  叫真实波幅  到底真不真实,我不敢保证,但这起码是一种比较有用衡量波动性的逻辑。

    量化投资领域,最常用的度量衡就是百分比。各种投资交易品种,各种大盘指数,都喜欢用百分比来描述涨跌。但是用百分比作为度量衡也存在一定的缺陷,不同交易品种的历史数据之间,对比不方便。举一个例子,一个1米8的人,在乒乓球队可能算高个子,在篮球队可能就算矮个子。暴涨暴跌涨跌停10%,在个别的股票上经常见到,但如果是茅台,这样的股票就不大涨,如果像咱们A股大盘指数这样,百分之二三就是很大的涨跌幅了。熔断机制规定了:当日大盘跌幅达到5%时触发熔断机制,会暂停交易15分钟,跌幅达到7%时会第二次触发熔断机制,会暂停交易到收市。

    设计交易系统的时候,经常要考虑止盈止损,假设定一个5%,那么在一些小盘股上经常会遇到止盈止损,而在一些大盘股上一年可能都难得遇到一两次。

    所以老乔发现ATR可以用来替代简单的百分比,如果百分比是传统的度量衡,那么ATR就是个性化动态度量,因为每个交易品种都有各自不同的ATR。

    另外同一个品种,也有熊市和牛市,有的阶段静如止水,有的阶段动如脱兔,完全用一个固定的百分比来止盈止损,也有很多不便。百分比过高,会在交易平淡期承担过大的风险,百分比过低,会在交易活跃期,由于过于敏感,错失很多机会。

    ATR真实波幅,取的是26日的移动平均值,所以是有阶段性属性的。淡季ATR值就小,旺季ATR值就大,真正做到与时俱进,自适应。
     

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    量化分析海龟训练营学员:能简单介绍下ATR这个指标吗?


    同济桥博士:我刚刚在知乎上面搜索了一下ATR,ATR是一个比较有名的指标,中文叫平均真实波幅,英文叫做Average True Range。实际知乎上的搜索结果排到前几的,有好几篇都讲到了海龟交易法则以及ATR指标在海龟交易法中的应用。

    量化分析海龟训练营学员:感谢桥博士,ATR这个指标如何计算呢?

    同济桥博士:这里要详细的说一下,它求的是什么值。ATR是求三个数值里面的最大值。哪三个数值呢?一个是最高价减去最低价之间的差。这是什么意思?比如说我们拿最近的一天的K线来看,K线最上面是最高价,最下面是最低价,这之间的差就是这第一个值。第二个是前一天的收盘价减去最高价,第三个是前一天的收盘价减去最低价。 

    然后我们在这三个值里面取最大值,这个最大值叫波幅,再去过去一段时间内的平均值,就是ATR了。ATR它这个名字起得比较好  叫真实波幅  到底真不真实,我不敢保证,但这起码是一种比较有用衡量波动性的逻辑。

    量化分析海龟训练营学员:常常能听到一些技术指标,比如MACD、均线以及ATR等等,ATR与前面两个技术指标的逻辑相同吗?

    同济桥博士:ATR跟我们之前看到的MACD、均线这些指标是不一样的。跟传统的均线相比,ATR有两个特点。第一个它是没有正负号的,所以它没有方向性,而是像下图中的这样,一直就是这样上下波动的,像心电图一样的。

    MACD是像什么样,我们看看。MACD它是有趋势性的,有方向性的。ATR是没有趋势性,没有方向性,因为它没有正负号,求的是绝对值,也不是累加的值。


    第二个问题是TR这个值,它只是一个当天的值。它不求累加的。我们的收盘价、开盘价是什么?收盘价开盘价实际上是昨天的收盘价加上一定的百分比,就变成今天的收盘价,它是累加出来的。但是TR不是一个累加的,它只是一个波幅。而不累加的值,它有个什么特点,就是不大容易用来判断趋势。累加的那些值更容易判断趋势。收盘价是一个累加的值,所以基于它的各种指标是有一定趋势性的。 虽然ATR也是基于收盘价的,但是它是两个价相减的,因此它不是一个累加的值。我们量化主要是做趋势突破、趋势跟随。但是ATR值本身来讲,是不适合直接用来做趋势判断的。
     

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平均差的简单计算公式